Prüfungen Mathematik 3
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STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 (Teil 1) 11. August 2004 Matrikelnummer: Name: 1. a) Vereinfachen Sie: 1 x x y 1 x x y und geben Sie bei jedem Schritt die verwendete Bruchrechenregel allgemein an! b) r s Drücken Sie aus (1 ) (s 2) r s die Größe r durch die übrigen Größen aus! Geben Sie jede verwendete Klammerregel bei dem entsprechenden Umformungsschritt allgemein an! 2. Der Stephansturm in Wien (48°12´ nördliche Breite) wirft am 21. Juni (Sommersonnenwende) zu Mittag einen 63,0 m langen Schatten. Berechnen Sie daraus die Höhe des Stephansturms! (Hinweis: Der nördliche Wendekreis befindet sich in 23°27´ nördlicher Breite; dort steht die Sonne am 21 Juni zu Mittag im Zenit.) 3. a) b) c) d) e) f) 4. a) Ein Antibiotikum wird vom Körper mit einer „Halbwertszeit“ von 2,5 Stunden ausgeschieden. (D.h. nach 5 Stunden ist nur mehr die Hälfte des Antibiotikums im Körper.) Begründen Sie, dass die zu einem Zeitpunkt t im Körper befindliche Menge des Wirkstoffes mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschrieben werden kann! Wenn der Patient erstmals 250 mg verabreicht bekommt, wie viel mg sind dann nach 2 Stunden noch in seinem Körper? Berechnen Sie im Kopf: Wie viel mg sind 20 Stunden nach einer einmaligen Gabe noch im Körper? Wie lange dauert es, bis die Konzentration des Wirkstoffes auf 15% des ursprünglichen Werts zurückgegangen ist? Ein Patient soll alle 12 Stunden eine Gabe verabreicht bekommen, und die Wirkstoffmenge soll nie unter 30 mg sinken. Welche Menge soll er verabreicht bekommen? Der Patient soll nicht mehr als 400 mg auf einmal verabreicht bekommen, und die Wirkstoffmenge soll nie unter 30 mg sinken. In welchen Zeitabständen muss der das Medikament bekommen? Wie lange ist die Sehne, die die Kugel mit Radius 6cm und Mittelpunkt M=0 von der Geraden g, die durch die Punkte 7 P 4 1 und 2 Q 4 4 geht, abschneidet? b) Bestimmen Sie Gleichungen der Ebenen, die die Kugel in den Punkten P bzw. Q berührt! c) Welche Winkel schließen diese beiden Ebenen miteinander ein? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 (Teil 2) Name: . August 2004 Matrikelnummer: 5. Ein Rotationskörper entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f: x (6 x) x , x[0;6] a) Stellen Sie den Querschnittsflächeninhalt A des Rotationskörpers als Funktion von x dar! b) Berechnen Sie auf 2 Arten (mit Hilfe von f(x) bzw. mit Hilfe von A(x)), an welcher Stelle der Körper die größte Querschnittsfläche hat! c) Begründen Sie allgemein anschaulich, wie man mit Hilfe der Differentialrechnung Extremwerte ermitteln kann! Formulieren Sie den entsprechenden Satz! (Oder auch mehrere Sätze!) Welche zusätzlichen Überlegungen sind noch nötig? (Begründung!) 6. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers aus Aufgabe 6, und zwar: a) exakt mittels Integral, b) näherungsweise mittels Unter-/Obersummen oder Zwischensummen! (teilen Sie das Intervall [0;6] in 3 gleiche Teile! 7. Ein genormter Intelligenztest ist so konstruiert, dass die Punktezahl (aufgefasst als Zufallsvariable bei zufälliger Auswahl einer erwachsenen Person aus der Gesamtbevölkerung) annähernd normalverteilt ist mit µ=100 und =15. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Ergebnis a) zwischen 80 und 105 Punkte, b) >140 Punkte erreicht! 