berufsmaturitätsschule BMS Formelsammlung Physik

BMS
berufsmaturitätsschule
Formelsammlung Physik
David Kamber
Ruben Mäder
Stand 3.7.2012
Inhaltsverzeichnis
Stoffwerte
Grössen und Einheiten, Trigonometrie
Wärmelehre
Hydrostatik
Kinematik
Drehbewegungen
Kräfte
Statik
Dynamik
Arbeit, Energie und Leistung
Fehlerrechnung
2
3
4
5
6
6
7
9
10
11
12
Prinzipschema Warmwasservorwärmung für ein Mehrfamilienhaus, 15 Wohnungen
Kollektoren 42 m2
mit Frostschutz
P1 Pumpe
Solarkreislauf
Warmwasser 1‘700 Liter/Tag
Speicher 1‘000 Liter
bestehend, mit Gaskessel
beheizt.
Gaskessel, Heizung und
Warmwasser, 55 kW
Pumpe für die
Umschichtung, wenn der
Solarspeicher wärmer ist.
Kombispeicher Solar
3‘400 Liter mit zwei
Wärmetauschern
Formelsammlung
Quelle Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli
2
BMS Physik
Formelsammlung
Physikalische Grössen
Grösse = Zahlenwert ⋅ Einheit (⋅ Richtung ) Zahlenwert inklusive Vorzeichen
m
m

Bsp. g =9.81 m/s2, zeigt zur Erdmitte oder g =  0/ - 9.81 2  = 9.81 2 ⋅ (0/ - 1)
s 
s

m
1
m
N
kg ⋅ m
Einheiten lassen sich kombinieren: s = 1 2 = 1
1N = 1 2
1s
kg
s
s
Zehnerpotenzen , SI Vorsätze
Faktor
10-18
10-15
10-12
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
Vorsatz
Atto
Femto
Pico
Nano
Mikro
Milli
Zenti
Dezi
Zeichen
a
f
p
n
µ
m
c
d
Faktor
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
Vorsatz
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zeichen
d
h
k
M
G
T
P
E
Trigonometrie
HY
Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck:
GK
AK
GK
sin(α ) =
cos(α ) =
tan(α ) =
HY
HY
AK
Sinussatz:
Cosinussatz:
a
b
c
=
=
= 2r
sin α sinβ sin γ
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(γ )
GK
α
AK
Umkreisradius r
Sinus- und Cosinussatz für beliebige Dreiecke
Vektoren in der Physik
Vektor kartesisch: v = (v x / v y ) = (v ⋅ cos(α ) / v ⋅ sin(α ) )
Koordinaten:
v x = v ⋅ cos(α )
v y = v ⋅ sin(α )
α wird immer zur positiven x-Achse gemessen!
Osten =0°, Norden = 90°, Süden =-90°
Vektor polar:
Vektoraddition
2
x
v =v = v +v
2
y
vy
Vektor
α
vx
Winkel: α = arc tan (v y / v x )
Bsp. (10 m/s, ∠150° ) = (−8.66 / 5.0 ) m/s
v = v1 + v2
veff = veigen + vMedium
Beispiel:
graphisch durch verschieben und „anhängen“
rechnerisch durch Addition der kartesischen Koordinaten (siehe oben)
Summe
TI N’Spire: Vektoren werden in eckigen Klammern dargestellt, Komma als Trennzeichen
[
]
Kartesische Koordinaten: vx ,v y oder Polarform [Betrag , ∠Winkel ] mit Winkelzeichen ∠
[
Umrechnung in Polarkoordinaten: vx ,v y
FoSa_P12
]
Polar
3
Formelsammlung
Wärmelehre
Die Temperatur
Die absolute Temperatur T wird für die Gasgleichung benötigt.
