Maturitätsprüfung 2013 Mathematik

Maturitätsprüfung 2013
Mathematik
Klasse W09c
Kantonsschule Solothurn
Name:
Note:
Hinweise zur Bearbeitung der Prüfung:
• Zur Lösung der Aufgaben stehen drei volle Stunden zur Verfügung.
• Jede Aufgabe ist auf einer neuen Seite zu lösen.
• Hilfsmittel: Ein einfacher Rechner (keine CAS- und Grafikfunktionen), die
Formelsammlung Formeln und Tafeln“ und eine Tabelle zur kumulierten
”
Binomialverteilung.
• Im Lösungsweg müssen alle angestellten Überlegungen und Berechnungen
dokumentiert werden. Der Lösungsweg muss so sein, dass die Lösung mit
beliebigen Zahlen ermittelt werden kann. Falsches ist durchzustreichen.
• Resultate müssen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet werden.
Ich wünsche viel Erfolg!
Marcel Fischer
schriftliche Matur 2013
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Kantonsschule Solothurn
1. (5 P.) Für das Dreieck ABC gilt: AB = 10, α = β = 30◦ und AD ist eine
Winkelhalbierende. Berechne EF .
2. (14 P.) Die Abbildung rechts zeigt die
ersten paar von unendlich vielen Trittk1
flächen einer imaginären Wendeltrepk2
pe, die sich in die Höhe schraubt
A1
(Blick von oben). Gegeben sind a1 =
50 cm und k1 = 14 cm. Sämtliche Dreia1 a2
ecke sind ähnlich, weiter kannst du
davon ausgehen, dass a1 , a2 , a3 , ... und
αα
k1 , k2 , k3 , ... geometrische Folgen sind.
α
α
A1 bezeichnet die Fläche der ersten Stuα
fe (graue Fläche in der Abbildung), An
α
α
die Fläche der n-ten Stufe. Die Höhe
α
α
α
der ersten Stufe misst h1 = 20 cm. Die
α
αα
ααα
Höhe der zweiten Stufe beträgt dann
nur noch 90% der vorgängigen Höhe h1 .
Die Höhe der dritten Stufe beträgt wiederum 90% von h2 . So werden auch die
Höhen h3 , h4 , ... gebildet.
a) Wie hoch ist die 30.Stufe?
b) Wie hoch ist die Treppenstufe, mit der die erste Umdrehung vollendet
wird?
c) Un gibt den Umfang der Trittfläche der n-ten Stufe an. Für welches n ist
der Umfang der Trittfläche erstmals kleiner als 0.5 cm?
d) Welchen Grenzwert hat die Summe aller Trittflächen?
e) Eine andere Treppe hat die gleichen Masse, einzig die Stufenhöhen bilden
neu eine arithmetische Folge. Es gilt: h1 = 20 cm und h2 = 19.7 cm. Wie
viele Stufen hat eine 531 cm hohe Treppe?
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
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3. (16 P.) Gegeben ist die Funktion f mit der Vorschrift
f (x) =
x2 + t
(t ∈ R \ {0})
tx
a) Berechne die erste Ableitungsfunktion in Abhängigkeit von t.
b) Wir setzen bei dieser Teilaufgabe t = 1. Wie lautet die Gleichung der
Tangente an den Graphen von f für x = −2?
c) Bei dieser Teilaufgabe ist t ∈ R+ . Berechne sämtliche Extremalpunkte
in Abhängigkeit von t. Gib dein Ergebnis in der Form M a(...|...) bzw.
M i(...|...) an.
d) Der Graph von f rotiert im Bereich 1 ≤ x ≤ 2 um die x-Achse.
i) Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers in Abhängigkeit von t.
ii) Für welches t wird das Volumen des Rotationskörpers extremal? Handelt es sich um ein Maximum oder Minimum?
4. (8 P.) Gegeben ist die Funktion f (x) mit a ∈ R:
f (x) = ax +
1√ 2
x +1
4
a) Berechne die Nullstellen von f (x) wenn a = −0.5. Gib dein Ergebnis in
der Form N (...|...) an.
b) Wir setzen a = 0.25. Der Graph der Funktion f (x) beschreibt für −1 ≤
x ≤ 8 den Anlauf einer Skisprungschanze (Ansicht von der Seite).
y
4
2
x
2
4
6
8
i) Der Schanzentisch ist der Bereich, in dem der Absprung erfolgt. Üblicherweise ist er zwischen 9◦ und 11◦ nach unten geneigt. Überprüfe,
ob die Schanze der Norm entspricht, wenn der Absprung an der Stelle
x = −0.25 erfolgt.
ii) Bei einer Kinderschanze will man den Schanzentisch waagrecht bauen.
Berechne das zugehörige a, wenn der Absprung bei x = −1 erfolgen
soll.
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5. (14 P.) Andreas und Bettina werfen Dartpfeile auf die folgende Scheibe:
Andreas trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% in das Feld mit der Zahl 5,
die anderen Felder werden mit einer Wahrscheinlichkeit von je 20% getroffen.
Bettina hingegen trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 58% in das Feld mit
der Zahl 5, die anderen Felder werden mit einer Wahrscheinlichkeit von je
14% getroffen. Bei allen Teilaufgaben gehen wir davon aus, dass Bettina und
Andreas mit jedem Pfeil die Scheibe und damit eine der vier Zahlen treffen.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Andreas mit 3 Pfeilen 10 oder
11 Punkte erreicht?
b) Welche Punktzahl kann Andreas bei einem Wurf erwarten?
c) Andreas und Bettina werfen je einen Pfeil, wobei die höhere Punktzahl
gewinnt. Der Gewinner erhält die geworfenen Punkte in Fr (gewinnt z.B.
Bettina mit 5, dann erhält sie 5 Fr.). Welchen Gewinn kann Bettina erwarten?
d) Andreas wirft 20 Pfeile. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
dabei
i) genau 8 Mal das Feld mit der Zahl 5 trifft?
ii) höchstens 7 Mal das Feld mit der Zahl 5 trifft?
iii) höchstens 14 Mal nicht das Feld mit der Zahl 5 trifft?
e) Bettina wirft fünf Pfeile. Wie viele Wurfbilder sind möglich,
i) wenn man die fünf Pfeile unterscheiden kann (z.B. ist 33521 6= 12335)?
ii) wenn man die fünf Pfeile unterscheiden kann und zweimal eine Eins,
zweimal eine Zwei und einmal eine Fünf getroffen wird (z.B. 12125)?
iii) wenn man die fünf Pfeile nicht unterscheiden kann (z.B. ist 33521 =
12335)?