Intervallschachtelung

Intervallschachtelung
Vetter, Tobias
Baron, Hendrik
Gliederung
• Intervallschachtelung an der Hochschule
• Intervallschachtelung in der Schule
– Einordnung in den RLP
– Algebraische Intervallschachtelung
• Zehntelung des Intervalls
• Intervallhalbierung
• Vergleich
– Geometrische Intervallschachtelung
• Heron-Algorithmus
• Bestimmung der Kreiszahl π
• Schlussdiskussion
Intervallschachtelung an der Hochschule
• Aus VL bekannt:
– Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
[αn,βn]:= {δЄR|αn ≤ δ≤ βn} (n aus N) heißt
Intervallschachtelung, falls gilt:
1) (αn) ist monoton wachsend
2) (βn) ist monoton fallend
3) lim (βn –αn)=0
- Die Folge der Intervalle [αn,βn] bilde eine
Intervallschachtelung. Dann gilt:
∃ α ∈ R, sodass C :=
∞
[α
n= 0
n
, β n ] = {α
}
Intervallschachtelung in der Schule
• RLP für Berlin:
– Pflicht 9/10:
• Irrationale Zahlen neu
• Mittlerer Standard
– Quadratwurzeln durch Näherungsverfahren beschreiben
• Erweiterter Standard
– Zahl π mit Näherungsverfahren beschreiben
Zehntelung des Intervalls
• Schuldefinition „Intervallschachtelung“:
– Eine unendliche Folge von Intervallen A1, A2, A3,...
heißt „Intervallschachtelung“ genau dann, wenn gilt:
1.) A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ .... und
2.) die Intervalle werden schließlich beliebig klein.
Zehntelung des Intervalls
• Ansatz „Einführung reeller Zahlen“
– bekannt
• abbrechende Dezimalbrüche
• nichtabbrechende periodische Dezimalbrüche
– neu
• Punkt P, der auf Zahlengerade, aber nicht aus den
rationalen Zahlen
Zehntelung des Intervalls
Intervallhalbierung
• bekannt:
– Zusammenhang x2 und √x für u.a. natürliche
Quadrate
Intervallhalbierung
• neu:
– Sei nun zum Beispiel aber der Flächeninhalt
einer quadratische Diele 12m² und die Länge
der Seitenwände ist gesucht.
– bekannter Zusammenhang nicht möglich
– annähern durch Probieren
Intervallhalbierung
• Mittels Testen:
– 3²=9 ≤ 12 ≤ 4²=16
• Lösung zwischen 3 und 4
• Neuer Test:
– 3,5²=12,25 ≥ 12
• Lösung also zwischen 3 und 3,5
• Neuer Test:
– 3,25²=10,5625 ≤ 12
Intervallhalbierung
• Lösung also zwischen 3,25 und 3,5
• durch weiteres Testen:
– beliebig oft wiederholbar
– beliebig genaue Näherungswerte
Intervallhalbierung
Vergleich
Zehntelung
Halbierung
1² < 2 < 2²
1² < 2 < 2²
1,4² < 2 < 1,5²
√2
1,5² =2,25 => 1² <2< 1,5²
1,41² < 2 < 1,42²
1,25² ≈1,56 => 1,25² <2< 1,5²
1,414² < 2 < 1,415²
1,375²≈1,89 => 1,375² <2< 1,5²
Heron-Algorithmus
• Ziel: Geometrische Motivierung der
Intervallschachtelung
• Am Beispiel: Seitenlänge eines Quadrates des
Flächeninhaltes 6
Bestimmung der Kreiszahl π
• Ziel:
– Näherung der Zahl π (Historische Motivation?)
bzw.
– Festigung des Verfahrens der Intervallschachtelung
• Bekannt:
Kreisfläche
= konst.
r²
Bestimmung der Kreiszahl π
Aaußen
Ainnen
≤π ≤
r²
r²
Schlussdiskussion
• Intervallschachtelung – leidiges Thema?
– Zeitaufwand angemessen?
– Nutzen für weiteren Bildungsweg?
– Intervallschachtelung contra
Taschenrechner?
Literaturangaben
• Lauter, Joseph (u.a.); Mathematik 9. Schuljahr;
Düsseldorf; 1988.
• Breidenbach, Walter; Mathmatik 9. Schuljahr;
Braunschweig; 1973.
• Griesel, Heinz (u.a.); Mathematik heute 9;
Hannover; 1989.
• Hayen, Jürgen (u.a.); Gamma 9; Stuttgart; 1980.
• Kramer, Jürg; Zahlen für Einsteiger; Wiesbaden;
2008.