Reelle Zahlen - robert

Reelle Zahlen (R)
Bisher sind bekannt:
Natürliche Zahlen (N): N = {1,2,3,4,5,6.....}
Ganze Zahlen (Z):
Z = {..... − 3, − 2, − 1,0,1,2,3.....}
Rationale Zahlen (Q):
2
1


Q = ..... − 2 .... − 2.... − 1,8...0....1...3 .....4,6....
3
5


Man erkennt:
1.)
Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große Lücken.
2.)
Das gilt auch für die ganzen Zahlen.
3.)
Die rationalen Zahlen liegen sehr dicht zusammen. Das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen
immer noch unendlich viele weitere rationale Zahlen.
Das kann man auch auf dem Zahlenstrahl für die einzelnen Zahlbereiche erkennen:
Zahlenstrahl für N:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11  -3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
8
2
8
3
8
Zahlenstrahl für Z:
Zahlenstrahl für Q:
-1
−
7
6
5
−
−
8
8
8
−
4
8
−
3
8
−
2
8
−
1
8
4
8
5
8
6
8
7
8
1
Der Zahlenstrahl für die Rationalen Zahlen könnte man jetzt noch weiter vergrößern und sich dann den Zwischenraum von -1/8 bis +1/8 anschauen:
−
1
8
−
7
64
−
4
64
−
1
64
0
1
64
Oder man könnte berechnen:
Welche Rationale Zahl liegt in der Mitte zwischen
1
1
und ?
2
3
1 3
6
= =
2 6 12
in der Mitte liegt also :
7
12
1 2 8
= =
3 6 12
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3
64
6
64
1
8
Oder man berechnet den Mittelwert zwischen
1
1
und :
2
3
 1 1
 + :2 =
2 3
3 2
6 + 6:2 =


5
5
:2=
6
12
Bisher sind folgende Arten von Dezimalzahlen bekannt:
1.) Abbrechende Dezimalzahlen:
2.) Reinperiodische Dezimalzahlen:
1,2
3,4
3,75
5,25
3.) Gemischtperiodische Dezimalzahlen:
4,12
0,835
6,083 usw.
0,3 usw.
usw.
Umwandlung dieser Dezimalzahlen in Brüche und umgekehrt:
1.) Abbrechende Dezimalzahlen Brüche:
2.) Brüche Dezimalzahlen:
8
4
=
10 5
45
9
=
0,45 =
100 20
125
1
=2
2,125 = 2
1000
8
3
= 3 : 5 = 0,6
5
7
= 7 : 8 = 0,875
8
6
= 6 : 7 = 0,857142
7
0,8 =
3.) Reinperiodische Dezimalzahlen Brüche:
4
9
27
1,27 = 1
99
3,4 = 3
4 31
=
= 31: 9 = 3,444444.....
9 9
27 126
=
= 126 : 99 = 1,27272727.........
1
99
99
3
4.) Gemischtperiodische Dezimalzahlen Brüche:
0,12
1
10
2 1
=1 ⋅
9 10
11⋅ 1
=
9 ⋅ 10
11
=
90
= 1,2 ⋅
1,815
1
10
15 1
= 18
⋅
99 10
1797 ⋅ 1
=
99 ⋅ 10
1797
=
990
= 18,15 ⋅
MERKE:
Jede Dezimalzahl lässt sich in einen Bruch umformen und umgekehrt. Das gilt für alle Rationalen Zahlen.
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Irrationale Zahlen
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
2
1.) Zeichne in das Koordinatensystem ein Quadrat mit einer Fläche von 2 cm . Ein Eckpunkt des Quadrats
soll dabei bei (0/0) liegen.
Wie lang ist dann die Seite dieses entsprechenden Quadrats? Messe nach und kontrolliere durch Rechnung, ob der gemessene Wert genau ist.
Gemessene Seitenlänge:
Kontrollrechnung:
A=
2.) Verlängere die Seiten des gefundenen Quadrats von (0/0) aus in beide Richtungen, zeichne dann neue
Quadrate, deren Eckpunkte auf vollständigen Koordinaten liegen, bestimme deren Flächeninhalte und
denke über die Seitenlängen der Quadrate nach. Notiere deine Ergebnisse in der folgenden Tabelle:
Nr.
Fläche des Quadrats
Seitenlänge des Quadrats
3.) Wie groß wäre die Fläche eines so gefundenen 10. Quadrates (15. Quadrates, n-ten Quadrates)?
Fläche des 10. Quadrates :
A10 =
cm
2
Fläche des 15. Quadrates:
A15 =
cm
2
Fläche des n-ten Quadrates:
An =
cm
2
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Irrationale Zahlen
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
2
4.) Zeichne in das Koordinatensystem ein Quadrat mit einer Fläche von 2 cm . Ein Eckpunkt des Quadrats
soll dabei bei (0/0) liegen.
Wie lang ist dann die Seite dieses entsprechenden Quadrats? Messe nach und kontrolliere durch Rechnung, ob der gemessene Wert genau ist.
Gemessene Seitenlänge:
1,4 cm
Kontrollrechnung:
A = 1,4 ⋅ 1,4 = 1,96 cm2
5.) Verlängere die Seiten des gefundenen Quadrats von (0/0) aus in beide Richtungen, zeichne dann neue
Quadrate, deren Eckpunkte auf vollständigen Koordinaten liegen, bestimme deren Flächeninhalte und
denke über die Seitenlängen der Quadrate nach. Notiere deine Ergebnisse in der folgenden Tabelle:
Nr.
Fläche des Quadrats
Seitenlänge des Quadrats
1
2 cm
2
2 ≈ 1,4142...
2
8 cm
2
8 ≈ 2,8284...
3
18 cm
2
18 ≈ 4,2426...
4
32 cm
2
32 ≈ 5,6568...
6.) Wie groß wäre die Fläche eines so gefundenen 10. Quadrates (15. Quadrates, n-ten Quadrates)?
Fläche des 10. Quadrates :
A10 =
200 cm
2
Fläche des 15. Quadrates:
A15 =
450 cm
2
Fläche des n-ten Quadrates:
An =
2 ⋅ n2 cm
2
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Die Seitenlänge des 1. Quadrates muss die Bedingung erfüllen, dass sie mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.
Das folgt unmittelbar aus der Flächenformel des Quadrats:
A = a⋅a
Gesucht ist also eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Diese Zahl lässt sich durch abtragen der
Länge auf die x-Achse zeichnerisch finden. Man erkennt, dass diese Zahl zwischen 1 und 2 und kurz vor der
Zahl 1,5 liegen muss.
