Seminarvortrag: Das Eichprinzip in der Elektrodynamik

Seminarvortrag: Das Eichprinzip in der
Elektrodynamik
Referent: Julian Urban
Dozent: Georg Wolschin, Tutor: Florian Hebenstreit
14.04.2014
1
Einleitung
Innerhalb der klassischen Elektrodynamik beschreibt das Eichprinzip, wie
die elektromagnetischen Wechselwirkungen, die durch das elektrische Feld
sowie die magnetische Induktion beschrieben werden, unter einer eingeschränkt beliebigen Wahl bestimmter lokaler Größen, nämlich des elektrischen Potentials sowie des magnetischen Vektorpotentials, invariant bleiben
bzw. umgekehrt sich die physikalischen Vorhersagen der Theorie aus der
Eichsymmetrie konstruieren lassen. Eingeführt wurde dieses Prinzip vom
Physiker und Mathematiker Hermann Klaus Hugo Weyl (*9. November 1885
in Elmshorn; †8. Dezember 1955 in Zürich) in den zwanziger Jahren des
letzten Jahrhunderts. Er versuchte auch, dieses Prinzip auf Albert Einsteins
Allgemeine Relativitätstheorie anzuwenden und eine vereinigte Theorie von
elektromagnetischer und Gravitationskraft zu schaffen, die sich jedoch als
falsch herausstellte. Während das Eichprinzip und insbesondere die Möglichkeit, die Elektrodynamik daraus zu konstruieren, im klassischen Fall lediglich
eine interessante und nützliche Eigenschaft der Theorie darstellt, hat es bei
den nicht-klassischen Feldtheorien grundlegendere Bedeutung. Dazu gehören
die Quantenelektrodynamik, die wie die ED selbst eine abelsche Eichtheorie ist, sowie die nicht-abelschen Theorien, die man zur Beschreibung der
starken und schwachen Kernkraft heranzieht.
2
Maxwell-Gleichungen, Potentialdarstellung der
Felder
~ sowie maDie mikroskopischen Maxwell-Gleichungen für elektrisches Feld E
~ werden zunächst als durch die Beobachtung bestätigte
gnetische Induktion B
Grundlage der klassischen Elektrodynamik angenommen:
1
~ + 1B
~˙ = 0
∇×E
c
~ =
∇×B
4π ~
c j
~˙
+ 1c E
~ =0
∇·B
(1), (2)
~ = 4πρ
∇·E
(3), (4)
mit der skalaren Ladungsdichte ρ(~x, t) sowie der vektoriellen Stromdichte
~j(~x, t).
Sie bilden ein ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem, dessen Lösung sich im Allgemeinen als sehr schwierig erweist. Zur Vereinfachung wer~ und B
~ über das elektrische Skalarden die Potentialbeschreibungen von E
~ eingeführt:
potential Φ sowie das magnetische Vektorpotential A
~ = −∇Φ −
E
~
1 ∂A
c ∂t
~ =∇×A
~
B
(5), (6)
Setzt man diese Definitionen in die Maxwell-Gleichungen (1)-(4) ein, so
reduziert sich das System zu zwei Gleichungen:
~
4Φ + 1c ∇ ∂∂tA = −4πρ
~−
4A
~
1 ∂2A
c2 ∂t2
(7)
~
~
= − 4π
c j + ∇(∇A +
1 ∂Φ
c ∂t )
(8)
~ deutet sich hier bereits eine inhoZumindest für das Vektorpotential A
~ und B
~ über die Ableitungen der Potenmogene Wellengleichung an. Da E
~ und Φ nicht
tiale definiert sind, ist sofort ersichtlich, dass die Wahl von A
beliebig ist, z.B. lässt die Addition konstanter Terme die Felder invariant.
Nach dem selben Prinzip lässt sich auch in der klassischen Mechanik das
Gravitationspotential verändern, ohne die physikalischen, messbaren Vorhersagen der Theorie zu verändern. Dies nennt man globale Eichfreiheit
oder Eichsymmetrie.