8. Für welche komplexen Zahlen gilt: z³=-4+4i (Rechnen Sie mit der trigonometrischen Darstellung!) ERGÄNZUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3, Teil 1 15. Februar 2006 Name: Matr.Nr.: 1. Ein Natriumatom hat einen Durchmesser von ca. 410-7 m. a) Berechnen Sie näherungsweise das Volumen des Atoms unter der Annahme, dass es kugelförmig ist! Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Rechenschritt die verwendete Potenzrechenregel allgemein an! b) Bei dichtester Packung füllen Kugeln ungefähr 74% des zur Verfügung stehenden Raumes aus. Wie viele Atome wären demnach etwa in einem Würfel mit der Kantenlänge 1mm? Wie lange würde es dauern, diese Atome zu zählen, wenn man (bzw. eine Maschine) in einer Sekunde 10 5 Atome zählen könnte? 2. 0 23,8 34,0 5,7 A , B , C , D , 0 43,6 256,6 3321 a) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten von B und C ! b) Berechnen Sie die Polarkoordinaten von D ! c) Berechnen Sie den Umfang des Vierecks ABCD ! 3. a) Wie lange ist die Sehne, die die Kugel mit Radius 6cm und Mittelpunkt M=0 von der Geraden g, die durch die Punkte 7 P 4 1 und 2 Q 4 4 geht, abschneidet? b) Bestimmen Sie Gleichungen der Ebenen, die die Kugel in den Punkten P bzw. Q berührt! c) Welche Winkel schließen diese beiden Ebenen miteinander ein? 4. a) Derzeit wächst die Erdbevölkerung um ca. 2% jährlich. Begründen Sie, dass (annähern) exponentielles Wachstum vorliegt und stellen Sie die entsprechende Wachstumsfunktion auf! b) In welchen Zeitspannen verdoppelt sich die Erdbevölkerung? ERGÄNZUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3, Teil 2 Name: 22. Februar 2006 Matr.Nr.: 5. f(x) = x²+2x+3 a) Ermitteln Sie den Differenzenquotienten von f im Intervall [1;3] ! b) Ermitteln Sie den Differentialquotienten von f an der Stelle 1 nur mit Hilfe der Definition, also ohne Differentiationsregeln! c) Deuten Sie die beiden Begriffe anhand eines Graphen! Überprüfen Sie an diesem Graphen die in a) und b) ermittelten Werte! d) Interpretieren Sie den Differenzenquotienten und den Differentialquotienten für den Fall, dass f eine Zeit-Ort-Funktion ist! 6. Ein Autofahrer fährt mit 144 km/h und muss eine Notbremsung durchführen. Innerhalb der nächsten 8 Sekunden bringt er das Auto zum Stehen. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit durch die Funktion v:[0;8] t at 2 b gegeben ist. a) Ermitteln Sie die Werte a und b und skizzieren Sie die Geschwindigkeitsfunktion! b) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in diesen 8 Sekunden zurücklegt, mittels Integral, c) Was versteht man unter einer Stammfunktion? Formulieren Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung! 7. Intelligenztests werden so konstruiert, dass der Intelligenzquotient (IQ) eine Normalverteilung mit µ=100 und =15 ergibt. a) In einer Stadt gibt es 5000 Personen. Wie viele von ihnen haben einen IQ >130? b) Wie viele von ihnen haben einen IQ zwischen 85 und 115? 8. Wie kann man komplexe Zahlen darstellen? Wie kann man von einer Darstellung in die andere umrechnen? Welche Darstellung eignet sich für welche Problemstellungen? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 Teil 1, 1. Juli 2008 Name: Matr.Nr.: 1. Ein Natriumatom hat einen Durchmesser von ca. 410-7 m. a) Berechnen Sie näherungsweise das Volumen des Atoms unter der Annahme, dass es kugelförmig ist! Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Rechenschritt die verwendete Potenzrechenregel allgemein an! b) Bei dichtester Packung füllen Kugeln ungefähr 74% des zur Verfügung stehenden Raumes aus. Wie viele Atome wären demnach etwa in einem Würfel mit der Kantenlänge 1mm? Wie lange würde es dauern, diese Atome zu zählen, wenn man (bzw. eine Maschine) in einer Sekunde 10 5 Atome zählen könnte? 