8
72
32 cm
6
52
18 cm
4
32
8 cm
2
2
2 cm1
-4
-3
-2
-1
1
2
2
3
4 18 5
8
6
32
Wie heißt diese Zahl aber genau? Versuche, eine Zahl zu finden, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt.
Diese Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie ist eine Dezimalzahl, die niemals abbricht und sich in ihrer
Ziffernfolge niemals wiederholt. Diese Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt, wird in der Mathematik
bezeichnet mit 2 .
Der Taschenrechner liefert für diese Zahl 2 das Ergebnis 1,414213562. Dieses Ergebnis ist gerundet und
bedeutet nicht den genauen Wert. Durch schriftliches Nachrechnen kann man das erkennen:
1,
4
1
4
2
1
3
5
6
2
⋅
1,
4
1
4
2
1
3
5
6
2
1
4
5
1
6
1
4
5
4
5
2
6
1
6
2
1
8
4
5
8
1
3
5
2
6
2
4
4
5
4
1
8
8
1
2
7
6
2
3
5
4
4
4
0
8
2
4
5
4
2
2
2
7
4
2
8
6
2
7
1
6
1
8
8
2
4
1
3
4
0
5
2
8
2
5
0
6
2
8
4
6
6
7
8
4
2
8
8
1
2
6
1
3
7
0
7
1
2
2
4
8
9
4
4
7
2
7
8
4
4
1
9
9
9
9
9
9
9
9
Seite 5 von 25
MERKE:
Es gibt keine rationale Zahl x, die die Bedingung x ⋅ x = 2 ; (x ⋅ x = 8 ; x ⋅ x = 18 ; x ⋅ x = 32) erfüllt. Die Zahl, die
die Bedingung x ⋅ x = 2 erfüllt, ist eine irrationale Zahl.
Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen, die niemals abbrechen, die aber auch keine Wiederholung in ihrer
Ziffernfolge aufweisen.
Irrationale Zahlen können deshalb nur gerundet angegeben werden.
Die abkürzende mathematische Schreibweise für die irrationale Zahl x, die die Bedingung x ⋅ x = 2 erfüllt,
lautet 2 (gelesen: Wurzel aus 2) und lautet gerundet: 1,414213562.
2 ≈ 1,414213562
Radikant
Man fasst die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen zur Gruppe der reellen Zahlen (R) zusammen.
3


R = ..... − 8..... − 2,4..... − ....0....1..... 2....2,9.....3...
4


In einem Diagramm lassen sich die 4 Zahlengruppen N, Z, Q, R wie folgt darstellen:
R
Q
Z
N
Notierung der Wurzel der ersten 10 natürlichen Zahlen (gerundet auf 3 Nachkommastellen):
1=1
1⋅ 1 = 1
2 ≈ 1,414
denn :
1,414 ⋅ 1,414 ≈ 2
3 ≈ 1,732 denn :
1,732 ⋅ 1,732 ≈ 3
4=2
denn :
2⋅2 = 4
5 ≈ 2,236 denn :
2,236 ⋅ 2,236 ≈ 5
6 ≈ 2,449
denn :
2,449 ⋅ 2,449 ≈ 6
7 ≈ 2,646 denn :
2,646 ⋅ 2,646 ≈ 7
8 ≈ 2,828
denn :
2,828 ⋅ 2,828 ≈ 8
9 =3
3⋅3 = 9
10 ≈ 3,162 denn :
denn :
denn :
Seite 6 von 25
3,162 ⋅ 3,162 ≈ 10
Man erkennt: Nur bestimmte natürliche Zahlen liefern als Ergebnis einer Wurzel wieder eine natürliche Zahl,
z.B. 1, 4, 9.
Setzt man diese Reihe fort, so erhält man:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, …….
Diese Teilmenge der natürlichen Zahlen nennt man „Quadratzahlen“.
1=1
4=2
9 =3
16 = 4
25 = 5
36 = 6
49 = 7
64 = 8
81 = 9
100 = 10
121 = 11
144 = 12
169 = 13
196 = 14
225 = 15
256 = 16
289 = 17
324 = 18
361 = 19
400 = 20
625 = 25
Wurzeln aus Dezimalzahlen und Brüchen:
1,44 = 1,2
denn :
1,2 ⋅ 1,2 = 1,44
0,04 = 0,2
denn :
0,2 ⋅ 0,2 = 0,04
0,81 = 0,9
denn :
0,9 ⋅ 0,9 = 0,81
4 2
=
9 3
denn :
2 2 4
⋅ =
3 3 9
16
4
=
225 15
denn :
4 4
16
⋅
=
15 15 225
denn :
6 6 36
11
⋅ =
=1
5 5 25
25
1
11
=
25
36 6
=
25 5
Kommaverschiebungsregel beim Wurzelziehen
Betrachte folgende Reihe und versuche die Wurzel zu ziehen:
0,000004 = 0,002
4 =2
3
6
0,00004 ≈ 0,006324555
40 = 6,32455532
0,0004 = 0,02
400 = 20
4
2
1
2
0,004 ≈ 0,063245553
4000 = 63,2455532
0,04 = 0,2
40.000 = 200
1
2
4
2
0,4 = 0,632455532
400.000 = 632,455532
4=2
4.000.000 = 2.000
6
Seite 7 von 25
3
Quadrieren Radizieren
a
a
a2
a
a2
a
0
0
0
0
0
0
9
3
9
9
81
9
2,25
1,5
2,25
2,25
5,0625
2,25
144
12
144
144
20736
144
4
25
2
5
4
25
4
25
16
625
4
25
-16
n.l.
n.l.
-16
256
16
-0,49
n.l.
n.l.
-0,49
0,2401
0,49
Man erkennt: Bei positiven a (a ≥ 0) gibt es keine Unterschiede. Ist a aber negativ so gilt:
↑2
−16 → nicht lösbar →
nicht lösbar, aber :
↑2
−16 →
256 → 16
Merke:
1.) a ≥ 0
⇒
( a)
2
=a
und :
(a )
2
=a
=9
und :
(9 )
2
=9
und :
81 = 9
und :
(a )
und :
( −9 )
und :
81 = 9
Beispiel :
⇒
( 9)
2
⇒ 32 = 9
denn :
2.) a < 0
⇒
( a)
2
={
}
2
=a
Beispiel :
⇒
(
−9
)
2
={
}
2
=9
denn :
Daraus folgt:
Ist die Zahl unter der Wurzel (Radikand) größer oder gleich Null, so spielt es keine Rolle, ob man zuerst
quadriert und dann radiziert oder umgekehrt vorgeht, das Ergebnis bleibt gleich.