3
Eichtransformation
Im Rahmen der Elektrodynamik lohnt es sich, eine bezüglich Zeit und
Ort lokale Eichsymmetrie zu betrachten. Es muss also eine Transfor~ mittels einer
mation konstruiert werden, die auf die Potentiale Φ und A
Parameterfunktion λ(~x, t) angewandt werden kann, jedoch die Bewegungs~ und B
~ nicht verändert:
gleichungen invariant lässt, also die Felder E
1 ∂λ
c ∂t
0
~
~
~
A −→ A = A + ∇λ
Φ −→ Φ0 = Φ −
2
(9)
(10)
mit λ ∈ C , λ(~x, t) skalar
2
Dies ist die Eichtransformation der Elektrodynamik mit einer skalaren, zweimal stetig nach Zeit und Ort partiell differenzierbaren Transformationsfunktion. Die Eichtransformationen bilden mathematisch eine kommutative (abelsche) Gruppe. Die Gruppeneigenschaften (Abgeschlossenheit,
Assoziativität, inverses und neutrales Element, Kommutativität) ergeben
sich aus der normalen Multiplikation und Addition sowie den entsprechenden Regeln für Ableitungen. Die Invarianz der Felder unter dieser Transformation lässt sich einfach verifizieren:
~ −→ B
~0 = ∇ × A
~ 0 = ∇ × (A
~ + ∇λ) = ∇ × A
~ + 0 = B,
~
B
denn die Rotation eines beliebigen regulären Gradientenfelds verschwindet stets, sowie
~ −→ E
~ 0 = −∇Φ0 −
E
~0
1 ∂A
c ∂t
= −∇Φ −
~
1 ∂A
c ∂t
+ ∇ 1c ∂λ
∂t −
1 ∂
c ∂t ∇λ
~
= E,
denn nach dem Satz von Schwartz lassen sich partielle zeitliche und örtliche Ableitung vertauschen und die zusätzlichen Terme verschwinden.
4
Coulomb-Eichung
Zur Lösung der Gleichungen (7),(8) lässt sich zunächst die sogenannte CoulombEichung heranziehen. Diese ist benannt nach Charles Augustin de Coulomb
(*14. Juni 1736 in Angoulême; †23. August 1806 in Paris) und fordert eine
~
verschwindende Divergenz des Vektorpotentials A:
~ =! 0
Coulomb-Eichung: ∇ · A
(11)
Damit vereinfacht sich Gleichung (7) nach dem Satz von Schwartz zu
(7), (11) ⇒ 4Φ = 4πρ
(12),
also einer simplen Poisson-Gleichung für Φ mit eliminiertem Vektorpotential. Wir erhalten die Lösung zu:
Z
Φ(~x, t) =
ρ(~x0 , t) 3 0
d x
|~x − ~x0 |
(13)
In Gleichung (8) verschwindet zunächst der Divergenzterm auf der rechten Seite:
~
1 ∂2A
4π
1 ∂Φ
= − ~j + ∇
(14)
c2 ∂t2
c
c ∂t
Man möchte nun ebenfalls das skalare Potential Φ aus der Gleichung
eliminieren, um das System vollständig zu entkoppeln. Dies erlaubt uns das
~−
4A
3
Helmholtz-Theorem:
Ein beliebiges Vektorfeld ~v (~x, t) lässt sich fast immer als Superposition
eines longitudinalen, wirbelfreien Anteils ~a(~x, t) sowie eines transversalen,
quellenfreien Anteils ~b(~x, t) darstellen. Dies impliziert sodann, dass sich ~a
als Gradientenfeld sowie ~b als Rotationsfeld darstellen lassen:
~v (~x, t) = ~a(~x, t) + ~b(~x, t) mit ∇ × ~a = 0, ∇ · ~b = 0
⇒ ∃ψ(~x, t) : ~a(~x, t) = ∇ψ(~x, t),
∃w(~
~ x, t) : ~b(~x, t) = ∇ × w(~
~ x, t)
~ und B
~ mit den PotenSo lässt sich dieses Theorem auch auf die Felder E
~
tialen Φ und A anwenden. Hier ermöglicht es uns jedoch, den Strom ~j(~x, t)
mit einem divergenzfreien Term ~jt sowie einem rotationsfreien Term ~jl zu
beschreiben. Die Aufteilung ist eindeutig und lässt sich wie folgt berechnen:
~jt (~x, t) = 1 ∇ × ∇ ×
4π
~jl (~x, t) = − 1 ∇
4π
Z
Z ~ 0
j(~x , t) 3 0
d x
0
(15)
|~x − ~x |
∇0 · ~j(~x0 , t) 3 0
d x
|~x − ~x0 |
(16)
Setzt man nun die Kontinuitätsgleichung für elektrische Ladungen,
∂ρ
+ ∇ · ~j = 0
(17),
∂t
in die Lösung () für das Potential Φ ein, so erhält man:
∂Φ
∇
= −∇
∂t
Z
∇0 · ~j(~x0 , t) 3 0
d x
|~x − ~x0 |
(18).
~
Ein Vergleich mit (16) ergibt ∇ ∂Φ
∂t = 4π jl , das Potential Φ lässt sich also
vollständig aus Gleichung (14) eliminieren und es ergibt sich die inhomogene
Wellengleichung
~
1 ∂2A
4π
= − ~jt
(19),
c2 ∂t2
c
deren Lösung man über die Definition der retardierten Zeit
~−
4A
1
tret = t − |~x − ~x0 |
c
(20)
zu
~ x, t) = 1
A(~
c
Z ~ 0
jt (~x , tret ) 3 0
d x
0
|~x − ~x |
4
(21)
erhält. Es fällt auf, dass eine lokale Änderung der Ladungsverteilung
ρ(~x, t) sich instantan auf das elektrische Potential Φ(~x, t) auswirkt. Dies
steht jedoch nicht im Widerspruch zur endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit von Feldänderungen, nämlich der Lichtgeschwindigkeit, da die Definiti~ über die Potentiale auch das Vektorpotential A
~
on des elektrischen Felds E
einbezieht und somit die retardierte Zeit.
Es stellt sich nun die Frage, ob sich immer ein Vektorpotential zu einer
gewissen Anordnung finden lässt, das die Coulomb-Eichung erfüllt. Dazu
~ das ein bestimmtes
nimmt man zunächst an, dass ein Vektorpotential A,
Problem beschreibt, eine nichtverschwindende Divergenz besitze:
~ 6= 0
∇·A
Man setzt sodann eine Eichtransformation an und fordert, dass die Di~ 0 verschwinde:
vergenz des transformierten Vektorpotentials A
~ 6= 0
∇·A
~ −→ A
~0 = A
~ + ∇λ
A
~0 = ∇ · A
~ + 4λ =! 0
∇·A
~
⇒ 4λ = −∇ · A
(22)
(22) ist eine Poisson-Gleichung für λ, deren Lösung stets existiert. Es
~ x, t) und entsprechend ein Polässt sich also immer ein Vektorpotential A(~
tential Φ zu einer Anordnung finden, sodass man die Coulomb-Eichung zur
Lösung der Feldgleichungen heranziehen kann. Die zugehörigen Potentiale
~ x, t) und Φ die
bilden im Übrigen eine Eichklasse - wenn also gewisse A(~
Eichbedingung erfüllen, so gilt dies auch für alle transformierten Potentiale,
falls 4λ = 0.