2. 0 23,8 34,0 5,7 A , B , C , D , 0 43,6 256,6 3321 a) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten von B und C ! b) Berechnen Sie die Polarkoordinaten von D ! c) Berechnen Sie den Umfang des Vierecks ABCD ! 3. a) 1 3 c1 A 2 , B 2 , C c 2 0 0 4 6 sind die Eckpunkte eines Rechtecks mit AB 2 BC . Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte C und D ! b) Das Rechteck ist Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Höhe 18. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze! c) Berechnen Sie (unter Verwendung entsprechender Vektoren) den Winkel. den die Seitenkante mit der Grundfläche einschließt! (Eine Spitze genügt!) 4. Beim Auflösen einer Substanz in einem Lösungsmittel ist die nach t Sekunden gelöste Menge (in g) gegeben durch: M(t ) S (1 e ct ) a) Bei Benzoesäure in Wasser beträgt S=28 g/l, nach 30 Sekunden sind (in 1 Liter Wasser) 15,5 g aufgelöst. Berechnen Sie daraus c! b) Wann sind 25 g aufgelöst? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 Name: Teil 2, 1. Juli 2008 Matr.Nr.: 5. Die Bahn eines geworfenen Körpers (im Vakuum) lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: g x² f:x x tan (Abschusswinkel 0 90, v v ) 2v² cos ² a) Zeigen Sie, dass die Wurfweite w in Abhängigkeit des Abschusswinkels 2v2 sin cos ! gegeben ist durch: w() g b) Für welchen Winkel ist die Wurfweite am größten? c) Was versteht man unter einer lokalen Maximumstelle? Was ist eine Maximumstelle? Beschreiben Sie wie man mit Hilfe der Differentialrechnung (lokale) Maximumstellen ermitteln kann! 6. Ermitteln Sie das Volumen einer Kugel mit dem Radius r=8 a) mit Hilfe der Integralrechnung, b) näherungsweise mittels Zwischensummen (oder Ober- und Untersummen)! Zerlegen Sie dazu das Intervall [0;8] in 4 gleich lange Teilintervalle! c) Ermitteln Sie die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r ! 7. Ein Autofahrer fährt mit 144 km/h und muss eine Notbremsung durchführen. Innerhalb der nächsten 8 Sekunden bringt er das Auto zum Stehen. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit durch die Funktion v:[0;8] t at 2 b gegeben ist. a) Ermitteln Sie die Werte a und b und skizzieren Sie die Geschwindigkeitsfunktion! b) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in diesen 8 Sekunden zurücklegt, mittels Integral, c) Was versteht man unter einer Stammfunktion? Formulieren Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung! 8. Ein Schüler muss in einem Test zu 20 Fragen die Antworten durch Ankreuzen von einer aus vier Auswahlmöglichkeiten angeben. Er hat aber keine Ahnung und kreuzt zufällig an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auf diese Weise a) mindestens 10 b) höchstens 3 Antworten richtig “erwischt”? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 Name: 15. September 2008 Matr.Nr.: 1. a) Vereinfachen Sie 1 1 t 2 2 2 2 (t 1) t t t 3t 2 und geben Sie bei jedem Umformungsschritt die jeweils verwendete Regel an. b) Wie lautet der Satz von Vietà? 2 a) Von einem Dreieck kennt man: b=6,7; c=7,8; =132°. Berechnen Sie die Seite a und den Winkel ß! b) Berechnen Sie die Seite a ohne Sinus- und Cosinussatz! c) Leiten Sie den Cosinussatz für ein Dreieck ab, in dem b, c, und >90° gegeben sind! 3. a) Eine Kugel hat den Radius r= 27 und berührt die Ebene E: x1+x2x3=4 im Punkt P=(p1;0;0). Ermitteln Sie die Gleichung der Kugel! b) Bestimmen Sie Gleichungen der Tangentialebenen, die normal auf die Gerade durch O=(0;0;0) und M (=Mittelpunkt der Kugel) steht. 