Umrechnung:
, T in Kelvin K
Erwärmung und Ausdehnung
feste Körper: Länge
∆l = l0 ⋅ α ⋅ ∆T
α linearer
Ausdehnungskoeffizient
feste Körper: Volumen
∆V ≈ V0 ⋅ 3α ⋅ ∆T
γ ≈ 3α
Einheit von α und γ: [α ] = [γ ] = K −1 = 1
Flüssigkeiten: Volumen
∆V = V0 ⋅ γ ⋅ ∆T
γ VolumenAusdehnungskoeffizient
K
Spezifische Wärme
Die Wärmemenge Q [J oder kJ] fliesst vom Stoff der höheren zum Stoff der tieferen Temperatur.
spezifische Wärmekapazität c
[c] = J
Q = m ⋅ c ⋅ ∆T
kg ⋅ K
Q = m ⋅ Lf
[L] = J
spezifische Schmelzwärme, schmelzen / erstarren
kg
Q = m ⋅ Lv
[L] = J
spezifische Verdampfungswärme, verdampfen / kondensieren
kg
Grundlage für Mischprozesse:
Am Schluss gibt es eine Temperatur: die Mischtemperatur
Die Temperaturdifferenzen ∆T1 = ϑ1 − ϑmisch bzw. ∆T2 = ϑmisch − ϑ2 sind verschieden gross.
Energieerhaltung:
Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe sind gleich
Leistung:
P = Q / ∆t
Einheit [P ] =
J
=W
s
Qauf = Qab
und 1 Ws = 1 W ⋅ s = 1 J
Aggregatszustände
Beispiel Wasser: Temperaturzunahme in Abhängigkeit der Wärmezufuhr Q
Aggregatszustand Wasser
gasförmig
Temp. (°C)
120
100
80
60
40
20
0
-20 0
-40
-60
4
spezifische Wärmekapazität
cEis = 2’100 J/(kg K) = 2.1 kJ/(kg K)
cWasser = 4’182 J/(kg K) = 4.182 kJ/(kg K)
flüssig
fest
1000
Stoffwerte Wasser
Schmelztemperatur: 0°C
Verdampfungstemperatur: 100°C
2000
Q (kJ)
3000
4000
Latente Wärme (in kJ)
Lf = 333.8 kJ/kg Schmelzwärme
Lv = 2’256 kJ/kg Verdampfungswärme
BMS Physik
Formelsammlung
Ideale Gase
Dichte umrechnen:
kg
m
1 kg 1 g
Einheit [ρ ] = 3
Umrechnung:
=
m
V
dm 3 cm 3
V0 = 1.0m3 bei Normbedingungen einsetzen
Normbedingungen:
p0 = 1.013 ⋅105 Pa = 1.013 bar
ρ=
Dichte (rho):
p1 ⋅ V1 p2 ⋅ V2
=
T1
T2
ϑ = 0°C, T = 273K
Gasgleichung für konstante Gasmengen!
absolute Temperatur T
absoluter Druck p
T = ϑ + 273K
pabs = prel. + pLuft
, T in Kelvin K
Luftdruck: pLuft ≈1 bar
Druckumrechnung
1 bar =10 5 Pa
1 mbar =100 Pa =1 hPa
Veränderliche Gasmengen: Das Gasgesetz kann nicht direkt angewendet werden.
Tipp: Beide Mengen auf Normbedingungen umrechnen.
Hydrostatik
Begriff
Gewichtskraft
Druck
Definition, Formel Einheit
FG = m ⋅ g
p=
Dichte
F
A
m
Vol
pS = ρ ⋅ g ⋅ h
ρ=
Schweredruck
Auftriebskraft
FA
FG
unabhängig von der
Form!
FA = ρ Fl . ⋅ g ⋅ VFl .
Flüssigkeit oder
auch Gas
[F ] = N = kg ⋅2 m
s
[ p ] = Pa = N2
m
Pascal Pa
kg
m3
[ρ ] =
[ p] = Pa =
Hinweise
Masse m in kg
Kraft F in N.
Dichte der
Flüssigkeit,
Volumen der
verdrängten
Flüssigkeit oder
des untergetauchten Körperteils
g = 9.81 N/kg
Druck ist eine skalare
Grösse! Gerichtet ist
nur die Kraft auf die
Begrenzungsfläche.
