Ergänzung 1

Algebra & Zahlentheorie
Einiges über Restklassengruppen &
Kongruenzrechnung
David Müßig
muessig[at]mi.fu-berlin.de
http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/
WiSe 12/13
Im letzten Tutorium kamen Fragen über Z/nZ bzw. (Z/nZ)∗ auf. Da diese Gruppen
nicht nur schöne Beispiele sind, sondern auch im weiteren Verlauf der Veranstaltung
wichtig sein werden, gehe ich hier etwas mehr auf sie ein.
1 Teilen mit Rest & Z/nZ
Aus der Schule (und dem wahren Leben) sollte das Teilen mit Rest bekannt sein.
Angenommen wir haben zwei Zahlen a.b ∈ Z, so können wir sei mit Rest teilen:
a = q · b + r,
q, r ∈ Z, 0 ≤ r < b.
(1)
Wenn wir uns nun in Z/nZ befinden, dann rechnen wir genau genommen nicht mit
Zahlen, sondern mit s.g. Restklassen. Das bedeutet, dass wir eine Zahl a ∈ Z nicht
mehr als Zahl betrachten, sondern sie auf den Rest, den sie beim Teilen durch n lässt,
reduzieren. Wenn wir uns immer nur die Reste anschauen, die eine Zahl beim Teilen
durch n hinterlässt, so ist das, was da an Rest herauskommt immer zwischen 0 und
n − 1 (siehe in (1): 0 ≤ r < n).
In Z/nZ sind nun zwei Zahlen a, c ∈ Z gleich, wenn sie beim Teilen durch n den
selben Rest lassen, also wenn gilt:
a = s · n + r und c = t · n + r
mit s, t, r ∈ Z und 0 ≤ r < n.
1
Algebra & Zahlentheorie
Tutorium bei David
Addieren wir nun zwei Elemente aus Z/nZ, so wissen wir (da Z/nZ eine Gruppe
ist), dass das Ergebnis dieser Addition wieder ein Element aus der Gruppe Z/nZ ist.
Das passiert folgendermaßen: Sind wieder a, b ∈ Z/nZ, so ist
a = s · n + r1 und b = t · n + r2
und wenn wir a und b addieren, erhalten wir
a + b = (s + t) · n + (r1 + r2 ).
| {z }
r3
Jetzt kann es natürlich sein, dass r3 ≥ n ist. Das ist aber nicht schlimm, dann teilen
wir einfach r3 wieder mit Rest durch n und erhalten r3 = q · n + r, mit 0 ≤ r < n.
Dann können wir abschließen feststellen, dass in Z/nZ gilt:
a + b = (s + t) · n + q · n + r = (s + t + q) · n + r = r.
| {z }
r3
Da das alles furchtbar kompliziert wirkt, folgt jetzt ein Beispiel:
Beispiel 1. Sei n = 7. Betrachte die folgende Tabelle:
Zahl
Rest
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
0
8
1
9
2
10
3
11
4
12
5
13
6
14
0
...
...
145
5
Wie man hoffentlich sieht, wiederholen sich die Reste in der festen Reihenfolge
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. In Z/7Z gilt nun, dass z.B. 5 = 12 = 145 ist, da
5 = 0 · 7 + 5 und 11 = 1 · 7 + 5 und 145 = 20 · 7 + 5.
Wenn wir 6 und 3 addieren wollen, dann ergibt sich 6 + 3 = 9 und da 9 = 1 · 7 + 2
gilt, ist in Z/7Z
6 + 3 = 2.
♦
Als Fazit können wir festhalten, dass die Gruppe Z/nZ nichts anderes ist, als die
Gruppe ({0, 1, 2, . . . , n−1}, +) mit der Zusatzbedingung, dass wir alles, was über n−1
hinausgeht, „abschneiden“, also sozusagen „im Kreis“ zählen:
. . . n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
2
...
...
Algebra & Zahlentheorie
Tutorium bei David
2 Die prime Restklassengruppe (Z/nZ)∗
Neben der „normalen“ Restklassengruppe Z/nZ spielt die s.g. prime Restklassengruppe
(Z/nZ)∗ eine wichtige Rolle in dieser Vorlesung. Die hier vorherrschende Operation
ist die Multiplikation und ihre Elemente sind alle Zahlen a ∈ Z/nZ mit ggt(a, n) = 1,
also alle zu n teilerfremden Elemente. Wenn ich hier lapidar „Zahlen“ sage, meine ich
natürlich wieder die Restklassen aus Kapitel 1, aus denen auch Z/nZ besteht.
