Lösungen zu Aufgaben auf S. 114 Nr. 13 (a) Zunächst sind folgende

Lösungen zu Aufgaben auf S. 114
Nr. 13
(a) Zunächst sind folgende Vektoren aufzustellen:
 2
 2 
 2
 2 
 ,
 ,
  und
 
AB   1  BC   2  DC   1 
AD   2  . Offensichtlich erkennt man schon
 2
1
 2
1
 
 
 
 
folgende Gleichheiten: AB  DC und BC  AD . Darüber hinaus sind auch alle Vektoren
gleich lang: AB  22  12  22  3  BC  DC  AD . Auch stehen die Vektoren AB und
BC senkrecht aufeinander, was mit Hilfe des Skalarprodukts folgt:
AB BC  2   2  1 2  2 1  0 . Analog für die anderen Skalarprodukte.
Damit ist das Viereck ABCD ein Quadrat, weil alle Seiten gleich lang sind und senkrecht
aufeinander stehen.
0
(b) Der Vektor AC   3  kann auch als die Diagonale im Quadrat ABCD interpretiert werden. Mit
 3
 
 1
 0   1 
1
1    


Hilfe der Vektorkette OA   AC   2     3    3,5  erhält man den Mittelpunkt
2
 1 2  3   0,5 
 
   
M  1| 3,5 | 0,5 des Quadrats. Der angegebene Punkt S  1  k | 3,5  2k | 0,5  2k  liegt nun
 k 
exakt über diesem Mittelpunkt, da der Vektor MS   2k  senkrecht auf dem von den
 2k 


Vektoren AB und AC aufgespannten Parallelogramm steht, wie man leicht mit Hilfe der
Skalarprodukte AB MS  AC MS  0 prüft. Damit sind alle Kanten der Pyramide für jedes
beliebige k gleich lang.
Eine alternative Lösungsmöglichkeit stellt die Betrachtung der Längen der Kantenvektoren dar:
 k 
2
2


ASk  1,5  2k   ASk  k 2  1,5  2k   1,5  2k   4,5  9k 2  BSk  CSk  DSk .
1,5  2k 


(c) AB  AD 
2
2
 1  4   3 
1   4  2    6 
 4  (2)   6 
2

  
2
2
1
Hilfsrechnung: 2
2
1
 k 
(d) Der Vektor MSk   2k  repräsentiert die Höhe der Pyramide. Die Länge dieses Vektors ist:
 2k 


 k 
2
2


MSk   2k   k 2   2k    2k   3k .
 2k 



1
(e) Beachte: Die Volumenformel der Pyramide V   AB  AD
3

ASk muss hier mit dem Faktor
1
1
versehen werden, weil es sich um eine quadratische Pyramide handelt. Der Faktor gilt nur
3
6
bei einer dreiseitigen Pyramide:

1
V   AB  AD
3

 3 
1  
ASk    6 
3  
6
 k 

 1
1,5

2k

  3   3k  6 1,5  2k   6 1,5  2k  
1,5  2k 


1
1
   3k  9  12k  9  12k    27k  9k
3
3
1
1
1
oder: V   G  h   AB  BC  MSk    3  3  3k  9k , was mit Hilfe der quadratischen
3
3
3
Grundfläche ABCD ebenfalls sehr einfach geht.
Nr. 14
(a) Sind die Koordinaten der Eckpunkte eines Parallelogramms ganze Zahlen, so ist die Maßzahl
seines Flächeninhalts eine ganze Zahl.
Die Aussage ist falsch. Obwohl das Vektorprodukt AB  AD einen Vektor als Ergebnis
hervorbringt, der auf allen Komponenten ganze Zahlen hat, muss dessen Länge (was ja dem
Flächeninhalt des von den Vektoren erzeugten Parallelogramms entspricht) keine ganze Zahl
sein als Wurzel aus der Summe von drei Quadratzahlen:
Bsp.: A  0 | 0 | 0  , B  2 |1| 3 ,C  4 | 2 | 5  , D  2 |1| 2  ergeben ein Parallelogramm. Es folgt für
 2   2   1
das Vektorprodukt AB  AD   1    1    2   AB  AD 
 3  2  0 
     
