mechanik - BioKemika

MECHANIK
Newton:
𝐹𝐹⃗ = 0 ⇒ 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐹𝐹⃗ = 𝑝𝑝⃗̇ = 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗̇ + 𝑚𝑚
�
̇ 𝑣𝑣⃗ = 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗̇ = 𝑚𝑚
Trägheitsprinzp:
Aktionsprinzip (träge Masse):
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0
𝐹𝐹⃗𝐴𝐴𝐴𝐴 = −𝐹𝐹⃗𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑚𝑚 ∙𝑚𝑚
𝑟𝑟 −𝑟𝑟
𝐺𝐺⃗ = −𝛾𝛾 1𝑟𝑟 2 2 ∙ 𝑟𝑟̂ | 𝑟𝑟̂ = |𝑟𝑟2 −𝑟𝑟1 |
Action=Reactio
Gravitationsgesetz:
2
Einsteins Äquivalenzprinzip:
Kräfte:
𝑑𝑑𝑑𝑑
1
𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑥𝑥̈ = −𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
Gewichtskraft (schwere Masse):
𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐹𝐹⃗ = −𝑘𝑘𝑘𝑘
𝐹𝐹⃗ = 𝜌𝜌𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑉𝑉𝐾𝐾ö𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑔𝑔
Federpendel, Hooksches Gesetz:
Auftriebskraft
Erhaltungssätze: nur ohne äußere Kräfte
Energieerhaltung = Homogenität der Zeit
Impulserhaltung = Homogenität des Raumes
Drehimpulserhaltung = Isotropie des Raumes
Feder und Fadenpendel
Federkonstante der Doppelfeder:
Periodendauer:
𝑇𝑇 =
2𝜋𝜋
𝜔𝜔
⇒
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�
𝑙𝑙
𝑔𝑔
𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�
Beziehungen für das Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen:
1
2
ℎ ≈ 𝛼𝛼 2 𝑙𝑙
𝑥𝑥
𝑙𝑙
𝑚𝑚
𝑘𝑘
= 𝛼𝛼
Energie, Impuls, Arbeit, Leistung
Energieerhaltung: nur für konservative Kräfte (Kraftfelder = Keine Umwandlung in Wärme oder Deformation)
Bedingungen für Konservativität:
∮ 𝐹𝐹⃗ (𝑟𝑟⃗′)𝑑𝑑𝑟𝑟⃗′ = 0 𝐹𝐹⃗ ist Funktion des Ortes, nicht aber der Geschwindigkeit
Kinetische und potentielle Energie:
Potentielle Energie einer Masse:
Potentielle Energie der Feder:
𝑟𝑟⃗
1
2
𝐸𝐸𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑈𝑈(𝑟𝑟⃗) = − ∫𝑟𝑟⃗ 1 𝐹𝐹⃗ (𝑟𝑟⃗′)𝑑𝑑𝑟𝑟⃗′
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑣𝑣 2
0
𝑈𝑈𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 ℎ𝑡𝑡 = −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
1
2
𝑈𝑈𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 2
1
2
1
2
1
2
Gesamtenergie des Systems Feder+Körper bezüglich Ruhelage: 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) + 𝑘𝑘𝑥𝑥 2 − 𝑘𝑘𝑥𝑥02
𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡 )
Arbeit (entspricht Änderung von T durch Kraftaufwand): 𝑊𝑊 = ∫𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡 2) 𝐹𝐹(𝑟𝑟⃗′)𝑑𝑑𝑟𝑟⃗′ = 𝑇𝑇(𝑡𝑡2 ) − 𝑇𝑇(𝑡𝑡1 )
Leistung
𝑃𝑃 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
1
=
⏟
𝑎𝑎𝑎𝑎 ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑚𝑚𝑚𝑚
Stöße
Erhaltung der kinetischen Energie: nur für elastische Stöße
𝑑𝑑ℎ
𝑑𝑑𝑑𝑑
[𝐽𝐽] = [𝑁𝑁𝑁𝑁] = �
𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 2
�
𝑠𝑠 2
Impulserhaltung: bei elastischem und inelastischem Stoß
Schwerpunktsatz: SP bewegt sich so, als wäre Gesamtmasse im SP und alle äußeren Kräfte greifen dort an
𝑚𝑚1 𝑟𝑟⃗1 + 𝑚𝑚2 𝑟𝑟⃗2
𝑚𝑚1 𝑣𝑣⃗1 + 𝑚𝑚2 𝑣𝑣⃗2 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑟𝑟⃗𝑠𝑠 =
𝑣𝑣⃗𝑠𝑠 =
=
𝐹𝐹⃗𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
= 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑣𝑣⃗̇𝑠𝑠
𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2
𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2
𝑚𝑚𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
Im Schwerpunktsystem ist die Summe der Impulse vor und nach dem Stoß null.