4. a) Derzeit wächst die Erdbevölkerung um ca. 2,2% jährlich. Begründen Sie, dass (annähern) exponentielles Wachstum vorliegt und stellen Sie die entsprechende Wachstumsfunktion auf! b) In welchen Zeitspannen würde sich die Erdbevölkerung (falls die jährliche Wachstumsrate konstant bliebe) verdoppeln? b) Derzeit gibt es ca. 5109 Menschen. Wann wäre bei gleichbleibendem Wachstumsverhalten die Bevölkerungszahl so groß, dass auf dem Festland der Erde für jeden Menschen nur noch so viel Platz wäre wie für einen Besucher der Ostermesse auf dem Petersplatz in Rom (also ca. 0,2 m²)? (Erdradius: R6,37106 m; ca. 1/3 der Erdoberfläche ist Festland) 5. Die Bahn eines geworfenen Körpers (im Vakuum) lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: g x² f:x x tan (Abschusswinkel 0 90, v v ) 2v² cos ² a) Zeigen Sie, dass die Wurfweite w in Abhängigkeit des Abschusswinkels 2v2 gegeben ist durch: w() sin cos ! g b) Für welchen Winkel ist die Wurfweite am größten? c) Was versteht man unter einer lokalen Maximumstelle? Was ist eine Maximumstelle? Beschreiben Sie wie man mit Hilfe der Differentialrechnung (lokale) Maximumstellen ermitteln kann! 6 a) Differenzieren Sie die Funktion ln(sin²x) auf zwei Arten (einmal direkt, einmal nach vorheriger Umformung der Funktion mit Hilfe einer Rechenregel für Logarithmen)! b) Formulieren Sie die Kettenregel allgemein! 7. Bei guter Bodenhaftung und guten Bremsen verliert ein Auto bei einer Vollbremsung pro Sekunde ca. 8m/s an Geschwindigkeit. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von vo ist also seine Geschwindigkeit gegeben durch v(t)= vo 8t. a) Berechnen Sie den Bremsweg bei vo =150 km/h mittels Integral, b) näherungsweise mittels Zwischensummen (4 Teilintervalle)!! 8. Bei einer Befragung von 500 Personen gaben 65 an, dass sie möglicherweise am 28. September nicht zur Wahl gehen werden. Schätzen Sie mit einer Sicherheit von 95% die Anzahl der österreichischen Nichtwähler! (Es gibt etwa 6,3 Millionen Wahlberechtigte.) STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3, Teil 1 14. April 2011 Name: Matr.Nr.: 1. Ein Natriumatom hat einen Durchmesser von ca. 410-7 m. a) Berechnen Sie näherungsweise das Volumen des Atoms unter der Annahme, dass es kugelförmig ist! Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Rechenschritt die verwendete Potenzrechenregel allgemein an! b) Bei dichtester Packung füllen Kugeln ungefähr 74% des zur Verfügung stehenden Raumes aus. Wie viele Atome wären demnach etwa in einem Würfel mit der Kantenlänge 1mm? Wie lange würde es dauern, diese Atome zu zählen, wenn man (bzw. eine Maschine) in einer Sekunde 105 Atome zählen könnte? 2. 0 23,8 34,0 5,7 A , B , C , D , 0 43,6 256,6 3321 a) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten von B und C ! b) Berechnen Sie die Polarkoordinaten von D ! c) Berechnen Sie den Umfang des Vierecks ABCD ! d) Definieren Sie sin für: 0<<90°, =0°, =90°, 0≤<360°, e) Für welche gilt: sin = -0,5 ? 3. a) Wie lange ist die Sehne, die die Kugel mit Radius 6cm und Mittelpunkt M=0 von der Geraden g, die durch die Punkte 7 P 4 1 und 2 Q 4 4 geht, abschneidet? b) Bestimmen Sie Gleichungen der Ebenen, die die Kugel in den Punkten P bzw. Q berührt! c) Welche Winkel schließen diese beiden Ebenen miteinander ein? 4. a) Ein Antibiotikum wird vom Körper mit einer „Halbwertszeit“ von 5 Stunden ausgeschieden. (D.h. nach 5 Stunden ist nur mehr die Hälfte des Antibiotikums im Körper.) Begründen Sie, dass die zu einem Zeitpunkt t im Körper befindliche Menge des Wirkstoffes mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschrieben werden kann! b) Wenn der Patient erstmals 300 mg verabreicht bekommt, wie viel mg sind dann nach 2 Stunden noch in seinem Körper? c) Berechnen Sie im Kopf: Wie viel mg sind 20 Stunden nach einer einmaligen Gabe noch im Körper? d) Wie lange dauert es, bis die Konzentration des Wirkstoffes auf 15% des ursprünglichen Werts zurückgegangen ist? e) Ein Patient soll alle 12 Stunden eine Gabe verabreicht bekommen, und die Wirkstoffmenge soll nie unter 30 mg sinken. Welche Menge soll er verabreicht bekommen? f) Der Patient soll nicht mehr als 400 mg auf einmal verabreicht bekommen, und die Wirkstoffmenge soll nie unter 60 mg sinken. In welchen Zeitabständen muss er das Medikament bekommen? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3, Teil 2 Name: 15. April 2011 Matr.Nr.: 5. a) Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung und Monotonieüber legungen, dass die Gleichung x4 – x³ + 1 = 0 keine reelle Lösung besitzt! b) Ermitteln Sie die Ableitung von (i) f(x) = ln(1+x²) (ii) x tan x sin x c) 1 Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von Aufgabe 5 b: 2x 0 1 x2 dx Formulieren Sie den verwendeten Satz allgemein. 6. Die Bahn eines geworfenen Körpers (im Vakuum) lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: g x² f:x x tan (Abschusswinkel 0 90, v v ) 2v² cos ² a) Zeigen Sie, dass die Wurfweite w in Abhängigkeit des Abschusswinkels 2v2 sin cos ! gegeben ist durch: w() g b) Für welchen Winkel ist die Wurfweite am größten? 7. Leiten Sie aus der Tatsache, dass die Erdbeschleunigung g konstant ist (ca. 9,81 m/s²) die Formeln für die Geschwindigkeit bzw. den Weg eines frei fallenden Körpers ab. Vergessen Sie nicht auf die Integrationskonstanten! Was bedeuten diese in diesem Fall? 8. Intelligenztests werden so konstruiert, dass der Intelligenzquotient (IQ) eine Normalverteilung mit µ=100 und =15 ergibt. a) In einer Stadt gibt es 5000 Personen. Wie viele von ihnen haben einen IQ >130? b) Wie viele von ihnen haben einen IQ zwischen 85 und 115? 9. Für welche komplexen Zahlen gilt: z³=-4+4i (Rechnen Sie mit der trigonometrischen Darstellung!) E STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 Name: 16. Juni 2011 Matr.Nr.: 1 Ein Natriumatom hat einen Durchmesser von ca. 410-7 m. a) Berechnen Sie näherungsweise das Volumen des Atoms unter der Annahme, dass es kugelförmig ist! Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Rechenschritt die verwendete Potenzrechenregel allgemein an! b) Bei dichtester Packung füllen Kugeln ungefähr 74% des zur Verfügung stehenden Raumes aus. Wie viele Atome wären demnach etwa in einem Würfel mit der Kantenlänge 1mm? Wie lange würde es dauern, diese Atome zu zählen, wenn man (bzw. eine Maschine) in einer Sekunde 10 5 Atome zählen könnte? 2 0 23,8 34,0 5,7 A , B , C , D , 0 43,6 256,6 3321 a) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten von B und C ! b) Berechnen Sie die Polarkoordinaten von D ! c) Berechnen Sie den Umfang des Vierecks ABCD ! 