Zur Kettenbruchentwicklung von Wurzel n

Karl Schwalen
2.08
Version 8.10
Weitere Aufsätze des Verfassers unter http://www.primath.homepage.t-online.de
Die Kettenbruchentwicklung von Wurzel n
Bemerkungen zu drei Eigenschaften
Die (einfache, reguläre) Kettenbruchentwicklung von reellen, nicht ganzen Zahlen ist ein sehr
vielseitig einsetzbares Werkzeug der Mathematik. Sie dient z.B. der näherungsweisen
Berechnung von Wurzeln, der Bestimmung von Näherungsbrüchen rationaler Zahlen
(„Zahnrad-Problem“), der Lösung linearer diophantischer Gleichungen, der Lösung der
Pell’schen Gleichung (Bestimmung der Einheiten von reellquadratischen Zahlkörpern), der
Faktorisierung ganzer Zahlen ( Direkte Quadratsuche oder Bereitstellung relativ kleiner
quadratischer Reste) und nicht zuletzt der (kontrollierten) Approximation irrationaler Zahlen.
Es ist sogar ein kettenbruch-basierter Primzahltest bekannt geworden.
In den Ziffern 1. bis 3. sollen einige weitere, seltener erwähnte Eigenschaften / Zusammenhänge dargestellt werden.
0. Bezeichnungen und Algorithmus (Kurze Darstellung wichtiger Formeln / Begriffe)
Eine nicht rationale, reelle Zahl, die eine quadratische Gleichung α2 + k1α + k2 = 0 (mit
k1, k2 ganze Zahl) erfüllt, wird als (reelle) quadratische Irrationalität bezeichnet. Eine solche
b + d
(b0, c0, d: ganze Zahlen; d > 0, keine
Zahl lässt sich stets in der Form α 0 = 0
c0
Quadratzahl; c0 | (d – b02)) schreiben. Alle reell-quadratischen Irrationalzahlen sind dadurch
gekennzeichnet, dass die Kettenbruchentwicklung ab einer bestimmten Stelle periodisch wird.
Die Teilnenner ai (auch Kettenbruchzahlen genannt) lassen sich mit Hilfe der folgenden
Rekursionsformeln (Startwerte siehe α0 ) bestimmen:
b + d
αi = i
ci
a i = α i 
b i +1 = a i ⋅ c i − b i
c i +1 =
d − b i2+1
ci
i ← i +1
Die weiteren Ausführungen beziehen sich auf den wohl wichtigsten Spezialfall b0 = 0, c0 = 1
und d natürliche Zahl n, kein Quadrat; d.h. α0 = n und a0 = n ;letzteres wird der
einfacheren Schreibweise wegen im weiteren mit w abgekürzt.
Da hier ci > 0 gilt, muss man die αi, welche als vollständige Quotienten oder auch als Reste
der Kettenbruchentwicklung bezeichnet werden, nicht erst (näherungsweise) berechnen,
b + w 
sondern erhält die Teilnenner sofort aus a i =  i
.
 ci 
 
