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Elektrotechnik
Prof. Dr. Johannes Maucher
Version: Wintersemester 05/06
2005/06
Stand: 13.01.2006
Formelsammlung für
Elektrotechnik
für MI und DT
Bitte beachten Sie :
In diesem Dokument sind die wichtigsten Formeln der Elektrotechnik Vorlesung WS0506
zusammengefasst. Die konkreten Randbedingungen, unter denen die Formeln gelten, müssen
dem Skript entnommen werden.
Draft Version WS05/06
INHALT der Formelsammlung
1
2
3
4
5
Mathematische Formeln.......................................................................................................... 3
1.1
Vektorrechnung ................................................................................................................ 3
1.1.1
Addition und Subtraktion von Vektoren .................................................................... 3
1.1.2
Skalarprodukt von Vektoren...................................................................................... 3
1.1.3
Kreuzprodukt von Vektoren ...................................................................................... 3
1.2
Differentialrechnung ......................................................................................................... 4
1.3
Integralrechnung .............................................................................................................. 5
1.4
Komplexe Zahlen ............................................................................................................. 5
Elektrische Felder, Strom, Spannung und Leistung................................................................ 6
Widerstand und Leitwert, Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsches Gesetz.................................... 7
Halbleiter: Diode und Transistor.............................................................................................. 8
4.1
Diode ................................................................................................................................ 8
4.2
Transistor ......................................................................................................................... 9
Kondensator .......................................................................................................................... 10
5.1.1
Kapazität ................................................................................................................. 10
5.1.2
Kondensator im Gleichstromkreis ........................................................................... 10
Seite 1
Elektrotechnik
6
7
Prof. Dr. Johannes Maucher
Magnetische Felder und Kräfte, Induktion ............................................................................ 12
Spule ..................................................................................................................................... 14
7.1
Induktivität ...................................................................................................................... 14
7.2
Spule im Gleichstromkreis ............................................................................................. 14
8 Wechselstrom und Wechselspannung .................................................................................. 16
8.1
Charakteristische Größen von Wechselstrom und Wechselspannung.......................... 16
8.2
Blindwiderstand / Blindleitwert ....................................................................................... 16
8.3
Reihenschaltung von ohmschem Widerstand, Spule und Kondensator........................ 16
8.4
Parallelschaltung von ohmschem Widerstand, Spule und Kondensator ....................... 17
8.5
Leistung im Wechselstromkreis ..................................................................................... 17
8.6
Transformator................................................................................................................. 17
9 Elektromagnetische Felder und Wellen................................................................................. 18
9.1
Maxwellgleichungen (Integralform) ................................................................................ 18
9.2
Wellenlänge, Frequenz, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Leistung............................ 18
9.3
Elektromagnetischer Schwingkreis (LC-Schwingkreis) als Modell für die Erzeugung von
elektromagnetischen Wellen durch Hertzschen Dipol .............................................................. 19
10
Tabellen ............................................................................................................................. 20
Seite 2
Elektrotechnik
1
Prof. Dr. Johannes Maucher
Mathematische Formeln
1.1
Vektorrechnung
Im Folgenden sind Operationen von Vekoren im zweidimensionalen Raum aufgeführt. Sie gelten
analog im n-dimensionalen Raum.