3 1 3 Von einem Quadrat ABCD kennt man: A ; B 1 2 Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte C und D! 4 a) Derzeit wächst die Erdbevölkerung um ca. 2% jährlich. Begründen Sie, dass (annähernd) exponentielles Wachstum vorliegt und stellen Sie die entsprechende Wachstumsfunktion auf! b) In welchen Zeitspannen würde sich die Erdbevölkerung (falls die jährliche Wachstumsrate konstant bliebe) verdoppeln? b) Derzeit gibt es ca. 6,5109 Menschen. Wann wäre bei gleichbleibendem Wachstumsverhalten die Bevölkerungszahl so groß, dass auf dem Festland der Erde für jeden Menschen nur noch so viel Platz wäre wie für einen Besucher der Ostermesse auf dem Petersplatz in Rom (also ca. 0,2 m²)? (Erdradius: R6,37106 m; ca. 1/3 der Erdoberfläche ist Festland) 5 Die Bahn eines geworfenen Körpers (im Vakuum) lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: g x² f:x x tan (Abschusswinkel 0 90, v v ) 2v² cos ² a) Zeigen Sie, dass die Wurfweite w in Abhängigkeit des Abschusswinkels 2v2 sin cos ! gegeben ist durch: w() g b) Für welchen Winkel ist die Wurfweite am größten? c) Was versteht man unter einer lokalen Maximumstelle? Was ist eine Maximumstelle? Beschreiben Sie wie man mit Hilfe der Differentialrechnung (lokale) Maximumstellen ermitteln kann! 6 a) Differenzieren Sie die Funktion ln(sin²x) auf zwei Arten (einmal direkt, einmal nach vorheriger Umformung der Funktion mit Hilfe einer Rechenregel für Logarithmen)! b) Formulieren Sie die Kettenregel allgemein! 7 Ermitteln Sie das Volumen einer Kugel mit dem Radius r=8 a) mit Hilfe der Integralrechnung, b) näherungsweise mittels Zwischensummen (oder Ober- und Untersummen)! Zerlegen Sie dazu das Intervall [0;8] in 4 gleich lange Teilintervalle! c) Ermitteln Sie die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r ! 8 Ein Autofahrer fährt mit 144 km/h und muss eine Notbremsung durchführen. Innerhalb der nächsten 8 Sekunden bringt er das Auto zum Stehen. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit durch die Funktion v:[0;8] t at 2 b gegeben ist. a) Ermitteln Sie die Werte a und b und skizzieren Sie die Geschwindigkeitsfunktion! b) Berechnen Sie, welchen Weg das Auto in diesen 8 Sekunden zurücklegt, mittels Integral, c) Was versteht man unter einer Stammfunktion? Formulieren Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung! 9 Ein Schüler muss in einem Test zu 20 Fragen die Antworten durch Ankreuzen von einer aus vier Auswahlmöglichkeiten angeben. Er hat aber keine Ahnung und kreuzt zufällig an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auf diese Weise a) mindestens 10 b) höchstens 3 Antworten richtig “erwischt”? STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 (Teil 1) Name: 30. November 2011 Matrikelnummer: 1. a) In Yoghurt wird in einem Volumen von 10-3mm³ 80 Yoghurt-Bakterien gezählt. Wie viele solcher Bakterien sind in einem Viertelliter? Wie groß ist das Volumen der in einem Viertelliter enthaltenen Zellen, wenn man annimmt, dass sie kugelförmig sind und einen Radius von 10 -6m haben? Rechnen Sie mit Zehnerpotenzen und geben Sie bei jedem Schritt die entsprechende Potenzrechenregel allgemein an! b) Lösen Sie die Gleichung ax²+(a+b)x+b=0 nach x! (a0) Warum muss diese Gleichung mindestens eine Lösung haben? 2. a) Von einem Dreieck kennt man: a=7,1; c=8,2; ß=115°. Berechnen Sie die Seite b und den Winkel ! b) Berechnen Sie die Seite b ohne Sinus- und Cosinussatz! c) Leiten Sie den Cosinussatz für ein Dreieck ab, in dem a, c, und ß>90° gegeben sind! d) Definieren Sie cos für ]0 ;90 [;, 0 ; 90 ; [0 ;360 [; R ! 3. Von einer Kugel kennt man die Punkte A=(3; 2;-5) und B=(-1; -2; 5). Der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Geraden 1 0 g: X = 3 + t 4 3 1 a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Kugel! b) Stellen Sie Gleichungen der Tangentialebenen in A und B auf! c) Unter welchem Winkel schneiden einander die beiden Ebenen? 