Die Kettenbruchentwicklung von
n hat für alle n den Aufbau w; a 1 , a 2 ,........, a h , wobei
der überstrichene Teil die sich unendlich oft wiederholende Periode anzeigt. Besteht die
Periode aus h Teilnennern, spricht man von der Periodenlänge h. h ist immer ein Vielfaches
der minimalen Periode; diese heißt auch primitive Periode.
Bezüglich des Aufbaus der (primitiven) Periode lassen sich u.a. folgende Eigenschaften
nachweisen:
1
–
–
–
–
ah = 2w; ch = 1
(Kriterium für Perioden-Ende)
ah – i = ai für 1 < i < h / 2 (Symmetrie der Periode)
bi + 1 = bi <==> h gerade und i = h / 2
(Kriterium für die
ci + 1 = ci <==> h ungerade und i = (h – 1) / 2
Perioden-Mitte)
Hinsichtlich der Größe der nat. Zahlen bi und ci gilt: 0 < bi ≤ w bzw. 0 < ci ≤ 2w.
Die Folge der ci (Nenner der vollständigen Quotienten) weist die gleichen
Symmetrieeigenschaften auf wie die Teilnenner ai.
Für alle i gilt – wie aus den o.a. Rekursionsformeln ersichtlich: bi2 + ci – 1⋅ci = n.
p
Die Näherungsbrüche von α0: i = a 0 ,a 1,...a i (auch Konvergenten genannt) stellen eine
qi
p
unendliche Folge dar, wobei die i mit größer werdendem i α0 zunehmend besser
qi
approximieren. Zu ihrer Berechnung dienen die Rekursionen:
pi = ai ⋅ pi – 1 + pi – 2 mit den Startwerten p – 1 = 1 und p0 = w
qi = ai ⋅ qi – 1 + qi – 2 mit den Startwerten q – 1 = 0 und q0 = 1
Die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche sind teilerfremd und es besteht der
Zusammenhang
pi – 1⋅ qi – pi ⋅ qi – 1 = (– 1) i sowie p i2 − n⋅ q i2 = (− 1) i +1 ⋅c i +1
n
Zwei Beispiele zur Kettenbruchentwicklung von
n = 12, 845 232 578 665 129 ....
n = 165
i
ai
bi
ci
pi
qi
0
12
0
1
12
1
1
1
12
21
13
1
2
5
9
4
77
6
3
2
11
11
167
13
4
5
11
4
912
71
5
1
9
21
1.079
84
6
24
12
1
26.808
2.087
7
1
12
21
27.887
2.171
8
5
9
4
166.243
12.942
9
2
11
11
360.373
28055
10
5
11
4
1.968.108
153.217
11
1
9
21
2.328.481
181.272
12
24
12
1
57.851.652
4.503.745
13
1
12
21
60.180.133
4.685.017
(*) : 1. oder ‘primitive’ Periode
KBE: 12; 1, 5, 2, 5, 1, 24
p7 / q7 = 12,845 232 611 …
p13 / q13 = 12,845 232 578 665 136 ….
2
(*)
n = 173
i
ai
bi
ci
pi
qi
0
1
13
0
1
13
1
6
13
4
79
2
6
1
11
13
92
7
3
1
2
13
171
13
4
6
11
4
1.118
85
5
26
13
1
29.239
2.223
6
6
13
4
176.552
13.423
7
1
11
13
205.791
15.646
8
1
2
13
382.343
29.069
9
6
11
4
2.499.849
190.060
10
26
13
1
65.378.417
4.970.629
11
6
13
4
394.770.351
30.013.834
(*)
(*) : 1. oder ‘primitive’ Periode
173 = 13,152 946 437 965 905 439 .... = 13; 6, 1, 1, 6, 26
p5 / q5 = 13,152 946 468 ...
p11/ q11 = 13,152 946 437 965 905 988 ....
Nachstehend ein Programm-Code, der die o. a. im Zusammenhang mit der KBE stehenden
Größen für die zwei ersten Perioden berechnet:
f = 0: i = 0: w = isqrt(n)
a1 = w: b1 = 0: c1 = 1
p1 = w: q1 = 1: p2 = 1: q2 = 0
Print i, a1, b1, c1, p1, q1
Do while f < 2
bi = a1*c1 – b1
ci = (n–bi^2) div c1
ai = (w+bi) div ci
pi = ai*p1 + p2
qi = ai*q1 + q2: i = i+1
Print i, ai, bi, ci, pi, qi
if ai = 2*w then f = f+1: Print
b1 = bi: c1 = ci: a1 = ai
p2 = p1: p1 = pi
q2 = q1: q1 = qi
Loop
3
1. Darstellung von Primzahlen in der Form a⋅ x2 ± y2 mit Hilfe des Kettenbruch von
n
Nach einem Satz der Zahlentheorie ist eine natürliche Zahl n genau dann als Summe von zwei
Quadraten darstellbar, wenn für jede Primzahl mit p ≡ 3 mod 4 der Exponent in der
kanonischen Primfaktorzerlegung von n gerade ist. Daraus folgt unmittelbar, dass eine
ungerade Primzahl p genau dann als Summe von zwei Quadraten darstellbar ist, wenn
p ≡ 1 mod 4. Bereits Legendre fand heraus, dass man eine solche Darstellung (und für
Primzahlen existiert nur eine) aus der Kettenbruchentwicklung (KBE) von p erhält:
Die Periodenlänge der KBE der Primzahlen p ≡ 1 mod 4 ist ungerade; die Folge der ci enthält
zwei gleiche mittlere Terme und es gilt p = c 2j + b 2j wenn j =
h +1
.
2
Bezüglich der Primzahlen p ≡ 3 mod 4 bewies A. Göpel (siehe Anmerkung unten) in seiner
1835 vorgelegten Dissertationsschrift folgendes:
•
p ≡ 3 mod 8
In der Folge ci der KBE von p kommen drei aufeinanderfolgende Glieder, deren
Indices j – 1, j, j + 1 seien, vor, mit einer der nachstehenden Eigenschaften.
Entweder
a) 2cj = c j −1
==> p = 2⋅ c 2j + b 2j
oder
b) 2cj = c j −1 + c j +1
•
==> p = 2⋅ c 2j + (
b j − b j +1
2
)2
p ≡ 7 mod 8
Es gibt zwei aufeinanderfolgende Glieder für die gilt:
c j − c j −1 2
2bj = c j – 1 + cj
==> p = 2⋅ b 2j − (
)
2
Hinsichtlich der Festlegung von j lässt sich nur sagen, dass in jeder Halbperiode ein
zutreffendes j vorkommt (wenn h > 1).
Beispiele:
p = 59 59 ≡ 3 mod 8
i 0 1 2 3 4 5
6
Fall a) c2 = c1 / 2
7
bi 0 7 3 7 7 3
ci 1 10 5 2 5 10
1
2⋅ c 22 + b 22 = 59
Wegen der Symmetrie der beiden Folgen, tritt zusätzlich immer noch der „komplementäre“
c j +1
Fall auf; hier: cj =
==> p = 2⋅ c 2j + b 2j +1 mit j = 4.
2
p = 19
19 ≡ 3 mod 8
i
0
1
2
3
4
5
6
bi
0
4
2
3
3
2
4
ci
1
3
5
2
5
3
1
4
Fall b) c1 =
2⋅ c12 + (
c0 + c2
2
b1 − b 2 2
) = 19
2
p = 23
23 ≡ 7 mod 8
i
0
1
2
3
4
c0 + c1 = 2⋅ b1
bi
0
4
3
3
4
2⋅ b12 − (
ci
1
7
2
7
1
c1 − c 0 2
) = 23
2
Fazit: Eine ungerade Primzahl p besitzt eine Darstellung der Form ....
p = x2 – y2
alle Primzahlen
(eindeutig, aber trivial)
2
2
p= x +y
falls p ≡ 1 mod 4
(eindeutig)
falls p ≡ 3 mod 8
(eindeutig)
p = 2⋅x2 + y2
2
2
p = 2⋅x – y
falls p ≡ 7 mod 8
(nicht eindeutig; d.h. es gibt für die betr.
Primzahl mehrere Wertepaare (x, y))
In jedem der drei letzteren Fälle lässt sich das bzw. ein Wertepaar (x,y) einer solchen
Darstellung mit Hilfe der obigen Formeln aus der KBE von p ablesen.
Es ist bis heute keine Primzahl bekannt, die sich nicht eindeutig in der Form x2 + d ⋅y2
darstellen lässt, wobei d jeweils eine der 65 von L. Euler zusammengestellten und von ihm
„numeri idonei“ genannten natürlichen Zahlen ist. Wie man sieht, sind von diesen 65 Zahlen
63 (also alle außer 1 und 2) ausschließlich erforderlich, um die Primzahlen der Restklasse 7
(mod 8) in der gewünschten eindeutigen Weise darzustellen.
Anmerkung:
Grundlage der vorstehenden Ausführungen ist eine in Ostwald’s Klassiker der exakten
Wissenschaften, Band 67, Ausgabe von 1895, Verlag W. Engelmann, Leipzig, abgedruckte
Würdigung der mathematischen Arbeiten des Beamten der königlichen Bibliothek zu Berlin,
A. Göpel durch C.G. Jacobi.
5
2. Direkte Bestimmung von Faktoren einer zusammengesetzten Zahl n mit Hilfe der
Kettenbruchentwicklung von n
Beim überwiegenden Teil aller ungeraden, zusammengesetzten Zahlen stößt man beim
Berechnen der KBE von n an einer genau definierten Stelle der Folge ci auf einen
Faktor von n. Die dabei gültigen (hier anhand von Beispielen aufgestellten) Regeln sollen
nun näher beschrieben werden. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden nur Zahlen mit
zwei Primfaktoren behandelt; also n = p⋅q mit p, q prim >2 und q < p. Es erweist sich als
zweckmäßig, die Faktoren der betrachteten Zahlen nach den (primen) Restklassen zum
Modul 8 zu separieren. ( h ist hier immer die primitive Periode.)
• n ≡ 1 mod 4
– Restklassenkombinationen der Teiler: 1⋅1, 5⋅5 und 1⋅5 (je zum Modul 8)
Es gilt: Ist die Periodenlänge h gerade, ist cj = q mit j = h / 2.
(Ist die Periode ungerade, bekommt man – wie bei den Primzahlen – für
j = (h + 1) / 2 eine Darstellung n = c 2j + b 2j ).
– Restklassenkombinationen der Teiler: 3⋅3, 7⋅7 und 3⋅7 (je zum Modul 8)
Für j = h / 2 gilt stets: cj = q. (Die Periodenlänge h ist stets gerade.)
•
n ≡ 3 mod 4
Bei diesen Zahlen ist die Periodenlänge immer gerade.
– Restklassenkombinationen der Teiler: 1⋅3 und 1⋅7 (je zum Modul 8)
Für j = h / 2 ist
cj = 2
(das Doppelte des trivialen Teilers 1) oder
cj = q oder 2q
Im Fall cj = 2 existieren für die betr. Zahlen die gleichen Darstellungen 2⋅x2 ± y2
wie sie unter Ziffer 1. für die betr. Primzahlen angegeben wurden. Außerdem ist
dann aj = bj = w falls w ungerade, bzw. aj = bj = w – 1 falls w gerade.
– Restklassenkombinationen der Teiler: 5⋅7 und 3⋅5 (je zum Modul 8)
Für j = h / 2 gilt stets: cj = q oder 2q.
Als Detail sei noch bemerkt: Im Fall cj = 2q gilt bj = aj⋅q und für cj = q ist bj = aj⋅q / 2.
Fazit: Die obigen experimentellen Befunde für Zahlen n = p⋅q (p, q prim, > 2) lassen sich
(für gerades h) mit j = h / 2 folgendermaßen zusammenfassen:
n ≡ 1 mod 4
Beide Teiler liegen in der Restklasse 1 (mod 4) und h ist gerade ==> cj = q
Beide Teiler liegen in der Restklasse 3 (mod 4) ==> cj = q
n ≡ 3 mod 4
Ein Teiler liegt in der Restklasse 1 (mod 8) ==> cj = q oder 2q oder 2
Ein Teiler liegt in der Restklasse 5 (mod 8) ==> cj = q oder 2q
6
Berechnet man die KBE von n (n = p⋅q ) bis zur Mitte der ersten Periode, so ist – wie
aus den vorstehenden Regeln ersichtlich – der Nenner des mittleren vollständigen
Quotienten immer ein Teiler von n (oder das Doppelte davon), – mit zwei Ausnahmen:
a) Die Periodenlänge h ist ungerade; d.h. es gibt kein mittleres Glied der KBE.
b) Der Nenner cj des mittleren vollständigen Quotienten hat den Wert 2 .
Wie groß ist die rel. Häufigkeit, dass kein Teiler gefunden wird?
Zu a): Voraussetzung für ungerades h ist, dass beide Teiler kongruent 1 (mod 4) sind. Das
trifft für ¼ der hier betrachteten Zahlen zu. Von diesem Viertel findet man bei der Hälfte
p
q
( q ) = ( p ) = –1 und diese Zahlen besitzen ausnahmslos ungerade Periodenlänge. Bei der
p
anderen Hälfte gilt ( q ) = 1 und nur 1/3 dieser Zahlen hat ein ungerades h.
Im Ergebnis ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Zahl n = p⋅q ungerades
h besitzt, gleich 1/6. (Mit zunehmender Teilerzahl nimmt die Wahrscheinlichkeit für
ungerades h natürlich ab, da die Voraussetzungen immer seltener erfüllt sind. Sie beträgt
z.B. für zusammengesetzte Zahlen in der Umgebung von 10 12 rd. 3,5 %.)
Zu b): Es handelt sich um Zahlen n ≡ 3 mod 4 und notwendige Voraussetzung ist, dass
ein Teiler kongruent 1 (mod 8) ist und der andere kongruent 3 (mod 4). Der Anteil solcher
Zahlen ist ¼ in Bezug auf alle Zahlen n = p⋅q. Auch das Weitere verläuft völlig analog
zum Fall a), sodass die Wahrscheinlichkeit für cj = 2 ebenfalls 1/6 beträgt.
Aus der Addition von a) und b) erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 dafür, dass die
KBE einer ungeraden Zahl n = p⋅q gerade Periodenlänge hat und der Nenner des mittleren
vollständigen Quotienten auf einen echten Teiler von n führt.
p
Bis heute ist unbekannt, welche Merkmale der Zahlen, bei denen ( q ) = 1 ist, dafür
ausschlaggebend sind, dass für ein Drittel davon h ungerade (bzw. cj = 2) und für zwei Drittel
gerade ist (bzw. cj = q).
Eine nähere Untersuchung, mit welchen Kriterien sich die Eigenschaft „h ungerade“ bzw.
„cj = 2“ bei Zahlen mit mehr als zwei Primfaktoren voraussagen lässt, ist als Anhang 1
beigefügt.
Anmerkung:
Ein früher Beweis des Satzes „2 | h <==> ci | 2n für i = h / 2“ findet sich in M. A. Stern Zur
Theorie der periodischen Kettenbrüche. Journal für die reine und angewandte Mathematik,
Band 53, 1857.
7
3. Zahlen mit ähnlichen Kettenbruch-Entwicklungen von
n
Die Periodenlänge der KBE nimmt „im Mittel“ mit wachsendem n zu und kann bis zu
0,72 n log n betragen; aber es kommen immer wieder Zahlen vor, deren KBE deutlich
kürzer ist, als die der benachbarten Zahlen. Besonders auffällig sind etwa die Zahlen w2 ± 1
(h = 1 bzw. h = 2) oder w2 + w (h = 2).
In diesem Abschnitt sollen einige Merkmale dargestellt werden unter denen Zahlen mit
gleicher Periodenlänge zusammengefasst werden können. Dabei zeigt sich, dass zur
Beschreibung der Merkmale die Zerlegung von n in n = v2 + s mit –v < s ≤ v zweckmäßiger
ist, als die übliche Zerlegung in w2 + r mit 0 < r ≤ 2w. Für r ≤ w ist das natürlich nur eine
Umbenennung mit v = w (= n ) und s = r; für r > w ist dagegen v = w + 1 und s = n – v².
 