y
b
β
φ
a
α
x
Abbildung 1: Vektoren in der Ebene
Bezeichnung
2-dimensionaler Vektor und seine
Komponenten
Betrag eines Vektors
1.1.1
Differenz von zwei Vektoren
a = ax + a y
2
2
Formel
⎛ cx
a + b = c = ⎜⎜
⎝ cy
⎛ cx
a − b = c = ⎜⎜
⎝ cy
⎞ ⎛ a x + bx ⎞
⎟=⎜
⎟
⎟ ⎜a + b ⎟
y
y
⎠ ⎝
⎠
⎞ ⎛ ax − bx ⎞
⎟=⎜
⎟
⎟ ⎜a − b ⎟
y⎠
⎠ ⎝ y
Skalarprodukt von Vektoren
Bezeichnung
Skalarprodukt von zwei Vektoren mit
eingeschlossenem Winkel φ
1.1.3
⎛ ax ⎞
a = ⎜⎜ ⎟⎟ mit a x = a ⋅ cos(α ), a y = a ⋅ sin (α )
⎝ ay ⎠
Addition und Subtraktion von Vektoren
Bezeichnung
Summe von zwei Vektoren
1.1.2
Formel
Formel
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(φ ) = a x ⋅ bx + a y ⋅ by
Kreuzprodukt von Vektoren
Bezeichnung
Vektorprodukt von zwei Vektoren mit
eingeschlossenem Winkel φ
Formel
a × b = c mit
c = a ⋅ b ⋅ sin(φ )
und Richtung von c entsprechend der Drei-Finger-Regel
der rechten Hand, also senkrecht zu der von a und b
aufgespannten Ebene
Seite 3
Elektrotechnik
1.2
Prof. Dr. Johannes Maucher
Differentialrechnung
Bezeichnung
Potenzregel
Funktion
f ( x) = a ⋅ x + c
n
f ( x) = 3 ⋅ x 2 + 1
x+3
f ( x) = 4 + 1
x
f ( x) = x
1.Ableitung der Funktion
f ´(x) = a ⋅ n ⋅ x n −1
f ´(x) = 6 ⋅ x
Sinusfunktion
f ( x) = sin( x)
− 3 12
−
x 4 x5
1
f ´(x) =
2 x
f ´(x) = cos( x)
Kosinusfunktion
f ( x) = cos( x)
f ´(x) = − sin( x)
f ´(x) =
Produktregel
f ( x ) = g ( x ) ⋅ h( x )
f ´(x) = g ( x) ⋅ h´(x) + g´(x) ⋅ h( x)
Quotientenregel
f ( x) = cos( x) ⋅ 3x 2
g ( x)
f ( x) =
h( x )
f ´(x) = − sin( x) ⋅ 3x 2 + cos( x) ⋅ 6 x
g´(x) ⋅ h( x) − g ( x) ⋅ h´(x)
f ´(x) =
(h( x))2
f ( x) =
Kettenregel
sin( x)
= tan( x)
cos( x)
f ´(x) =
cos 2 ( x) + sin 2 ( x)
1
=
2
cos ( x)
cos 2 ( x)
f ( x) = g (h( x) )
f ´(x) = h´(x) ⋅ g´(h( x) )
f ( x) = sin(a ⋅ x 2 )
f ´(x) = 2ax ⋅ cos(a ⋅ x 2 )
Ableitungen weiterer wichtiger Funktionen
f ( x) = e x
f ´(x) = e x
f ( x) = a x
f ´(x) = a x ⋅ ln (a )
f ( x) = ln( x)
f ( x) = log a ( x)
f ´(x) =
1
x
f ´(x) =
1
x ⋅ ln (a )
Seite 4
Elektrotechnik
1.3
Prof. Dr. Johannes Maucher
Integralrechnung
In der folgenden Tabelle sind zu einigen wichtigen Funktionen die entsprechenden
Stammfunktionen aufgeführt. Die Stammfunktion mit Integrationskonstante bezieht sich
allgemein auf ein unbestimmtes Integral (ohne Integrationsgrenzen). Die Berechnung eines
bestimmten Integrals lässt sich mithilfe der Stammfunktion wie folgt bestimmen:
x2
∫ f ( x)dx = F ( x)
x= x2
x = x1
= F ( x 2) − F ( x1).
x1
Funktion
Stammfunktion
f (x)
F ( x) = ∫ f ( x)dx + c
f ( x) = a ⋅ x n
1
x
f ( x) = sin(ax)
f ( x) =
f ( x) = cos(ax)
f ( x) = tan(ax)
f ( x) = a x
f ( x) = e ax
f ( x) = ln( x)
f ( x) = sin 2 (ax)
1.4
a
⋅ x n +1 + c
n +1
F ( x) = ln( x) + c
F ( x) =
1
F ( x) = − cos(ax) + c
a
1
F ( x) = sin( ax) + c
a
1
F ( x) = − ln ( cos(ax) ) + c
a
ax
+c
F ( x) =
ln(a )
1
F ( x) = e ax + c
a
F ( x) = x ⋅ ln( x) − x + c
1
1
F ( x) = − sin(ax) ⋅ cos(ax) + ∫ 1 ⋅ dx
2a
2
Komplexe Zahlen
Bezeichnung
Komplexe Zahl z mit Realteil a und
Imaginärteil b
Betrag und Phase einer komplexen Zahl
Gaußsche Formel
Formel
z = a + jb, mit
j = −1
z = a2 + b2
b
tan (ϕ ) = .
