Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik

Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
Teil 2
Deduktionstheorem und Rückführung des Vollständigkeitssatzes
auf das Erfüllbarkeitslemma
Mathematische Logik (WS 2010/11)
Vollständigkeitssatz
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Struktur des Beweises des Vollständigkeitssatzes
Zum Beweis des Vollständigkeitssatzes für den Shoenfield-Kalküls S der
Prädikatenlogik gehen wir ähnlich wie beim Beweis des Vollständigkeitssatzes in der Aussagenlogik vor.
Wichtige Vorarbeiten waren dort:
1
Bereitstellung zulässiger Axiome und Regeln
2
Deduktionstheorem
3
Rückführung des Vollständigkeitssatzes auf das Erfüllbarkeitslemma
mit Hilfe der Analyse der Zusammenhänge zwischen Beweisbarkeit
und Konsistenz (syntaktische Ebene) bzw. zwischen Folgerungsbegriff
und Erfüllbarkeit (semantische Ebene).
Den ersten Schritt haben wir für PL bereits im letzten Kapitel ausgeführt.
In diesem Kapitel führen wir nun Schritt 2 und 3 aus und betrachten als
weiteres Hilfsmittel Erweiterungen von Sprachen und Theorien:
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Überblick
1
Das Deduktionstheorem
2
Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
3
Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs.
Erfüllbarkeitslemma
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1
Das Deduktionstheorem
2
Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
3
Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs.
Erfüllbarkeitslemma
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Das Deduktionstheorem
SATZ (DEDUKTIONSTHEOREM). SEI Φ eine Menge von Formeln, ψ eine
Formel und σ ein Satz. Dann gilt:
(∗) Φ ` σ → ψ ⇔ Φ ∪ {σ} ` ψ
BEMERKUNG. Die triviale Richtung ⇒ gilt auch für eine beliebige Formel ϕ
anstelle des Satzes σ: Aus der Annahme Φ ` ϕ → ψ erhält man die Beweisbarkeit
von ψ aus Φ ∪ {ϕ} wie folgt:
1
2
3
ϕ→ψ
ϕ
ψ
Annahme
da ϕ ∈ Φ ∪ {ϕ}
AL: 2
Die Rückrichtung gilt dagegen für beliebiges ϕ anstelle des Satzes σ i.a. nicht.
Gegenbeispiel: Φ := ∅, ϕ :≡ x = y und ψ :≡ ∀x∀y (x = y )
ϕ ` ψ folgt aus der zulässigen Allabschlussregel (∀31 ).
6` ϕ → ψ folgt mit dem Korrektheitssatz aus 6 ϕ → ψ
(NB: ϕ → ψ gilt nur in Strukturen mit 1-elementigem Universum).
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Das Deduktionstheorem: Beweis
Die nichttriviale Richtung ⇐ in (∗) Φ ` σ → ψ ⇔ Φ ∪ {σ} ` ψ
zeigt man durch Herleitungsinduktion.
Annahme: Φ ∪ {σ} ` ψ
Zu zeigen: Φ ` σ → ψ
1. ψ Axiom oder ψ ∈ Φ
1
2
ψ
σ→ψ
Fallannahme
AL: 1
2. ψ ≡ σ
1
σ→σ
≡σ→ψ
AL
3. ψ sei aus ψi (i = 1 bzw. i = 1, 2) mit Hilfe der Regel R erschlossen.
Nach I.V. gilt dann Φ ` σ → ψi (für i = 1 bzw. i = 1, 2).
Wir unterscheiden hier, ob R eine aussagenlogische Regel oder die
∃-Einführungsregel ist:
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Das Deduktionstheorem: Beweis (Fortsetzung)
3. ψ sei aus ψi (i = 1 bzw. i = 1, 2) mit Hilfe der Regel R erschlossen.
Nach I.V. gilt dann: Φ ` σ → ψi (für i = 1 bzw. i = 1, 2)
Zu zeigen: Φ ` σ → ψ
3.1 R ist aussagenlogische Regel Für i = 2 erhält man dann (i = 1 analog):
1
2
3
σ → ψ1
σ → ψ2
σ→ψ
I.V.