s = sc
s
0≤s≤v
v= n
 
v
–v<s<0
v= n +1
 
Bild: Eindeutige Darstellung einer nat. Zahl als n = v 2 + s (v-s-Ebene)
3.1 Zahlen mit gleicher Periodenlänge der KBE
3.1 a) Zahlen auf einer Geraden parallel zur v-Achse; d.h. s = sc
Bekanntlich ist für sc > 0 die Periodenlänge h = 2, falls v mod sc = 0 oder sc / 2; d. h. sc
und/oder sc / 2 ist ein Faktor von n = v2 + sc.
Für sc < 0 gilt sinngemäß das Gleiche; aber es ist h = 4.
Sowohl für positives als für negatives sc gibt es außer den Restklassen 0 und ggf. sc / 2 weitere
Restklassen mod sc, die die Eigenschaft aufweisen, dass die KBE aller Zahlen
n = v2 + sc, bei denen v ein und derselben Restklasse mod sc angehört, gleiche Periodenlängen
aufweisen. Das gilt allerdings nur, falls |sc| eine Quadratzahl oder das Vielfache einer
Quadratzahl ist (4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, ...). Eine notwendige Voraussetzung ist
dabei immer, dass ggT (v mod sc, sc) > 1.
Nicht die Größe einer Zahl, sondern deren multiplikative Struktur ist in diesen Fällen offenbar
bestimmend für die Periodenlänge.
8
3.1 b) Zahlen auf einer Geraden durch den Nullpunkt
Gegeben sei ein Punkt (v0, s0) der v-s-Ebene mit v0 > 0. Die Gleichung der Geraden durch die
Punkte (0, 0) und (v0, s0) ist dann v0⋅s – s0⋅v = 0. Die positiven Lösungen dieser Gleichung
mit ganzzahligen v und s sind gegeben durch v = v0⋅t und s = s0⋅t (t = 1, 2, 3, ....).
Die Frage, welche der Zahlen n(t) = (v0⋅t)² + s0⋅t eine KBE mit gleicher Periodenlänge h
besitzen, führt zu dem Ergebnis, dass dazu zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:
Erstens: Es muss gelten s0 | t, d.h. t = ± k⋅s0, mit k = 1, 2, 3,..... (Das Minuszeichen gehört zu
s0 < 0.) Es kommen also nur die Zahlen in Betracht, die als n = k⋅s0² (k⋅v0² ± 1) geschrieben
werden können.
Zweitens: Genau die Zahlen der o.a. Form besitzen gleiches h, für die die Restklassen-Paare
(k mod s0, v0 mod s0) gleich sind.
Als Beispiel sind für s0 = ± 5 in der nachstehenden Tabelle die Periodenlängen für alle
möglichen Restklassen-Paare eingetragen; dabei gilt das Minuszeichen jeweils für die zweite
Zeile.
v0 mod s0
k mod s0
0
1
2
3
4
0
2
4
30
32
30
32
30
32
30
32
1
2
4
10*
32*
26*
16*
22*
12*
14*
28*
2
2
4
8
16
14
12
18
8
12
20
3
2
4
14
12
8
20
8
16
18
12
4
2
4
26
16
10
28
10
28
26
16
Tabelle 1: Periodenlänge bei Zahlen der Form n = k⋅s0² (k⋅v0² ± 1); s0 = ± 5; k, v0 > 0;
|s0| ≤ v0 wobei s0 = v0 nur im Fall ‘ + 1’ zulässig ist
Die mit ’ * ’ markierten Periodenlängen reduzieren sich auf die Hälfte, wenn k = 1 ist.
Beispiel: v0 = 17, Vorzeichen von 1 sei + . Dann ist für alle k ∈ {4, 9, 14, ...}
k mod 5 = 4 und somit wegen v0 mod 5 = 2 für alle diese k-Werte h = 10.
Fazit: Auf der durch die Punkte (0, 0) und (v0, s0) bestimmten Geraden liegen unendlich viele
Punkte (vk, sk), mit der Eigenschaft dass die KBE der Zahlen nk = vk² + sk mit vk = (k⋅s0⋅v0) 2
und sk = ± k⋅s02 gleiche Periodenlänge h besitzen, für die die Paare (k mod s0, vo mod s0)
gleich sind. Der h-Wert ist allerdings für ein beliebiges Restpaar experimentell zu bestimmen.
9
3.2 Zahlen mit gleicher symmetrischer Periode der KBE/
Grafische Interpretation der KBE
Erläuterung:
Der im folgenden mehrfach verwendete Begriff „symmetrische Periode“ (hier abgekürzt mit
‚Sym.P.’) bezeichnet in sinnfälliger Weise den Teil einer Periode der KBE von n , der übrig
bleibt, wenn man den ersten (a0 = w) und den letzten Teilnenner (ah = 2w) weglässt. Für die
Glieder der Sym.P. (Schreibweise : (a1, a2, .... ...ah – 2, ah –1)) gilt unabhängig davon, ob es sich
um die primitive Periode (h = hp) oder ein Vielfaches davon (h = k⋅hp) handelt, ai = ah–i .
-------------------------Gegeben sei eine nat. Zahl no in der (eindeutigen) Darstellung no = vo2 + so mit – vo < so ≤ vo.
In der v-s-Ebene kann man von einem beliebigen Punkt (vo, so) zwei Tangenten an die „NullParabel“ n = v² +s = 0 (also s = – v2 ) legen.
Es sei im weiteren stets ggT(vo, so) = 1 und zunächst so > 0 und h = hp. Der Berührungspunkt
(vT, sT) der Tangente im dritten Quadranten hat dann die Koordinaten vT = – ( n o – n o ) =