Ist die Zahl unter der Wurzel aber negativ (kleiner als Null), so ergeben die beiden Vorgehensweisen unterschiedliche Ergebnisse.
Deshalb ist die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert:
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−16 = nicht lösbar!
Das Heron-Verfahren
Frage: Wie kann man näherungsweise die Wurzel einer Zahl bestimmen?
Hier einige Beispiele:
5 ≈ 2,236067978
2< 5 <3
denn :
2⋅2 = 4 < 5 < 9 = 3⋅3
0,5 ⋅ (2 + 3) = 0,5 ⋅ 5 = 2,5 (Mittelwert von 2 und 3)
5
) = 0,5 ⋅ (2,5 + 2) = 0,5 ⋅ 4,5 = 2,25
2,5
5
0,5 ⋅ (2,25 +
) = 0,5 ⋅ (2,25 + 2,2) = 0,5 ⋅ 4,472 = 2,2361
2,25
5
0,5 ⋅ (2,2361 +
) = 0,5 ⋅ (2,2361 + 22,236025) = 0,5 ⋅ 4,472136 = 2,236068
2,2361
0,5 ⋅ (2,5 +
20 ≈ 4,472135955
4 < 20 < 5
denn :
4 ⋅ 4 = 16 < 20 < 25 = 5 ⋅ 5
0,5 ⋅ (4 + 5) = 0,5 ⋅ 9 = 4,5 (Mittelwert von 4 und 5)
20
) = 0,5 ⋅ (4,5 + 4,4) = 0,5 ⋅ 8,94 = 4,472
4,5
20
0,5 ⋅ ( 4,472 +
) = 0,5 ⋅ (4,472 + 4,47204969) = 0,5 ⋅ 8,94427192 = 4,472135956
4,472
0,5 ⋅ ( 4,5 +
Bestimme mit diesem Heron-Verfahren näherungsweise folgende Wurzelwerte:
1.)
8 ≈ 2,828427125
2.)
10 ≈ 3,16227766
3.)
30 ≈ 5,477225575
Rechnung Gegenrechnung
+2
−2
6 →
8 →
6
Addition ⇔ Subtraktion
−2
+2
6 →
8 →
6
Subtraktion ⇔ Addition
bisher bekannte Gegenrechnungen!
⋅2
6 → 12 → 6
Multiplikation ⇔ Division
:2
⋅2
6 
→ 8 
→6
Division ⇔ Multiplikation
:2
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↑2
6 → 6 →
6
Radizieren ⇔ Quadrieren
neue Gegenrechnungen!
↑2
6 → 36 → 6
Quadrieren ⇔ Radizieren
MERKE:
Das Quadrieren wird durch das Radizieren (Wurzelziehen) rückgängig gemacht und umgekehrt.
Die Gleichung x2 = a
Aufgabe:
Bestimme die Lösungsmenge (L) der folgenden Gleichungen (G = R) und mache die Probe:
1.) 2x 2 − 1 = 5x 2 − 28
2x + 27 = 5x
Pr obe(1) :
Pr obe(2) :
2 ⋅ 3 − 1 = 5 ⋅ 3 − 28
2 ⋅ ( −3)2 − 1 = 5 ⋅ ( −3)2 − 28
27 = 3x 2
2 ⋅ 9 − 1 = 5 ⋅ 9 − 28
2 ⋅ 9 − 1 = 5 ⋅ 9 − 28
9 = x2 /
18 − 1 = 45 − 28
18 − 1 = 45 − 28
17 = 17
17 = 17
(w)
(w)
2
9= x
2
2
3 = x1
2
2
−3 = x 2
L = {3 ; − 3}
2.) 4x 2 + 8 = x 2 + 26
Pr obe(1) :
2
Pr obe(2) :
2
3 x + 8 = 26
4 ⋅ 6 + 8 = 6 + 26
4 ⋅ ( − 6)2 + 8 = ( − 6 )2 + 26
3x 2 = 18
4 ⋅ 6 + 8 = 6 + 26
4 ⋅ 6 + 8 = 6 + 26
x = 6/
24 + 8 = 6 + 26
24 + 8 = 6 + 26
32 = 32
32 = 32
(w)
(w)
2
2
x = 6
2
x1 = 6
x2 = − 6
L=
{
6;− 6
}
Seite 10 von 25
3.) 5x 2 + 9 = 3x 2 + 4 + x 2 + 5
Pr obe(1) :
5x + 9 = 4x + 9
5 ⋅ 02 + 9 = 3 ⋅ 02 + 4 + 02 + 5
x2 + 9 = 9
0+9 = 0+4+0+5
2
x = 0/
9 = 0+9
x2 = 0
9=9
2
2
x1 = 0
(w)
(x 2 = 0)
L = {0}
4.) x 2 − 5 = 2x 2 + 2
x 2 − 7 = 2x 2
−7 = x 2
−7 = x 2
L ={
}
MERKE:
2
Für die Gleichung x = a mit a ∈ R gilt:
{
1.) Ist a >0, dann gibt es 2 Lösungen:
L=
a;− a
2.) Ist a = 0, dann gibt es nur 1 Lösung:
L = {0}
3.) Ist a < 0, dann gibt es keine Lösung:
L ={
}
Seite 11 von 25
}
Reelle Zahlen (I)
1.) Notiere, falls möglich, jeweils drei Zahlen, die
a.) gleichzeitig zu N, Z und Q gehören
b.) zu N aber nicht zu Z gehören
c.) zu Q aber nicht zu Z gehören
d.) zu R aber nicht zu Q gehören
2.) Wie heißen die rationalen Zahlen, die auf dem jeweiligen Zahlenstrahl abgebildet sind.
Notiere die Zahlen als Dezimalzahl und als gekürzten Bruch.
a.)
0
A
B
1
C
D E
F
G
H
I
G
H
I
b.)
-1
A
B
0
C
D E
F
3.) Nenne eine rationale Zahl, die
a.) zwischen 0,99 und 1 liegt.
c.) in der Mitte von 2,77 und 2,78 liegt.
e.) in der Mitte von -5,35 und 8,76 liegt.
b.) zwischen 0,598 und 0,599 liegt.
d.) in der Mitte von 10,26 und 20,54 liegt.