ρWasser = 1'000
N
m2
Umrechnungen
kg
m3
Gilt für inkompressible
Flüssigkeiten
g = 9.81 m/s 2
N
1 2 =1 Pa,
m
1 bar = 10 5 Pa
1
kg
g
3 =1
dm
cm3
10 mWS ≅1 bar
Sinken: FA < FG
Schweben: FA = FG
Schwimmen:
FA = FG nur ein Teil
des Körpers taucht ein.
Formulierung nach Archimedes:
Die Auftriebskraft ist gleich gross wie die Gewichtskraft des verdrängten Mediums.
FoSa_P12
5
Formelsammlung
Kinematik
∆s
,
∆t
Strecke:
∆v
,
Beschleunigung a =
∆t
Geschwindigkeit v =
Einheit [v ] = m/s
Umrechnung: 1 m/s = 3.6 km/h
∆s = v ⋅ ∆t nur mit der mittleren Geschwindigkeit!
Einheit [a ] = m/s 2
Gleichförmige, geradlinige Bewegung
25
wann wo? s-t-Diagramm
ohne Beschleunigung: a = 0:
Gerade 1:
s1 (t ) = v1 ⋅ t
Vorzeichen v1 > 0 ansteigend positiv
Gerade 2:
s2 (t ) = s20 + v2 ⋅ t
Vorzeichen v2 < 0 abfallend ! negativ
Steigung der Geraden: konstante Geschwindigkeit
Schnittpunkt: kreuzen oder überholen
20
15
10
5
-2
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
0
-1
-5
1
2
3
4
5
6
20
15
10
5
-2
-1
0
-5
t [s]
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
v [m/s]
wann, wie schnell? v-t-Diagramm
Momentangeschwindigkeit: v (t ) =v0 +a ⋅t
eine lineare Funktion, Geradengleichung
Zurückgelegte Strecke = Fläche unter der Kurve
(bis zur Zeitachse, negative Werte unterhalb der
Zeitachse)
Mittlere Geschwindigkeit:
v +v
v = 1 2 (nur falls a = konstant!)
2
Beschleunigung als Steigung im v-t-Diagramm
Ort und Geschwindigkeit ohne Zeit:
0
25
s (t ) = s0 + v0 ⋅ t + 0.5 ⋅ a ⋅ t 2
im Scheitelpunkt gilt: v = 0
Geschwindigkeiten als Steigung im s-t-Diagramm
- Mittlere Geschwindigkeit:
Steigung der Sekante im Zeitintervall [t1 ; t 2 ]
- Momentane Geschwindigkeit:
Steigung der Tangente an die Kurve
t [s]
s [m]
wann wo? s-t-Diagramm
Parabel:
s [m]
25
20
15
10
5
-2
0
-1 -5 0
-10
-15
-20
v 2 = v02 + 2a ⋅ ∆s, ∆s = (s − s0 )
Freier Fall und senkrechter Wurf:
Wie oben aber a = − g , Fallbeschleunigung g = 9.81 m/s2
Vorzeichenkonvention: nach oben = positiv, nach unten = negativ!
Geschwindigkeit:
v(t ) = v0 − g ⋅ t (Gerade)
max. Höhe: Energieerhaltung oder
h(t ) = h0 + v0 ⋅ t − 0.5 ⋅ g ⋅ t 2
Höhe (Parabel):
v = 0 (Nullstelle im v-t-Diagramm)
6
6
t [s]
BMS Physik
Formelsammlung
Der horizontale Wurf
Überlagerung aus einer horizontalen Bewegung mit vx = konstant
und einem freien Fall.
Unbeschleunigte
Bewegung horizontal
Freier Fall vertikal
vx = v0
Geschwindigkeit
v x = v0
Ort
x = v0 ⋅ t
vy = −g ⋅t
y = − 0.5 ⋅ g ⋅ t 2
vy
Die Momentangeschwindigkeit v = (v x / v y ) kann mit der Skizze rechts ermittelt werden.
