a · x ≤ a

Fibonaccizahlen
Beispiel 3.
Wie viele Kaninchenpaare entstehen in einem
Jahr aus einem Kaninchenpaar? Jemand sperrte
ein Kaninchenpaar in ein Gelände ein, das auf
allen Seiten von Mauern umgeben war; er wollte
herausbekommen, wie viele Kaninchenpaare aus
diesem einen Paar in einem Jahre hervorgingen.
Bei den Kaninchen ist es nun so, dass sie jeden
Monat ein neues Paar in die Welt setzen; und
damit fangen sie an, sobald sie zwei Monate alt
sind. Da das erwähnte erste Paar gleich mit der
Fortpflanzung beginnt, muß man es mal zwei
nehmen, macht zwei Paare in einem Monat.
Von diesen wirft eines nämlich das ursprüngliche, im zweiten Monat, das gibt drei Paare nach
zwei Monaten. Von diesen werfen zwei im nächsten Monat macht fünf Paare nach drei Monaten.
(...) und so kann man bis zu beliebig vielen Monaten der Reihe nach weitermachen.
D. Horstmann: Oktober 2016
61
Fibonaccizahlen
Wenn man den Tod von Kaninchen der beobachteten Population vernachlässigt, wird die Anzahl
der Kaninchen in der beobachteten Population nach (n + 1) Vermehrungsschritten durch die
Formel
F (n + 1) = F (n) + F (n − 1) mit F (1) = F (2) = 1
beschrieben. Hierbei sind die F (n) durch den nachfolgenden Ausdruck gegeben:
√ n √ n 1
1− 5
1+ 5
F (n) := √
−
.
2
2
5
Die Anzahl nach dem (n + 1)-ten Vermehrungsschritt wird also mit Hilfe der Anzahl im
vorangegangenen und noch einem vorherigen Vermehrungsschritt berechnet. Eine derartige
Berechnungsvorschrift, die mit Hilfe vorangegangener Schritte erfolgt, nennt man eine Rekursionsformel. Dass die oben angegebene Rekursionsformel zur Berechnung der Anzahl der
Kaninchen-Population nach der nächsten Vermehrungsphase ihre Gültigkeit hat, beweist man
mit Hilfe einer vollständigen Induktion über den Vermehrungsschritt n. Die so entstehende
Zahlenfolge nennt man Fibonacci-Folge.
Leonardo von Pisa kam mit dieser Rechnung auf 377 Kaninchenpaare am Ende eines Jahres.
D. Horstmann: Oktober 2016
62
Fibonaccizahlen in der Natur
Anmerkung 4.
Die Anzahl der linksläufigen und die Anzahl der rechtläufigen Spiralen einer Sonnenblume sind
in ca. 95% aller Fälle zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Bei Sonnenblumen sind es
meistens 55 rechtsdrehende und 34 linksdrehende Spiralen. Aber es gibt (jedoch seltener) auch
Arten mit 21 und 34 Spiralen. Riesensonnenblume haben mitunter 144 und 233 Spiralen.
D. Horstmann: Oktober 2016
63
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
D. Horstmann: Oktober 2016
64
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Als Ursprünge von Fehlern lässt sich oft eine der nachfolgenden möglichen Quellen ausmachen:
1. Aus der Modellierung resultierende Fehler, die dabei entstehen können, wenn man ein
konkretes Problem in die mathematische Sprache übersetzt und hierbei z. B. eine Annahme
macht, die sich bei einer Überprüfung als falsch herausstellt, oder aber einen grundlegenden
Modellierungsfehler begeht, indem man z. B. eine wichtige Voraussetzung vergisst (also
sozusagen einen menschlichen Modellierungsfelder begeht).
2. Fehler in der dem angewendeten mathematischen Modell zugrunde liegenden Datenbasis,
die durch Ungenauigkeit bei der Datenerhebung (z. B. durch Messungenauigkeiten aufgrund
von Unachtsamkeit, Ungenauigkeit der Messgeräte oder Ähnlichem) entstehen können.
3. Sogenannte Abbruchfehler, die darauf zurückzuführen sind, dass man bei einer Berechnungen
nur eine endliche, fest vorgegebene Zahl an Rechenschritten durchführt, obwohl eigentlich
noch weitere oder sogar unendliche viele Rechenschritte zur genauen Berechnung notwendig
wären (z. B. bei der Ersetzung von Grenzwertbildungen).
4. Auf vorgenommenen Rundungen basierende Fehler (Rundungsfehler).
5. Eingabefehler, die durch eine unachtsame Eingabe der erhobenen Daten entstehen können
(auch dies ist ein menschlicher Fehler).