a
jϕ
z ⋅ e = z (cos(ϕ ) + j sin (ϕ ))
Seite 5
Elektrotechnik
2
Prof. Dr. Johannes Maucher
Elektrische Felder, Strom, Spannung und Leistung
Bezeichnung
Definition Feldstärke E
Formel
F
E=
Q
Elektrische Kraft, die vom
Feld einer Punktladung q
auf eine Probeladung Q
ausgeübt wird
Zusammenhang zwischen
• für Verschiebung einer
Ladung Q erforderliche
Arbeit Wm und
• resultierender
Spannung zwischen
Anfangs und Endpunkt
P1 und P2
Elektrischer Strom
(Durchschnittswert)
Elektrische
Verschiebungsdichte
eines E-Feldes
(nur für homogenes EFeld und E parallel zum
Flächenvektor A)
Elektrische
Verschiebungsdichte
eines E-Feldes
(allgemein)
Gaußscher Satz:
Von einer geschlossenen
Fläche A
eingeschlossenen
Ladungen
1
qQ
4πε 0 d 2
Kraft F auf Probeladung
Q
ε 0 = 8.854 ⋅10 −12
C2
Nm 2
d = Abstand zwischen q
und Q
P2
U1, 2 =
P2
Wm 1
1
= ∫ Fm ds = ∫ − FEds
Q Q P1
Q P1
P2
P2
P1
P1
= − ∫ Eds = − ∫ E ⋅ cos(α )ds
Einheit der Spannung: Volt (V) = Nm/C
I=
Q
t
Einheit Ampere (A)
Fm: Mechanische Kraft
für Ladungsverschiebung
FE: Elektrische Kraft des
E-Feldes
α: Winkel zwischen EFeld und Weg
Durch einen Querschnitt
pro Zeit t fliessende
Ladung Q
ΔQ dQ
=
Δt →0 Δt
dt
I = lim
W = U ⋅ I ⋅ t Einheit: Nm
Elektrische Arbeit
(Strom und Spannung
zeitvariant)
Elektrische Leistung
Einheit: N/C
F=
Elektrischer Strom
(Momentanwert)
Elektrische Arbeit
(Strom und Spannung
konstant)
Beispiel / Kommentar
t2
W = ∫ u (t ) ⋅ i (t ) ⋅ dt
t1
P=
W
t
Einheit: Watt = Nm/s
Q
= D = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E Einheit: C/m2
A
D=
dQ
= ε 0 ⋅ ε r ⋅ E,
dA ⊥
mit dA ⊥ = dA ⋅ cos(α )
εr: Dielektrizitätskonstante
(Permitivität)
In Luft: εr=1
α: Winkel zwischen EFeld und Flächenvektor
n
∫ DdA = ∑ Ql = ψ
l =1
ψ : Elektrischer Fluss
Seite 6
Elektrotechnik
3
Prof. Dr. Johannes Maucher
Widerstand und Leitwert, Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsches Gesetz
Bezeichnung
Widerstand
R
Leitwert
Einheit:
Widerstand eines Leiters
der Länge l und
Querschnitts A
Temperaturabhängigkeit
des Widerstandes
Formel
Einheit: Ω =V/A
Beispiel / Kommentar
Mit R wird entweder das
Bauelement Widerstand oder
allgemein ein elektrischer
Verbraucher gekennzeichnet
G
Ω−1=S (Siemens)=A/V
R=ρ
l
A
R (T ) = R20 (1 + α (T − 20°))
Ohmsches Gesetz
U = R⋅I
Kirchhoffsche
Maschenregel
∑U
j
=0
Kirchhoffsche
Knotenregel
∑I
j
=0
Gesamtwiderstand R
einer Reihenschaltung
von n Widerständen Ri
R = ∑ Ri
Gesamtwiderstand R
bzw. Gesamtleitwert einer
Parallelschaltung von n
Widerständen Ri
(Widerständen Gi)
n
1
1
=∑
R i =1 Ri
j
j
n
i =1
n
G = ∑ Gi
i =1
Reihenschaltung von n
gleichen
Spannungsquellen mit
Innenwiderstand Ri und
Urspannung U0.
Gesamtklemmenspannung:
Parallelschaltung von n
gleichen
Spannungsquellen mit
Innenwiderstand Ri und
Urspannung U0.
Gesamtklemmenspannung:
U q = n ⋅U 0
Gesamtinnenwiderstand:
Ri ,q = n ⋅ Ri
Uq = U0
Gesamtinnenwiderstand:
Ri , q =
Ri
n
R: Spezifischer Widerstand
des Materials in Ωcm
T: aktuelle Temperatur
R20: Widerstand bei
Raumtemperatur
α: Temperaturkoeffizient des
Materials in K-1
Gilt für lineare Zweipole
Die Summe aller Spannungen
in einer geschlossenen
Masche ist gleich 0.