Der schiefe Wurf ohne Luftwiderstand
v0
Überlagerung aus einer horizontalen Bewegung und einem
senkrechten Wurf.
α ist der Startwinkel zwischen v0 und der Horizontalen
α
vy0 =
v0 sin(α)
vx = v0 cos(α)
Unbeschleunigte
Bewegung horizontal
Senkrechter Wurf
vertikal
Geschwindigkeit
v x (t ) = v0 ⋅ cos(α )
Ort
x(t ) = v0 ⋅ cos(α ) ⋅ t
v y (t ) = v0 ⋅ sin(α ) − g ⋅ t
y(t ) = h0 + v0 ⋅ sin(α ) ⋅ t − 0.5 ⋅ g ⋅ t 2
Wurfparabel (x / y) ohne Zeit: f ( x) = y = x ⋅ tan(α ) −
Drehbewegungen
Frequenz (Drehzahl):
Winkel im Bogenmass:
Winkelgeschwindigkeit
Bahngeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
g
⋅ x2
2
2 ⋅ v ⋅ cos(α )
2
0
n 1
U
U
=
Bsp: 6′000
= 100 = 100 Hz
t T
s
min
n = Anzahl Umdrehungen, t = Zeit, T = Periode, Umlaufzeit
f =
Bogenlänge
dimensionslos, Einheit rad, π rad = 180°
r
Weg =Bogenlänge
s =ϕ ⋅r
Einheit [s ] = m
∆ϕ
Einheit: [ω ] =s−1 Winkel im Bogenmass!
ω=
t
Bogenlänge ∆ϕ ⋅ r
Einheit [v ] = m/s
v=
=
=ω ⋅r
∆t
Zeit
∆ω
[α ] = s −2
ω − t − Diagramm verwenden!
α=
∆t
ϕ=
Zentripetalbeschleunigung
v2
az = = ω 2 ⋅ r
r
FoSa_P12
Einheit [a z ] = m/s 2
v = Bahngeschwindigkeit, [v ] = m/s
Weil sich die Richtung ändert, ist die Kreisbewegung eine beschleunigte
Bewegung. Die Zentripetalbeschleunigung zeigt ins Kreiszentrum!
7
Formelsammlung
Kräfte
Gewichtskraft
FG = m ⋅ g
g = 9.81 m/s2
Einheit: (1 N =1 kg m /s2)
Federkraft (Hooke)
∆F = D ⋅ ∆s
Federkonstante D in N/m,
D ist die Steigung im F-s-Diagramm
∆s ist die Verlängerung der Feder
Reibungskraft
Die Normalkraft FN steht rechtwinklig zur Unterlage (s. schiefe Ebene)
dimensionslose Reibungszahlen µ
FR = µ gleit ⋅ FN
immer gegen die Bewegungsrichtung
Luftwiderstand
Gravitationskraft
FR = µ roll ⋅ FN
analog für die Rollreibung
FR ≤ µ 0 ⋅ FN
Haftreibung als Maximalwert
FLW = 0.5 ⋅ ρ ⋅ CW ⋅ A ⋅ v 2 Dichte der Luft ρ, ca. 1.2 kg/m3,
Luftwiderstandsbeiwert CW (dimensionslos), Frontfläche A in m2
Geschwindigkeit v in m/s.
m1 ⋅ m2
Gravitationskonstante G = 6.673 ⋅10−11 N m2 kg-2
2
r
Erdmasse M = 5.976 1024 kg
Erdradius r0 = 6'371 km
F =G⋅
Kräfte addieren und zerlegen
Kräfte können addiert werden, wenn sie im selben Punkt angreifen.
Vektoraddition siehe Seite 3.
Kräfte zerlegen
Richtungen parallel verschieben,
Parallelogramm zeichnen
Vektorgleichung: F1 + F2 = F
Mit Koordinaten rechnen oder
Sinus / Cosinus-Satz anwenden.