5
Lorenz-Eichung
Eine weitere Eichung, die man zur Lösung der Feldgleichungen verwenden
kann, ist die sogenannte Lorenz-Eichung. Diese ist nach Ludvig Valentin
Lorenz (*18. Januar 1829 in Helsingør; †9. Juni 1891 in Frederiksberg) benannt und erweitert die Coulomb-Eichung um die zeitliche Ableitung des
elektrischen Potentials Φ:
1 ∂Φ
~=0
+∇·A
(23)
c ∂t
Im stationären Fall stimmen beide Eichungen also überein. Setzt man
die Eichbedingung in die Gleichungen (7),(8) ein, so erhält man sowohl für
~ eine inhomogene Wellengleichung:
Φ als auch für A
5
1 ∂2Φ
4π
=− ρ
2
2
c ∂t
c
2A
~
1
∂
4π
~−
4A
= − ~j
c2 ∂t2
c
4Φ −
(24)
(25)
Die Lösungen ergeben sich analog zu (21):
ρ(~x0 , tret ) 3 0
d x
|~x − ~x0 |
Z ~ 0
~ x, t) = 1 j(~x , tret ) d3 x0
A(~
c
|~x − ~x0 |
Z
Φ(~x, t) =
(26)
(27)
Diese stehen nicht im Widerspruch zu den Lösungen (13),(21) der CoulombEichung, denn zur Herleitung wird insbesondere das Helmholtz-Theorem
nicht benötigt und man integriert über die gesamte, unveränderte Stromdichte ~j(~x, t).
~ finAuch bei der Lorenz-Eichung lassen sich immer Potentiale Φ und A
den, sodass die Eichbedingung erfüllt ist. Dazu nimmt man zunächst an,
dass
1 ∂Φ
~ 6= 0.
+∇·A
c ∂t
~ 0 die
Man transformiert sodann die Potentiale und fordert, dass Φ0 , A
Eichbedingung erfüllen:
1 ∂λ
c ∂t
0
~
~
~
A −→ A = A + ∇λ
Φ −→ Φ0 = Φ −
2
1 ∂Φ0
~ 0 = 1 ∂Φ + ∇ · A
~ + 4λ − 1 ∂ λ =! 0
+∇·A
c ∂t
c ∂t
c2 ∂t2
1 ∂2λ
~ − 1 ∂Φ
= −∇ · A
(28)
2
2
c ∂t
c ∂t
Diese inhomogene Wellengleichung für λ ist stets lösbar. Die zugehörigen
Potentiale bilden ebenfalls eine Eichklasse mit der Transformationsbedingung
⇒ 4λ −
4λ −
1 ∂2λ
=0
c2 ∂t2
6
(29),
wenn λ also eine homogene Wellengleichung erfüllt. Fordert man, dass
λ im Unendlichen auf 0 abfällt, wie in der (Quanten-)Elektrodynamik üblich, so existiert nur die triviale Lösung λ ≡ 0 und die Lorenz-Eichung ist
eindeutig.
6
Herleitung der Maxwell-Gleichungen
Im Rahmen der Elektrodynamik lässt sich die Eichsymmetrie nicht nur zur
Vereinfachung der Maxwell-Gleichungen, sondern auch zur Herleitung derselben aus möglichst einfachen Annahmen verwenden. Dazu betrachtet man
zunächst die Lagrange-Funktion LM (~x(t), ~v (t)) eines freien Punktteilchens
mit dem kanonischen Impuls p~:
s
2
LM (~x(t), ~v (t)) = −mc
p~ ≡
~v (t)2
c2
m~v (t)
1−
∂LM (~x(t), ~v (t))
=q
∂~v
1−
~v (t)2
c2
(30)
(31)
Man postuliert nun, dass es zwei verschiedene Teilchensorten gibt, nämlich positiv und negativ geladene, und bezeichnet die Ladung als q. Um
die elektromagnetische Wechselwirkung zu beschreiben, erweitert man die
Lagrange-Funktion um einen Wechselwirkungsanteil. Dieser soll die Poten~ enthalten und unter Eichtransformationen invariant
tiale Φ sowie A
bleiben. So findet man diesen Anteil zu
q
~ ~x(t))
LF (~x(t), ~v (t)) = −qΦ(t, ~x(t)) + ~v (t) · A(t,
(32)
c
mit dem entsprechenden kanonischen Impuls der gesamten LagrangeFunktion
~ ≡ ∂LM +F (~x(t), ~v (t)) = q m~v (t) + q A(t,
~ ~x(t))
Π
2
∂~v
c
1 − ~v(t)
c2
(33).