I.V.
AL: 1,2
3.2 R ist die ∃-Einführungsregel (∃1), d.h.
ψ1 ≡ γ → δ
ψ ≡ ∃xγ → δ
1
2
3
4
(wobei x 6∈ FV (δ) (= VB))
σ → (γ → δ)
γ → (σ → δ)
∃xγ → (σ → δ)
σ → (∃xγ → δ) ≡ σ → ψ
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I.V.
AL: 1
∃1: 2 VB erfüllt, da x 6∈ FV (δ) = FV (σ → δ)
AL:3
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Das Deduktionstheorem: Folgerungen
Das Deduktionstheorem lässt sich wie folgt verallgemeinern:
KOROLLAR ZUM DEDUKTIONSTHEOREM. Sei Φ eine Menge von Formeln, ψ
eine Formel und σ1 , . . . σn Sätze. Dann gilt:
(∗∗) Φ ` σ1 ∧ · · · ∧ σn → ψ ⇔ Φ ∪ {σ1 , . . . , σn } ` ψ
BEWEIS
Φ ` σ1 ∧ · · · ∧ σn → ψ
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⇔
⇔
...
⇔
⇔
Φ ` σ1 → · · · → σn → ψ
Φ ∪ {σ1 } ` σ2 → · · · → σn → ψ
AL
DT
Φ ∪ {σ1 , . . . , σn−1 } ` σn → ψ
Φ ∪ {σ1 , . . . , σn−1 , σn } ` ψ
DT
DT
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1
Das Deduktionstheorem
2
Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
3
Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs.
Erfüllbarkeitslemma
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Erweiterungen von Sprachen und Theorien: Definitionen
Eine Sprache L0 ist eine Erweiterung der Sprache L (L ⊆ L0 ), falls jedes
nichtlogische Symbol von L ein Symbol von L0 ist (d.h. genauer: jedes
Relations- und Funktionszeichen und jede Konstante von L ein Relationsund Funktionszeichen (der entsprechenden Stelligkeit) bzw. eine Konstante
von L0 ist).
Eine L0 -Theorie T 0 = (L0 , Σ0 ) ist eine Erweiterung der L-Theorie
T = (L, Σ) (T v T 0 ), falls
(i) L0 eine Erweiterung von L ist und
(ii) für jede L-Formel ϕ gilt: T ` ϕ ⇒ T 0 ` ϕ.
Gilt in (ii) sogar die Äquivalenz, d.h.
(ii’) für jede L-Formel ϕ gilt: T ` ϕ ⇔ T 0 ` ϕ
so heisst T 0 konservative Erweiterung von T .
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Erweiterungen von Theorien: Bemerkungen und weitere
Definitionen
Der Begriff der Erweiterung T 0 einer Theorie T ist syntaktisch definiert, d.h.
basiert auf dem (syntaktischen) Beweisbarkeitsbegriff (`), nicht auf dem
(semantischen) Folgerungsbegriff ().
Definieren wir den (syntaktischen) deduktiven Abschluss von T = (L, Σ)
durch
C` (T ) = {σ : σ L-Satz & T ` σ}
so ist T 0 = (L0 , Σ0 ) eine Erweiterung von T = (L, Σ) g.d.w. L ⊆ L0 und
C` (T ) ⊆ C` (T 0 ) gilt (dies folgt aus der Zulässigkeit der Allabschlussregeln).
Entsprechend ist die Erweiterung T 0 von T genau dann konservativ, wenn
C` (T ) = C` (T 0 ) ∩ S(L) gilt, wobei S(L) die Menge der L-Sätze ist.
Zwei Theorien T und T 0 sind äquivalent, wenn sie denselben syntaktischen
deduktiven Abschluss haben: C` (T ) = C` (T 0 ).
Aus dem Adäquatheitssatz wird folgen, dass die syntaktische Folgerungsmenge C` (T ) mit der semantischen Folgerungsmenge
C (T ) = {σ : σ L-Satz & T σ} zusammenfällt, und man daher den Erweiterungsbegriff entsprechend semantisch definieren
kann. Bis zum Beweis des Adäquatheitssatzes müssen wir aber zwischen den syntaktischen und den zugehörigen semantischen
Begriffen unterscheiden.
