Aufgabenblatt 02
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Robert Labus Universität Kassel, Studienkolleg Sommersemester 2017 Aufgaben zur Analytischen Geometrie Blatt 02 3 −2 1. In welchen Punkt Q wird der Punkt P = (−3, 5, −1) vom Vektor a = −1 verschoben? 3 Welcher Vektor ã verschiebt den Punkt P = (8, −2, 0) in den Punkt Q = (−3, 1, −3)? In welchen Punkt Q0 verschiebt a den Punkt P 0 = (2, −3, 0)? 2. Die Vektoren a und b besitzen jeweils die Länge eins und schließen einen Winkel von π3 (das heißt 60 Grad) ein. Man berechne die Länge der Vektoren b − a und 2b + 5a sowie den Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. 3. a1 und a2 seien Vektoren der Länge eins bzw. drei. Ferner gelte: (3a1 + a2 )(a1 − 2a2 ) = 0. Welchen Winkel schließen a1 und a2 ein? 2 −1 1 4. Gegeben seien die Vektoren a = −2, b = −2 und c = 2. Gesucht sind Vektoren x, 3 5 3 y mit x + y = b. Dabei soll x parallel zu c sein und y senkrecht auf a stehen. 5. Ein Dreieck im Raum besitze die Eckpunkte P = (2, −1, 3), Q = (1, 2, 0), R = (−3, 5, 1). Wie groß ist sein Flächeninhalt? 1 1 6. Man bestimme Vektoren, die auf a = 2 und b = 4 senkrecht stehen und die Länge −3 −7 √ 3 haben. 7. Berechnen Sie den Abstand dist(P;E) des Punktes P = (1, 3, 4) von der Ebene E : x + 2 y + 3 z = 4. 8. Welchen Abstand haben die beiden Geraden: 2 −1 −1 3 g : 2 + t 1 , h : −2 + s 2 ? −1 0 3 1 x1 9. (a) Man bestimme einen Vektor v = x2 , der folgende Gleichung erfüllt: x3 1 −3 0 −5 − 3 v − 2 = 2 . 2 −5 2 √ 7 2 √3 (b) Man prüfe, ob die Vektoren a = 3 und b = 2 parallel sind. 1 −7 1 2 7 10. Bestimmen Sie λ ∈ R so, dass das Spatprodukt von 2 , 3 und 8 gleich 0 ist. 3 4 λ 11. Sei α eine beliebige reelle Zahl. 5 7 (a) Seien a = 2 und b = α. Berechnen Sie a × b. Können Sie α so wählen, damit −1 1 a × b die Länge 5 hat? (b) Gegeben seien die drei Vektoren α 1 , −1 1 1 , 4 1 0 . 1 Bestimmen Sie das Spatprodukt der drei Vektoren. Für welche α spannen die Vektoren einen echten Spat (Volumen größer als Null) auf? 3 12. Die drei Punkte A = (1, 1, 1), B = (5, 3, 1) und C = (2, 3, 1) spannen im R ein Dreieck auf. 0 Verschiebt man dieses Dreieck durch den Vektor v = 2, so überstreicht es ein Prisma 1 im Raum. Wie groß ist das Volumen dieses Prismas? 13. Seien im R2 die Punkte P = (1; 3), Q = (−2; 4) und die Gerade ) ( 2 −1 +t g= t∈R 1 2 gegeben. Berechnen Sie den Abstand der Punkte zur Geraden g. 14. Durch die Punkte P0 = (2; 0; 1), P1 = (1; 1; 0) und P2 = (0; 1; 1) wird eine Ebene im Raum fest gelegt. Wie lautet die Gleichung der Ebene? Geben Sie die Parameterform und die Hessesche Normalenform an. 15. Zeigen Sie, dass die Ebenen parallel sind und bestimmen Sie ihren Abstand. −2 1 1 E1 : r = 2 + λ 1 + µ 0 mit λ, µ ∈ R und 1 0 2 8 −4 4 E2 : r = 9 + λ −2 + µ 5 mit λ, µ ∈ R. −4 6 8 16. Gegeben seien die folgende Gerade g und die folgende Ebene E 3 2 0 4 2 g : x = 3 + s 6 und E : x = 2 + s 0 + t −2 −1 −6 0 −3 0 Zeigen Sie, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft und berechnen Sie den Abstand zwischen ihnen. 