¨Ubungen zur Quantenmechanik II Blatt 10 Abgabe: 13. Januar

Übungen zur Quantenmechanik II
Theoretische Physik V im WS 2005/2006 — Dr. M. Kastner
Abgabe: 13. Januar
Blatt 10
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 30: Hartree-Fock-Methode
Gegeben seien zwei Spin- 12 -Teilchen in einem harmonischen Oszillatorpotential, die harmonisch aneinander gekoppelt sind. Der Hamilton-Operator ist
H=
1
κ
1 2
(p + r21 ) + (p22 + r22 ) + (r 1 − r2 )2 ,
2 1
2
2
wobei ~ = ω = m = 1 gesetzt ist. κ gibt die Stärke der Wechselwirkung an.
(a) Transformieren Sie H auf Relativ- und Schwerpunktskoordinaten. Wie lauten die exakten Eigenwerte und Eigenfunktionen?
(b) Berechnen Sie nun den Grundzustand in Hartree-Fock-Näherung. Wählen Sie dabei als Startfunktionen für das iterative Verfahren den ungekoppelten (κ = 0) Grundzustand von H. Gegen
welche Grundzustandsenergie und -wellenfunktion konvergiert das Verfahren?
(c) Vergleichen Sie die exakte Grundzustandsenergie mit der Hartree-Fock-Näherung für verschiedene Werte von κ.
Aufgabe 31: Hartree-Fock, Koopmans-Theorem
Im Rahmen der Hartree-Fock-Theorie wird das Elektonensystem eines Atoms näherungsweise durch
den Produktzustand aus den N niedrigsten Einteilchenzuständen |αi = a†α |0i beschrieben, d.h.
|ΨAtom i =
N
Y
α=1
a†α |0i .
Wird das Elektron im Einteilchenzustand |χi entfernt, so verbleibt ein Ion im Zustand
|ΨIon i =
N
Y
α=1
a†α |0i .
α6=χ
Beweisen Sie das Koopmans-Theorem, welches besagt, dass die zugehörige Ionisierungsenergie
durch den entsprechenden Lagrange-Parameter ǫχ gegeben ist.
Aufgabe 32: Die Lorentz-Gruppe
Wir betrachten im folgenden nur die Untergruppe L+↑ der eigentlichen Lorentz-Transformationen,
welche die Identität 1 enthält.
(a) Zeigen Sie, dass L+↑ eine 6-dimensionale Gruppe ist, d.h. nur 6 der insgesamt 16 Matrixelemente
eines Elements Λ ∈ L+↑ sind voneinander unabhängig.
(b) Die Untergruppe der eigentlichen Rotationen wurde bereits in Aufgabe 15 behandelt. Bestimmen
Sie noch mit Hilfe der aus der Vorlesung bekannten Darstellung
γ(v)
γ(v)v T
1
,
γ(v) = √
Λ=
T
vv
γ(v)v
1 + γ(v)−1
1
− v2
2
v
die verbleibenden Generatoren
∂Λ(v) Bk = i
∂vk v=0
der Lorentz-Boosts. Dabei ist c = 1 und für den Geschwindigkeitsvektor v ∈ R3 gilt |v| < 1.
(c) Zeigen Sie, dass die Generatoren von Boosts und eigentlichen Rotationen linear unabhängig sind.
Warum folgt daraus, dass sich jedes Element der Lie-Gruppe L+↑ durch Hintereinanderausführung
eines Boosts und einer eigentlichen Rotation darstellen lässt?
Aufgabe 33: Nichtrelativistischer Grenzfall der Klein-Gordon-Gleichung
Die zweikomponentige Wellenfunktion ξ =
ϑ
χ
elektromagnetischen Feld werde durch
1
(i∂
−
eϕ)ψ
,
ϑ = 21 ψ +
t
mc2
eines Teilchens der Masse m und Ladung e im
χ=
1
2
ψ−
1
(i∂t − eϕ)ψ
mc2
definiert. Dabei bezeichne ϕ das Skalarpotential.
(a) Welcher Gleichung genügt ξ, wenn ψ Lösung der Klein-Gordon-Gleichung im elektromagnetischen Feld ist?
(b) Betrachten Sie nun den Fall ohne elektromagnetisches Feld.
Man kann zeigen, dass eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung zu positiver Energie im nichtrelativistischen Grenzfall v ≪ c die Form
ξ(r, t) = ξ̃(r, t)e−imc
2
t
˜ t) eine Funktion, die, verglichen mit der Frequenz mc2 , langsam in der
besitzt. Dabei ist ξ(r,
Zeit t variiert. Wie verhalten sich in diesem Limes die Beträge von ϑ und χ zueinander? Geben
Sie eine Bestimmungsgleichung für ϑ bis zur vierten Ordnung im Impuls an.
Wir wünschen allen frohe Feiertage und viel Spaß beim bearbeiten der Aufgaben.