berufsmaturitätsschule BMS Formelsammlung Physik

BMS
berufsmaturitätsschule
Formelsammlung Physik
Inhaltsverzeichnis
Fehlerrechnung
Rechnen in der Physik
Wärmelehre
Hydrostatik
Kinematik
Drehbewegungen
Kräfte
Statik
Dynamik
Arbeit, Energie und Leistung
Stoffwerte
2
3
4
5
6
6
7
9
10
11
12
!" #"!$" %&$'!() *+ , *"!- "(. /0 #&() Kollektoren 42 m2
mit Frostschutz
P1 Pumpe
Solarkreislauf
Warmwasser 1‘700 Liter/Tag
Speicher 1‘000 Liter
bestehend, mit Gaskessel
beheizt.
Gaskessel, Heizung und
Warmwasser, 55 kW
Pumpe für die
Umschichtung, wenn der
Solarspeicher wärmer ist.
Kombispeicher Solar
3‘400 Liter mit zwei
Wärmetauschern
Formelsammlung
Geltende Ziffern
Zahl
25
2’500
0.00250
Geltende Z.
2
4
3
Zahl
2.5 ⋅ 10
3
2.5
2.50 ⋅ 10−3
Geltende Z.
2
2
3
Faustregel: Eine Aufgabe
wird „exakt“ gerechnet und am
Schluss auf drei geltende
Ziffern gerundet.
Fehlerrechnung
Einzelmessung
Absoluter Fehler
relativer Fehler
Bsp: b = (75.0 ± 0.8)mm
wahre Grösse = Messwert ± abs. Fehler
abs.Fehler
relativer Fehler =
Messwert
Bsp: b = 75.0mm ± 1.1%
Regeln der Fehlerrechnung
Algebraische Summe:
Multiplikation und Division:
Addition der absoluten Fehler
Addition der relativen Fehler
Summen und Produkte müssen getrennt behandelt werden!
Hinweis:
Beispiel:
Faktoren und Brüche wie π , 1 / 2 sind exakt, also ohne Fehler
1 / 2 ⋅ (75.0 ± 0.8) mm = (37.5 ± 0.4) mm = 37.5 mm ± 1.1%
Mehrere Messungen
Mittelwert und Standardabweichung
Wahrer Wert = Mittelwert ± Standardabweichung
1C
Berechnen einer passenden Kurve
Regression oder Ausgleichsgerade
Liegen x und y-Daten vor, wird der
Zusammenhang mit einer Regression
(lineare Funktion = Ausgleichsgerade) berechnet.
Gasausdehnung
120
100
80
y = 0.31x + 88.296
60
40
Beispiel
20
• Messung „ideales Gas“ mit sechs Messwerten
• Darstellung im Länge-Temperatur-Diagramm
• Ausgleichsgerade mit Funktionsgleichung
Länge [mm]
0
0
20
40
60
80
Microsoft Excel
TI N’Spire
Funktion einfügen; Menü Statistik
Beispiel 10 Daten:
=MITTELWERT(B5:B14)
Standardabweichung
=STABW(B5:B14)
Haustaste home c
3: List & Spreadsheet
Daten in einer Spalte eingeben.
Menü 4. Statistics
1: Stat Calculations, 1: One-Variable Stat.