SP über Integration??
Reibung
Trockene Reibung = Coulomb Reibung
Wirkende Haft- bzw. Gleit-Reibungskraft:
𝐹𝐹𝑅𝑅 ≤ 𝜇𝜇𝐻𝐻,𝐺𝐺 ∙ 𝐹𝐹𝑁𝑁 = 𝐹𝐹𝐻𝐻,𝐺𝐺
Normalkraft wirkt senkrecht gegen Auflagefläche des Körpers 𝐹𝐹𝑁𝑁 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ∗ 𝐹𝐹𝐺𝐺
Fluide Reibung:
𝑭𝑭𝑹𝑹 ~𝒗𝒗𝒂𝒂
Stokes (kleine Körper, kleines v, zähes Medium): 𝐹𝐹𝑅𝑅 ~𝑣𝑣
für Kugelförmigen Körper: 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 6𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ∙ 𝑣𝑣
mit r = Kugelradius und 𝜂𝜂 = Viskosität des Fluids [𝑃𝑃𝑃𝑃 ∙ 𝑠𝑠] = �𝑁𝑁 ∙
Newton (hohes v, wenig zähes Medium):
𝐹𝐹𝑅𝑅 ~𝑣𝑣 2
𝑠𝑠
𝑚𝑚 2
�
𝜌𝜌
2
für beliebige Körper: 𝐹𝐹𝑅𝑅 = 𝑐𝑐𝑤𝑤 ∙ ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑣𝑣 2
mit 𝜌𝜌 = Dichte des Fluids [𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³], A = Querschnitsfläche des Körpers in Bewegungsrichtung,
v = Geschwindigkeit des Körpers relativ zum Fluid, 𝑐𝑐𝑤𝑤 = Widerstandsbeiwert des Körpers (dimensionslos: 0,055 bis 1,3)
𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿
Reynolds-Zahl 𝑅𝑅𝑅𝑅 =
<<1 Stokes (laminare Strömung ist wirbelfrei) >>1 Newton (turbulente Strömung)
𝜂𝜂
mit L = Dimension des Objekts (Durchmesser einer Kugel, Flächendiagonale eines Würfels)
Rotation
Drehwinkelvektor:
𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = 𝑑𝑑𝜑𝜑
�⃗ × 𝑟𝑟⃗
Geschwindigkeit aller Massepunkte eines starren Körpers:
𝑑𝑑𝑟𝑟⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑣𝑣⃗ =
��⃗
𝑑𝑑𝜑𝜑
𝑑𝑑𝑑𝑑
× 𝑟𝑟⃗ = 𝜔𝜔
�⃗ × 𝑟𝑟⃗ ⟺ 𝜔𝜔 =
Zentrifugalbeschleunigung:
𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 = −𝜔𝜔
�⃗ × (𝜔𝜔
�⃗ × 𝑟𝑟⃗)
Winkelgeschwindigkeit 𝜔𝜔
�⃗ = 2𝜋𝜋𝜋𝜋mit f = Frequenz (Zahl der Umläufe pro Zeit)
liegt auf Drehachse (axialer Vektor). Richtung durch Drehsinn (Rechte-Hand-Regel) definiert.