D. Horstmann: Oktober 2016
65
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Zahlen, mit denen Rechnungen ausgeführt werden, sind oft mit Fehlern behaftet oder nur
Näherungswerte. Wenn die Zahlen zum Beispiel Messwerte sind, so können Messfehler zu
Ungenauigkeiten in der Versuchsauswertung führen und umgekehrt. Auch das Rechnen mit
einem Computer oder dem eben erwähnten Taschenrechner kann zu Fehlern führen. Wenn wir
mit x∗ den Näherungswert einer Zahl mit dem exakten Wert x bezeichnen, so bezeichnet die
Differenz dieser beiden Werte
∗
∗
Δx := x − x
den absoluten Fehler von x∗ und das Verhältnis Δx∗/x den relativen Fehler.
Wenn man beispielsweise x∗ durch das Runden auf n-Nachkommastellen erhalten hat, so ist
∗
|Δx | ≤ 0.5 · 10
−n
.
Wenn man die Differenz zweier Zahlen x∗ und y ∗ mit den dazugehörigen absoluten Fehlern
Δx∗ und Δy ∗ bilden will, wobei man von den exakten Werten x und y weiß, dass x > y > 0
gilt, so ist der relative Fehler von x∗ − y ∗ durch den folgenden Ausdruck gegeben:
D. Horstmann: Oktober 2016
66
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Δx∗ − Δy ∗
x−y
=
x∗ − x − (y ∗ − y)
x−y
=
x∗ − x − y ∗ + y
x−y
=
=
x∗ − x
y∗ − y
−
x−y
x−y
y
x
Δx∗
Δy ∗
−
.
x−y
x
x−y
y
Wenn die Werte von x und y nahe beieinander liegen, wird der Fehler somit sehr groß, wodurch
relative Fehler von Eingangsdaten beträchtlich verstärkt werden können. Dieser Sachverhalt
wird noch deutlicher, wenn man sich vor Augen führt, dass die Subtraktion von annähernd
gleichgroßen Zahlen eine Auslöschung der führenden Ziffern bewirkt. Das hat zur Folge, dass
die mit Fehlern behafteten “hinteren” Ziffern die Genauigkeit des Resultats bestimmen.
D. Horstmann: Oktober 2016
67
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Beispiel 4. Bei Eingabe des Bruchs x = 1/3 in einen Taschenrechner erhält man je nach
Taschenrechner den Wert x∗ = 0.333333333 angezeigt. Wenn man y = 2/3 in denselben
Taschenrechner eingibt, so ergibt sich der Wert y ∗ = 0.666666667. Wenn man also mit
diesem Taschenrechner y ∗ − x∗ berechnet, so erhält man den Wert 0.333333334. Allerdings
ist y − x = 1/3 und selbst der Taschenrechner würde hier nicht den Wert 0.333333334
angeben.
D. Horstmann: Oktober 2016
68
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Beispiel 5. Wir wollen die Varianz der exakten Werte 1.07, 1.08 und 1.09 bestimmen,
wobei wir alle Zwischenergebnisse auf 4 signifikante Ziffern runden. Hierfür machen wir von
dem Verschiebungssatz für die Varianz Gebrauch. Nun ist
3
xi = 1.07 + 1.08 + 1.09 = 3.24,
i=1
3
i=1
3
2
xi ≈ 1.145 + 1.166 + 1.188 = 3.499
2
xi
2
= (1.07 + 1.08 + 1.09) ≈ 10.50
i=1
und
3
2
1
xi
≈ 3.500.
3 i=1
Somit ergibt sich für die Varianz, die ein positiver Wert ist, der negative(!!!) Näherungswert
−0.0005.
2
3 · xM =
Wenn man statt des Verschiebungssatzes die Definition der Varianz verwendet hätte, so hätte
man das exakte Ergebnis erhalten.
D. Horstmann: Oktober 2016
69
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Für die Addition und Subtraktion:
Δ(x∗ ± y ∗)
x±y
=
=
=
D. Horstmann: Oktober 2016
(Δx∗) ± (Δy ∗)
x±y
(x∗ − x) ± (y ∗ − y)
x±y
y
x
Δx∗
Δy ∗
±
.
x±y
x
x±y
y
70
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Für die Multiplikation:
Δ(x∗ · y ∗)
x·y
=
x∗ · y ∗ − x · y
x·y
=
((Δx∗) + x) · ((Δy ∗) + y) − x · y
x·y
=
Δx∗
Δy ∗
Δx∗ Δy ∗
+
+
·
x
y
x
y
.
=
Δy ∗
Δx∗
+
.
x
y
.