Mittelwert: x , Standardabweichung: σ x
Diagramm (x-y-Punkt) zeichnen
Menü „Diagramm“,
Trendlinie hinzufügen
Typ: linear oder polynomisch,
die „Reihenfolge“ steht für die höchste Potenz
der Potenzfunktion
Optionen:
3: Linear Regression
Daten in zwei Spalten
X1 List: a[ ] (1. Spalte)
Y1 List: b[ ] (2. Spalte)
Frequency List: 1 (jeder Wert 1 Mal)
100
BMS Physik
Formelsammlung
Gleichung im Diagramm darstellen
Physikalische Grössen
Grösse = Zahlenwert ⋅ Einheit (⋅ Richtung )
Vektor g
r
g = 9.81 m/s2 (Betrag)
Einheiten kombinieren:
1 ms
m
N
=1 2 =1
1s
kg
s
r
Zahlenwert, Einheit, Richtung
r 
m
m
g =  0 / − 9.81 2  = 9.81 2 ⋅ (0/ - 1)
s 
s

kg ⋅ m
1N = 1 2
s
Zehnerpotenzen, SI Vorsätze
Faktor
10-18
10-15
10-12
10-9
10-6
10-3
10-2
10-1
Vorsatz
Atto
Femto
Pico
Nano
Mikro
Milli
Zenti
Dezi
Zeichen
a
f
p
n
µ
m
c
d
Faktor
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
Vorsatz
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zeichen
d
h
k
M
G
T
P
E
Trigonometrie
HY
Nur im rechtwinkligen Dreieck
sin(α ) =
GK
HY
cos(α ) =
AK
HY
tan(α ) =
GK
AK
GK
α
AK
Beliebiges Dreieck
Sinussatz
Cosinussatz
a
b
c
=
=
= 2r
sin α sinβ sin γ
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(γ )
Umkreisradius r
Vektoren in der Physik
vy
r
Vektor kartesisch: v = (v x / v y ) = (v ⋅ cos(α ) / v ⋅ sin(α ) )
Koordinaten:
v x = v ⋅ cos(α )
Winkel α
immer von der positiven x-Achse weg
Vektoraddition
r r r
v = v1 + v2 Summe
r
r
r
veff = veigen + vMedium
α
v y = v ⋅ sin(α )
vx
Beispiel
graphisch durch verschieben und „anhängen“
rechnerisch kartesischen Koordinaten (siehe oben)
Summe
TI N’Spire
Kartesisch
Vektoren eckigen Klammern, Komma als Trennzeichen
v x ,v y
Polarform
[Betrag , ∠Winkel ]
[
Vektor
]
[
]
Umrechnung: v x ,v y Polar
Formelsammlung
Betrag
r
v = v = v x2 + v y2
„Länge“ des Vektors
Winkel
α = arc tan (v y / v x )
BspǤ (10 m/s, ∠150°) ≅ ( −8.66 / 5.0 ) m/s Wärmelehre
Die Temperatur
T = ϑ + 273K
Die absolute Temperatur T wird in Kelvin angegeben
77 K = -196°C
Beispiel flüssiger Stickstoff:
ϑ in°C
Erwärmung und Ausdehnung
feste Körper: Länge
feste Körper: Volumen
∆l = l0 ⋅ α ⋅ ∆T
α linearer Ausdehnungskoeffizient
∆V ≈ V0 ⋅ 3α ⋅ ∆T
γ ≈ 3α
Flüssigkeiten: Volumen
∆V = V0 ⋅ γ ⋅ ∆T
Volumenausdehnungskoeffizient γ
Mischprozesse
∆Qauf = ∆Qab Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe sind gleich
Temperaturdifferenzen
∆T1 = ϑ1 − ϑmisch bzw. ∆T2 = ϑmisch − ϑ2 sind verschieden
[α ] = [γ ] = K −1 = 1 K
Spezifische Wärme
Wärmemenge
∆Q
[∆Q] = J, kJ, MJ
fest
∆Q = m ⋅ c fest ⋅ ∆T
spez. Wärmekapazität c
fest-flüssig
∆Q = m ⋅ L f
spez. Schmelzwärme Lf
flüssig
∆Q = m ⋅ c flüssig ⋅ ∆T
spez. Wärmekapazität c
flüssig-gasförmig ∆Q = m ⋅ Lv
Leistung
P = ∆Q / ∆t
Beispiel Wasser
Schmelztemperatur:
0°C
Verdampfungstemperatur: 100°C
spez. Verdampfungswärme Lv
J
kg ⋅ K
[L] = J
kg
[c] = J
kg ⋅ K
[L] = J
kg
[P ] = J/s = W
siehe S. 11
Temp [°C]
Aggregatszustand Wasser
120
2
100
spezifische Wärmekapazität
cEis = 2.1 kJ/(kg K)
cWasser = 4.182 kJ/(kg K)
80
Lf = 333.8 kJ/kg
spez. Schmelzwärme
Lv = 2’256 kJ/kg
spez. Verdampfungswärme
20
60
3
40
5
0
-20
-40
-60
[c] =
0
Q [kJ]
1000
4
2000
3000
4000
BMS Physik
Formelsammlung
Ideale Gase
Dichte umrechnen:
m
V
kg
kg
1000 3 = 1
m
l
Tipp: V0 = 1.0 m 3
Normbedingungen
p0 = 1.013 ⋅105 Pa = 1.013 bar
Dichte (rho)
[ρ] =
ρ=
Gasgleichung
absolute Temperatur T
absoluter Druck p
kg
m3
kg
g
=1 3
l
cm
bei Normbedingungen einsetzen
1
p1 ⋅ V1 p2 ⋅ V2
=
T1
T2
nur in Kelvin!