17. Durch die Gleichung x + 2y − z = 6 wird eine Ebene im R3 beschrieben. Die Gerade g verläuft durch die zwei Punkte P1 = (1, 0, 1) und P2 = (1, −2, 0). Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g mit der Ebene. 18. Gegeben seien die Punkte P = (2, 2, 1), P 0 = (1, −1, −1), Q = (3, 4, −5). Bestimmen Sie −−→ −−→ alle Punkte Q0 , sodass die Vektoren P P 0 und QQ0 parallel sind. 19. (a) Die Ebene E1 gehe durch die drei Punkte (−1, 0, −1), (−5, 1, 1) und (4, 1, −2). Bestimmen Sie eine Normalenform der Ebenengleichung für E1 , d.h. finden Sie a, b, c, d ∈ R mit ax1 + bx2 + cx3 = d (b) Welchen Abstand hat der Punkt (12, 3, −1) von der Ebene E2 , 17 1 −2 E2 : x = 1 + λ −1 + µ 1 2 2 −1 20. Die Ebene E1 gehe durch die drei Punkte (1,0, −1), (2, 1, 0) und (2, 0, −2). 1 Auf der Ebene E2 mit dem Normalenvektor −1 liegt der Punkt (1, 0, 0). 0 Geben Sie die Hessesche Normalenform von E1 und E2 an und prüfen Sie die Ebenen auf Parallelität. 21. Die drei Punkte P1 , P2 , P3 , bilden die Eckpunkte eines Dreiecks im R3 . Bestimmen Sie alle Punkte P4 , sodass die Punkte P1 , P2 , P3 , P4 die Eckpunkte eines Parallelogramms im R3 darstellen. Fertigen Sie eine Skizze an. 2 2 22. Wie muss man s, t ∈ R wählen, damit die Vektoren a = 2 + s und b = 3 − s gleich 3t 1+t sind? t s 23. Können s, t ∈ R so gewählt werden, dass die Vektoren a = 2 t und b = t − 1 t + 3s t−s gleich sind? 24. In welchen Punkt Q wird der Punkt P = (3, 0, 5) überführt, wenn Sie ihn nacheinander 2 7 durch die Vektoren a = 1 und b = 3 verschieben? 1 5 25. Gegeben seien die Vektoren 1 2 1 a = 3 , b = 1 , c = 41 . 1 5 6 3 2 Man berechne einen Vektor d mit: 3 d − 10 a = b − 5 c . 2 3 4 . Berechnen Sie ihre Länge sowie den 26. Gegeben seien die Vektoren a = 2 , b = 1 −5 Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. 27. Die Vektoren u und v besitzen dieselbe Länge. Zeigen Sie: u + v und u − v sind orthogonal. 28. Wir betrachten ein Parallelogramm mit den (im entgegengesetzten Uhrzeigersinn durchlaufenen) Eckpunkten A, B, C, D. Man zeige mithilfe der Vektorrechnung, dass der Diagonalenschnittpunkt S die Diagonalen halbiert. Dazu leite man folgende Beziehungen her: AS = 1 (AB + AD) , 2 BS = 1 (AD − AB) . 2 29. Man bestimme λ aus R, so dass die folgenden Vektoren senkrecht stehen: 1 2 2 , 2 . 3 λ 30. Seien u und v zwei nicht parallele Vektoren. Dann spannen v und u ein Parallelogramm auf. Rechnen Sie nach, dass 2 (|u|2 + |v|2 ) = |u + v|2 + |u − v|2 . Zeigen Sie weiter: Die Diagonalen des Parallelogramms sind genau dann gleichlang, wenn es ein Rechteck ist. (Benutzen Sie das Skalarprodukt). 31. Gegeben seien die Punkte P = (2, 4, −1), Q = (3, −1, 1), R = (3, 0, 3) und S = (2, −4, 2). Berechnen Sie den Abstand der Geraden g, welche durch die Punkte P und Q läuft, und der Geraden h, die durch die Punkte R und S läuft. 32. Berechnen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel der Geraden 2 3 −4 0 g1 : x = 1 + λ 0 und g2 : x = 1 + µ 0 . 3 3 3 −2 33. Gegeben sei die Ebene −2 1 1 = 1. E :x· 3 2 Berechnen Sie den Abstände von P1 = (−1, 2, 1) und P2 = (2, −6, 2) zur Ebene E.