 1
2
 22  02  5  . Da
dem Betrag des Vektorprodukts die Maßzahl des Flächeninhalts des von den beiden Vektoren
aufgespannten Parallelogramms entspricht, ist dieser Flächeninhalt offensichtlich keine ganze
Zahl.
(b) Das Volumen eines Spats, der von drei Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten aufgespannt
wird, hat eine ganzzahlige Maßzahl.
Diese Aussage ist richtig, weil das Vektorprodukt ein Vektor mit ganzzahligen Komponenten
ist, der dann über das Skalarprodukt mit einem weiteren Vektor mit ganzzahligen Komponenten
verknüpft wird. Die Summe von Produkten ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl:
 a1   b1  
    
V   a 2    b2  
 a 3   b3  
 c1   a 2 b3  a 3b2 
  

 c2    a 3b1  a1b3 
c   a b a b 
 3  1 2 2 1
 c1 
 
 c2    a 2 b3  a 3b2   c1   a 3b1  a1b3   c2   a1b 2  a 2b1   c3
c 
 3
(c) Für das Volumen des von den Vektoren a, b, c aufgespannten Spats gilt:
V a
 b  c  a  b
c.
Die Aussage ist richtig, weil:
 a1   b1  
    
 a 2    b2  
 a 3   b3  
und
 a1 
 
 a2 
a 
 3
 c1   a 2 b3  a 3b2 
  

 c2    a 3b1  a1b3 
c   a b a b 
 3  1 2 2 1
 b1   c1    a1 
      
 b2    c2     a 2 
 b3   c3    a 3 
 c1 
 
 c2    a 2 b3  a 3b2   c1   a 3b1  a1b3   c2   a1b 2  a 2b1   c3
c 
 3
 b 2 c3  b 3c 2 


 b3c1  b1c3   a1   b2c3  b3c2   a 2   b3c1  b1c3   a 3   b1c 2  b 2c1 
 b c b c 
 1 2 2 1
Beiden Summen entspricht der Term: a1b2c3  a 2 b3c1  a 3b1c2   a1b3c2  a 2 b1c3  a 3b2c1 
Nr. 10
 3   4,5   0 
Da sowohl das Vektorprodukt a  b   2    3    0  und auch die Gleichungen
 4   6   0 
  
  
3n1  2n 2  4n 3  0
4,5n1  3n 2  6n 3  0
sich zu 0 = 0 wegheben, müssen zwei von drei Variablen frei gewählt
werden:
 0
 
n1  0;n 2  2  n 3  1,d.h.n   2  wäre ein möglicher Vektor, der zu beiden Vektoren orthogonal
1
 
 2
ist. Der Vektor n 2   3  wäre ein weiterer Vektor, der zu beiden gegebenen Vektoren orthogonal
 3
 
verläuft, aber in einer vollkommen anderen Richtung (nicht einmal die Gegenrichtung). Da die
beiden Vektoren a und b also offensichtlich Vielfache voneinander sind, verlaufen sie in dieselbe
(oder in die genau entgegengesetzte) Richtung. Das bedeutet, dass ein Vektor, der orthogonal zu
beiden verläuft, weder in der Richtung noch in der Länge festgelegt ist: Er kann praktisch senkrecht
auf beiden stehend um die beiden „herumgedreht“ werden!
Nr. 12:
 4 


a  b   10  . Damit gilt:
 8 


 4 
 1 
 1   3 



 und schließlich ist auch 
 

3   2,5    7,5  ein Vektor,
 10   4   2,5 
 8 
 2 
 2   6 





 

der orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren a und b ist: y  7,5; x  6 .