1
2
f.) in der Mitte von und
liegt.
6
3
4.) Wandle je nach Aufgabenstellung in einen Bruch oder in eine Dezimalzahl um:
a.) 0,75
h.) 6,45
5.) Es ist
3
5
12
i.)
13
b.)
c.) 7,625
j.) 8,53
d.)
17
20
e.) 0,8
f.) 3
23
50
g.)
7
13
k.) 3,665
3 ≈ 1,7321 .
Bestimme:
a.) 300
b.) 0,03
c.) 30000
d.) 0,0003
6.) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen (G = R):
a.) 5x 2 − 16 + 3x 2 + 5 = 10x 2 + 13 − 4x 2 + 2
b.) 27 − 3x 2 + 18 = 9x 2 + 49 − 13x 2
c.) 8x 2 − 9 − 7x 2 = 9 − x 2 − 19
Seite 12 von 25
Reelle Zahlen (I) (Lösungen)
zu 1.)
a.) 2, 3, 4 usw. (alle natürlichen Zahlen)
b.) Gibt es nicht. Eine Zahl, die zu N gehört, gehört auch automatisch zu Z.
3
c.) 1,8 ; ; − 8,6 usw.
5
d.)
3 ; 8 ; 0,1230123401235.... ; usw. (alle irrationalen Zahlen)
zu 2.)
a.)
A=−
E=
3
= −0,75
4
1
= 0,25
4
1
= −0,5
2
7
= 0,583
F=
12
C=−
1
= −0,75
4
11
= 0,916
G=
12
D=
3
B = −1 = −1,75
4
1
F = − = −0,125
8
3
C = −1 = −1,375
8
3
G = = 0,375
8
D=−
B=−
1
= 0,16
6
1
H = 1 = 1,16
6
5
I = 1 = 1,416
12
b.)
A = −2
E=−
1
= −2,125
8
5
= −0,625
8
H=
3
= −0,75
4
3
= 0,75
4
1
I = 1 = 1,125
8
zu 3.)
a.) z.B. 0,995
c.) 2,775
e.) 8,76-(8,76+5,35) : 2 = 1,705
b.) z.B. 0,5983
d.) (10,26+20,54) : 2 = 15,4
5
5
 1 2
f.)  +  : 2 = : 2 =
6
12
6 3
zu 4.)
75
3
3
625
5
=
b.) = 3 : 5 = 0,6
c.) 7,625 = 7
=7
100 4
5
1000
8
8
23
46
7
=3
= 3,46 g.)
= 7 : 13 = 0,538461
e.) 0,8 =
f.) 3
9
50
100
13
12
= 12 : 13 = 0,923076
i.)
13
1
3 1 768 ⋅ 1 768 128
8
= 85 ⋅
=
=
=
=8
j.) 8,53 = 85,3 ⋅
10
9 10 9 ⋅ 10
90
15
15
1
5 1
3299 ⋅ 1 3299
599
= 366 ⋅
=
=
=3
k.) 3,665 = 366,5 ⋅
100
9 100 9 ⋅ 100
900
900
a.) 0,75 =
17
= 17 : 20 = 0,85
20
45
5
=6
h.) 6,45 = 6
99
11
d.)
zu 5.)
3 ≈ 1,7321 ⇒
a.) 300 ≈ 17,321
b.) 0,03 ≈ 0,17321
c.) 30000 ≈ 173,21
Seite 13 von 25
d.) 0,0003 ≈ 0,017321
zu 6.)
a.) 5x 2 − 16 + 3x 2 + 5 = 10x 2 + 13 − 4x 2 + 2
b.) 27 − 3x 2 + 18 = 9x 2 + 49 − 13x 2
8x 2 − 11 = 6x 2 + 15
45 − 3x 2 = −4x 2 + 49
2x 2 − 11 = 15
−4 − 3x 2 = −4x 2
2x 2 = 26
−4 = − x 2
x 2 = 13
4 = x2
x1 = 13
x1 = 2
x 2 = − 13
x 2 = −2
L=
{
13 ; − 13
}
L = {2 ; − 2}
c.) 8x 2 − 9 − 7x 2 = 9 − x 2 − 19
x 2 − 9 = −10 − x 2
2x 2 − 9 = −10
2x 2 = −1
x 2 = −0,5
x1 = −0,5 ⇒ nicht lösbar!
x 2 = − −0,5 ⇒ nicht lösbar!
L ={
}
Seite 14 von 25
Wurzelgesetze und ihre Anwendungen
Aufgabe:
Vergleiche die folgenden Aufgaben und versuche, ein logisches Ergebnis zu finden. Formuliere dann Regeln
für die unterschiedlichen Rechenarten:
1.)
4⋅ 9 =
2⋅3 = 6
4⋅ 9 =
36 = 6
2.)
16 ⋅ 25 =
4 ⋅ 5 = 20
16 ⋅ 25 =
400 = 20
3.)
2 ⋅ 32 =
4.)
4 + 9 = 2+3 = 5
aber :
4 + 9 ≠ 13
13 ≈ 3,61
5.)
16 + 25 = 4 + 5 = 9
aber :
16 + 25 ≠ 41
41 ≈ 6,40
6.)
2 + 32 ≈ 1,41 + 5,66 ≈ 7,07
aber :
2 + 32 ≠ 34
34 ≈ 5,83
7.)
64 : 4 =
64 : 4 =
64
8.)
100 : 25 = 10 : 5 = 2
100 : 25 =
100
9.)
125 : 5 =
75
10.)
64 − 4 =
11.)
12.)