4. Der Luftdruck nimmt mit der Höhe exponentiell ab: Er sinkt auf die Hälfte des Werts, wenn die Höhe um 5500m zunimmt. a) Stellen Sie eine Formel auf, die den Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck angibt! b) Auf dem Gipfel eines Berges misst man einen Luftdruck von 712 hPa (=712mbar). Am Fuß des Berges herrscht ein Luftdruck von 991 hPa. Berechnen Sie die Höhe dr Bergspitze vom Fuß des Berges aus gerechnet! c) Berechnen Sie die Höhe des Berges über Meeresniveau, wenn auf Meeresniveau ein Luftdruck von 1013 hPa angenommen wird! 5. Ein genormter Intelligenztest ist so konstruiert, dass die Punktezahl (aufgefasst als Zufallsvariable bei zufälliger Auswahl einer erwachsenen Person aus der Gesamtbevölkerung) annähernd normalverteilt ist mit µ=100 und =15. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Ergebnis a) zwischen 80 und 105 Punkte, b) >140 Punkte erreicht! 6. Für welche komplexen Zahlen gilt: z³= - 4+4i (Rechnen Sie mit der trigonometrischen Darstellung!) STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 (Teil 2) Name: 14. Dezember 2011 Matrikelnummer: 7. Ein Rotationskörper entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f: x (6 x) x , x[0;6] a) Stellen Sie den Querschnittsflächeninhalt A des Rotationskörpers als Funktion von x dar! b) Berechnen Sie auf 2 Arten (mit Hilfe von f(x) bzw. mit Hilfe von A(x)), an welcher Stelle der Körper die größte Querschnittsfläche hat! 8. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers aus Aufgabe 7, und zwar: a) exakt mittels Integral, b) näherungsweise mittels Unter-/Obersummen oder Zwischensummen! (teilen Sie das Intervall [0;6] in 3 gleiche Teile! 9. a) Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung und Monotonieüberlegungen, dass die Gleichung x4 – x³ + 1 = 0 keine (reelle) Lösung besitzt! b) Ermitteln Sie die Ableitung von (i) f(x) = sin(1+x²) (ii) x ex ln x STUDIENBERECHTIGUNGSPRÜFUNG MATHEMATIK Mathematik 3 5. März 2013 Name: 1 Matr.Nr.: Für eine Sammellinse gilt: 1 1 1 f g b (f … Brennweite, g … Gegenstandsweite, b … Bildweite) Eine Messung ergab: b = 25 ± 0,5 mm und g = 43 ± 0,5 mm. Berechnen Sie daraus Schranken für f. 2 b) Stellen Sie das Gleichungssystem 2x + 3y = 1 x – y = -2 mit Hilfe von Matrizen und Vektoren dar. 0, 2 0, 6 Zeigen Sie, dass die inverse Matrix der Koeffizientenmatrix 0, 2 0, 4 ist und lösen Sie mit Hilfe dieser das gegebene Gleichungssystem. 3 A = (5; 6), B = (-1; -2), C = (3; 0) bilden ein Dreieck. a) Ermitteln Sie mittels Normalvektorform Gleichungen der Geraden durch die Punkte A und B sowie durch die Punkte A und C. b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Umkreismittelpunktes. c) Ermitteln Sie eine Gleichung des Umkreises. e) Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Vektoren AB und AC . 4 Die Abnahme des Luftdrucks p mit der Höhe h (in m) ist annähernd gegeben durch p p0 e h 8000 . In welcher Höhe beträgt der Luftdruck nur mehr die Hälfte des Luftdrucks p0 an der Erdoberfläche? 5 Die Lage eines gedämpft schwingenden Körpers sei durch die Zeit-OrtFunktion s(t) = e-0,2t∙sin(3t + ) 4 gegeben. Berechnen Sie die Geschwindigkeit dieses Körpers zum Zeitpunkt t! 6 Die Geschwindigkeit eines Körpers ist t Sekunden nach Beginn des Bremsvorganges gegeben durch v(t) = 100 – t² (in m/s). Wann kommt der Körper zum Stillstand und wie lange ist der Bremsweg? 7 In einer Fabrik werden Antriebswellen erzeugt. Die Durchmesser der Wellen sind normalverteilt mit einem Mittelwert µ = 20 mm und einer Standardabweichung = 0,4 mm. Bei wie viel % der Produktion weicht der Durchmesser um mehr als 0,5 mm vom Mittelwert ab? 8 Für welche komplexe(n) Zahl(en) z gilt: z² = -4i