Transformiert man nämlich nun die Potentiale, so ändert sich die LagrangeFunktion nur um die totale Zeitableitung der Transformationsfunktion λ, die
Bewegungsgleichungen bleiben also invariant. Die Euler-Lagrange-Gleichung
führt zu
~
d m~v (t)
∂A
~ − ∇Φ + ∇(~v · A))
~
q
− (~v · ∇)A
=
q(−
dt 1 − ~v(t)2
∂t
c2
~
1
~ + (−∇Φ − 1 ∂ A )).
= q( ~v × (∇ × A)
c
c ∂t
7
~ und B
~ und erhält
Man identifiziert die Potentialdarstellungen von E
damit die Lorentzkraft:
d~
p
~ ~x(t)) + 1 ~v (t) × B(t,
~ ~x(t)))
= q(E(t,
(34)
dt
c
Aus (34) und den Potentialdarstellungen lassen sich die homogenen
Maxwell-Gleichungen sofort ablesen: Die Divergenz der Rotation eines
regulären Vektorfelds verschwindet stets, man erhält
~ ~x(t)) = 0,
∇ · B(t,
ebenso verschwindet auch die Rotation eines regulären Gradientenfelds,
man erhält
~
~ ~x(t)) = − 1 dB(t, ~x(t)) .
∇ × E(t,
c
dt
Zur Herleitung der inhomogenen Maxwell-Gleichungen empfiehlt es sich,
die kovariante Formulierung der Elektrodynamik mit Viererstrom j µ , Viererpotential Aµ sowie elektromagnetischem Feldstärketensor F µν = ∂ µ Aν −
∂ ν Aµ zu betrachten. Damit vereinfacht sich die Eichtransformation zu
Aµ −→ A0µ = Aµ − ∂ µ λ
(35).
Der Feldstärketensor ist invariant unter Eichtransformationen:
F 0µν = ∂ µ A0ν −∂ ν A0µ = ∂ µ Aν −∂ ν Aµ −∂ µ ∂ ν λ+∂ µ ∂ ν λ = ∂ µ Aν −∂ ν Aµ = F µν
Die Lorenz-Eichung lässt sich ebenfalls vereinfacht darstellen:
∂µ Aµ = 0
(36)
Wir erweitern nun unsere Lagrange-Funktion der Wechselwirkung auf
mehrere Punktteilchen,
LF (~x(t), ~v (t)) =
X
i
1
~ ~xi (t)))
qi (A0 (t, ~xi (t)) − ~vi (t) · A(t,
c
bzw. kontinuierlich als Lagrange-Dichte L im Integral:
=
Z X
i
1
~ ~xi (t)))d3 x
qi δ (3) (~x − ~xi (t))(A0 (t, ~xi (t)) − ~vi (t) · A(t,
c
1
=−
c
Z
jµ (x)Aµ (x)d4 x
(37)
Diese Lagrange-Funktion ist natürlich eichinvariant, allerdings auch invariant unter relativistischen Lorentztransformationen. Zur Herleitung der inhomogenen Maxwell-Gleichungen reicht es jedoch nicht, die Wechselwirkung
8
zu betrachten, sondern es wird ein zusätzlicher Teil benötigt, der unabhängig zur Existenz von Materie im Raum das Verhalten der Felder beschreibt.