– ( n o – vo) > –1 und sT = – ( n o – vo)2. Die Steigung der Tangente ist mT = 2( n o – vo).
n o – vo ist aber gerade der wesentliche Term, der durch die KBE von n o approximiert
wird, so dass die Frage nahe liegt, wie diese Approximation durch rationale Zahlen, die
Schnittpunkte einer durch no führenden Gerade mit der Parabel sind, sich in dieser
geometrischen Darstellung vollzieht.
Es sei a⋅so + b⋅vo = c die allgemeine Gradengleichung durch no. Im Sinne der obigen
Fragestellung muss diese Gleichung, d.h. die Koeffizienten a, b und c, folgende Forderungen
erfüllen:
1. Die Ordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden durch (vo, so) mit der Parabel s = – v²
sind v S1, 2 =
b ± b 2 − 4a c
2a
; damit das rat. Zahlen sind, muss die Diskriminante d = b² – 4⋅a⋅c eine
Quadratzahl sein. Die beiden Schnittpunkte müssen den Punkt (vT, sT) einschließen, und zwar
um so enger je mehr Perioden der KBE einbezogen werden.
2. Die Koeffizienten der Gradengleichung müssen sich unmittelbar aus der KBE von n o
gewinnen lassen.
Es zeigt sich, dass die beiden Forderungen durch den Bruch erfüllt werden, den die Sym.P.
darstellt. Schreibt man diesen Bruch als b′/a′, so gilt |b/a| = 2⋅b′/a′.
Um Zähler und Nenner des Bruches zu bestimmen, ist es nicht erforderlich, diese „rückwärts“
aus der Sym.P. zu errechnen, sondern Zähler und Nenner können direkt aus der Folge qi
(Nenner der Näherungsbrüche) abgelesen werden und zwar ist …..
– 2⋅q h – 2 falls so > 0
….falls q h – 1 ≡ 1(2) :
a = qh–1
b=
2⋅q h – 3 falls so < 0
….falls q h – 1 ≡ 0(2) :
– q h – 2 falls so > 0
a = qh–1/ 2
b=
q h – 3 falls so < 0
Aus dem vorstehenden folgt unmittelbar, dass alle Zahlen mit gleicher Sym.P. auf ein und
derselben Grade liegen. Hat man sich – wie geschildert – die Koeffizienten a, b und c (a und b
sind stets teilerfremd) verschafft, erhält man alle Lösungen der diophantischen Gleichung
10
a⋅so + b⋅vo = c bekanntlich zu st = so – t⋅b und vt = vo + t⋅a. Alle nt = vt² + st liegen also auf der
gleichen „Näherungsgraden“, wobei einschränkend t ≥ 0 gilt, da sonst vt negativ wird, was
keinen Sinn macht. Nimmt man für t < 0 anstelle des negativen Wertes von vt den Betrag |vt|,
so bedeutet dies, dass die Näherungsgrade an der zur v-Achse parallelen Grade s = c / a
gespiegelt wird, mit der Folge, dass das Vorzeichen von b sich ändert. Die ganzzahligen
Lösungen liegen dann im IV. Quadranten. a und b können nach der oben angegebenen Regel
(s < 0) auch hier aus der Folge der qi bestimmt werden.
Nachstehend ein Zahlenbeispiel und eine Grafik zu dem bisherigen.
no = 19 = 4² + 3 Die KBE bis zum Ende der primitiven Periode sieht wie folgt aus:
i
ai
bi
ci
pi
qi
0
1
2
3
4
5
6
4
2
1
3
1
2
8
0
4
2
3
3
2
4
1
3
5
2
5
3
1
4
9
13
48
61
170
1421
1
2
3
11
14
39
326
Die Sym.P. lautet (2, 1, 3, 1, 2) und das ist die KBE von 14/39. Es ist so > 0 und q h – 1
ungerade. Gemäß den o.a. Regeln ist damit a = 39 und b = – 2⋅14 = – 28. Einsetzen ergibt
c = 5 und d = 28² – 4⋅39⋅5 = 4. Die Gleichung der Näherungsgraden lautet 39⋅st – 28⋅vt = 5,
mit st = 3 + 28⋅t und vt = 4 + 39⋅t ==> n1 = 1880 = 43² + 31 mit der KBE:
i
ai
bi
ci
0
1
2
3
4
5
6
43
2
1
3
1
2
86
0
43
19
30
30
19
43
1
31
49
20
49
31
1
pi
qi
1
2
3
11
14
39
3368
Für t = –1 erhält man s – 1 = – 25 und |v – 1| = | –35| ==> n – 1 = 1200 mit der KBE:
i
ai
bi
ci
0
1
2
3
4
5
6
7
8
34
1
1
1
3
1
1
1
68
0
34
10
15
24
24
15
10
34
1
44
25
39
16
39
25
44
1
pi
qi
1
1
2
3
11
14
25
39
2677
11
Wenn man umgekehrt von no = 1200 ausgeht, erhält man zunächst die Näherungsgrade im
IV. Quadranten und für t = –1 die „gespiegelte“ Grade mit n – 1 = 19.
(Die hier gewählte Indizierung, bei der die kleinste Zahl auf der betreffenden Graden (sog.
„Basis-Zahl“) den Index ’o’ trägt, ist zwar sinnfällig aber willkürlich; wesentlich ist nur der
Vorzeichenwechsel von s.)
Im Beispiel weist die Sym.P. für s < 0 zwei Teilnenner mehr auf als für s > 0. Das ist kein
Zufall, sondern es gilt regelmäßig: Der im Fall s > 0 auftretende Teilnenner a1 wird für s < 0
in zwei Teilnenner auf gespalten und es ist: a1(s < 0) = 1 und a1(s > 0) = 1 + a2(s < 0). Da die
Sym.P. –wie der Name sagt – symmetrisch aufgebaut ist, tritt das gleiche beim Teilnenner
ah – 1 auf. Die Summe der Teilnenner bleibt somit in beiden Fällen gleich. (Ausnahmen von
der vorstehenden Regel treten auf, wenn auf der Näherungsgraden Punkte liegen, für die
vt = st oder |st| < 3 ist.)
Die Ursache der ’verlängerten’ Sym.P. ist darin zu sehen, dass im Fall s < 0 durch die beiden
Schnittpunkte nicht n o – n o approximiert wird, sondern (wegen vo = n o + 1)