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Erweiterungen von Theorien: Beispiele
Ist T = (L, Σ) eine L-Theorie und ϕ ≡ ϕ(x1 , . . . , xn ) eine L-Formel (die
höchstens die Variablen x1 , . . . , xn frei enthält), so ist die Theorie
T 0 = (L0 , Σ0 ) eine konservative Erweiterung von T , wobei
I
I
L0 ist die Erweiterung von L um das neue n-st. Relationszeichen R
Σ0 = Σ ∪ {R(x1 , . . . , xn ) ↔ ϕ}.
Ähnlich: Für eine L-Theorie T = (L, Σ) und eine L-Formel ϕ(~x , y ), für die
T ` ∀~x ∃!y ϕ(~x , y )
gilt, ist die Theorie T 0 = (L0 , Σ0 ) eine konservative Erweiterung von T ,
wobei
I
I
L0 ist die Erweiterung von L um das neue Funktionszeichen f
Σ0 = Σ ∪ {f (~x ) = y ↔ ϕ}.
(BEWEIS: Übung!)
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Spracherweiterungen und Strukturen
DEFINITION. Ist L ⊆ L0 , A eine L-Struktur und A0 eine L0 -Struktur, so heisst
A0 eine Erweiterung von A oder A die Einschränkung von A0 auf L (A = A0 L),
0
falls |A| = |A0 | und für alle nichtlogischen Symbole S von L gilt: S A = S A .
BEISPIEL. Ist K = (K , +, ·, 0, 1) ein Körper, so ist die zugrundeliegende additive
Gruppe (K , +, 0) die Einschränkung von K auf die Sprache L = L(+, 0):
(K , +, 0) = K L(+, 0)
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Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
DEFINITION. Eine Theorie T 0 = (L0 , Σ0 ) heisst eine rein sprachliche Erweiterung
der Theorie T = (L, Σ), wenn L ⊆ L0 und Σ = Σ0 gilt.
Ist T 0 = (L0 , Σ) eine rein sprachliche Erweiterung der Theorie T = (L, Σ), so gilt
für jede L0 -Struktur A0
A0 T 0 ⇔ A0 L T .
Hieraus ergibt sich unmittelbar
C (T 0 ) ∩ S(L) = C (T ).
Im folgenden wollen wir zeigen, dass die syntaktische Entsprechung ebenfalls gilt,
d.h. dass rein sprachliche Erweiterungen konservative Erweiterungen sind.
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen
SATZ. Sei T 0 = (L0 , Σ0 ) eine rein sprachliche Erweiterung der Theorie
T = (L, Σ), d.h. L ⊆ L0 und Σ = Σ0 . Dann ist T 0 eine konservative Erweiterung
von T , d.h.
(∗) Für alle L-Formeln ϕ gilt: T 0 ` ϕ ⇒ T ` ϕ.
BEWEIS. Wir ordnen jeder L0 -Formel ϕ und jeder Variablen y eine L-Formel ϕy
zu, die durch folgende Ersetzungen aus ϕ entsteht:
Ist R ein n-stelliges Relationszeichen von L0 aber nicht von L, so ersetze
jede Teilformel R(t1 , . . . , tn ) von ϕ durch y = y .
Ist f ein m-stelliges Funktionszeichen von L0 aber nicht von L, so ersetze
jeden Term f (t1 , . . . , tn ) in ϕ durch die Variable y .
Ist c eine Konstante von L0 aber nicht von L, so ersetze jedes Vorkommen
von c in ϕ durch y .
NB: Ist ϕ eine L-Formel, so gilt ϕ ≡ ϕy für alle Variablen y . Es genügt daher zu
zeigen:
(∗0 ) Für jede L0 -Formel ϕ gilt für fast alle y : T 0 ` ϕ ⇒ T ` ϕy .
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.)
Beweis von
(∗0 ) Für jede L0 -Formel ϕ gilt für fast alle y : T 0 ` ϕ ⇒ T ` ϕy
durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T .