pabs = prel. + pLuft
T = 273K
für konstante Gasmengen!
Luftdruck: pLuft ≈ 1bar
5
1 mbar =100 Pa = 1 hPa
Druckumrechnung
1 bar = 10 Pa
Tipp:
Veränderliche Gasmengen jeweils in Normbedingungen umrechnen.
Aero- und Hydrostatik
Begriff
Definition, Formel
Einheit
Gewichtskraft
FG = m ⋅ g
[F ] = N = kg ⋅2 m
Hinweise
Masse m in kg
Kraft F in N.
Druck
F
p=
A
Pascal Pa
Druck ist eine skalare Grösse!
Kraft und Begrenzungsfläche sind
gerichtete Grössen.
s
N
[ p] = Pa = 2
m
kg
m3
m
Dichte
ρ=
V
Schweredruck p S = ρ ⋅ g ⋅ h
[ρ ] =
Auftriebskraft
Dichte der
Flüssigkeit,
Volumen der
verdrängten
Flüssigkeit.
FA = ρ Fl . ⋅ g ⋅ VFl .
Flüssigkeit oder
auch Gas
Text siehe unten
[ p] = Pa =
SI-Einheit! ρ Wasser = 1'000
N
m2
Formulierung nach Archimedes:
Die Auftriebskraft ist gleich gross wie
die Gewichtskraft des verdrängten Mediums.
kg
m3
Gilt für inkompressible Flüssigkeiten
unabhängig von der Form!
Sinken: FA < FG
Schweben: FA = FG
Schwimmen:
FA = FG nur ein Teil des Körpers
taucht ein.
FA
Ein schwimmender Körper taucht genau so weit ein,
dass Auftriebs- und Gewichtskraft gleich gross sind.
F
Formelsammlung
Kinematik
∆s
[v] = m/s
∆t
Umrechnung:
1 m/s = 3.6 km/h
∆s = v ⋅ ∆t nur mit der mittleren Geschwindigkeit!
∆v
a=
[a] = m/s 2
∆t
Mittlere Geschwindigkeit
v=
Strecke
Beschleunigung
25
Gleichförmige, geradlinige Bewegung
s-t-Diagramm
Beispiel ohne Beschleunigung
Gerade 1:
s1 (t ) = v1 ⋅ t
Steigung positiv + 2 m/s
Gerade 2:
s2 (t ) = s20 + v2 ⋅ t
Steigung negativ -3 m/s
Schnittpunkt: zur selben Zeit am selben Ort
kreuzen
15
10
5
t [s]
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-5
überholen
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
25
s [m]
s-t-Diagramm
Parabel:
s [m]
20
20
r
r r
r
s (t ) = s0 + v0 ⋅ t + 0.5 ⋅ a ⋅ t 2
15
im Scheitelpunkt gilt: v = 0
10
Geschwindigkeit als Steigung im s-t-Diagramm
Mittlere Geschwindigkeit: Sekante
Momentangeschwindigkeit: Tangente
5
t [s]
0
-2
-1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
-5
v [m/s]
25
v-t-Diagramm
20
Momentangeschwindigkeit: v (t ) = v0 + a ⋅ t
r
r
r
15
10
Beschleunigung: Steigung im v-t-Diagramm
Zurückgelegte Strecke = Fläche unter der Kurve
5
-2
0
-1 -5 0
-10
Mittlere Geschwindigkeit: v =
Ort und Geschwindigkeit
ohne Zeit
v1 + v2
(Diagr.)