Man ergänzt also die Lagrange-Dichte L unter dem Integral, indem man
einen Anteil LF eld addiert. Dieser Feld-Anteil soll natürlich ebenfalls unter einer Eichtransformation invariant bleiben, es liegt also nahe, diesen als
Funktion des Feldstärketensors zu wählen, denn dieser ist selbst invariant.
Bei der gegebenen Lagrange-Dichte variiert man sodann nicht mehr nach ~x
und ~v , sondern nach dem Viererpotential Aµ , um die Bewegungsgleichungen
zu erhalten, die Euler-Lagrange-Gleichung hat also die Form
∂µ
∂L
∂L
=0
−
∂(∂µ Aν ) ∂Aν
(38)
Eines der Grundprinzipien der klassischen Elektrodynamik ist die lineare Superposition von Feldern. Fordert man deren Linearität, so muss der
Feldteil der Lagrange-Dichte quadratisch im Feldstärketensor sein, da man
nach dem Viererpotential ableitet. Dies sorgt im Übrigen auch dafür, dass die
Lagrange-Funktion weiterhin unter relativistischen Lorentztransformationen
~2 − E
~ 2 ) ist selbst Lorentz-invariant.
invariant bleibt, denn Fµν F µν = 2 · (B
Man erhält den Feldteil zu
1
Fµν (x)F µν (x)
(39).
16π
Die Berechnung der Euler-Lagrange-Gleichung mit (38) für die gesamte
Lagrange-Dichte ergibt sodann die inhomogenen Maxwell-Gleichungen:
LF eld (Aµ , ∂ν Aµ ) = −
∂µ F µν =
4π ν
j
c
(40)
Mit dem dualen Feldstärketensor F̃ µν = 21 µνρσ Fρσ lauten die homogenen Maxwell-Gleichungen in kovarianter Formulierung entsprechend:
∂µ F̃ µν = 0
7
(41)
Zusammenfassung und Ausblick
In einer Betrachtung der Maxwell-Gleichungen sowie der Potentialdarstellungen der elektromagnetischen Felder wurde die Eichtransformation der
Elektrodynamik eingeführt. Die Coulomb- und Lorenzeichung wurden bezüglich Nutzen und Anwendbarkeit untersucht. Im Anschluss wurden die
Maxwell-Gleichungen aus der Eichsymmetrie hergeleitet.
Die Konstruktion der Elektrodynamik, indem man mit freien Elektronen
und Positronen, also im Allgemeinen positiv und negativ geladenen Teilchen,
beginnt und eine Eichsymmetrie fordert, ist eine interessante Eigenschaft der
Theorie und die behandelten Eichungen vereinfachen einige Rechnungen erheblich. Die Eichsymmetrie ist jedoch weder historisch noch mathematisch
9
absolute Grundlage der Theorie, ganz im Gegensatz zu den modernen, nichtklassischen Theorien. Aus der abelschen Eichsymmetrie ergibt sich die Quantenelektrodynamik, hingegen die Theorien der starken (Symmetriegruppe
SU3, QCD) und schwachen (Symmetriegruppe SU2) Kernkraft aus nichtabelschen Symmetrien (in letzterem Fall wird noch der Higgs-Mechanismus
benötigt, da die Austauschteilchen massebehaftet sind). Die Allgemeine Relativitätstheorie als Beschreibung der Gravitation ist keine Eichtheorie im
engeren Sinne, mit der Forderung nach Invarianz unter beliebigen Koordinatentransformationen (Diffeomorphismen) ist sie jedoch nach einem ähnlichen
Prinzip aufgebaut.
8
Quellen
- J.D. Jackson: Classical Electrodynamics
1. Auflage
John Wiley & Sons, Inc.
- W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3
8. Auflage
Springer
- L.D. Landau, E.M. Lifschitz: The Classical Theory of Fields
3. Auflage
Pergamon Press
- R. Starkl: Materie – Feld – Struktur
1. Auflage
vieweg
- Prof. Carlo Ewerz: Skript und Übungen zur Vorlesung Elektrodynamik
WS 2013/14
10