Hierbei bedeutet das Symbol =, dass das Produkt (bzw. generell Produkte) von Fehlern
vernachlässigt wird (werden). Dies ist ein Standardvorgehen, um komplizierte Fehlerausdrücke
möglichst weit vereinfachen zu können.
D. Horstmann: Oktober 2016
71
Rechnen mit fehlerhaften Zahlen
Für die Division:
Δ (x∗/y ∗)
x/y
=
x∗/y ∗ − x/y
x∗ · y − y ∗ · x
=
x/y
y∗ · x
=
(Δx∗) · y − (Δy ∗) · x
y · x + (Δy ∗) · x
=
=
.
=
∗
(Δx∗) · y − (Δy ∗) · x
1
·
∗
y·x
1 + Δy
y
∞ ∗
∗
∗ k
(Δx ) · y − (Δy ) · x
Δy
·
y·x
y
k=0
Δx∗
Δy ∗
−
.
x
y
Hierbei haben wir |(Δy )/y| < 1 angenommen, so dass wir den Ausdruck 1/ 1 +
mithilfe der geometrischen Reihe ersetzen konnten.
D. Horstmann: Oktober 2016
Δy ∗
y
72
3. Rechnen mit Ungleichungen
D. Horstmann: Oktober 2016
73
Grundregeln für das Rechnen mit Ungleichungen
1. Es seien x und y beliebige reelle Zahlen. Dann gilt
x≤y
genau dann, wenn
x + z ≤ y + z für alle z ∈ IR gilt, und
x<y
genau dann, wenn
x + z < y + z für alle z ∈ IR gilt.
2. Es seien nun x, y, u und v beliebige reelle Zahlen. Wenn
x ≤ y und u ≤ v sind, so folgt x + u ≤ y + v
und analog gilt eben auch, wenn
x < y und u < v sind, so folgt x + u < y + v
3. Es seien x, y und a beliebige reelle Zahlen. Wenn
x ≤ y und a > 0
D. Horstmann: Oktober 2016
dann folgt daraus, dass
a · x ≤ a · y.
74
Grundregeln für das Rechnen mit Ungleichungen
Analog gelten auch:
wenn x < y und a > 0
dann folgt daraus, dass
a · x < a · y,
wenn x ≤ y und a < 0
dann folgt daraus, dass
a · x ≥ a · y,
wenn x < y und a < 0
dann folgt daraus, dass
a · x > a · y.
4. Wenn x, y, a und b beliebige reelle Zahlen mit den Eigenschaften
0 ≤ x ≤ y und 0 < a ≤ b
sind, so gilt auch
0 ≤ a · x ≤ b · y.
5. Für jede beliebige reelle Zahl x gilt:
D. Horstmann: Oktober 2016
2
x ≥ 0.
75
Grundregeln für das Rechnen mit Ungleichungen
Beispiel 6. Frage: Welche x aus der Menge der reellen Zahlen lösen die Ungleichung
4 · x + 3 ≤ 18?
Wir wenden die eben angegebenen Rechenvorschriften für Ungleichungen an und subtrahieren
auf beiden Seiten die Zahl 3. Damit erhalten wir:
4 · x ≤ 15
Nun teilen wir die Ungleichung durch die positive Zahl 4, d.h. bei der Division dreht sich das
Ungleichheitszeichen
nicht
um, sondern bleibt erhalten. Wir sehen also, dass x ≤ 15
4 gelten
15
muss x ∈ IR x ≤ 4 gegeben ist.
D. Horstmann: Oktober 2016
76
Grundregeln für das Rechnen mit Ungleichungen
Beispiel 7. Frage: Welche x aus der Menge der reellen Zahlen lösen die Ungleichung
2
4 · x + 3 ≤ 18?
Zunächst können wir wie auch im vorangegangenen Beispiel vorgehen und gelangen zu der
Gleichung
15
2
x ≤
.
4
Nun müssen wir die Wurzel ziehen. Hierbei müssen wir jedoch vorsichtig sein. Es sind plötzlich
zwei Fälle möglich.
1. Fall x ≤
2. Fall −x ≤
15
4.
15
4.
Dieser Fall bedeutet aber nichts anderes als: x ≥ −
15
4.
Da wir bei der Angabe der Lösungsmenge beide Fälle berücksichtigen müssen, erhalten
√ wir also
15/4 = 15/2 und
als Lösungsmenge die Menge aller reellenZahlen x
, die kleiner als
√
√ √
gößer als − 15/2 sind, d.h. die Menge x ∈ IR − 215 ≤ x ≤ 215 .