��⃗
�⃗ ∙ 𝑀𝑀
Rotationsarbeit und Drehmoment:
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝜑𝜑
�⃗�𝑟𝑟⃗ × 𝐹𝐹⃗ � = 𝑑𝑑𝜑𝜑
𝑣𝑣
𝑟𝑟
Identische Arbeit für 𝑟𝑟⃗1 × 𝐹𝐹⃗1 = 𝑟𝑟⃗2 × 𝐹𝐹⃗2 (Hebelgesetz)
Differentialwinde (Anwendung des Drehmoments):
𝐺𝐺⃗
𝐺𝐺⃗
𝑟𝑟 − 𝑟𝑟1 𝐺𝐺
𝐺𝐺
𝐺𝐺
��⃗1 + 𝑀𝑀
��⃗2 + 𝑀𝑀
��⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0 = 𝑟𝑟⃗1 × + 𝑟𝑟⃗2 × + 𝑟𝑟⃗2 × 𝐹𝐹⃗ = 𝑟𝑟1 − 𝑟𝑟2 + 𝑟𝑟2 𝐹𝐹 ⟺ 𝐹𝐹 = 2
𝑀𝑀
2
2
𝑟𝑟2 2
2
2
Trägheitsmoment und Rotationsenergie
Ortsfeste Rotationsachse: kinetische Energie ist reine Rotationsenergie
1
2
2
2
2
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐽𝐽𝜔𝜔2 mit 𝐽𝐽 = ∑𝑁𝑁
𝑖𝑖=1 ∆𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖 ⟹ lim 𝑁𝑁→∞ 𝐽𝐽 = ∫ 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑟𝑟 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 mit 𝜌𝜌 =
∆𝑚𝑚 𝑖𝑖 →0
𝑚𝑚
𝑉𝑉
⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
Beispiel für Zylinder mit homogener Massenverteilung und Rotationsachse durch den SP:
𝑅𝑅
𝑅𝑅
𝐽𝐽 = 𝜌𝜌 ∫ 𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 ∫0 𝑟𝑟 2 (2𝜋𝜋𝜋𝜋 ∙ ℎ)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋ℎ 𝜌𝜌 ∫0 𝑟𝑟 3 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋ℎ𝜌𝜌
Für Hohlzylinder: 𝐽𝐽 =
𝑀𝑀
(𝑅𝑅22
2
+ 𝑅𝑅12 )
𝑅𝑅 4
4
=
𝑀𝑀 2
𝑅𝑅 da
2
2
dünnwandig (𝑅𝑅1 = 𝑅𝑅2 ): 𝐽𝐽 = 𝑀𝑀𝑅𝑅
𝜌𝜌 =
𝑀𝑀
𝑉𝑉
=
𝑀𝑀
𝜋𝜋𝑅𝑅 2 ℎ
Satz von Steiner: 𝐽𝐽 = 𝐽𝐽𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝑚𝑚𝑟𝑟 2 (J ist parallel zur SP-Achse verlaufende Rotationsachse, r ist Abstand zwischen den
Achsen)
Kinetische Energie im Laborsystem = 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 der Translation des SP im Laborsystem + 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 im SP-System
1
2
1
2
2𝜋𝜋𝜋𝜋
=
𝑇𝑇
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑠𝑠2 + 𝐽𝐽𝑆𝑆 𝜔𝜔𝑠𝑠2
Kinetische Energie eines rotierenden Zylinders um SP:
Abrollbedingung (Umfang des Zylinders wird pro Umlaufzeit T zurückgelegt):
𝑣𝑣𝑠𝑠 = 𝜔𝜔𝑠𝑠 𝑅𝑅
Loopingbedingung: Zentrifugalbeschleunigung am Scheitelpunkt > Gravitationsbeschleunigung
𝑎𝑎⃗𝑧𝑧 = −𝜔𝜔
�⃗ × (𝜔𝜔
�⃗ × 𝑅𝑅) =
𝑣𝑣𝑠𝑠2
𝑅𝑅
≥ 𝑔𝑔 ⟺ 𝑣𝑣𝑠𝑠 ≥ �𝑔𝑔𝑔𝑔
Aus Energieerhaltung ohne Berücksichtigung des Rollens: ℎ = 2𝑅𝑅 +
Aus Energieerhaltung mit Berücksichtigung des Rollens: ℎ = 2𝑅𝑅 +
1 2
𝑣𝑣𝑠𝑠 2
������
𝑚𝑚𝑟𝑟 2 � ��
�
𝑟𝑟
2 5
𝐽𝐽 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
𝜔𝜔 𝑠𝑠
≥ 2,7𝑅𝑅
1 2
𝑣𝑣
2𝑔𝑔 𝑠𝑠
1 2
𝑣𝑣
2𝑔𝑔 𝑠𝑠
+
≥ 2,5𝑅𝑅
��⃗ = 𝐿𝐿�⃗̇ = 𝐽𝐽𝜔𝜔
�⃗̇
Bewegungsgleichung der reinen Rotation: 𝑀𝑀
Mit Drehimpuls: 𝐿𝐿�⃗ = ∑𝑖𝑖 𝑟𝑟⃗𝑖𝑖 × 𝑝𝑝⃗𝑖𝑖 = 𝐽𝐽𝜔𝜔
�⃗
��⃗ = 𝑟𝑟⃗ × 𝐹𝐹⃗ = 0, da 𝑟𝑟⃗ ∥ 𝐹𝐹⃗ )
Drehimpulserhaltung (wenn 𝑀𝑀
Drehschwingung: rücktreibendes Drehmoment (äquivalent zur Rückstellkraft des harmonischen Oszillators)
��⃗ = −𝐷𝐷𝑟𝑟 𝜑𝜑
𝑀𝑀
�⃗
𝐷𝐷
⟹ 𝜑𝜑(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) mit 𝜔𝜔0 = � 𝐽𝐽𝑟𝑟
��⃗ ⊥ 𝐿𝐿�⃗
Präzession für 𝑀𝑀
→ 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�
𝐽𝐽
𝐷𝐷𝑟𝑟
mit 𝐷𝐷𝑟𝑟 = Richtmoment
Scheinkräfte