2 ⋅ 32 =
64 = 8
8:2 = 4
5
=
4
25
=
=
64
= 16 = 4
4
100
= 4=2
25
125
= 25 = 5
5
aber :
64 − 4 ≠ 60
60 ≈ 7,75
100 − 25 = 10 − 5 = 5
aber :
100 − 25 ≠ 75
75 ≈ 8,66
75 − 5 ≈ 8,66 − 2,24 ≈ 6,42
aber :
75 − 5 ≠ 70
70 ≈ 8,34
8−2 = 6
MERKE:
1.) Bei der Multiplikation (Division) von Wurzeln ist es gleichgültig, ob man zuerst die Wurzel zieht und
dann multipliziert (dividiert) oder ob man erst multipliziert (dividiert) und dann die Wurzel zieht:
Für alle a ≥ 0, b ≥ 0 gilt also :
a ⋅ b = a ⋅b
a: b=
a
b
=
a
b
2.) Bei der Addition und Subtraktion gilt dagegen:
a + b ≠ a+b
a − b ≠ a−b
Seite 15 von 25
Wurzelziehen aus Potenzen:
Aufgabe:
Ziehe die Wurzeln aus folgenden Potenzen:
1.)
x4 = x2
denn : x 2 ⋅ x 2 = x 4
2.)
a 6 = a3
denn : a3 ⋅ a3 = a6
3.)
y10 = y 5
denn : y 5 ⋅ y 5 = y10
4.)
25c 6 = 5c 3
denn : 5c 3 ⋅ 5c 3 = 25c 6
5.)
2a3 ⋅ 32a5 = 64a8 = 8a 4
6.)
x 7 : 0,25x =
7.)
3x 3
12x
⋅
=
4y
25y
x7
0,25x
=
x7
= 4x 6 = 2x3
0,25x
3 ⋅ x 3 ⋅ 12 ⋅ y
=
4 ⋅ y ⋅ 25 ⋅ y
9x 4
3x 2
=
2
5y
25 y
MERKE:
Ist der Exponent der Variablen unter der Wurzel eine gerade Zahl, so lässt sich die Quadratwurzel ziehen.
Dazu dividiert man den Exponenten der variablen durch 2.
Addition und Subtraktion von Wurzeln:
1.)
9 + 9 = 3+3 = 6
9 + 9 = 1⋅ 9 + 1⋅ 9 = 2 ⋅ 9 = 2 ⋅ 3 = 6
2.) 3 5 + 2 5 = 5 5
denn :
3 5 + 2 5 = 5 ⋅ (3 + 2) = 5 ⋅ 5 = 5 5
3.) 4 8 − 8 = 3 8
denn :
4 8 − 8 = 8 ⋅ (4 − 1) = 8 ⋅ 3 = 3 8
MERKE:
Man addiert (subtrahiert) Wurzeln mit gleichen Radikanden, indem man die Vorzahlen addiert (subtrahiert)
und die Wurzel beibehält:
Für alle a ≥ 0 gilt also :
3 a+4 a =7 a
7 a +2 a =5 a
Aber: Wurzeln mit verschiedenen Radikanden darf man weder addieren noch subtrahieren!
Seite 16 von 25
Teilweises Wurzelziehen
Mit dem Taschenrechner überprüfen lassen, ob die folgenden Behauptungen richtig sind. Danach wird eine
Begründung erarbeitet:
Behauptung:
1.) 18 = 3 ⋅ 2
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2
2.) 75 = 5 ⋅ 3
75 = 25 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3
3.) 90 = 4 ⋅ 5
90 = 16 ⋅ 5 = 16 ⋅ 5 = 4 ⋅ 5
4.) x5 = x 2 x
x5 = x 4 ⋅ x = x 4 ⋅ x = x 2 x
5.) 32a3 = 4a 2a
32a3 = 16 ⋅ 2 ⋅ a2 ⋅ a = 16a 2 ⋅ 2a = 4a 2a
6.)
y4
y2
=
27
3
y4
=
27
1
3
y4
=
9⋅3
y4
1 y2
=
⋅
9
3
3
1
3
MERKE:
Man zieht die Wurzel teilweise, indem man den Radikanden in ein geeignetes Produkt aus einer Quadratzahl und einer Zahl zerlegt. Danach zieht man die Wurzel aus der Quadratzahl und behält die Zahl unter der
Wurzel bei.
Vorfaktor unter das Wurzelzeichen
Aufgabe:
Bringe den Faktor vor der Wurzel unter das Wurzelzeichen:
1.) 2 5 = 22 ⋅ 5 = 4 ⋅ 5 = 20
2.) 3 10 = 32 ⋅ 10 = 9 ⋅ 10 = 90
3.) 0,2 80 = 0,22 ⋅ 80 = 0,04 ⋅ 80 = 3,2
2
4.)
2
2
27 =   ⋅ 27 =
3
3
4
⋅ 27 = 12
9
5.) a x = a2 ⋅ x = a2 x
2
6.)
x
x
y =   ⋅y =
y
y
x2
⋅y =
y2
x2
y
Die Definitionsmenge einer Wurzel
Da man nur die Wurzel aus einer Zahl oder einem Term ziehen kann, der positiv ist, ist es bei Wurzeln mit
Termen notwendig herauszufinden, welche Bedingung die Variable erfüllen muss damit der Term insgesamt
positiv ist.
Die Menge aller Zahlen für diese Variable, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Definitionsmenge (D).
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Beispiele:
Welche Bedingung muss die jeweilige Variable erfüllen, damit man die Wurzel ziehen kann? Wie lautet also
die Definitionsmenge (D):
1.) x + 3
x+3 ≥ 0
D = {x / x ≥ −3}
x ≥ −3
2.) 2x − 5
2x − 5 ≥ 0
2x ≥ 5
D = {x / x ≥ 2,5}
x ≥ 2,5
3.) 4 − 2a
4 − 2a ≥ 0
−2a ≥ −4
D = {a / a ≤ 2}
a≤2
4.) 3x − 4 + 2x − 6
3x − 4 + 2x − 6 ≥ 0
5x − 10 ≥ 0
5x ≥ 10
D = {x / x ≥ 2}
x≥2
Wurzelterme
Berechne bis zu einem möglichst einfachen Endergebnis:
1.)