D. Horstmann: Oktober 2016
77
Beschränktheit von Mengen
Definition 3. Eine Menge M ⊂ IR heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn es ein k ∈ IR
gibt, das größer oder gleich (kleiner oder gleich) jedem anderen Element aus der Menge M ist,
d.h. wenn m ≤ k (m ≥ k) für alle Elemente m ∈ M gilt. Das Element k nennt man dann
obere (untere) Schranke.
Die kleinste obere Schranke einer Menge M nennt man Supremum und die größte untere
Schranke nennt man Infimum der Menge M. Ist das Supremum (Infimum) selbst in der Menge
M enthalten, so bezeichnet man es als das Maximum (Minimum) der Menge M.
Anmerkung 5. Jede nicht-leere nach oben (unten) beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen
IR hat ein Supremum (Infimum).
D. Horstmann: Oktober 2016
78
4. Rechenoperationen mit Polynomen
D. Horstmann: Oktober 2016
79
Polynome
Einen Ausdruck der Form
n
anx + an−1x
n−1
+ ... + a1x + a0,
in dem x eine Variable ist, n eine natürliche Zahl ist und die Koeffizienten ai für alle
i ∈ {1, ..., n} beliebige reelle Zahlen mit an = 0 sind, nennt man ein Polynom vom Grad
n.Term nullter Ordnung bzw. als Term der Ordnung Null.
D. Horstmann: Oktober 2016
80
Polynome
1. Polynomaddition: Man addiert zwei Polynome, indem man die Koeffzienten vor den jeweilig
gleichen Potenzen der Unbekannten miteinander addiert. Wenn man also zum Beipiel für
n > m die Polynome
n
n−1
m
m−1
anx + an−1x
und
+ ... + a1x + a0
bmx + bm−1x
+ ... + b1x + b0,
miteinander addieren will, so liefert uns das
n
n−1
m
m−1
anx + an−1x
+ ... + a1x + a0 + bmx + bm−1x
+ ... + b1x + b0
=
n
n−1
m+1
+ ... + am+1x
anx + an−1x
m
m−1
+(am + bm)x + (am−1 + bm−1)x
+ ... + (a1 + b1)x + (a0 + b0).
D. Horstmann: Oktober 2016
81
2. Polynomsubtraktion: Analog zur Polynomaddition definiert man die Differenz zweier Polynome als das Polynom, das man erhält, wenn man die Koeffzienten vor den jeweilig gleichen
Potenzen der Unbekannten voneinander abzieht. Das bedeutet für
n
n−1
m
m−1
anx + an−1x
und
bmx + bm−1x
+ ... + a1x + a0
+ ... + b1x + b0,
mit m < n also:
n
n−1
m
m−1
anx + an−1x
+ ... + a1x + a0 − bmx + bm−1x
+ ... + b1x + b0
=
n
n−1
m+1
anx + an−1x
+ ... + am+1x
m
m−1
+(am − bm)x + (am−1 − bm−1)x
+ ... + (a1 − b1)x + (a0 − b0).
3. Polynommultiplikation: Die Multiplikation von Polynomen ist wie die übliche Multiplikation
definiert, das heißt:
Die Summanden des einen Polynoms müssen jeweils mit allen Summanden des anderen
Polynoms zunächst multipliziert werden und die so entstehenden Produkte werden hiernach
miteinander addiert.
D. Horstmann: Oktober 2016
82
Polynome
Beispiel 8.
5
4
3
2
6
5
4
(2x − 15x + 3x − x + 17) + (2x − x + 10x + 2x − 15)
=
6
5
4
3
2
2x + x − 5x + 3x − x + 2x + 2
Beispiel 9.
3
2
(2x − x + 1) · (x + 7x)
D. Horstmann: Oktober 2016
2
3
3
=
x · (2x − x + 1) + 7x · (2x − x + 1)
=
(2x − x + x ) + (14x − 7x + 7x)
=
2x + 14x − x − 6x + 7x.
5
5
3
2
4
4
3
2
2
83
Polynomdivision
Die Lösungen der Gleichung
n
anx + an−1x
n−1
+ ... + a1x + a0 = 0
(8)
nennt man Nullstellen des Polynoms. Diese Werte sind in vielen Zusammenhängen von Interesse.
Daher ist die Frage, ob solche Werte existieren und wie man sie gegebenenfalls findet, eine
Fragestellung, der wir hier nachgehen müssen.
Beispiel 10. Das Polynom 2x2 − 4x + 2 ist vom Grad 2 und hat nur die Nullstelle x = 1.
Beispiel 11. Das Polynom x2 + 2 ist vom Grad 2 und hat keine Nullstellen.