2
v 2 = v02 + 2a ⋅ ∆s
∆s = (s − s0 )
-15
-20
5
6
t [s]
BMS Physik
Formelsammlung
Freier Fall und senkrechter Wurf
Konstante Beschleunigung
Vorzeichenkonvention:
Geschwindigkeit
a = − g , Fallbeschleunigung
g = 9.81 m/s2
nach oben = positiv, nach unten = negativ!
v(t ) = v0 − g ⋅ t (Gerade)
Höhe
Steigzeit
h(t ) = h0 + v0 ⋅ t − 0.5 ⋅ g ⋅ t 2 (Parabel)
t Steig = v0 / g
Steighöhe
hSteig = v02 / (2 g )
max. Höhe: v = 0
Der horizontale Wurf
Überlagerung: Horizontale Bewegung mit vx = konstant und freier Fall.
Geschwindigkeit
Ort
Bewegung horizontal v x = v0
x = v0 ⋅ t
vx = v0
vy
Freier Fall vertikal
vy = −g ⋅t
y = −0.5 ⋅ g ⋅ t 2
r
Momentangeschwindigkeit v = (v x / v y ) siehe Skizze rechts
v0
Der schiefe Wurf ohne Luftwiderstand
Überlagerung: horizontale Bewegung und senkrechter Wurf.
α ist der Startwinkel zwischen v0 und der Horizontalen
α
vx = v0 cos(α)
Bewegung horizontal
Geschwindigkeit
v x (t ) = v0 ⋅ cos(α )
Ort
x(t ) = v0 ⋅ cos(α ) ⋅ t
Wurf vertikal
v y (t ) = v0 ⋅ sin(α ) − g ⋅ t
y(t ) = h0 + v0 ⋅ sin(α ) ⋅ t − 0.5 ⋅ g ⋅ t 2
Wurfparabel (x / y)
f ( x) = y = x ⋅ tan(α ) −
g
⋅ x2
2 ⋅ v ⋅ cos(α ) 2
2
0
vy0 =
v0 sin(α)
ohne Zeit
Drehbewegungen
Frequenz (Drehzahl)
Winkel im Bogenmass
Winkelgeschwindigkeit
Bahngeschwindigkeit
n 1
U
U
=
Bsp: 6′000
= 100 = 100 Hz
t T
min
s
n = Anzahl Umdrehungen, t = Zeit, T = Umlaufzeit, 1 Periode,
Bogenlänge
ϕ=
dimensionslos, Einheit rad, π rad = 180°
r
s =ϕ ⋅r
[s] = m Weg = Länge Kreisbogen
∆ϕ 2π
=
[ω ] = s −1 Winkel im Bogenmass! (omega)
ω=
t
T
∆ϕ ⋅ r
v=
=ω⋅r
[v] = m/s
∆t
f =
Zentripetalbeschleunigung
v2
az = = ω 2 ⋅ r
r
v = Bahngeschwindigkeit
[a z ] = m/s 2
[v] = m/s
Die Beschleunigung
aZ zeigt ins
Kreiszentrum!
Formelsammlung
Kräfte
Gewichtskraft
Erdbeschleunigung
r
r
FG = m ⋅ g
g = 9.81 m/s2
[F ] = N = kg ⋅ m / s2
Richtung ( 0 / −1)
Federkraft (Hooke)
∆F = D ⋅ ∆s
Federkonstante D in N/m,
D = Steigung im F-s-Diagramm
Spannarbeit als Fläche
Reibungskraft
µ (mü)
FR = µ gleit ⋅ FN
dimensionslose Reibungszahl
immer gegen die Bewegungsrichtung
FR = µ roll ⋅ FN
analog für die Rollreibung
FR ≤ µ 0 ⋅ FN
Haftreibung als Maximalwert
Die Normalkraft FN steht rechtwinklig zur Unterlage (s. schiefe Ebene)
Luftwiderstand
Gravitationskraft
Erde
FLW = 0.5 ⋅ ρ ⋅ CW ⋅ A ⋅ v 2 Dichte der Luft ρ, ca. 1.2 kg/m3,
Luftwiderstandsbeiwert CW (dimensionslos), Frontfläche A in m2
Geschwindigkeit v in m/s.
m1 ⋅ m2
r2
M = 5.976 1024 kg
F =G⋅
N ⋅ m2
Gravitationskonstante
kg 2
Erdradius r0 = 6'371 km
G = 6.673 ⋅10 −11
Kräfte addieren und zerlegen
Kräfte können addiert werden, wenn sie im selben Punkt angreifen.