Vorzeichen: Spannungserzeuger haben anderes
Vorzeichen als
Spannungsverbraucher.
Die Summe aller in einen
Knoten fließenden Strröme ist
gleich 0.
Vorzeichen: In den Knoten
hineinfließende Ströme haben
anderes Vorzeichen als aus
dem Knoten herausfliessende
Ströme.
Vereinbarung für Klausur:
Ist ein Widerstand Ra einer
Reihenschaltung um mehr als
den Faktor 1000 kleiner als ein
zweiter Widerstand Rb der
Schaltung, so darf Ra
vernachlässigt werden.
Vereinbarung für Klausur:
Ist ein Widerstand Ra einer
Parallelschaltung um mehr als
den Faktor 1000 größer als ein
zweiter Widerstand Rb der
Schaltung, so darf Ra
vernachlässigt werden.
Seite 7
Elektrotechnik
4
4.1
Prof. Dr. Johannes Maucher
Halbleiter: Diode und Transistor
Diode
Bezeichnung
Schaltzeichen der Diode
N
P
Katode
Anode
Beispiel einer
Diodenkennlinie
Schleusenspannung
Anode an negativem
Potential gegenüber
Kathode
Kathode an negativem
Potential gegenüber
Anode
Grenzwerte für verschiedene Halbleiterdioden
Schleusenspannung
Durchlasswiderstand
Sperrwiderstand
Max. Durchschlagsspannung
Max.
Sperrschichttemp.
Silizium
0.7 V
2-50 Ω
1MΩ -3000MΩ
bis 300 V
Germanium
0.3 V
5-100 Ω
0.1MΩ -10MΩ
bis 200 V
Selen
0.5 V
5-100 Ω
<1MΩ
bis 40 V
190°
90°
85°
Seite 8
Elektrotechnik
4.2
Prof. Dr. Johannes Maucher
Transistor
Bezeichnung
Schaltzeichen npnTransistor
Schaltzeichen pnpTransistor
Ströme und Spannungen
am npn-Transistor
U CE = U CB + U BE
I E = IC + IB .
Transistorkennlinien
Differentieller
Eingangswiderstand (aus
Eingangskennlinienfeld)
Differentieller
Ausgangswiderstand (aus
Ausgangskennlinienfeld)
Gleichstromverhältnis
(aus
Stromsteuerkennlinie)
Stromverstärkungsfaktor
(aus
Stromsteuerkennlinie)
Rückwirkungsfaktor (aus
Rückwirkungskennlinie)
Verlustleistung eines
Transistors
ΔU BE
ΔI B
ΔU CE
rCE =
ΔIC
I
B= C
IB
ΔI
β= C
ΔI B
ΔU BE
D=
ΔU CE
rBE =
PV = U CE ⋅ IC + U BE ⋅ I B ≈ U CE ⋅ IC
(in der Regel ist die Annäherung PV = U CE ⋅ IC ausreichend)
Seite 9
Elektrotechnik
5
Prof. Dr. Johannes Maucher
Kondensator
5.1.1
Kapazität
Bezeichnung
Kapazität C (allgemein)
Formel
C=
Beispiel / Kommentar
Q ∫ DdA
=
U
∫ E ds
Pro Spannung speicherbare
Ladung
Einheit: Farad (F) = C/V
Kapazität des Plattenkondensators
C = ε0 ⋅εr ⋅
Kapazität des
Zylinderkondensators
C=
Kapazität des Kugelkondensators
5.1.2
A = Plattenfläche
d = Plattenabstand
εr: Permitivität des Materials
zwischen den Platten
(Luft: εr=1)
l : Länge des Zylinders
r1 : Radius des inneren
Zylinders
r2 : Radius des äußeren
Zylinders
r1 : Radius der inneren
Hohlkugel
r2 : Radius der äußeren
Hohlkugel
A
d
2πε 0ε r l
⎛r ⎞
ln⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ r1 ⎠
C = 4πε 0ε r
r1r2
.