1 – ( n o – n o ) , also das Komplement zu 1.
Die eingangs aus Gründen der Übersichtlichkeit gemachte Beschränkung auf Zahlen mit s > 0
kann damit für das weitere entfallen.
Bild 1 zeigt (qualitativ) die Lage der Tangenten und Näherungsgraden in Bezug auf die
Parabel s = – v².
5
s
4
no
3
Tangente
Näherungsgerade
2
1
Spiegelungsachse s = c / a
v
0
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
n–1
-3
-4
-5
12
4
5
Bild 2 veranschaulicht die maßgeblichen Größen im III. Quartanten nochmals detaillierter.
1
s
Berührungspunkt der Tangente
vT = – ( n o – vo)
(*)
0,5
v
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-0,5
-1
Durchmesser v = b / 2a
-1,5
Ordinaten der
Schnittpunkte
v
S
=
b
2 ⋅a
±
d
2 ⋅a
Geradengleichung
a⋅so + b⋅vo = c
-2
-2,5
Parabel s = – v²
-3
(*): Schnittpunkt von Tangente und
Gerade: no = vo² + so
-3,5
-4
13
0,5
Im folgenden werden einige Punkte, die mit dieser – mittels der KBE konstruierten –
Näherungsgraden im Zusammenhang stehen, behandelt:
•
Für das o.a. Beispiel no = 19 ergab sich d = 4. Es ist bemerkenswert, dass d nur drei
Werte annehmen kann (zumindest wurden vorliegend keine anderen gefunden):
d ∈ {1, 4, – 4}; also die zwei betragsmäßig kleinsten Quadrate. Im Fall d = – 4
schneidet die Näherungsgrade die Parabel also nicht (Passante). Das kommt genau
dann vor, wenn die Periodenlänge ungerade ist.
•
Wird aus den beiden Gleichungen a⋅st + b⋅vt =c und b² – 4ac = d
a, b oder c
eliminiert, ergeben sich jeweils quadratische Gleichungen, deren Wurzelterme
Quadrate sein müssen. D.h. das Tripel 4⋅nt⋅a² + d und nt⋅b² – d⋅st und 4⋅nt⋅c² + d⋅st²
besteht aus Quadratzahlen und für jede Näherungsgrade existieren unendlich viele
dieser Quadrate-Tripel.
•
Der zur Näherungsgrade (Sehne) gehörende Durchmesser der Parabel schneidet (falls
d > 0) die Parabel im Punkt mit der Ordinate b/2a. Da die Tangente eine geringere
Steigung besitzt als die Näherungsgrade, ist die Ordinate des Berührungspunktes der
Tangente immer größer als b/2a (siehe Bild 2) und für d > 0 gilt die Ungleichung
b/2⋅a < – ( n o – vo) < b/2⋅a + d /2⋅a
Zumindest für d = 1 ist daraus sofort ersichtlich, dass eine bessere Näherung ohne
Vergrößerung des Nenners nicht möglich ist.
Wenn d < 0 ist, ist wegen der fehlenden Schnittpunkte eine geometrische Ableitung
der Näherung nicht möglich; hier findet man
b/2⋅a – 2 /2⋅a < – ( n o – vo) < b/2⋅a
(d < 0)
Im wesentlichen kehren sich also die Ungleichheitszeichen um.
•
Bekanntlich ist der Schnittpunkt von Durchmesser und Parabel zugleich der
Berührungspunkt der zur Sehne (hier: Näherungsgrade) parallelen Tangente. Je größer
eine auf der Näherungsgraden liegende Zahl n ist, desto mehr nähert sich
augenscheinlich die Tangente, die über den Punkt n zur Parabel verläuft, der zur
Näherungsgraden parallelen Tangente an. Daraus folgt, dass n o – vo mit
zunehmendem no gegen b/2a konvergiert.
•
Eine naheliegende Frage ist, ob übereinstimmende Sym.P.’n sich in etwaigen
sonstigen Ähnlichkeiten beim inneren Aufbau der betr. Zahlen ausdrücken. Diese
Frage kann man bejahen, denn:
Seien no und n1 zwei benachbarte Zahlen auf der Näherungsgraden (d.h. gleiche
Sym.P.) und sei für diese Grade d > 0. Für das Produkt n = no⋅n1 existiert dann stets
eine Zerlegung in
n = n ⋅ ( n + d ).
Das bedeutet, dass no und n1 Teilerpaare besitzen, deren Teilerverhältnisse
nahezu identisch sind. Der ggT( n , no) ist also ein Teiler von no; und zwar ist der
so gefundene Teiler gleich c h/2 oder c h/2 / 2 bzw. der dazu komplementäre Teiler.
     
 
14
Auch wenn die Zahlen keine „Nachbar-Zahlen“ sind, sondern es sich um den x-ten
Nachbarn handelt, lässt sich leicht eine allgemeine Formel zur Produktdarstellung von
n angeben.
(Allgemeinere Ausführungen zur Teilersuche mittels Lösung einer geeigneten
quadratischen Gleichung sind im Anhang 2 gegeben, da man kaum Darstellungen zu
diesem Thema findet.)
Ist die Periodenlänge von no ungerade (d = – 4), gilt für i = (h + 1)/2 bekanntlich
no = ci² + bi². Hier ist die verbindende Eigenschaft der Zahlen mit gleicher Sym.P.,
dass das Verhältnis ci zu bi für benachbarte Zahlen nahezu gleich ist.
Wie eingangs angemerkt, galt für die bisherigen Ausführungen h = hp bzw. k =1 in der
Schreibweise h = k⋅hp. Nun soll dargelegt werden, welche Änderungen/Erweiterungen sich
kür k > 1 ergeben. Um Verwechslungen mit den ai, bi und ci der KBE zu vermeiden, werden
im folgenden die Koeffizienten der Näherungsgeraden mit vorangestellten Indizes zur
Kennzeichnung der betr. Periode versehen; also ka⋅s + kb⋅v = kc und desgleichen kd .
•
Zunächst kann festgestellt werden, dass die oben für k = 1 gemachten Aussagen auch
für k > 1 zutreffen. Falls 1d positiv ist, dreht sich die Näherungsgerade durch no je
Periode (in immer kleineren Schritten) auf die betr. Tangente zu und die
Schnittpunkte schließen den Berührungspunkt immer enger ein (,wie das bei einer
immer weiter fortgesetzten KBE sein muss).
Anzumerken ist noch, dass die Sym.P. nur für no (also den Drehpunkt der Graden) ein
Vielfaches der primitiven Periode ist; bei allen anderen nt auf der entsprechenden
Grade ist die Sym.P. jedoch primitive Periode.
•
Bemerkenswert ist die Abhängigkeit der Diskriminante d von k; und zwar:
k ungerade ==> kd = 1d
k gerade ==> kd = 1
Für k = 2, 4, 6, ... schneidet die Näherungsgerade die Parabel also auch wenn hp
ungerade ist. (Lösbarkeit der Pellschen Gleichung)
Ist 1d negativ, oszillieren die Näherungsgraden demzufolge in Abhängigkeit von k mit
immer kleineren Amplituden um die Tangente.
•
Erwähnt sei noch ein eher unwesentlicher Punkt, der aber beispielhaft verdeutlicht,
welche eigenartigen Abhängigkeiten immer wieder auftreten.
Die o.a. Zerlegung n = no⋅n1 = n ⋅ ( n + d ) ist für alle k und d > 0 gültig.
Welcher Teiler von no im ersten oder zweiten Faktor dieser Zerlegung enthalten ist,
legt erstaunlicherweise die Restklasse (mod 4) der Periodenlänge fest:
h ≡ 2(4) ==> ggT( n , no)
= c h/2 oder c h/2 / 2
     
 
h ≡ 0(4) ==> ggT(  n  +  d  , no) = c h/2 oder c h/2 / 2.
•
Nach einem bekannten Satz lassen sich – wenn ph – 1 und qh – 1 gegeben sind – mittels
(ph – 1 + qh – 1⋅ n )k für alle k die Werte von pk⋅h – 1 und qk⋅h – 1 berechnen.
In Analogie dazu können – falls 1a und 1d vorliegen – alle ka mit den folgenden
Formeln berechnet werden.
2a
erhält man sehr einfach aus
a 4 ⋅1 a ⋅ v 0 + 2 ⋅ 1 b
=
| 1d |
1a
2
15
Für 1d = 1 und k > 2 lautet die Rechenvorschrift:
m
k a = 1a
∑
(−1) e
e=0
 k − e − 1 

 ⋅ 
 e
 
a

1a 
2
k − 2 e −1
wobei
  mit ’m’ abgekürzt wurde.
k −1
2
Im allgemeinen Fall (beliebiges 1d) wird die Formel noch etwas unschöner:
m
k a = 1a
∑
 k − e − 1 
 ⋅ 
 e
 