6 ⋅ ( 6 − 5) =
36 − 30 = 6 − 30
2.)
x ⋅ ( x + xy ) =
x 2 ⋅ + x2 y = x + x y
3.) ( 50 − 18) : 2 =
4.) 2 3 ⋅ (4 3 − 3 12) =
5.) ( 8 − 6 ) ⋅ ( 3 + 2) =
6.) ( x + y ) ⋅ (2 x − xy ) =
25 − 9 = 5 − 3 = 2
8 9 − 6 36 = 8 ⋅ 3 − 6 ⋅ 6 = 24 − 36 = −12
24 + 16 − 18 − 12 = 2 6 + 4 − 3 2 − 2 3
2 x 2 − x 2 y + 2 xy − xy 2 = 2x − x y + 2 xy − y x
7.) (4 2 + 3 5 ) ⋅ (2 2 + 5 5 ) = 8 4 + 20 10 + 6 10 + 15 25 =
16 + 26 10 + 75 = 81 + 26 10
Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln bis zu einem möglichst einfachen Endergebnis:
Die binomischen Formeln:
1.) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2.) (a − b)2 = a2 − 2ab + b 2
3.) (a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2
Seite 18 von 25
1.) ( 3 + 5 )2 =
9 + 2 15 + 25 = 3 + 2 15 + 5 =
8 + 2 15
2.) ( 7 − 6 ) =
49 − 2 42 + 36 = 7 − 2 42 + 6 =
13 − 2 42
2
3.) (3 5 + 6 11)2 =
4.) ( x + y ) =
2
5.) (3 a − 2 b )2 =
6.) ( 8 − 2) ⋅ ( 8 + 2 ) =
9 25 + 36 55 + 36 121 = 45 + 36 55 + 396 = 441 + 36 55
x 2 + 2 xy + y 2 =
9 a2 − 12 ab + 4 b2 =
64 − 4 = 8 − 2 =
7.) (3 3x − 2 2x ) ⋅ (3 3x + 2 2x ) = 9 9x 2 − 4 4x 2 = 27x − 8x =
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich:
1.) ( 3 − 7 )2 + ( 3 + 7 )2 − ( 3 + 7) ⋅ ( 3 − 7) =
3 − 2 21 + 7 + 3 + 2 21 + 7 − 3 + 7 = 24
2.) ( 8 + 2 3 )2 − (3 7 + 5 ) ⋅ ( 6 + 2 3 ) =
8 + 4 24 + 12 − 3 42 − 6 21 − 30 − 2 15 =
20 + 8 6 − 3 42 − 6 21 − 30 − 2 15
3.) (a 5 − b 2)2 − (2a + 2b)2 + 5 ⋅ (a + b) =
5a 2 − 2ab 10 + 2b2 − 4a 2 − 8ab − 4b2 + a 5 + b 5 =
a2 − 2ab 10 − 2b2 − 8ab + a 5 + b 5
4.) (x 7 + y 10 ) ⋅ (x 8 − y 3) + (x 7 + y 10 )2 − x 7 ⋅ (y 10 + x 7 ) =
x 2 56 − xy 21 + xy 80 − y 2 30 + 7x 2 + 2xy 70 + 10y 2 − xy 70 − 7x 2 =
2x 2 14 − xy 21 + 4xy 15 − y 2 30 + 10y 2 + xy 70
Seite 19 von 25
x + 2 xy + y
9a − 12 ab + 4b
6
19x
Reelle Zahlen (II)
1.) Berechne die folgenden Wurzeln im Kopf und notiere das Ergebnis:
a.) 64
g.)
b.) 0,16
361
169
h.)
c.) 3,24
3
12
d.) 4900
i.) 10 8
j.)
e.) 0,0004
625
f .) 2890000
k.) 0,0225
81
256
l.)
2.) Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegen die folgenden Wurzeln:
a.) 55
b.) 95
c.) 250
d.) 120
e.) 325
f .) 410
g.) 190
3.) Notiere die folgenden Zahlen als Wurzel:
a.)14
b.)23,8
c.)5
1
8
d.)0,65
324 = 18 und
4.) Gegeben ist
a.) 32400
b.) 32,4
e.)
4
9
f .)3250
g.)6
2
3
h.)
1
1000
3240 ≈ 56, 921. Bestimme durch Anwenden der Verschiebungsregel:
c.) 0,324
d.) 324000
e.) 3,24
f .) 0,00324
g.) 3240000
5.) Bestimme die Lösungsmenge (ohne Taschenrechner!) (G=R):
a.) a 2 = 1,96
b.) x 2 =
f .) x 2 = 16 2
4
25
c.) y 2 = 10
( 5)
2
g.) b 2 =
d.) z 2 = −3,61
h.) c 2 = ( −8) 2
e.) 3 x 2 − 53 = 5 x 2 − 61
i.) x 2 = (a + b) 2
j.) 7 − 4 x 2 = 8 x 2 − 20
6.) Bestimme die Definitionsmenge der folgenden Wurzelterme (G=R):
a.) a − 5
f .)
b.) 2x + 3
2
x − 4 + 3x − 1
5
c.)
2
x−6
3
d.) 0,8 y − 16
g.) ( x − 1) ⋅ 4 − 3 ⋅ ( x + 2)
e.) 5a − 3 + 7a
h.) ( x + 4) 2 − ( x − 3) 2
7.) Vereinfache so weit wie möglich:
a.) p ⋅ p 3 =
c.) 0,2r 5 ⋅ 80r =
b.) 7q ⋅ 28q =
f .) 144 v 2 w 2 =
g.) 0,81u 2 w 6 =
d.) 3p ⋅ 6pq ⋅ 8r =
h.) 2u 2 ⋅ 4v 4 ⋅ 8v 8 =
i.) x 5 : x =
e.) u 2 ⋅ v 4 =
j.) 98 y 3 : 2 y =
8.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen:
a.) 7a 2 =
g.)
a
=
49
b.) 36a =
h.)
30
a2
=
c.) 25 x 3 =
i.)
2a 2
b2
=
d.) 3a 2 b 4 =
j.)
3
=
4
k.)
e.) 0,49 xz 3 =
15
=
64
Seite 20 von 25
l.)
50
=
81
f .) 10a 3 b 2 =
9.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen:
a.)
5x 2
=
y2
49 x
b.)
=
y2
16 x 2
=
7
c.)
4a
=
25b
d.)
36a
e.)
=
b2
ab 2
f .)
=
g.)
ab
x
=
27 y 2
10.) Bringe den Vorfaktor unter die Wurzel:
a.)2 2 =
b.)5 3 =
g.)10 0,1 =
m.)
c.)7 8 =
h.)0,1 10 =
1
6 =
2
n.)
s.)a b =
d.)2 7 =
i.)0,5 8 =
1
3 =
3
o.)
t.)2a 0,5c =
j.)1,5 12 =
1
1000 =
5
p.)
p
q=
q
v.)
u.)
e.)7 2 =
f .)4 10 =
k.)12 1,5 =
3
32 =
4
q.)
m n
=
n m
w.)e
l.)4 2,5 =
1
700 =
10
1
=
e
r.)
x.)
2
7
21
=
8
a
2c =
2
11.) Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln:
( 6 − 9) =
e.) ( x − 11)
(
2
a.)