1. ϕ ist Axiom (in der Sprache L0 !).
Dann liegt einer der folgenden Fälle vor:
1.1 ϕ ist ein al. Axiom, d.h. ϕ ≡ ¬ψ ∨ ψ. Dann ist (für jede Variable y ) die
Formel ϕy ≡ ¬ψy ∨ ψy ebenfalls ein al. Axiom.
1.2 ϕ ist ein Substitutionsaxiom ψ[t/x] → ∃xψ, wobei t für x in ψ
substituierbar ist (SB). Dann ist ϕy ≡ ψy [ty /x] → ∃xψy für geeignet
definiertes ty , wobei V (ty ) ⊆ V (T ) ∪ {y } und - für y 6∈ V (ψ) GV (ψy ) = GV (ψ) gilt. Für y 6∈ V (ψ) ist daher ty für x in ψy
substituierbar, also ϕy ein Substitutionsaxiom.
1.3 ϕ ist ein Gleichheitsaxiom (G1) - (G4). Dann ist (für jede Variable y )
ϕy ebenfalls ein Gleichheitsaxiom desselben Typs oder von der Form
ψ → y = y (und damit mit AL aus (G1) herleitbar).
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.)
Beweis von
(∗0 ) Für jede L0 -Formel ϕ gilt für fast alle y : T 0 ` ϕ ⇒ T ` ϕy
durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T (Fortsetzung).
2. ϕ ∈ Σ0 .
Aus Σ = Σ0 folgt dann, dass T ` ϕ und ϕ eine L-Formel ist, weshalb
ϕy ≡ ϕ für alle Variablen y gilt.
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Beweis (Forts.)
Beweis von
(∗0 ) Für jede L0 -Formel ϕ gilt für fast alle y : T 0 ` ϕ ⇒ T ` ϕy
durch Induktion nach der Länge der Herleitung von ϕ aus T (Fortsetzung).
3. ϕ ist Konklusion einer Regel R mit Prämissen ϕi (i = 1 bzw. i = 1, 2).
Dann gilt nach I.V. für fast alle y : T ` (ϕi )y (für i = 1 bzw. i = 1, 2).
3.1 R ist eine al. Regel. Dann ist (für jede Variable y ) die Formel ϕy eine
al. Folgerung aus (ϕi )y (für i = 1 bzw. i = 1, 2). Wegen der
Zulässigkeit al. Schlüsse folgt daher die Behauptung aus der I.V.
3.2 R ist eine ∃-Einführungsregel, d.h. i = 1, ϕ1 ≡ γ → δ und
ϕ ≡ ∃xγ → δ, wobei x 6∈ FV (δ) (VB).
Dann ist ϕy ≡ ∃xγy → δy und (ϕ1 )y ≡ γy → δy , wobei weiter für
y 6= x die Variable x nicht frei in δy vorkommt. Für y 6= x folgt daher
ϕy aus (ϕ1 )y mit einer ∃-Einführungsregel. Also T ` ϕy für alle y 6= x,
für die T ` (ϕi )y gilt (was nach I.V. für fast alle y der Fall ist).
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Satz über rein sprachliche Erweiterungen: Folgerungen
KOROLLAR. Sei T = (L, Σ) eine L-Theorie, L0 die Erweiterung von L um eine
neue Konstante c und T 0 = (L0 , Σ) die rein sprachliche Erweiterung von T auf
L0 . Dann gilt für jede L-Formel ϕ
T 0 ` ϕ[c/x] ⇔ T ` ∀xϕ ( ⇔ T 0 ` ∀xϕ )
BEWEIS.
“⇒” Aus T 0 ` ϕ[c/x] folgt mit dem Beweis des Satzes über rein sprachliche
Erweiterungen, dass es eine Variable y 6∈ V (ϕ) gibt mit T ` (ϕ[c/x])y . Da ϕ eine
L-Formel ist, gilt aber (ϕ[c/x])y ≡ ϕ[y /x], also T ` ϕ[y /x] und damit mit der
Allabschlussregel T ` ∀y ϕ[y /x]. Mit dem zulässigen Axiom U über die
Umbenennung gebundener Variablen folgt hieraus (mit AL) T ` ∀xϕ.