(− sgn(1 d)) e ⋅ |1 d | m − e ⋅ 
e=0
a

1a 
2
k − 2 e −1
Mit den unter dem 2. • aufgeführten Regeln sind die kd für alle k bekannt, wenn 1d vorliegt.
Damit errechnen sich die für die k-te Näherungsgrade noch erforderlichen Größen kb und kc
wie folgt, (wobei zunächst c mittels der Gradengleichung aus der Diskriminanten eliminiert
wurde):
4⋅ k a 2 ⋅n 0 + k d
kb
= 2⋅ka – x mit x =
kc
= ka⋅(2⋅vo2 + so) – vo⋅x (oder einfach: kc = ka⋅so + kb⋅vo).
(siehe obige Bem. zu den Quadrate-Tripeln)
Nachfolgend ist ein auf der aus dem Netz frei herunterladbaren Plattform „aribas“ (mit
Langzahl-Arithmetik und besonderer Ausrichtung auf Zahlentheorie) lauffähiges Programm
wiedergegeben, das für die ersten 4 Perioden der KBE einer vorzugebenden Zahl die Werte
von a, b, c und d sowohl per KBE als auch mittels der vorstehend angegebenen Formeln
berechnet.
Die in das Programm (,das man einfach per „Copy – Edit/Paste“ unter der
Eingabeaufforderung von „aribas“ einfügen kann) einzugebende Zahl sollte nicht zu groß
gewählt werden, da die Ergebnisse sonst ’etwas unübersichtlich’ ausfallen können.
Hinweis:
Zahlen n = v² ± {0,1,2} sowie mit ggT(v,s) > 1 lehnt der Code ab (siehe oben).
function kb (n: integer)
# Berechnet (mittels KBE und per Formel) a, b und c über mehrere Perioden
# Eingabe: " kb(nat.Zahl)." Starten mit Eingabetaste
var
w, v, s, i, a, b, c, d, k, k0, k1, k2, kk, ss, ii: integer;
a1, ai, b1, bi, c2, c1, ci, cj: integer;
p2, p1, ppi, q3, q2, q1, qi, bin, se0, se, aa, bb, cc, dd, ww: integer;
a0, b0, d0, e, e0, e1, e2, e3, e4, e5, g, g0, g1, g2, g3, g4, g5, f, f0, f3, f4, f5: integer;
t, t0, t1, t2, zs1, zs2, zw, m, m0, m1, m2, zt1, zt2, zv1, zv2: real;
begin
w:= isqrt(n);
if n-w**2 <=w then v:=w; s:=n-w**2; else v:=w+1; s:= n-v**2; end;
cj:=1; ss:=0;
if gcd(v,s)>1 then writeln("ggT(v,s) > 1"); continue; end;
if abs(s) < 3 then writeln(“Betrag von s < 3”); continue; end;
# Berechnung der KBE
p2:=1; p1:=w; q2:=0; q1:=1;
b1:=0; c1:=1; a1:=w;
#writeln("0 ",a1," ",b1," ",c1," ",p1," ",q1);
16
for i:=1 to 10*n do
#
bi:=a1*c1-b1; ci:=(n-bi**2) div c1; ai:=(w+bi) div ci;
if bi=b1 then cj:=c1; end;
ppi:=ai*p1+p2; qi:=ai*q1+q2;
# writeln(i," ",ai," ",bi," ",ci," ",ppi," ", qi); # Bei Entfernung von “#” wird die KBE angezeigt
# Berechnung von a, b, c und d für die Perioden 2, 3 und 4 aus der KBE
if ai=2*w then
#o
if q1 mod 2=1 then
a:=q1; if s<0 then b:=2*q3 else b:=-2*q2; end;
else
a:=q1 div 2; if s<0 then b:=q3 else b:=-q2; end;
end;
c:=a*s+b*v; d:=b**2-4*a*c;
writeln(ss+1," D: ",d,"
H: ",i);
writeln("
a: ",a);
writeln("
b: ",b);
writeln("
c: ",c);
if ss=0 then a0:=a; b0:=b; d0:=d; f0:=(4*v*a-2*b) div abs(d); end;
ss:=ss+1;
end;
#o
if ai=2*w and ss=4 then break; end;
b1:=bi; c2:=c1; c1:=ci;
q3:=q2; a1:=ai;
p2:=p1; p1:=ppi; q2:=q1; q1:=qi;
end;
#
writeln();writeln();writeln(" v: ",v," s: ",s," N = ",n);
# Berechnung von a, b, c und d für die Perioden 2, 3 und 4 mittels Formeln
aa:=a0;
for ss:=0 to 3 do
#oooo
if ss>0 then
#oo
g0:=ss;g:=g0 div 2; e3:=(d0 div (abs(d0)))*(-1); f:=0;
for e:=0 to g do
se0:=1; se:=1; e0:=g0-e;
for ii:=1 to e do; se0:=se0*(e0-ii+1); se:=se*ii; end;
bin:=se0 div se;
f:=f+e3**e*(abs(d0))**(g-e)*bin*f0**(g0-2*e);
end;
aa:=f*a0;
end;
#oo
if ss mod 2=1 then dd:=1 else dd:=d0; end;
ww:=isqrt(4*aa**2*n+dd);
bb:=2*aa*v-ww;
cc:=aa*(2*v**2+s)-v*ww;
cc:=aa*s+bb*v;
writeln(ss+1," D: ",dd);
writeln("
aa: ",aa);
writeln("
bb: ",bb);
writeln("
cc: ",cc);
end;
#oooo
writeln();
end.
17
Anhang 1
Kriterien, die es in bestimmten Fällen gestatten, vorherzusagen, ob die Periodenlänge
der KBE ungerade ist, bzw. ob der Nenner des mittl. vollst. Quotienten den Wert 2 hat.
Bis heute ist kein Verfahren bekannt, das „von vornherein“ (also ohne die KBE zumindest
teilweise auszuführen) und in jedem Fall die Feststellung ermöglicht, ob die KBE von n auf
c h / 2 = 2 bzw. auf eine ungerade Periodenlänge h führt. Dass diese Zahlen eine gewisse
Sonderstellung einnehmen, zeigt sich schon daran, dass alle Primzahlen zu einem dieser
beiden Fälle gehören.
Für Zahlen, die das Produkt zweier ungerader Primzahlen sind, wurden diese Fragen schon
sehr früh intensiv untersucht; siehe z.B. den in Crelle’s Journal f. d. M., Bd. XXXI Heft 4 in
1846 veröffentlichten Artikel von F. Arndt. Die nachstehende Zusammenstellung, die sich
ausschließlich auf ungerade, quadratfreie Zahlen bezieht, erweitert diese Ergebnisse um die
experimentellen Befunde bezüglich der Zahlen mit drei und vier Primfaktoren.
Die Periodenlänge h bezeichnet nachstehend immer die Länge der primitiven Periode (oder
– ohne Auswirkung auf die Ergebnisse – ein ungeradzahliges Vielfaches davon; bei
geradzahligen Vielfachen ist die Periodenlänge stets gerade und c h / 2 = 1)
I. Zahlen, die auf c h / 2 = 2 führen
Notwendige Voraussetzung ist n ≡ 3(4).
Weitergehende Aussagen lassen sich auf Basis der Primfaktorzerlegung von n machen:
Notwendige Voraussetzung für c h / 2 = 2 ist, dass die Primfaktorzerlegung von n eine
ungerade Anzahl von Primfaktoren enthält, die entweder alle kongruent 3(8) oder alle
kongruent 7(8) sind und gegebenenfalls vorhandene weitere Primfaktoren alle kongruent 1(8)
sind.
• n=p
p: Primzahl c h / 2 = 2, falls p ≡ 3(4).
(Da einerseits ci < 2⋅ n , andererseits c h / 2 | 2⋅n, kann c h / 2 nur den Wert 2
annehmen, falls n Primzahl ist.)
• n = p1⋅p2
p
Falls ( p1 ) = − 1 c h / 2 = 2
2
p
Ist dagegen ( p1 ) = 1 , verteilen sich die Werte von c h / 2 zu je etwa ⅓ auf die drei
2
möglichen Werte c h / 2 = 2 oder, (mit p1 < p2), 2·p1 oder p1.
Bemerkenswert ist der offensichtliche Zusammenhang zwischen den Restklassen der
beiden Primfaktoren, dem Wert von c h / 2 sowie den Restklassen mod 4 der
Periodenlänge. Die nachstehende Tabelle verdeutlicht das (wobei wiederum p1 < p2
angenommen ist).
p
p
Anm.: Gemäß Reziprozitätsgesetz ist bei diesen Zahlen ( p1 ) = ( p2 ) .
2
1
1
p
( p1 ) = − 1
h ≡ 2(4)
2
ch / 2 : 2
h ≡ 0(4)
p1(8)
p2(8)
p1
2·p1
2
p1
2·p1
1
3
3
1
1/1
1/1
0
0
0
0
0
0
1
7
7
1
0
0
0
0
1/1
1/1
0
0
7
1
1
7
0
0
⅓
0
⅓
0
⅓
⅓
⅓
⅓
3
1
1
3
⅓
⅓
⅓
0
0
⅓
0
0
0
⅓
⅓
0
p
( p1 ) = 1
2
0
• n = p1·p2·p3
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. Alle drei Primfaktoren gehören entweder zur Restklasse 3(8) oder alle zu 7(8)
Ist ( p
p1
)
2 ⋅p 3
p
p
1 3
1
+ ( p ⋅2p ) + ( p ⋅3p ) < 0 c h / 2 = 2
2
2. Nur ein Primfaktor fällt in die Restklasse 3(8) bzw. 7(8) und 2 sind ≡ 1(8)
p
p
p
Ist ( p1 ) + ( p1 ) + ( p2 ) < 0 c h / 2 = 2
2
3
3
• n = p1·p2·p3·p4
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. Drei Primfaktoren gehören zur Restklasse 3(8) bzw. 7(8); also ist einer ≡ 1(8)
O.B.d.A. sei p4 ≡ 1(8). Mit den Abkürzungen
sa = ( p
p1
)
2 ⋅p 3
p
p
1 3
1
p
p
p
+ ( p ⋅2p ) + ( p ⋅3p ) und sb = ( n / 1p ) + ( n / 2p ) + ( n / 3p )
2
1
erhält man folgende Kriterien:
Falls sa = –3 und sb > – 3
oder sa = 1 und sb = – 3
c h / 2 = 2.
2
2
3
2. Nur ein Primfaktor fällt in die Restklasse 3(8) bzw. 7(8); also drei sind ≡ 1(8)
p
p
p
p
Mit den Abkürzungen sa = ( n / 1p ) + ( n / 2p ) + ( n / 3p ) + ( n / 4p ) und
1
p
( p1 )
2
sb =
+
p
( p1 )
3
p
( p1 )
4
+
+
Falls sa = 0 und sb = 0
oder sa = 0 und sb = –2
oder sa = – 4 und sb = 0
p
( p2 )
3
2
+
p
( p2 )
4
+
3
p
( p3 )
4
4
gilt:
ch / 2 = 2
II. Zahlen, deren KBE eine ungerade Periodenlänge h aufweist
Notwendige Voraussetzung ist n ≡ 1(4).
Weitergehende Aussagen lassen sich auf Basis der Primfaktorzerlegung von n machen:
Notwendige Voraussetzung für ungerades h ist, dass die Primfaktorzerlegung von n
ausschließlich Primfaktoren kongruent 1(4) aufweist.
• n=p
p: Primzahl h ≡ 1(2), falls p ≡ 1(4).
• n = p1⋅p2
p
Falls ( p1 ) = − 1 h ≡ 1(2).
2
• n = p1⋅p2⋅p3
p
p
p
Ist ( p1 ) + ( p1 ) + ( p2 ) < 0 h ≡ 1(2).
2
3
3
• n = p1·p2·p3·p4
p
p
p
p
Mit den Abkürzungen sa = ( n / 1p ) + ( n / 2p ) + ( n / 3p ) + ( n / 4p ) und
1
sb =
p
( p1 )
2
+
p
( p1 )
3
+
p
( p1 )
4
Falls sa < 2 und sb = 0
oder sa = 0 und sb = – 2
+
p
( p2 )
3
2
+
p
( p2 )
4
+
3
p
( p3 )
4
4
gilt:
h ≡ 1(2).
Fazit: Ist die Primfaktorzerlegung von n bekannt, können mittels Summen von geeigneten
Jacobi-Symbolen Kriterien aufgestellt werden, die in vielen Fällen (wohl die Mehrzahl wie
die nachstehende Tabelle nahelegt) die definitive Vorhersage gestatten, ob ch/2 = 2 bzw. h
ungerade ist. Es verbleibt allerdings ein erheblicher „Rest“ für den auf diese Weise keine
Vorhersage möglich erscheint.
3
III. Zählergebnisse
Die beiden nachfolgenden Tabellen geben, an wie viele ungerade, quadratfreie Zahlen im
Bereich < 108 (bzw. <109 für Zahlen mit 4 Primfaktoren) mit zwei, drei oder vier
Primfaktoren die Restklassen-Bedingungen erfüllen, ein c h / 2 = 2 bzw. eine ungerade
Periodenlänge aufweisen und wie viele davon wiederum sich mit den o.a. Kriterien
bestimmen lassen.
a)
ch / 2 = 2
PF mod 8
RestklassenBed. erfüllt
3,1; 7,1
3.129.006
2.088.808 (66,7%)
1.569.975 (75,1%)
512.891
620.656
256.885 (50,1%)
429.519 (69,2%)
129.405 (50,4%)
350.716 (81,6%)
1.593.301
893.318 (56,1%)
569.778 (63,8%)
438.960
282.569 (64,4%)
214.749 (76,0%)
3,3,3; 7,7,7
3,1,1; 7,1,1
3,3,3,1
7,7,7,1
3,1,1,1
7,1,1,1
b)
Anzahl
ch / 2 = 2
mit den o.a. Krit.
vorhersagbar
h ≡ 1(2)
PF mod 4
RestklassenBed. erfüllt
Anzahl
h ≡ 1(2)
mit den o.a. Krit.
vorhersagbar
1,1
3.068.055
2.045.605 (66,7%)
1.537.743 (75,1%)
1,1,1
1.068.885
718.056 (67,2%)
576.676 (80,3%)
1,1,1,1
1.806.588
1.143.017 (63,3%)
860.575 (75,3%)
Schließlich seien noch die allgemeinen Restklassen-Bedingungen wiedergegeben, die ohne
die obigen Beschränkungen auf ungerade und quadratfreie Zahlen gültig sind:
a) Notwendige Voraussetzungen für c h / 2 = 2
n ≡ 2(4) oder n ≡ 3(4); n enthält keinen Primfaktor kongruent 5(8); Primfaktoren
kongruent 3(8) und 7(8) kommen nicht beide zugleich in n vor.
b) Notwendige Voraussetzungen für h ≡ 1(2)
n ≡ 2(4) oder n ≡ 1(4), kein Quadrat; alle ungeraden Primfaktoren von n sind kongruent
1(4).
4
Anhang 2
Teilersuche und quadratische Gleichung
In der v-s-Ebene liegen alle Darstellungen einer vorgegebenen Zahl n0 = v0² + s0 für beliebige
v0 auf einer nach unten geöffneten, zur s-Achse symmetrischen Parabel mit dem
Scheitelpunkt sa = n0. Die Darstellungen der Null liegen auf 0 = v² + s, also s = – v 2; die
negativen Zahlen innerhalb dieser „Null-Parabel“.
Wegen (– x)² = x² wird o.B.d.A. für das weitere angenommen, dass v ≥ 0 und somit der
Punkt P0 = (v0, s0) für alle n0 = v0² + s0 im 1. oder 4. Quadranten liegt.
Eine Gerade s0⋅a – v0⋅b = c durch P0 schneidet die Null-Parabel genau dann, wenn sie
zwischen den durch P0 an die Null-Parabel führenden Tangenten verläuft. Die Gleichungen
dieser beiden Tangenten lauten: s = ± 2⋅ ( n 0 m v 0 ) + ( n 0 m v 0 ) 2 (Die jeweils oberen
bzw. unteren Vorzeichen gehören zusammen.). Die Ordinaten der beiden Berührungspunkte
sind v T 1, 2 = ± ( n 0 ± v 0 ) . Die Ordinaten der beiden Schnittpunkte von Gerade und NullParabel erhält man als Lösungen der quadratischen Gleichung v² − ba ⋅v + ac = 0 zu
v S 1, 2 =
− b ± d o1, 2
mit d =
=:
2⋅a
u
b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c (= D ).
Für rationale Schnittpunkte/Lösungen muss die Diskriminante b² – 4ac also eine positive
Quadratzahl sein.
Gibt man den Schnittpunkt PS = ( uo , − uo ²² ) vor ( D ist dann natürlich immer eine Quadratzahl),
ergeben sich die folgenden Ausdrücke für a, b und c:
a o v 0 ⋅u 2 − o⋅u
a= =
au
u2
b o s 0 ⋅u 2 + o 2
b=
=
bu
u²
v 0 ⋅o 2 − s 0 ⋅o⋅u
c=–
u²
Wegen au = bu = cu kürzt sich der Nenner bei der Darstellung der Geraden s = ba ⋅v + ac heraus
und er kann auch bei der Suche nach den Lösungen der diophantischen Gleichung
s0⋅a – v0⋅b = c unberücksichtigt bleiben.
Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen dem geometrischen Problem „Gerade durch P0
schneidet Null-Parabel so, dass die Schnittpunkte rational sind“ und den Teilern einer nat.
Zahl n0 ?
Der Zusammenhang ist dadurch gegeben, dass für eine beliebige Wahl von v0 und o/u der
ggT(ao, bo) immer gleich einem Teiler von n0 = v0² + s0 ist (ggT(o, u) = 1 vorausgesetzt).
Das sieht man unmittelbar, wenn man bo als bo = n0⋅u² – (v0²⋅u² – o²) schreibt.
In den weitaus meisten Fällen liefert der ggT(ao, bo) den trivialen Teiler 1, aber:
Bei beliebiger Vorgabe
– von v0 und u existiert immer ein o, bzw.
– von o und u existiert immer ein v0
so dass der ggT(ao, n0) > 1 und – von Ausnahmefällen abgesehen(s.u.) – ein echter Teiler von
n0 ist, falls es einen solchen gibt.
Zur gezielten Teilersuche ist diese Erkenntnis zunächst allerdings wenig nützlich. Allenfalls
kann v0 = 0 gesetzt werden und der ggT (o, n0) nicht für jedes o, sondern nur für das Produkt
o’ aus möglichst vielen Primzahlen berechnet werden.
1
Wie vorstehend gesagt, lassen ao und bo sich – falls ein nicht triviales Teilerpaar (t, n0 / t)
existiert – in ao = t ⋅a und bo = t ⋅b zerlegen und t teilt auch co. D.h., die Gerade besitzt
ganzzahlige Lösungen (si, vi) mit si = s0 + i⋅b und vi = v0 + i⋅a. Daher besteht eine
Möglichkeit, Teiler von n0 zu finden, indem a und b – die stets kleiner als ao bzw. bo sind –
direkt bestimmt werden, wobei nun darauf zu achten ist, dass die Diskriminante b² – 4⋅a⋅c eine
positive Quadratzahl sein muss. Wegen c = s0⋅a – v0⋅b und s0 = n0 – v0² kann c ersetzt werden,
so dass die Diskriminante b² – 4⋅a(a⋅n0 – a⋅v0² – b⋅v0) lautet. Konkret hat man es also nur mit
3 Variablen (a, b, v0) zu tun, und wesentlich ist die Tatsache, dass es für jedes Paar (a ≠ 0,
v0) (mindestens) ein b gibt, so dass die Bedingung b² – 4⋅a⋅c = x² erfüllt ist.
Die Wahl von v0 ist dabei beliebig, da sie keinen Einfluss auf die Anzahl der benötigten
Suchschritte hat.
Legt man ein a fest, lässt sich der Startwert für b aus der Bedingung ableiten, dass der
gesuchte Punkt (v1 = v0 ± a, s1 = s0 ± b) zwischen den beiden durch P0 verlaufenden
Tangenten liegt: bstart = ± 2⋅a( n 0 ± v0), wobei die zutreffenden Vorzeichen danach zu
wählen sind, welches die benachbarte Tangente ist und ob b positiv oder negativ sein soll.
Dagegen ist das Paar (a, b) im allgemeinen nicht frei wählbar; aber für a = 1 existiert für
jedes gerade b ein v0 so dass die Diskriminanten-Bedingung erfüllt ist.
Der o.a. Term b² – 4⋅a(a⋅n0 – a⋅v0² – b⋅v0) legt die nähere Beachtung von 3 Sonderfällen nahe:
• a⋅n0 – a⋅v0² – b⋅v0 = 0
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung führt auf eine neue Diskriminante
b² + 4⋅a²⋅n0, die aber für die Praxis wenig geeignet erscheint.
•
Die (bei ungeradem n immer mögliche) Setzung b = 0 (d.h. die gesuchte Gerade
verläuft parallel zu v-Achse) führt auf v0² – n0, also auf das bekannte FermatVerfahren.
•
Bei v0 = 0 vereinfacht sich der Term zu b² – 4⋅a²⋅n0. Setzt man noch a = 1, hat man
wiederum eine – allerdings für alle n anwendbare – Variante des Fermat-Verfahrens.
Aus Sicht der Teilersuche stellt die Kettenbruchentwicklung von n einen Algorithmus
dar, der – ausgehend von v0 = n – „automatisch“ rationale Lösungen der quadratischen
 