(r2 − r1 )
Kondensator im Gleichstromkreis
Abbildung 2: Laden (oben) und Entladen (unten) eines Kondensators
Bezeichnung
Zeitkonstante
Spannung am Kondensator
während des Ladevorgangs
Strom durch die Schaltung
während des Ladevorgangs
Spannung am Kondensator
während des
Entladevorgangs
Formel
τ =R*C
Beispiel / Kommentar
Bestimmt die
Geschwindigkeit des
Lade- und
Entladeprozesses
−t
⎛
⎞
⎜
U C (t ) = U ⋅ ⎜1 − e τ ⎟⎟
⎝
⎠
−t
I C (t ) = I ⋅ e τ
I=
mit
−t
U C (t ) = U ⋅ e τ
U
R
Seite 10
Elektrotechnik
Strom durch die Schaltung
während des
Entladevorgangs
Energie des elektrischen
Feldes im Kondensator
Gesamtkapazität in einer
Parallelschaltung von
Kondensatoren
Gesamtkapazität in einer
Reihenschaltung von
Kondensatoren
Prof. Dr. Johannes Maucher
−t
I C (t ) = − I ⋅ e τ
mit
I=
U
R
1
C ⋅U 2
2
W =
n
C=
∑Q
Q i =1
=
U
U
i
n
=∑
i =1
n
Qi
= ∑ Ci
U
i =1
n
1 U
= =
C Q
∑U
i =1
Q
i
n
n
Ui
1
=∑
i =1 Q
i =1 C i
=∑
Seite 11
Elektrotechnik
6
Prof. Dr. Johannes Maucher
Magnetische Felder und Kräfte, Induktion
Bezeichnung
Durchflutungsgesetz
Formel
Beispiel / Kommentar
n
∫ Hds = ∫ jdA = ∑ I
l =1
A
l
Elektrische Stromdichte
j= I /A
H: Magnetische Feldstärke
entlang des Weges s
A: vom Weg s
eingeschlossene Fläche
Il: Strom durch die Fläche
Einheit [H]=A/m
Durchflutung Θ
n
Θ = ∑ I l = ∫ jdA
l =1
Magnetische
Feldstärke H im
Abstand r zu einem
geradlinigen Leiter,
der vom Strom I
durchflossen wird
Magnetische
Feldstärke H im
Innern einer
Zylinderspule der
Länge l.
Magnetische
Feldstärke H im
Innern einer Ringspule
mit Ringradius R.
Kraft F auf
stromdurchflossenen
Leiter im Magnetfeld
Zusammenhang von
Magnetischer
Flußdichte und
magnetischer
Feldstärke im Vakuum
Zusammenhang von
Magnetischer
Flußdichte und
magnetischer
Feldstärke im Material
Magnetischer Fluss Φ
(speziell)
Magnetischer Fluss Φ
(allgemein)
Kraft F zwischen zwei
parallelen
Stromdurchflossenen
Leitern im Abstand d
Kraft auf Ladungen im
bewegten Leiter im
Magnetfeld (LorentzKraft)
A
H=
I
2π r
H=
N ⋅I
l
H=
N ⋅I
2πR
Richtung von H:
radialsymmetrisch zu I.
I: Strom durch die Spule
N: Anzahl der
Spulenwindungen
I: Strom durch die Spule
N: Anzahl der
Spulenwindungen
F = I ⋅ (s × B )
Einheit [B]=Tesla=Vs/m
2
B = μ 0 ⋅ H,
B: magnetische Flußdichte
s: Länge des Leiters im
Magnetfeld
I: Durch den Leiter fließender
Strom
magnetischen Feldkons tan te
μ0 = 1.257 μVs / Am
B = μ 0 ⋅ μ r ⋅ H,
mit der Permeabilitätszahl μ r
Φ = B⋅ A
Φ = ∫ B ⋅ dA = ∫ B ⋅ cos(α )dA
F = μ0
I1
⋅ I2 ⋅ s
2π d
FL = Q ⋅ (v × B )
μr : ist keine Konstante
(Hysterese)
Gilt falls B und A
gleichgerichtet sind und B
homogen ist.
α : Winkel zwischen B und
A.
s: Länge der Leiter
I1: Strom durch Leiter 1;
I2: Strom durch Leiter 2;
Vorzeichen beachten!