Vektoraddition siehe Seite 3.
Kräfte zerlegen
Richtungen parallel verschieben,
Parallelogramm zeichnen
r r
r
Vektorgleichung: F1 + F2 = F
Schiefe Ebene
Vorgehen
x-Richtung
y-Richtung
y-Richtung
x-Richtung
Koordinatensystem einführen, die Vorzeichen richten sich nach dem
Koordinatensystem. Die Gewichtskraft in zwei Komponenten zerlegen
r
FG = (FGx ; FGy )
y
FGx = FHang = − m ⋅ g ⋅ sin(α )
FGy = −m ⋅ g ⋅ cos(α )
r
r
Normalkraft FN = − FGy
Reibungskraft
FRx = µ ⋅ FN = ± µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos(α )
Das Vorzeichen richtet sich nach
der Bewegungsrichtung.
x
FGx=FHang
FGy
BMS Physik
Formelsammlung
Statik
Grundgesetz Statik (Systeme ohne Beschleunigung)
Die Summe aller Kräfte
ist gleich null.
Die Summe aller Drehmomente ist null.
Bzw. links- und rechtsdrehende Drehmomente heben sich auf.
Aufgabentypen
Kräfte addieren: Beispiel
Lagerbelastung durch Seilkräfte
Kräfte zerlegen: Beispiel Last auf
zwei Seilrichtungen verteilen
Drehmomente: Wenn die Kräfte an
verschiedenen Punkten angreifen.
Der Schwerpunkt
Für Drehmoment- und Energiebetrachtungen wird die gesamte Masse
konzentriert im Schwerpunkt eingesetzt.
Rollen
Eine Rolle lenkt Seilkräfte um.
Flaschenzug
Die festen Rollen lenken die Kräfte nur um.
Entscheidend ist die Anzahl der losen Rollen:
jede lose Rolle bewirkt eine Halbierung der Kraft
Drehmoment
F
F
2F
M = F ⋅ r ' = F ⋅ r ⋅ sin(α )
r = Hebellänge
r’ = wirksame Hebellänge
rechtwinklig zur Angriffslinie.
Winkel α zwischen Hebel und Kraft
Vorzeichen: Drehmomente im Uhrzeigersinn
normalerweise negativ
Auflagerkräfte
Vorgehen
Eine Drehachse bei A (oder B) wählen.
Längen l horizontal d.h. rechtwinklig zu den
Kräften bis zu A messen.
Alle Drehmomente für die Achse A notieren,
Gleichung der Drehmomente:
FG1 ⋅ l1 + FG 2 ⋅ l2 = FB ⋅ l3
Analog für den Drehpunkt B.
r
r
r
Kontrolle: FA + FB = FG Gewichtskraft total
FB
A
FG1
Lageplan, mit Abmessungen
Kräfteplan nur Winkel
Mst. in Meter m
Mst. in Newton N
FG2
B
Formelsammlung
Dynamik
Vorgehen:
Alle Kräfte einzeichnen. Vektorsumme der Kräfte berechnen.
Die Summe heisst auch resultierende Kraft Fres.
Trägheitsgesetz
Für Fres = 0 bleibt die Geschwindigkeit unverändert konstant.
Für einen PW mit konstanter Geschwindigkeit ist die Antriebskraft
gleich gross wie die Summe aus Rollreibung plus Luftwiderstand.
Bezugsystem
In einem unbeschleunigten Bezugssystem gibt es keine Trägheitskräfte!
Jede Kraft wird von einem anderen Körper verursacht.
Die Gewichtskraft durch die Erde usw.
Beispiel Bremsen
Die Bremskraft wirkt der
der Geschwindigkeit entgegen.
Dank (Haft) Reibung ist Bremsen möglich!