2
b.) 3 + 5
=
(
)
2
=
c.)
f .) 5 a + 3 b
)
2
( 7−
=
) ( 7+
12 ⋅
(
g.) x 5 − 5 x
)
12 =
)
2
=
(
)
2)
=
)(
y +4 x −2 =
d.) 2 8 + 4 3
(
h.) 3 x 7 + 5 x
2
2
=
12.) Vereinfache so weit wie möglich die folgenden Wurzelterme:
a.)
( 12 − 5 ) − ( 3 + 7 )
2
(
d.) x + 7 x − 3
2
) −(
2
=
)(
x +3 ⋅
b.) 3 x ⋅
(
)
x +4+ 5 =
)
x −3 +4 x −5 =
Seite 21 von 25
c.)
(
x −5 y +3 ⋅
)
Reelle Zahlen (II) (Lösungen)
1.) Berechne die folgenden Wurzeln im Kopf und notiere das Ergebnis:
a.) 64 = 8
b.) 0,16 = 0, 4
c.) 3, 24 = 1, 8
e.) 0, 0004 = 0, 02
f.) 2890000 = 1700
g.)
i.) 108 = 104 = 10000
j.)
625 = 5
d.) 4900 = 70
361 19
6
=
=1
169 13
13
3
1
=
12 2
h.)
k.) 0, 0225 = 0,15
3
81
=
256
4
l.)
2.) Zwischen welchen zwei natürlichen Zahlen liegen die folgenden Wurzeln:
a.) 55 → 7 und 8
b.) 95 → 9 und 10
c.) 250 → 15 und 16
e.) 325 → 18 und 19 f.) 410 → 20 und 21
d.) 120 → 10 und 11
g.) 190 → 13 und 14
3.) Notiere die folgenden Zahlen als Wurzel:
2
a.) 14 = 196
b.) 23, 8 = 566, 44
d.) 0, 65 = 0, 4225
e.)
16
4
=
81
9
h.)
1
1
=
1000000
1000
g.) 6
2
=
3
4
400
= 44
9
9
4.) Gegeben ist
324 = 18 und
c.) 5
1
17
 41 
 1681 
=   = 
= 26

64
8
 8 
 64 
f.) 3250 = 10562500
3240 ≈ 56, 921. Bestimme durch Anwenden der Verschiebungsregel:
a.) 32400 = 180
b.) 32, 4 = 5, 6921
c.) 0, 324 = 0, 56921
e.) 3, 24 = 1, 8
f.) 0, 00324 = 0, 056921 g.) 3240000 = 1800
d.) 324000 = 569, 21
5.) Bestimme die Lösungsmenge (ohne Taschenrechner!) (G=R):
a.) a2 = 1, 96
a1 = 1, 4
a2 = −1, 4
L = {1, 4 ; − 1, 4}
f.) x 2 = 162
4
25
4
x1 =
5
4
x2 = −
5
4

L = ;−
5
b.) x 2 =
g.) b 2 =
( 5)
c.) y 2 = 10
d.) z 2 = −3, 61
L ={
y1 = 10
e.) 3x 2 − 53 = 5x 2 − 61
}
x1 = 2
y 2 = − 10
4

5
2
L=
{
x 2 = −2
10 ; − 10
h.) c 2 = ( −8)2
}
i.)
L = {2 ; − 2}
x 2 = (a + b)2
j.) 7 − 4x 2 = 8x 2 − 20
x1 = 16
b1 = 5
c1 = 8
x1 = a + b
x1 =
x 2 = −16
b2 = − 5
c 2 = −8
x 2 = −(a + b)
x2 = −
L = {16 ; − 16}
L=
{
5;− 5
}
L = {8 ; − 8}
L = {(a + b) ; − (a + b)}
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27
12
27
12
 27
27 
L=
;−

12 
 12
6.) Bestimme die Definitionsmenge der folgenden Wurzelterme (G=R):
a.)
d.)
f.)
a−5 ⇒
b.) 2 x + 3 ⇒
a−5 ≥ 0
2x + 3 ≥ 0
c.)
a≥5
x ≥ −1, 5
D = {a / a ≥ 5}R
D = {x / x ≥ −1, 5}R
0, 8y − 16 ⇒ 0, 8y − 16 ≥ 0
D = {x / x ≥ 9}R
e.) 5a − 3 + 7a ⇒ 5a − 3 + 7a ≥ 0
y ≥ 20
a ≥ 0, 25
D = {y / y ≥ 20}R
D = {a / a ≥ 0, 25}R
2
x − 4 + 3x − 1 ⇒
5
2
2
x−6 ⇒ x−6 ≥ 0
3
3
x≥9
2
x − 4 + 3x − 1 ≥ 0
5
17
x−5 ≥ 0
5
17
x≥5
5
25
x≥
17
g.) (x − 1) ⋅ 4 − 3 ⋅ (x + 2) ⇒ (x − 1) ⋅ 4 − 3 ⋅ (x + 2) ≥ 0
4x − 4 − 3x − 6 ≥ 0
x − 10 ≥ 0
x ≥ 10
25 

D = x / x ≥

17 R

D = {x / x ≥ 10}R
h.) (x + 4)2 − (x − 3)2 ⇒ (x + 4)2 − (x − 3)2 ≥ 0
x 2 + 8x + 16 − x 2 + 6 x − 9 ≥ 0
8x + 16 + 6x − 9 ≥ 0
14x + 7 ≥ 0
x ≥ −0, 5
D = {x / x ≥ −0, 5}R
7.) Vereinfache so weit wie möglich:
a.) p ⋅ p3 = p 4 = p2
b.)
7q ⋅ 28q = 196q2 = 14q
c.)
0, 2r 5 ⋅ 80r = 16r 6 = 4r 3
d.) 3p ⋅ 6pq ⋅ 8r = 144p 2 qr = 12p qr
e.) u2 ⋅ v 4 = uv 2
f.) 144v 2 w 2 = 12vw
h.) 2u2 ⋅ 4v 4 ⋅ 8v 8 = 64u2 v12 = 8uv 6
i.)
x5 : x =
g.)
0, 81u2 w 6 = 0, 9uw 3
x5
= x4 = x2
x
j.) 98y3 : 2 y =
8.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen:
a.) 7a2 = a 7
b.) 36a = 6 a
e.) 0, 49 xz3 = 0, 7z xz
g.)
a
1
=
a
49 7
h.)
k.)
