Thaleskurven in der sphärischen und der hyperbolischen Geometrie

Hans Walser, [20100114a]
Thaleskurven in der sphärischen und der hyperbolischen Geometrie
1! Worum geht es?
Wir lernen in der Schule, dass die Menge aller Punkte !, von denen aus eine gegebene
Strecke "# unter einem rechten Winkel gesehen wir, ein Kreis ist. Dies ist der so genannte $%&'()*+(,) über der Strecke "#. Diese Strecke ist ein Durchmesser des Thaleskreises. Der Thaleskreis ist der Umkreis des rechtwinkligen Dreieckes "#!.
So ungefähr. Wie sieht das in der sphärischen und in der hyperbolischen Geometrie aus?
Wir werden sehen, dass der Begriff $%&'()*+(,) nur in der euklidischen Geometrie sinnvoll ist.
2! Vorbereitungen
Der Weg nach Amerika geht über den Atlantik. Wir brauchen einige Vorbereitungen,
um uns an das Thema machen zu können.
2.1! Konformität
Da ein rechter Winkel im Spiel ist, arbeiten wir in winkeltreuen (konformen) Modellen.
Für die sphärische Geometrie ist dies das stereografische Bild, für die hyperbolische
Geometrie das Kreismodell von Poincaré. Beide Modelle sind auch kreistreu. Aber was
ist ein Kreis?
2.2! Kreise
Unter einem Kreis verstehen wir die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt
(Mittelpunkt) einen konstanten Abstand (Radius) haben. In beiden Modellen ist das Bild
eines Kreises wieder ein Kreis. Aber nun tritt eine Komplikation auf: Das Bild des
Kreismittelpunktes ist nicht der Mittelpunkt des Bildkreises.
Am besten ein Beispiel.
Im Dreieck "#! in der hyperbolischen Geometrie sind die drei Mittelsenkrechten
(Symmetrieachsen) ma , !" und mc der Seiten eingetragen, welche sich in einem
Punkt - schneiden. Warum tun sie das eigentlich? Dieser Punkt - ist nun das Zentrum
des hyperbolischen Umkreises .. Er ist aber offensichtlich nicht das planimetrische
Kreiszentrum.
Die von - ausgehenden Kreisradien sind scheinbar ungleich lang. Das liegt daran, dass
im Poincaré-Modell die Maßstäbe gegen den Rand zu verkürzt werden. In Wirklichkeit,
das heißt in der hyperbolischen Geometrie, sind die von - ausgehenden Radien alle
gleich lang.
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Rechtwinkliges Dreieck mit Thaleskurve
Die Thaleskurve ist offensichtlich kein Kreis, und insbesondere nicht der Umkreis des
Dreieckes.
4 Hyperbolische Geometrie
Im folgenden Beispiel ist der Rand des Poincaré-Modells schwarz. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Thaleskurve eingezeichnet. Diese ist offensichtlich kein Kreis, insbesondere nicht der Umkreis.
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Rechtwinkliges Dreieck mit Thaleskurve
5 Die gute alte Leuchtturmaufgabe
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5.1 Didaktische Kritik
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5.2! Sphärische Geometrie
Die Leuchtturmaufgabe auf der Kugel
Wir sehen, dass es wiederum keinen Kreis ergibt. Und obwohl die Summe der Winkel
bei A und B den Wert 90° ergibt, ist der Winkel bei C größer als 90°. Zudem ist dieser
Winkel variabel. Wir erhalten also keine Thaleskurve.
5.3! Hyperbolische Geometrie
Hier sind verschiedene Fälle möglich. In der Abbildung sehen wir die Ortskurve der
Schnittpunkte, welche offensichtlich kein Kreis ist und sogar in zwei Teile zerfällt, und
einen veritablen Schnittpunkt C. Obwohl die Summe der Winkel bei A und B den Wert
90° ergibt, ist der Winkel bei C kleiner als 90°. Zudem ist dieser Winkel variabel. Wir
erhalten also keine Thaleskurve.
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Leuchtturmaufgabe in der hyperbolischen Geometrie
Es ist aber durchaus möglich, dass die beiden von A und B ausgehenden Strahlen keinen
Schnittpunkt haben. Die beiden Strahlen sind trotz Phasenverschiebung von 90° parallel.
Kein Schnittpunkt
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Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen Grenzfall. Die Strahlen schneiden sich auf
dem Rand des Poincaré-Modells. Da dieser Rand aber nicht mehr zur hyperbolischen
Ebene gehört, heißt das, dass sich die Strahlen nicht schneiden. Sie sind parallel. Man
spricht in diesem Fall von Grenzparallelen.
Grenzfall
Natürlich haben wir beim zweiten Teil der Ortskurve nochmals Grenzfälle und veritable
Schnittpunkte.
6 Hintergrund
In der sphärischen wie in der hyperbolischen Geometrie sind die Winkelsumme in einem Dreieck nicht konstant. Der Überschuss (sphärischer Exzess) beziehungsweise das
Manko (hyperbolisches Defizit) gegenüber 180° ist proportional zur Dreiecksfläche.
Die Konstanz der Winkelsumme im Dreieck in der Euklidischen Geometrie wird mit
Sätzen an Parallelen bewiesen. In der sphärischen und der hyperbolischen Geometrie
haben wir aber keine eindeutig bestimmte Parallele.
Der Begriff Thaleskreis ist nur in der euklidischen Geometrie sinnvoll. Dasselbe gilt für
den Ortsbogen (in Deutschland Fasskreis genannt) und die zugehörigen Kreiswinkelsätze.
7 Technisches
Die Abbildungen wurden mithilfe von CAD (Cabri) erzeugt. Als Hilfsmittel empfehlen
sich Makros zur Kreisspiegelung. Mit Cinerella geht es direkter.