FBrems
Fres = m ⋅ a = Reibungskraft = µ ⋅ m ⋅ g
r
r
F
Grundgesetz der Dynamik: res = m ⋅ a
r
r
Fres und a sind immer parallel!
Die Vektorsumme aller Kräfte ergibt die resultierende Kraft.
Aktion und Reaktion greifen an verschiedenen
Körpern an und
sind entgegengesetzt
gleich gross.
Egal ab eine oder beide
Personen ziehen, es gilt:
r
v
FA = −FB
Zwei Körper-System Die Gesamtmasse (m1 + m2) muss beschleunigt werden!
7
6
Summe in Punkt A: g⋅ m1 − g⋅ m2 ist die „Antriebskraft“
und resultierende Kraft.
Beschleunigung des Gesamtsystems:
g ⋅ (m1 − m2 ) = (m1 + m2 ) ⋅ a
Die Seilkraft FSeil ist grösser als m2 ⋅ g und kleiner als m1 ⋅ g .
Überlegung: Sonst resultiert keine beschleunigte Bewegung.
Die Seilkräfte links und rechts sind gleich gross:
Aktion und Reaktion!
7
7ε6
6
Für die Berechnung der Seilkraft wird nur eine Masse
betrachtet. Die Beschleunigung muss bekannt sein
(Skizze rechts).
89:;
Fres2
m2
FG2
v
BMS Physik
Formelsammlung
Arbeit, Energie und Leistung
Arbeit work
r r
W = F ⋅ s ⋅ cos(ϕ ) = F o s Skalarprodukt! Einheit: 1 Nm= 1 Joule
Energie
∆E = P ⋅ ∆t
Einheiten: 1 J = 1 Ws, 1 kWh = 1000 W ⋅ 3600 s = 3.6 MJ
Die Energieerhaltung
Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden.
Wenn das System umfassend gewählt wird, bleibt die Summe der Energie erhalten.
W ∆E
=
Mittel
∆t ∆t
Leistung power
P=
Momentanleistung
P = F ⋅v
Wirkungsgrad
η=
Nutzen
Output
=
Aufwand Input
Arbeit für die Berechnung eines Prozesses
W = m ⋅ g ⋅ ∆h
Beschleunigungsarbeit
W = m⋅a⋅s
resultierende Kraft mal Strecke
Reibungsarbeit
J
und 1 PS ≈ 736 W
s
Einheit: N ⋅ m/s = W
Arbeit (Prozessgrösse)
Hubarbeit
Einheit: 1 W = 1
W = FR ⋅ s = µ ⋅ FN ⋅ s
Chemische Energie (z.B. Treibstoff) wird in
mechanische Antriebsenergie umgewandelt.
Spannen einer Feder:
W = FFeder ⋅ ∆s / 2
Fläche unter der Kurve, siehe S. 8
dimensionslos, übliche Angabe in %
Energieform (Zustandsgrösse)
Energie ist gespeicherte Arbeit.
potentielle Energie
E pot = m ⋅ g ⋅ h
m 2
⋅v
2
Speicherung als innere Energie U (Wärme)
kinetische Energie
E kin =
Emech = η ⋅ m ⋅ Hu
Nutzen
Heizwert Hu, Wirkungsgrad und Masse
D
2
Elastische Energie
Eelastisch = ⋅ (∆s )
2
Die Zeit kommt in der Regel nicht vor und
der detaillierte Verlauf zwischen zwei Zuständen braucht nicht bekannt zu sein.
Anleitung zum Lösen von Aufgaben
Alle Energieformen notieren. Summen gleich setzen und nach der gesuchten Grösse auflösen.
Energieform
Potentielle Energie
Kinetische Energie
Elastische Energie
Innere Energie U
Summe, Total
Zustand 1
Zustand 2
m ⋅ g ⋅ h1
m 2
⋅ v1
2
2
0.5 ⋅ D ⋅ (∆s1 )
m ⋅ g ⋅ h2
m 2
⋅ v2
2
2
0.5 ⋅ D ⋅ (∆s2 )
W = FR ⋅ s „Verluste“
„Antriebsenergie“
Summe 1 = Summe 2
Formelsammlung
Quelle Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli
BMS Physik
Formelsammlung