Schiefe Ebene
Die Gewichtskraft wird in zwei Ersatzkräfte zerlegt: F2 + FH = FG
Hangabtriebskraft
Bewegung nach
oben: Die Reibung
wirkt nach unten.
und
Reibungskraft
Summe Normal- plus Gewichtskraft (links):
Summe = FG + FN
Ohne zusätzliche Kräfte gilt: Normalkraft
FN = − F2
Ohne Reibung bewegt sich der Körper nach unten: Fres = FHang
8
BMS Physik
Formelsammlung
Statik
Falls mehrere Kräfte in einem Punkt angreifen, dann muss die Vektorsumme aller Kräfte null sein.
Beispiel: Seil mit Umlenkrolle. Die Seilkräfte werden zeichnerisch in einen Punkt verschoben.
Zusätzlich wirkt die Kraft auf die Achse der Umlenkrolle.
Wenn die Kräfte nicht an einem Punkt angreifen, entstehen Drehmomente.
Vorgehen:
• eine (beliebige) Drehachse D festlegen.
• Winkel und Hebellängen bestimmen.
• Drehmomente (links- bzw. rechtsdrehend) gleich setzen.
• Die Kraft bei der Drehachse D mit Vektoraddition berechnen.
Grundgesetz Statik (Systeme ohne Beschleunigung)
Die Summe aller Kräfte ist gleich null.
Die Summe aller Drehmomente ist null.
Oder links- und rechtsdrehende Drehmomente heben sich auf.
Drehmoment
Auflagerkräfte
M = F ⋅ r ' = F ⋅ r ⋅ sin(α )
Die Kraft F darf auf der Angriffslinie
(Wirkungslinie) verschoben werden.
r’ ist die wirksame Hebellänge rechtwinklig
zur Angriffslinie. r = Hebellänge
α ist der Winkel zwischen Hebel und Kraft
Maximale Wirkung: α = 90° weil sin(90°) = 1
Vorzeichen: Drehmomente im Uhrzeigersinn
normalerweise negativ
Eine Drehachse bei A (oder B) wählen.
Längen l horizontal d.h. rechtwinklig zu den
Kräften bis zu A messen.
Alle Drehmomente für die Achse A notieren,
Gleichung der Drehmomente:
FG1 ⋅ l1 + FG 2 ⋅ l2 = FB ⋅ l3
r
r‘
α
F
FB
A
FG1
B
FG2
Damit wird die Auflagerkraft bei B berechnet.
Analog für den Drehpunkt B.
Kontrolle: FA + FB = Gewichtskraft total
Der Schwerpunkt
Für Drehmomentberechnungen und Energiebetrachtungen kann die gesamte
Masse im Schwerpunkt konzentriert eingesetzt werden.
Rollen
Eine Rolle lenkt Seilkräfte um. Sind die Seile nicht
parallel, müssen die Kräfte als Vektoren addiert
werden.
Flaschenzug
Die festen Rollen lenken die Kräfte nur um.
Entscheidend ist die Anzahl der losen Rollen:
jede lose Rolle bewirkt eine Halbierung der Kraft
FoSa_P12
F
F
2F
9
Formelsammlung
Dynamik
Vorgehen: Zeichnen Sie zuerst alle Kräfte ein. Berechnen Sie die Vektorsumme dieser Kräfte.
Diese Summe heisst auch resultierende Kraft Fres.
Trägheitsgesetz
Für Fres = 0 bleibt die Geschwindigkeit unverändert konstant.
Für einen PW mit konstanter Geschwindigkeit ist die Antriebskraft
gleich gross wie die Summe aus Rollreibung plus Luftwiderstand.
Bezugsystem
In einem unbeschleunigten Bezugssystem gibt es keine Trägheitskräfte!
Jede Kraft wird von einem anderen Körper verursacht.
Die Gewichtskraft durch die Erde usw.
Beispiel Bremsen
Die Bremskraft wirkt in die Gegenrichtung
der Geschwindigkeit.