Q: Ladungsmenge im
bewegten Leiter
v: Geschwindigkeit mit der
der Leiter bewegt wird
B: magnetische Flußdichte
des Feldes, in dem der Leiter
bewegt wird
Seite 12
Elektrotechnik
Induktionsspannung
durch zeitlich
veränderlichen
Magnetischen Fluss
Prof. Dr. Johannes Maucher
U ind = − N
dΦ
dA ⎞ N: Anzahl der Leiterschleifen
⎛ dB
= −N⎜
An +
B ⎟ (Windungen) im Magnetfeld.
dt
dt ⎠ dB/dt: Zeitliche Veränderung
⎝ dt
der magnetischen Flußdichte.
dA/dt: Zeitliche Veränderung
der vom Feld
durchdrungenen Fläche
Seite 13
Elektrotechnik
7
7.1
Prof. Dr. Johannes Maucher
Spule
Induktivität
Bezeichnung
Induktionsspannung in
einer Zylinderspule
Formel
An
dI
⋅ μ0 ⋅ μr ⋅
l
dt
U ind = − N 2 ⋅
Induktivität L der
Zylinderspule
L = N2 ⋅
An
⋅ μ0 ⋅ μr
l
Einheit: Henry (H)=Vs/A
Induktivität L der
Ringspule
7.2
L = N2 ⋅
An
⋅ μ0 ⋅ μ r
2πR
Beispiel / Kommentar
N: Anzahl der
Spulenwindungen
An: Querschnittsfläche des
Spulenkerns
l: Spulenlänge
N: Anzahl der
Spulenwindungen
An: Querschnittsfläche des
Spulenkerns
l: Spulenlänge
N: Anzahl der
Spulenwindungen
An: Querschnittsfläche des
Spulenkerns
R: Radius des Ringes
Spule im Gleichstromkreis
I
U
UR
U/R
IL
UL
t
I
IL
U
U/R
UR
UL
t
Abbildung 3: Anlegen (oben) und Abschalten (unten) einer Gleichspannung an eine Spule
Bezeichnung
Zeitkonstante
Induktionsspannung an der
Spule beim Einschalten
Strom durch die Schaltung beim
Einschalten
Induktionsspannung an der
Spule beim Abschalten
Formel
τ =L/R
Beispiel / Kommentar
Bestimmt die
Geschwindigkeit der
Stromzu- bzw.
Stromabnahme.
⎛ −τt ⎞
U L (t ) = U ⋅ ⎜⎜ e ⎟⎟
⎝ ⎠
−t
⎞
U ⎛
I L (t ) = ⋅ ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟
R ⎝
⎠
−t
U L (t ) = −U ⋅ e τ
Seite 14
Elektrotechnik
Strom durch die Schaltung beim
Abschalten der Spannung
Energie des von einer Spule
erzeugten Magnetfeldes
Gesamtinduktivität einer
Parallelschaltung von n Spulen
Gesamtinduktivität einer
Reihenschaltung von n Spulen
Prof. Dr. Johannes Maucher
−t
U
I L (t ) = ⋅ e τ
R
1
W = L⋅I2
2
n
1
1
=∑
L i =1 Li
n
L = ∑ Li
i =1
L: Induktivität der Spule
I: Strom durch die Spule
Seite 15
Elektrotechnik
8
Prof. Dr. Johannes Maucher
Wechselstrom und Wechselspannung
8.1
Charakteristische Größen von Wechselstrom und Wechselspannung
Bezeichnung
Von einer im
konstanten Magnetfeld
rotierenden Spule
erzeugte
Wechselspannung
Formel
U ind
dA
= − N ⋅ B ⋅ n = N ⋅ B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin(ωt )
dt
= U S ⋅ sin(ωt ), mit U S = N ⋅ B ⋅ A ⋅ ω
Effektivwert des
Wechselstromes
Effektivwert der
Wechselspannung
U eff
Frequenz der
Wechselspannung
8.2
f =
ω
2π
ω: Winkelgeschwindigkeit
Blindwiderstand / Blindleitwert
Bezeichnung
Blindwiderstand einer
Spule
Blindleitwert einer
Spule
Formel
Beispiel / Kommentar
X L = jωL
1
YL =
jωL
1
XC =
jωC
YC = jωC
Blindwiderstand eines
Kondensators
Blindleitwert eines
Kondensators
8.3
IS
2
U
=U = S .