15 1
=
15
64 8
l.)
c.) 25x3 = 5x x
d.) 3a 2b 4 = ab 2 3
f .) 10a3b 2 = ab 10a
30
a
2
=
50
=
81
1
30
a
i.)
2a 2
b
2
=
a
2
b
2 ⋅ 25 5
=
2
9
81
Seite 23 von 25
j.)
3 1
=
3
4 2
98y3
= 49 y 2 = 7 y
2y
9.) Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen:
a.)
e.)
5x 2
y
2
36a
b
2
=
x
5
y
b.)
=
6
a
b
f.)
49x
y
2
ab 2
ab
=
7
x
y
ab2
= b
ab
=
16x 2
1
= 4x
7
7
c.)
x
g.)
x
=
3⋅9⋅ y
27 y 2
2
=
d.)
4a
2 a
=
25b 5 b
1
3y
x
3
10.) Bringe den Vorfaktor unter die Wurzel:
a.) 2 2 = 8
b.) 5 3 = 75
c.) 7 8 = 392
d.) 2 7 = 28
e.) 7 2 = 98
f.) 4 10 = 160
g.) 10 0,1 = 100 ⋅ 0,1 = 10
h.) 0,1 10 = 0, 01 ⋅ 10 = 0,1
i.) 0, 5 8 = 0, 25 ⋅ 8 = 2
j.) 1, 5 12 = 2, 25 ⋅ 12 = 27
k.) 12 1, 5 = 144 ⋅ 1, 5 = 216
l.) 4 2, 5 = 16 ⋅ 2, 5 = 40
m.)
1
6=
2
1
⋅6 =
4
3
2
p.)
3
9
32 =
⋅ 32 = 18
4
16
s.) a b = a 2b
u.)
p2
1
3=
3
1
⋅3 =
9
1
3
q.)
1
1
700 =
⋅ 700 = 7
10
100
v.)
m n
=
n m
m2 ⋅ n
1
1
= e2 ⋅ = e
e
e
x.)
a
2c =
2
a2
⋅ 2c =
4
q
2
o.)
1
1000 =
5
r.)
2
7
21
=
8
1
⋅ 1000 = 40
25
4 ⋅ 21
3
=
49 ⋅ 8
14
t.) 2a 0, 5c = 4a 2 ⋅ 0, 5c = 2a 2 c
p2
q
p
q=
q
w.) e
n.)
⋅q =
2
n ⋅m
m
n
=
a2c
2
11.) Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln:
(
c.) (
a.)
6 −9
)
2
(
d.) ( 2
= 6 − 18 6 + 81 = 87 − 18 6
)(
b.) 3 + 5
)
7 − 12 ⋅
7 + 12 = 7 − 12 = −5
)
2
= 9 + 6 5 + 5 = 14 + 6 5
8+4 3
)
f.) 5 a + 3 b
)
2
= 4 ⋅ 8 + 16 24 + 16 ⋅ 3 = 32 + 16 24 + 48
= 80 + 16 24 = 80 + 16 4 ⋅ 6 = 80 + 32 6
( x − 11 ) = x − 2 11x + 11
g.) ( x 5 − 5 x ) = 5x − 10 x 5x + 25x
(
h.) ( 3x
2
e.)
2
2
2
7 + 5x 2
= 25a + 30 ab + 9b
)
2
= 63x 2 + 30 x 2 14 + 50 x 2 = 113x 2 + 30x 2 14
12.) Vereinfache so weit wie möglich die folgenden Wurzelterme:
a.)
(
12 − 5
) −(
2
3+ 7
)
2
=
b.) 3 x ⋅
12 − 2 60 + 5 − 3 − 2 21 − 7 =
(
)
x + 4 + 5 = c.)
(
3x + 12 x + 3 5x
7 − 2 60 − 2 21
(
)(
x −5 y +3 ⋅
)
y +4 x −2 =
xy + 4x − 2 x − 5y − 20 xy + 10 y + 3 y + 12 x − 6 =
−19 xy + 10 x + 13 y + 4x − 5y − 6
) (
2
d.) x + 7 x − 3 −
)(
x +3 ⋅
)
x −3 + 4 x −5 =
x + 49x − 14 3x + 3 − x + 9 + 4 x − 5 =
5 x − 14 3x + 48x + 7
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Die Kubikwurzel (3. Wurzel einer Zahl)
Aufgabe:
3
Ein Würfel besitzt ein Volumen von V = 216 cm . Welche Seitenlänge a besitzt dieser Würfel?
V = a3
V = a⋅a⋅a
216 = a ⋅ a ⋅ a
Gesucht ist also eine Zahl, die dreimal mit sich selbst
multipliziert 216 ergibt.
Diese Zahl nennt man die 3. Wurzel aus 216.
216 = a3
/3
216 = 3 a3
6=a
3
Die gesuchte Seitenlänge a beträgt also 6 cm.
MERKE:
Unter der 3. Wurzel (Kubikwurzel) einer Zahl a versteht man diejenige nichtnegative Zahl, die dreimal mit
sich selbst multipliziert die Zahl a ergibt.
für 3. Wurzel aus a schreibt man abkürzend:
3
a
Auf dem Taschenrechner gibt es auch dieses Symbol
3
Aufgabe:
Welche 3. Wurzel einer natürlichen Zahl ergibt wieder eine natürliche Zahl?
3
1=1
denn :
1⋅ 1⋅ 1 = 13 = 1
3
216 = 6
denn : 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 = 216
3
8 =2
denn :
2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23 = 8
3
343 = 7
denn : 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 73 = 343
3
27 = 3
denn :
3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 33 = 27
3
512 = 8
denn : 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 83 = 512
3
64 = 4
denn :
4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 = 64
3
729 = 9
denn : 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 93 = 729
3
125 = 5
denn :
5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 53 = 125
3
1000 = 10
denn : 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 103 = 1000
Aufgabe:
3
1.) Ein Würfel besitzt ein Volumen von V = 300 cm . Bestimme seine Oberfläche O.
2
2.) Ein Würfel besitzt eine Oberfläche von O = 500 cm . Bestimme sein Volumen V.
300 = a3
3
300 = 3 a3
6,7 cm ≈ a
/3
O = 6a2
500 = 6a2
83,33 = a2
9,1 cm ≈ a
O = 6a
2
O = 6 ⋅ 6,72
V = a3
O = 269,34 cm2
V = 9,13 = 753,571 cm3
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