Dank (Haft) Reibung ist Bremsen möglich!
FBrems
Fres = m ⋅ a = Reibungskraft = µ ⋅ m ⋅ g
Grundgesetz der Dynamik:
Fres = m ⋅ a
Fres und a sind immer parallel!
Die Vektorsumme aller Kräfte ergibt die resultierende Kraft.
Aktion und Reaktion greifen an verschiedenen
Körpern an und
sind entgegengesetzt gleich
gross.
Egal ab eine oder beide
Personen ziehen, es gilt:
!
FA = −FB
Zwei Körper-System Wir arbeiten mit dem Ersatzkörper,
Gesamtmasse m1 + m2.
A
Wie gross ist der „Antrieb“?
FG1 – FG2 ist in diesem Beispiel „Antrieb“
und resultierende Kraft. Damit wird die Beschleunigung
des Gesamtsystems berechnet:
g ⋅ (m1 − m2 ) = (m1 + m2 ) ⋅ a
Die Seilkraft FSeil ist grösser als m2 ⋅g und kleiner als m1 ⋅g .
Überlegung: Sonst könnte keine beschleunigte Bewegung resultieren.
m1
m1 > m2
m2
Die Seilkräfte links und rechts sind gleich gross.
Für die Berechnung der Seilkraft wird nur eine Masse
betrachtet. Die Beschleunigung muss bekannt sein
(Skizze rechts).
FSeil
Fres2
FG2
10
v
BMS Physik
Formelsammlung
Arbeit, Energie und Leistung
Arbeit work
W = F ⋅ s ⋅ cos(ϕ ) = F ⋅ s Skalarprodukt!
Einheit: 1 Nm= 1 Joule
Mit Arbeit wird ein Prozess (Vorgang) berechnet.
Energie
Energie ist gespeicherte Arbeit.
Einheit: 1 Nm= 1 Joule
Energie wird einem Zustand zugeordnet.
∆E = P ⋅ ∆t
Einheit: 1 J =1 Ws, 1 kWh = 1000 W ⋅ 3600 s = 3.6 MJ
Die Energieerhaltung
Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden.
Wenn das System umfassend gewählt wird, bleibt die Summe der Energie erhalten.
W ∆E
=
Mittel
∆t ∆t
Leistung power
P=
Momentanleistung
P = F ⋅v
Wirkungsgrad
η=
Nutzen
Output
=
Aufwand Input
Einheit: 1 W = 1
J
und 1 PS ≈736 W
s
Einheit: N ⋅ m/s = W
dimensionslos, übliche Angabe in %
Arbeit (Prozessgrösse)
Energieform (Zustandsgrösse)
Beschleunigungsarbeit W = m ⋅ a ⋅ s
resultierende Kraft mal Strecke
kinetische Energie (Geschwindigkeit)
m
E kin = ⋅ v 2
Differenz: (v22 − v12 )
2
Als innere Energie oder Wärme am Ende der
untersuchten Bewegung.
E mech = η ⋅ m ⋅ Hu mit
Heizwert Hu, Wirkungsgrad und Masse
Elastische Energie
D
2
Eelastisch = ⋅ (∆s )
2
Reibungsarbeit W = FR ⋅ s = µ ⋅ FN ⋅ s
Chemische Energie (z.B. Treibstoff) wird in
mechanische Antriebsenergie umgewandelt.
Spannen einer Feder:
Kraft
Federgesetz
FFeder = D ⋅ ∆s
W = FFeder ⋅ ∆s
Arbeit = Fläche unter
Verlängerung
der Geraden
Die Zeit kommt in der Regel nicht vor und der detaillierte Verlauf zwischen zwei Zuständen
braucht nicht bekannt zu sein.
Sogenannte „Verluste“ durch Reibung werden als Wärme am Ende der Bewegung,
Antriebsenergie am Anfang der Bewegung eingerechnet.
Anleitung zum Lösen
von Aufgaben:
Alle Energieformen
notieren. Summen
gleich setzen und nach
der gesuchten Grösse
auflösen.