2
I eff = I =
Beispiel / Kommentar
N: Windungszahl
B: konstantes
Magnetfeld
A: Von einer Wicklung
umschlossene Fläche
ω: Winkelgeschwindigkeit der Rotation
IS: Spitzenwert
(Amplitude) des
Wechselstromes
US: Spitzenwert
(Amplitude) der
Wechselspannung
ω=2πf:
Winkelgeschwindigkeit
Reihenschaltung von ohmschem Widerstand, Spule und Kondensator
Bezeichnung
Scheinspannung
einer RLC
Reihenschaltung
Scheinwiderstand
einer RLC
Reihenschaltung
Verlustwinkel der
RLC
Reihenschaltung
Resonanzfrequenz
der RLC
Reihenschaltung
Formel
(
U (t ) = U + U L − U C
2
R
)
2
Beispiel /
Kommentar
1 ⎞
⎛
= I (t ) R + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
2
2
1 ⎞
⎛
Z = R 2 + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
1
ωL −
ωC
tan(ϕ ) =
R
1
ω=
LC
2
Die RL-, bzw.
RC
Reihenschaltung
ergibt sich als
Spezialfall der
RLCReihenschaltung
mit C bzw. L
gleich Null
Seite 16
Elektrotechnik
8.4
Prof. Dr. Johannes Maucher
Parallelschaltung von ohmschem Widerstand, Spule und Kondensator
Bezeichnung
Scheinstrom durch
eine RLC
Parallelschaltung
Scheinleitwert
einer RLC
Parallelschaltung
Verlustwinkel der
RLC
Parallelschaltung
Resonanzfrequenz
der RLC
Parallelschaltung
8.5
Formel
(
I (t ) = I + I C − I L
2
R
)
2
2
1 ⎞
⎛1⎞ ⎛
= U (t ) ⎜ ⎟ + ⎜ ωC −
⎟
ωL ⎠
⎝R⎠ ⎝
2
2
1 ⎞
⎛1⎞ ⎛
Y = ⎜ ⎟ + ⎜ ωC −
⎟
ωL ⎠
⎝R⎠ ⎝
I − IL
1 ⎞
⎛
= R ⎜ ωC −
tan(ϕ ) = C
⎟
IR
ωL ⎠
⎝
ω=
1
LC
2
Die RL-, bzw.
RC
Parallelschaltung
ergibt sich als
Spezialfall der
RLCParallelschaltung
mit C bzw. L
gleich Null
Leistung im Wechselstromkreis
Bezeichnung
Zeitabhängige
Gesamtleistung
einer
Wechselspannung
Wirkleistung
Blindleistung
Scheinleistung
Leistungsfaktor
8.6
Beispiel /
Kommentar
Formel
Beispiel /
Kommentar
U S ⋅ IS
⋅ (cos(ϕ ) + cos(2ωt + ϕU + ϕ I ) )
2
= U ⋅ I ⋅ (cos(ϕ ) + cos(2ωt + ϕU + ϕ I ) )
P (t ) =
mit ϕ = ϕU − ϕ I
P = U ⋅ I ⋅ cos(ϕ )
Q = U ⋅ I ⋅ sin(ϕ )
S =U ⋅I
P
cos(ϕ ) =
S
ϕu bzw. ϕu sind
die
Nullphasenwinkel von
Spannung und
Strom
U und I sind
die
Effektivwerte
von Spannung
und Strom
Transformator
Bezeichnung
Transformation von
Wechselspannung
und Wechselstrom
Formel
U1 I 2 n1
= =
= ü.
U 2 I1 n2
Beispiel / Kommentar
U1: Spannung am Eingang des
Transformators
U2: Spannung am Ausgang des
Transformators
I1: Strom am Eingang des
Transformators
I2: Strom am Ausgang des
Transformators
n1: Anzahl der Windungen der
Eingangsspule
n2: Anzahl der Windungen der
Ausgangsspule
ü: Übersetzungsverhältnis
Seite 17
Elektrotechnik
9
Prof. Dr. Johannes Maucher
Elektromagnetische Felder und Wellen
9.1
Maxwellgleichungen (Integralform)
1. Maxwell Gleichung
(Durchflutungsgesetz)
⎛
∫ Hds = ∫ ⎜⎝ j +
A
2. Maxwell Gleichung
(Induktionsgesetz)
dD ⎞
⎟ dA
dt ⎠
dB
∫ Eds = −∫ dt dA
A
Im Vakuum (j=0):
⎛ dD ⎞
∫ Hds = ∫ ⎜⎝ dt ⎟⎠dA
A
dD/dt
dB/dt
E
H
Zeitvariantes elektrisches Feld erzeugt ein
Magnetisches Wirbelfeld
Zeitvariantes magnetisches Feld erzeugt ein
elektrisches Wirbelfeld
∫ DdA = Q
∫ BdA = 0
Elektrische Feldlinien entspringen und enden
an Ladungen (Quellen)
Magnetische Felder sind Quellenfrei.
