1. Komplexe Zahlen - Mitschrieb-Wiki

1. Komplexe Zahlen
R2 = {(a, b) : a, b ∈ R} Für (a, b), (c, d) ∈ R2 definieren wir :
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d); (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Wir setzen abkürzend: i := (0, 1) (imaginäre Einheit). Dann: i2 = (−1, 0)
Satz 1.1
R2 ist mit obiger Addition und Multiplikation ein Körper. Dieser wird mit C bezeichnet und
heißt Körper der Komplexen Zahlen.
(1) (0, 0) ist das neutrale Element bzgl. der Addition. (1, 0) ist das neutrale Element bzgl.
der Multiplikation.
(2) Für (a, b) ∈ C ist (−a, −b) das inverse Element bzgl. der Addition Für (a, b) ∈
a
−b
C\{(0, 0)} ist ( a2 +b
2 , a2 +b2 ) das inverse Element bzgl. der Multiplikation
Beweis
Nachrechnen!
Definiere ϕ : R → C durch ϕ(a) := (a, 0) (a ∈ R). Dann gilt:
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(ab) = ϕ(a) · ϕ(b), ϕ(0) = (0, 0), ϕ(1) = (1, 0). ϕ ist also ein injektiver
Körperhomomorphismus. Also: R ⊆ C.
Wir schreiben a statt (a, 0) für a ∈ R. Insbesondere: i2 = −1.
Satz 1.2
Jedes z ∈ C hat eine eindeutige Darstellung z = a + ib mit a, b ∈ R
Re z := a (Realteil von z), Im z := b (Imaginärteil von z)
Beweis
Sei z = (a, b) ∈ C (a, b ∈ R); z = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) = a + ib
Eindeutigkeit: klar
Definition
Sei z = a + ib ∈ C (a, b ∈ R)
(1) z̄ := a − ib heißt die zu z konjugiert komplexe Zahl
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1. Komplexe Zahlen
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(2) |z| := (a2 + b2 ) 2 (= k(a, b)k = eukl. Norm von (a, b) ∈ R2 ) heißt Betrag von z; |z| ≥ 0
Geometrische Veranschaulichung von C: Komplexe Ebene
|z| = Abstand von z und 0
Satz 1.3
Seien z, w ∈ C
1
(1) Re z = 21 (z + z); Im z = 2i
(z − z); z ∈ R ⇐⇒ z = z; z̄ = z; z = w ⇐⇒ Re z =
Re w, Im z = Im w; |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
(2) z + w = z + w; zw = z · w; w1 =
1
w̄ ,
falls w 6= 0
(3) | Re z| ≤ |z|; | Im z| ≤ |z|
(4) |z̄| = |z|; |z|2 = z · z̄ = z̄ · z; für z 6= 0 :
(5) |zw| = |z| · |w|; | w1 | =
1
|w|
1
z
=
z
z·z
=
z
|z|2
falls w 6= 0
(6) |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
(7) |z| − |w| ≤ |z − w|
Beweis
(1) - (5): nachrechnen!
(7) folgt aus (6) wörtlich wie in R
(3)
(2)
¯ w) = (z + w)(z̄ + w̄) = z z̄ + z w̄ + z̄w + ww̄
(6) |z + w|2 = (z + w)(z +
(1),(3)
=
|z|2 + 2 Re(z w̄) + |w|2 ≤ |z|2 + 2| Re(z w̄)| + |w|2
(3)
≤ |z|2 + 2|z w̄| + |w|2 = |z|2 + 2|z||w| + |w|2 = (|z| + |w|)2
Polarkoordinaten
Sei z = x + iy ∈ C\{0} (x, y ∈ R). r := |z|
Bekannt: ∃ϕ ∈ R : x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
Dann: z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
Die Zahl ϕ heißt ein Argument von z und wird mit arg z bezeichnet. Mit ϕ ist auch ϕ+2kπ
Z) ein Argument von z.
(k ∈
Aber: es gibt genau ein ϕ ∈ (−π, π] mit z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ). Dieses ϕ heißt der Hauptwert
des Arguments und wird mit Arg z bezeichnet.
Seien z1 = |z|(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = |z|(cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) ∈ C\{0}(ϕ1 , ϕ2 ∈ R).
Aus Additionstheoremen von Sinus und Cosinus folgt:
(∗) z1 · z2 = |z1 ||z2 | cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )
Aus (∗) folgt induktiv:
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Satz 1.4 (Formel von de Moivre)
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ) ∀n ∈ N0 ∀ϕ ∈ R
Wurzeln:
Beachte: z 0 := 1 ∀z ∈ C
Definition
Sei a ∈ C\{0} und n ∈ N. Jedes z ∈ C mit z n = a heißt eine n-te Wurzel aus a.
Satz 1.5
Sei a ∈ C\{0}, n ∈ N und a = |a|(cos ϕ + i sin ϕ) (ϕ ∈ R)
p
ϕ
Für k = 0, 1, . . . , n − 1 setze zk = n |a| cos( ϕn + 2kπ
n ) + i sin( n +
Dann:
2kπ
n )
(1) zj 6= zk für j 6= k
(2) für z ∈ C : z n = a ⇐⇒ z ∈ {z0 , z1 , . . . , zn−1 }
Spezialfall: a = 1
2kπ
zk = cos( 2kπ
n ) + i sin( n ) (k = 0, . . . , n − 1)n-te Einheitswurzeln
Beispiel
kπ
a = 1, n = 4, zk = cos( kπ
2 ) + i sin( 2 ) (k = 0, . . . , 3)
z0 = 1, z1 = i, z2 = −1, z3 = −i
Beweis (von 1.5)
(1) Übung
1.4
(2) ” ⇐ ” : zk n = |a| cos(ϕ + 2kπ) + i sin(ϕ + 2kπ) = |a|(cos ϕ + i sin ϕ) = a
p
” ⇒ ” : Sei z n = a =⇒ |z| = n |a|, z 6= 0;
Sei z = |z|(cos α + i sin α) (α ∈ R)
1.4
a = |a|(cos ϕ + i sin ϕ) = z n = |z|n cos(nα) + i sin(nα)
|{z}
=|a|
=⇒ cos ϕ = cos(nα), sin ϕ = sin(nα)
=⇒ ∃j ∈ Z : nα = ϕ + 2πj =⇒ α = ϕn + 2πj
n
∃l ∈ Z, k ∈ {0, . . . , n − 1} : j = ln + k
=⇒ nj = l + nk = α = ϕn + 2π(l + nk ) = ϕn + 2πk
n + 2πl
ϕ
ϕ
2πk
2πk
=⇒ cos α = cos n + n , sin α = sin n + n
=⇒ z = zk
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