Beispiel 12. Das Polynom x5 − 9x4 + 26x3 − 24x2 ist vom Grad 5 und hat die Nullstellen
x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 und x4 = 4.
D. Horstmann: Oktober 2016
84
Polynomdivision
Theorem 1. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen.
Bei der Polynommultiplikation haben wir gesehen, dass die Terme nullter Ordnung miteinander
multipliziert wurden. Das bedeutet, dass mögliche Nullstellen des Polynoms nur Teiler des
Terms der Ordnung Null sein können. Die nun angewendete Strategie besteht darin, zunächst
eine Nullstelle des Polynoms durch “Raten” zu finden, indem man alle möglichen Teiler des
Terms a0 in die Gleichung (8) einsetzt und schaut, ob für einen dieser Werte die Gleichung
erfüllt wird. Ist so ein Wert b0 gefunden, geht man wie folgt weiter vor.
Wie bei der schriftlichen Division sieht man sich zunächst die höchste x-Potenz des Polynoms
an. Dies ist in unserem Fall der Term anxn. Nun multipliziert man den Faktor (x − b0) mit
anxn−1 und subtrahiert das so entstandene Produkt von dem Polynom. Das heißt, dass man
so das Polynom
(an−1 − anb0)x
n−1
+ an−2x
n−2
+ ... + a1x + a0
erhält.
D. Horstmann: Oktober 2016
85
Polynomdivision
n
(anx + an−1x
n−1
+ ... + a1x + a0) : (x − b0)
=
(an−1 − anb0)xn−1 + an−2xn−2 + ... + a1x + a0
n−1
+
(9)
an x
x − b0
Dieses Vorgehen wiederholt man nun solange, wie eine derartige Strategie anwendbar ist.ist
dies solange möglich, bis der letzte Term in der Gleichung (9) entweder wegfällt oder maximal
ein Polynom erster Ordnung im Nenner übrig bleibt. Ist das Letztere der Fall, so hätte man
sich bei der Überprüfung, ob b0 tatsächlich eine Nullstelle ist, vertan und man müßte erneut
von vorne beginnen.
Geht das obige Vorgehen jedoch glatt auf, so hat man das Polynom n-ter Ordnung in das
Produkt eines Polynoms erster Ordnung und eines Polynoms (n − 1)-ter Ordnung zerlegt. Man
würde nun im weiteren Verlauf nach den Nullstellen des Polynoms (n − 1)-Ordnung suchen,
bis man ein Polynom erhält, das keine Nullstellen besitzt.
D. Horstmann: Oktober 2016
86
Anmerkung 6. Das hier beschriebene Verfahren nennt man Polynomdivision, wobei wir bemerken wollen, dass die Division durch Polynome höherer Ordnung analog zu der beschriebenen
Vorgehensweise erklärt ist.
Beispiel 13. Wie suchen die Nullstellen des Polynoms:
5
4
3
2
2
3
2
x − 9x + 26x − 24x = x · (x − 9x + 26x − 24)
Offensichtlich ist x1 = 0 eine Nullstelle. Um weitere zu finden, betrachten wir das Polynom
3
2
x − 9x + 26x − 24.
In der Menge der natürlichen Zahlen hat die Zahl 24 die möglichen Teiler 2, 4, 6, 8 und
12.Setzt man diese Werte nacheinander in das Polynom für x ein, so ist man bereits mit der
2 fündig geworden.Nun multiplizieren wir also den Term (x − 2) mit dem Faktor 1 · x2 und
ziehen das Produkt dieser beiden Terme vom Polynom x3 − 9x2 + 26x − 24 ab.
2
3
2
(x − 2) · x = x − 2x .
Somit ergibt sich:
3
2
3
2
2
(x − 9x + 26x − 24) − (x − 2x ) = 7x + 26x − 24.
D. Horstmann: Oktober 2016
87
Damit haben wir zunächst, dass
−7x2 + 26x − 24
(x − 9x + 26x − 24) : (x − 2) = x +
.
x−2
3
2
2
Jetzt wiederholen wir die Strategie für das Polynom 7x2 + 26x − 24 und gelangen so zu:
2
(−7x + 26x − 24) : (x − 2) = −7x +
12x − 24
= −7x + 12
x−2
Somit ergibt sich also:
3
2
2
(x − 9x + 26x − 24) : (x − 2) = x − 7x + 12.
Nun betrachten wir das Polynom x2 − 7x + 12 und suchen die Nullstellen dieses Polynoms.Man
erhält dann insgesamt:
5
4
3
2
2
x − 9x + 26x − 24x = x · (x − 2) · (x − 3) · (x − 4).
D. Horstmann: Oktober 2016
88