Magnetische Feldlinien sind in sich
geschlossen
9.2
Wellenlänge, Frequenz, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Leistung
Bezeichnung
Periodendauer T,
Winkelgeschwindigkeit ω
und Frequenz f.
Ausbreitungsgeschwindigkeit
c und Wellenlänge λ einer
Welle.
Ausbreitungsgeschwindigkeit
einer elektromagnetischen
Welle in der Luft
(=Lichtgeschwindigkeit)
Poynting´scher Vektor und
Leistungsdichte einer
elektromagnetischen Welle
Gesamthaft abgestrahlte
Leistung durch eine
geschlossene Oberfläche A
Formel
Beispiel /
Kommentar
ω
1
=
2π T
c=λ⋅ f
f =
c0 =
1
ε 0 μ0
≈ 3 ⋅108
S = E× H
P = ∫∫ SdA
m
s
Die Leistungsdichte
(in W/m2) ist der
Betrag von S.
Seite 18
Elektrotechnik
9.3
Prof. Dr. Johannes Maucher
Elektromagnetischer Schwingkreis (LC-Schwingkreis) als Modell für die Erzeugung von
elektromagnetischen Wellen durch Hertzschen Dipol
Bezeichnung
Zeitlicher Verlauf der Ladung
Q(t), Spannung UC(t) und
Strom I(t) in einem
elektromagnetischen
Schwingkreis
Formel
2
d Q 1
+
Q = 0 Lösung : Q(t ) = QS ⋅ cos(ω0t + ϕ 0Q )
dt 2 LC
d 2I
1
+
I = 0 Lösung : I (t ) = I S ⋅ cos(ω0t + ϕ 0 I )
2
dt
LC
d 2U C
1
+
U C = 0 Lösung : U C (t ) = U S ⋅ cos(ω0t + ϕ 0U )
2
dt
LC
Mit:
ω0 =
1
LC
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Elektrotechnik
10
Prof. Dr. Johannes Maucher
Tabellen
Basisgröße
Zeit
Länge
Masse
Elektrische Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Formelzeichen
t
l
m
I
T
IV
n
Basiseinheit
Sekunde
Meter
Kilogramm
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
Symbol
s
m
kg
A
K
cd
mol
Tabelle 1: Basisgrössen der Physik
Physikalische Größe
Formelzeichen
v
a
F
W
P
Q
E
U
R
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kraft
Arbeit, Energie
Leistung
Elektrische Ladung
Elektrische Feldstärke
Elektrische Spannung
Elektrischer Widerstand
Berechnung
Masseinheit
v = Weg / Zeit
a= Geschwindigkeitsänderung / Zeit
F= Masse x Beschleunigung
W=KraftxWeg
P=Arbeit / Zeit
Q = Stromstärke x Zeit
E = Elektrische Kraft / Ladung
U=Elektrische Arbeit / Ladung
R=Spannung / Strom
Meter/Sekunde
Meter
Newton
Joule
Watt
Coulomb
Newton/Coulomb
Volt
Ohm
Tabelle 2: Auswahl einiger abgeleiteter physikalischer Grössen
Naturkonstante
Lichtgeschwindigkeit
Elementarladung
Elektrische Feldkonstante
Magnetische Feldkonstante
Ruhemasse Elektron
Ruhemasse Proton (=Masse Neutron)
Boltzmann Konstante
Symbol
c0
e
ε0
μ0
m0e
m0p
k
Wert
2.998 x 108 m/s
1.602 x 10-19 Coulomb
8.854 x 10-12 As/Vm
4π x 10-7 Vs/Am
9.11 x 10-31 kg
1.67 x 10-27 kg
1.38 x 10-23 J/K
Tabelle 3: Auswahl einiger Naturkonstanten
Werkstoff
Silber
Kupfer
Gold
Aluminium
Platin
Zinn
spezifischer Widerstand ρ in 10-6Ωcm
1.6
1.7
2.2
2.7
10
11
Temperaturkoeffizient
α in 10-3K-1
3.8
3.9
3.9
4.7
3.9
4.6
Tabelle 4: Spezifischer Widerstand und Temperaturkoeffizient von Metallen
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Elektrotechnik
Prof. Dr. Johannes Maucher
Tabelle 5: Permitivitätszahl einiger Werkstoffe
Tabelle 6: Namen für Zehnerpotenzen
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