Gleichung v² − ⋅v + = 0 liefert, wobei die durch die KBE zu bestimmenden Unbekannten
b
a
c
a
a, b (und c) der Bedingung genügen müssen, dass die Diskriminante b² – 4⋅a(a⋅n – a⋅v0² – b⋅v0)
den Wert 1 oder ± 4 aufweist.
Wie im Hauptteil gezeigt, liefert der Algorithmus für jedes n sogar unendlich viele Paare
(a, b) die diese Forderung erfüllen. Natürlich ergibt die Diskriminante D = – 4 keine
rationalen Schnittpunkte und somit lassen sich in diesem Fall auch keine Teiler von n
bestimmen. Ebenso zeitigt der ggT(ao, n) im Fall D = 4 und ch/2 = 2 nur die trivialen Teiler.
Das gleiche ist der Fall, wenn die Periode ein gerades Vielfaches der primitiven Periode ist (D
ist dann stets gleich 1), da dann ao = a ist.
Fazit: Via ggT(2av0 + b ± D , n) erhält man mittels der KBE nur in den Fällen echte Teiler
von n, wenn diese auch schon als ch/2 abgelesen werden können.
Letztlich macht die Fixierung der KBE auf die beiden kleinstmöglichen D – Werte, was eine
rel. große Zahl von Algorithmus-Schritten und große Werte von a und b zur Folge hat, die
KBE zur Teilersuche ungeeignet.
2
Abschließend sei die Frage kurz erörtert, wie viele „Lösungsgeraden“, d. h.
Gradengleichungen / Schnittpunktpaare, die – wie dargelegt – die Ermittlung der Teiler einer
Zahl n = p⋅q ermöglichen, es gibt, und wie es sich mit den Teilbarkeitseigenschaften der
Zahlen auf den Lösungsgraden verhält.
Die zur Beantwortung dieser Fragen entscheidenden Größen sind a, u1 und u2.
a ist (neben Nenner der Gradensteigung) die Differenz der Ordinaten zweier benachbarter
Zahlen auf der Lösungsgeraden und vor Kürzen ist u1 = u2 = 2a (s.o.). Damit ist klar, dass u1
und u2 Teiler von a sind, und (nach Kürzen) außerdem gilt: ggT(u1, u2) = 1.
Bei näherer Betrachtung erweist sich, dass es je n0 genau so viele Lösungsgeraden gibt, wie –
nach Maßgabe der vorstehenden Bedingungen – Paare von u1 und u2 möglich sind.
Beispiel a = 6: (|u1|, |u2|): (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 6), (2, 3)
sowie (2, 1), (3, 1), (6, 1), (3, 2) ==> 9 Lösungsgraden
Wählt man als a eine Primzahl r, gibt es nur die drei Möglichkeiten (1, 1), (1, r) und (r, 1).
Zu jedem a existiert also eine von den Teilbarkeitseigenschaften von a abhängige Anzahl der
Werte von b, so dass 1 < ggT(ao, n0) < n0 für n0 = p⋅q.
Zum zweiten Teil der Frage:
Verfügt n0 über ein nicht-triviales Teilerpaar, so trifft das für alle Zahlen ni auf den
Lösungsgeraden zu. Mit Hilfe der Größen a, u1 und u2 lässt sich sogar für jedes ni ein
Teilerpaar explizit angeben, wenn p und q zuvor bestimmt wurden:
n i = (p + i⋅a uu12 )⋅(q + i⋅a uu12 )
Klarerweise liegt das Verhältnis der beiden Teiler von n1 am nächsten beim Verhältnis p/q,
u
p
wenn ( u 12 ) 2 ≈ q , denn dann ist die Zunahme der beiden Teiler so, dass das ursprüngliche
Teilerverhältnis in etwa erhalten bleibt. (Für große i konvergiert das Teilerverhältnis von ni
u
immer gegen ( u 12 ) 2 ).
Bezeichnenderweise approximieren die Lösungsgraden, bei denen die Teiler von n1 dem
Verhältnis p / q am nächsten kommen, auch der Steigung der Tangente am besten, d.h. sie
treten bei sukzessiver Erhöhung von |b| in der entsprechenden Reihenfolge auf.
Im Gegensatz zu der mittels KBE bestimmten Näherungsgraden weisen die ni der
Lösungsgraden allerdings keinerlei Ähnlichkeiten hinsichtlich ihrer KBE auf.
3