Energieform
Potentielle Energie
Kinetische Energie
Elastische Energie
Antrieb, „Verluste“
Summe, Total
Zustand 1
m ⋅ g ⋅ h1
m 2
⋅ v1
2
2
0.5 ⋅ D ⋅ (∆s1 )
„Antriebsenergie“
Summe 1 =
Zustand 2
m ⋅ g ⋅ h2
m 2
⋅ v2
2
2
0.5 ⋅ D ⋅ (∆s2 )
W = FR ⋅ s als „Wärme“
Summe 2
Senkrechter Wurf: am höchsten Punkt ist v = 0, d.h. die kinetische Energie ist null.
FoSa_P12
11
Formelsammlung
Fehlerrechnung
Absoluter Fehler: wahre Grösse = Messwert ± abs. Fehler
relativer Fehler:
rel. Fehler =
Bsp:
abs. Fehler
Messwert
b = (75.0 ± 0.8) mm
Bsp: b = 75.0 mm ± 1.1%
Regeln der Fehlerfortpflanzung
Algebraische Summe: Summe und Differenz werden gleich behandelt!
Multiplikation und Division: Produkt und Quotient werden gleich behandelt
Der Fehler eines Produktes ist immer grösser als der grösste relative Fehler
der Faktoren.
Summe: Die
absoluten Fehler
werden addiert.
Produkt und Quotient:
Die relativen Fehler
werden addiert.
Kombination
Ganzzahlige Faktoren und Brüche wie ½ etc. sind als exakt zu betrachten.
Beispiel: 1 / 2 ⋅ 75.0 ± 0.8 mm = 37.5 ± 0.4 mm = 37.5 mm ± 1.1%
Summen und Produkte müssen getrennt behandelt werden!
Beispiel: A = A0 − l ⋅ b zuerst wird das Produkt l ⋅ b mit den relativen Fehlern berechnet.
(
)
(
)
Anschliessend wird die Differenz mit den absoluten Fehlern berechnet.
Geltende Ziffern
Zahl
25
2’500
0.00250
Geltende Z.
2
4
3
Zahl
2.5 ⋅10
2.5
3
2.51 ⋅10 −5
Geltende Z.
2
2
3
Die Nullen vor der ersten
Ziffer ungleich null werden
nicht angerechnet!
Faustregel: Eine Aufgabe ohne Fehlerangabe wird „exakt“ gerechnet und erst am Schluss auf
drei geltende Ziffern gerundet.
Berechnen von Mittelwerten und Standardabweichungen
Sind mehrere Messungen vorhanden, so wird mit der Standardabweichung (Stabw.) berechnet, wie
viel die Werte um den Mittelwert (MW) streuen: Wahre Grösse = MW ± Stabw.
Berechnen einer passenden Kurve (Regression oder Ausgleichsgerade)
Liegen x und y-Daten vor, kann der vermutete Zusammenhang mit einer Regression
(z.B. lineare Funktion = Ausgleichsgerade) berechnet werden.
Microsoft Excel
TI N’Spire
Funktion einfügen; Menü Statistik
Beispiel 10 Daten:
=MITTELWERT(B5:B14)
Standardabweichung
=STABW(B5:B14)
Haustaste home:
5. Data & Statistics
Daten in einer Spalte eingeben.
Menü 4. Statistics
1: Stat Calculations
1: One-Variable Stat.
Mittelwert: x
Standardabweichung: σ x
3: Linear Regression
X1 List: a[ ] (1. Spalte)
Y1 List: b[ ] (2. Spalte)
Frequency List: 1 (jeder Wert 1 Mal)
Mit tab zum nächsten Feld
1st Result: c[ ], eine leere Spalte!
Diagramm zeichnen und anwählen
Menü „Diagramm“,
Trendlinie hinzufügen
Typ: linear oder polynomisch,
die „Reihenfolge“ steht für die höchste
Potenz der Potenzfunktion
Optionen: " Gleichung im Diagramm
darstellen
12