“⇒” Da nach dem Substitutitonssatz ` ∀xϕ → ϕ[c/x] gilt, folgt diese Richtung
unmittelbar mit AL.
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Das Deduktionstheorem
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Rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
3
Konsistenz und Beweisbarkeit: Vollständigkeitssatz vs.
Erfüllbarkeitslemma
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Konsistenz
DEFINITION. Eine Theorie T = (L, Σ) ist konsistent oder widerspruchsfrei, falls
es einen L-Satz σ gibt mit T 6` σ.
Wie in der Aussagenlogik kann man die Konsistenz alternativ wie folgt
charakterisieren (Beweis wie dort).
CHARAKTERISIERUNGSLEMMA FÜR DIE KONSISTENZ (LCK). Eine Theorie
T = (L, Σ) ist genau dann konsistent, wenn es keinen L-Satz σ mit T ` σ und
T ` ¬σ gibt.
NB Ist T 0 ein Erweiterung von T und konsistent, so ist auch T konsistent. Ist T 0
eine konservative Erweiterung von T , so ist T 0 genau dann konsistent, wenn T
konsistent ist.
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Konsistenz und Beweisbarkeit
Ähnlich wie in der Aussagenlogik lässt sich folgender Zusammenhang zwischen
Beweisbarkeit und Konsistenz feststellen:
LEMMA ÜBER DEN ZUSAMMENHANG ZWISCHEN BEWEISBARKEIT UND
KONSISTENZ (LBK).
(i) T ` ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent
(ii) T 6` ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} konsistent
Da für einen Satz σ der Allabschluss ∀σ gerade σ ist, gilt also insbesondere für
Sätze
T ` σ ⇔ T ∪ {¬σ} inkonsistent
NB. 1. Das semantische Gegenstück (Lemma über den Zusammenhang zwischen
Folgerungs- und Erfüllbarkeitsbegriff) haben wir bereits in Kapitel 2 bewiesen.
2. Da (ii) durch Kontraposition aus (i) folgt, genügt es (i) zu zeigen.
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Konsistenz und Beweisbarkeit: Beweis des LBK-Lemmas
T ` ϕ ⇔ T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent
“⇒” Annahme: T ` ϕ
Da trivialerweise T ∪ {¬∀ϕ} ` ¬∀ϕ gilt, genügt es T ∪ {¬∀ϕ} ` ∀ϕ zu zeigen.
Dies folgt aber unmittelbar aus der Annahme mit der Zulässigkeit der
Allabschlussregel.
“⇐” Annahme: T ∪ {¬∀ϕ} inkonsistent
Nach Annahme ist jeder Satz aus T ∪ {¬∀ϕ} beweisbar, also insbesondere
T ∪ {¬∀ϕ} ` ∀ϕ
Mit dem Deduktionstheorem folgt
T ` ¬∀ϕ → ∀ϕ
und hieraus aussagenlogisch T ` ∀ϕ. Es folgt T ` ϕ mit der Allabschlussregel.
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Erfüllbarkeitslemma vs. Vollständigkeitssatz
Wie in der Aussagenlogik können wir nun zeigen, dass der Vollständigkeitssatz
aus dem Erfüllbarkeitslemma folgt.
ERFÜLLBARKEITSLEMMA (MODELLEXISTENZSATZ, EL) Jede konsistente
Theorie T ist erfüllbar (d.h. besitzt ein Modell).
VOLLSTÄNDIGKEITSSATZ (VS) T σ ⇒ T ` σ
Beweis von VS mit Hilfe von EL:
T σ
⇒ T ∪ {¬σ} nicht erfüllbar
⇒ T ∪ {¬σ} inkonsistent
⇒ T `σ
Zshg. zw. Folgerungs- und
Erfüllbarkeitsbegriff
Erfüllbarkeitslemma (Kontraposition)
LBK
Es genügt also zum Beweis des Vollständigkeitssatzes im Folgenden noch das
Erfüllbarkeitslemma zu beweisen!
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Vollständigkeitssatz
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