Harte Nüsse - Staffelsee

Harte Nüsse
W. Heine, Juli 2011
Aufgabenstellung
Dem Buch „Das mathematische Kabinett, Folge 1“ von 1967, DVA Stuttgart, ist folgende Denksportaufgabe entnommen:
„Es dreht sich um drei schiffbrüchige Seeleute, die mit ihrem Maskottchen, einem Affen, auf eine
einsame Insel verschlagen wurden. Da sie sehr hungrig waren, schickten sie sich an, Kokosnüsse zu
sammeln. Als sie einen recht großen Haufen Kokosnüsse zusammen hatten, waren sie jedoch so müde,
dass sie sich entschlossen, die Teilung der Nüsse auf den nächsten Morgen zu verschieben und erst
einmal ordentlich auszuschlafen. Während der Nacht wachte einer der Seeleute auf und entschloss sich,
den ihm zustehenden Teil zunächst einmal sicherzustellen. Er teilte also die vorhandenen Kokosnüsse in
drei gleiche Teile und verbarg sein Drittel im Laub. Bei der Teilung allerdings stellte er fest, dass eine
Kokosnuss übriggeblieben war, die er dem Affen zuteilte. Dann legte er sich wieder schlafen. Eine
Stunde später wachte der zweite Seemann auf, und auch er wollte sein Drittel sicherstellen. Auch er
teilte den von dem ersten Seemann übriggelassenen Rest in drei Teile, verbarg seinen Anteil im Laub
und gab die auch bei seiner Teilung übriggebliebene Nuss dem Affen. Eine Stunde später geschah
dasselbe mit dem dritten Seemann. Auch er drittelte den Rest der Nüsse, die er vorfand, verbarg seinen
Anteil, und die ebenfalls übriggebliebene Nuss gab er dem Affen.
Am nächsten Morgen, als die Seeleute aufwachten, hatte jeder ein schlechtes Gewissen, und es wurde
daher über die stark verringerte Anzahl der noch vorhandenen Kokosnüsse kein weiteres Wort verloren.
Man ging ans Teilen, und siehe da, auch der letzte Rest ließ sich durch drei teilen, wobei wieder eine
Nuss für den Affen übrigblieb, dem insgesamt somit vier Nüsse zugefallen waren.
Die Frage lautet: Wie groß war Anzahl der Nüsse, welche die Seeleute am Abend zuvor gesammelt
hatten? Die Aufgabe hat mehrere Lösungen, und es soll die kleinste Anzahl von Nüssen ermittelt werden,
mit der eine solche Teilungsprozedur durchführbar ist.“
Darstellung des Ablaufs
Du solltest zunächst selbst versuchen das Problem zu lösen!
Mathematischer Lösungsweg
Wir bezeichnen mit x die Anzahl der gesammelten Nüsse und mit y die Zahl, die jeder am nächsten bei
der letzten Teilung erhält. Nennen wir die drei Seeleute Andy, Benny und Charly.
Da die Zahl der im Vorratslager liegenden Nüsse nur dann durch 3 teilbar ist, wenn zuvor eine Nuss für
den Affen entnommen wird, nimmt sich Andy den dritten Teil von x-1 Nüssen, weshalb zwei Drittel von
x-1 wieder im Lager versteckt werden. Es liegen also nach der ersten Teilung im Lager:
Benny verfährt mit x1 ebenso und versteckt x2 Nüsse wieder. Folglich ist nach Einsetzung von x1
Charly teilt x2 in gleicher Weise, so dass er
Nüsse in das Versteck zurück legt.
Am Morgen erhält jeder den dritten Teil der x3 – 1 noch im Versteck liegenden Nüsse. Diese Zahl
bezeichneten wir mit y.
Du musst nun diesen komplizierten Ausdruck nach den üblichen Regeln vereinfachen. Sicher findest du
dann die Gleichung
Diese ist äquivalent zu
Wie aber soll eine Gleichung mit zwei Unbekannten zu einer Lösung führen? Versuche zunächst selbst,
aus der zweiten Gleichung eine sinnvolle Lösung der Denksportaufgabe zu gewinnen!
Lösung der Gleichung
Da es sich bei den beiden gesuchten Zahlen x und y um natürliche Zahlen handelt, muss jeweils auch die
rechte Seite der Gleichung eine natürliche Zahl darstellen.
1. Weg mit Gleichung (1)
x = 79 ist die kleinste positive Zahl, mit der der Bruch kürzbar ist. Sein Wert ist 8 und somit ist y = 7. Die
Minimallösung ist gefunden.
2. Weg mit Gleichung (2)
Die zweite Gleichung eignet sich zur Lösung besser, da sich hier leichter ganzzahlige Werte abspalten
lassen:
Damit die oben genannte Bedingung der Ganzzahligkeit erfüllt ist, muss der Bruch ebenfalls einen
ganzzahligen Wert besitzen. Wie du sofort siehst, ist y = 7 die kleinste geeignete positive Zahl, damit der
rechte Bruch den Wert 1 besitzt.
Damit erhältst du für die Minimalanzahl der gesammelten Nüsse x = 79.
Weitere Lösungen
In folgender Tabelle findest du verschiedene ganzzahlige Werte für den Bruch und die zugehörigen xund y-Werte. Kommst du auf eine Gesetzmäßigkeit beim Erzeugen der fehlenden Werte?
y
x
1
2
3
4
5
0
-1
-2
-3
7
79
15
160
23
241
?
?
?
?
-1
-2
?
?
?
?
?
?
Du siehst also, diese Gleichung hat mehrere, ja sogar unendlich viele Lösungen, die aber nicht alle
Lösungen der gestellten Aufgabe sind. Mit solchen Gleichungen hat sich schon der griechische
Mathematiker Diophantos von Alexandria beschäftigt, weshalb man sie als Diophantische Gleichungen
bezeichnet.
Weiterführende Überlegungen
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Wie viele Nüsse erhält jeder? Ist die Teilung gerecht?
Schreibe die Gleichungen (1) und (2) unter Verwendung von Potenzen. Was fällt dabei auf?
Löse das Problem mit vier (mit 5) Seeleuten
Zeichne den Graph der Geradengleichung (1), der durch den Gitterpunkt (-2; -1) geht. Verwende
geeignete Einheiten, damit du weitere Gitterpunkte als Lösungen findest.
Verschiebe die Gerade parallel. Gehen alle so entstandenen Geraden durch ganzzahlige
Gitterpunkte?
Suche im Internet nach Diophantos von Alexandria und dem Begriff Diophantische Gleichung
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