Die Anzahl der Elemente von (Z/nZ)∗ wird durch die Euler’sche ϕ-Funktion gegeben, d.h.
# ((Z/nZ)∗ ) = ϕ(n).
Wie man ϕ(n) berechnet, werden wir später klären. Wichtig zu wissen ist nur, dass
(Z/pZ)∗ zyklisch ist, falls p ∈ P eine Primzahl ist und es dann ϕ(ϕ(p)) = ϕ(p − 1)–
viele Erzeuger gibt. Das sind nicht die einzigen Fälle, in denen (Z/nZ)∗ zyklisch ist,
allerdings sind es für den Moment genug, denn uns interessiert die Tatsache, dass wir
folgenden Zusammenhang haben:
Satz 1. Sei p ∈ P, g ∈ (Z/pZ)∗ ein erzeugendes Element, d.h. hgi = (Z/pZ)∗ . Dann
ist durch
∼
(Z/pZ)∗ −→ Z/(p − 1)Z
g i 7−→ i
ein Isomorphismus gegeben.
Wir können also die multiplikative Gruppe (Z/pZ)∗ wunderbar mit der additiven
Gruppe Z/(p − 1)Z in Verbindung setzen.
Beispiel 1. Es sei p = 7, demnach besteht (Z/7Z)∗ also aus den Elementen 1, 2, 3, 4, 5, 6
und wir haben ϕ(6) = 2 Erzeuger von (Z/7Z)∗ . Welche der Elemente sind nun Erzeuger? Probieren wir es aus:
1. Versuch: Ist die 2 ein Erzeuger? Wenn dem so wäre, dann müsste h2i = {2i | i =
1, 2, 3, 4, 5, 6} = (Z/7Z)∗ sein. Es ist aber
21 = 2,
22 = 4,
23 = 8 = 1,
24 = 2 in (Z/7Z)∗ ,
also kommt die 2 nicht als Erzeuger in Frage.
2. Versuch: Ist die 3 ein Erzeuger? Gleiches Spiel wie eben:
31 = 3,
32 = 9 = 2,
33 = 6,
34 = 4,
35 = 5,
36 = 1 in (Z/7Z)∗ .
Hier kommt jedes Element 1, 2, 3, 4, 5, 6 einmal vor, also ist die 3 tatsächlich ein Erzeuger von (Z/7Z)∗ !
Der Vollständigkeit halber bestimmen wir jetzt noch den anderen Erzeuger (ϕ(6) =
2). Die 6 fällt raus, da in (Z/7Z)∗ gilt, dass 6 = −1 ist (denn 6 = 1 · 7 − 1). Bleiben
also die 4 und die 5 (die 1 ist als neutrales Element immer raus).
3. Versuch: Ist es die 4? Es ist
41 = 4,
42 = 16 = 2,
43 = 8 = 1,
also ist die 4 auch raus und es muss die 5 sein.
3
in (Z/7Z)∗ ,
Algebra & Zahlentheorie
Tutorium bei David
♦
3 Kongruenzrechnung
Die Vorlesung heißt ja Algebra & Zahlentheorie. Wenn man so möchte, war Kapitel 1
der algebraische Teil und nun folgt die zahlentheoretische Sichtweise. Das Schlagwort
hier heißt Kongruenzrechnung oder auch Modulo-Rechnung.
1
Definition 2. Es seien a, b ∈ Z. Wir
sagen a ≡ b (mod n) (gelesen: a kongruent b
modulo n), genau dann, wenn gilt: n (a − b) (n teilt a − b).
Nun ist die Frage, was es bedeutet, dass n a − b teilt. Dazu schauen wir uns das
einmal an:
n(a − b) ⇔ a − b = q · n
⇔ a = s · n + r und b = t · n + r
mit q = s − t. Wir sehen also, dass a ≡ b (mod n) genau dann gilt, wenn a und b beim
teilen durch n den selben Rest lassen. Es gilt also
a ≡ b (mod n) ⇐⇒ a = b in Z/nZ.
Kongruenzrechnung und das Rechnen in Z/nZ beschreiben also völlig analoge Operationen und unterscheiden sich ausschließlich im Blickwinkel.
1 Manchmal
auch einfach a ≡ b (n) geschrieben.
4