𝐹𝐹⃗ ′ = 𝐹𝐹⃗𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝐹𝐹⃗𝐶𝐶′ − 𝐹𝐹⃗𝑍𝑍′ = 𝐹𝐹⃗𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 − 2𝑚𝑚 ∙ (𝜔𝜔
�⃗ × 𝑣𝑣⃗ ′) − 𝑚𝑚𝜔𝜔
�⃗ × (𝜔𝜔
�⃗ × 𝑟𝑟⃗′)
Zentrifugalkraft 𝐹𝐹⃗𝑍𝑍′ wirkt auf alle Körper im rotierenden Bezugssystem
Corioliskraft 𝐹𝐹⃗𝐶𝐶′ wirkt nur auf sich im rotierenden Bezugssystem bewegende Körper
Spezielle Bewegungsgleichungen und deren Lösung
1
2
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑡𝑡 2 + 𝑣𝑣0 𝑡𝑡 + 𝑥𝑥0 | 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑣𝑣0
Gleichförmige beschleunigte Bewegung:
Fadenpendel:
𝑔𝑔
𝑙𝑙
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≈ −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = −𝑚𝑚 𝑥𝑥 (x ist hier die gerade Linie)
Harmonischer Oszillator
Harmonischer Oszillator:
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = −𝑘𝑘𝑘𝑘
Gedämpfter harmonischer Oszillator:
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = −𝛾𝛾𝑥𝑥̇ − 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⟺ 𝑥𝑥̈ + 𝑥𝑥̇ + 𝜔𝜔02 𝑥𝑥 = 0 mit
2
𝜏𝜏
1
𝜏𝜏
Resonanzfrequenz (Frequenz mit maximaler Amplitude)
𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = �𝜔𝜔02 −
𝛾𝛾 = 6𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
Dämpfungskonstante
Schwache Dämpfung: 𝜔𝜔02 >
Kritische Dämpfung: 𝜔𝜔02 =
1
1
𝜏𝜏 2
𝜏𝜏 2
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥0 ∙ 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 ∙ cos(𝜔𝜔𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡 + 𝜑𝜑)
Schwingfall
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = (𝑥𝑥01 + 𝑥𝑥02 𝑡𝑡) ∙ 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏
Aperiodischer Grenzfall
Überkritische Dämpfung: 𝜔𝜔02 <
1
𝜏𝜏 2
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥01 ∙ 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 + + 𝑥𝑥02 ∙ 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 − mit 𝜏𝜏± =
Kriechfall
Getriebener harmonischer Oszillator ohne Rückstellkraft:
Periodische Bewegung: 𝑣𝑣(0) =
𝑔𝑔𝛼𝛼 0
𝜔𝜔
⟹ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) =
𝑔𝑔𝛼𝛼 0
𝜔𝜔 2
∙ sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)
𝑔𝑔𝛼𝛼 0
𝜔𝜔
sin (𝜔𝜔𝜔𝜔 )
−
𝜔𝜔
∙�
Getriebener harmonischer Oszillator: 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 mit 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝐹𝐹0 sin(𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡)
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥0 sin(𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝜑𝜑) (Schwingungsfrequenz 𝜔𝜔 entspricht treibender Frequenz 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 )
2
Für 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
> 𝜔𝜔02 :
𝜑𝜑 = ±2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝜑𝜑 = −𝜋𝜋 ± 2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝛾𝛾
2𝑚𝑚
1
𝜔𝜔 02
Schwingungsamplitude:
Phase zwischen 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 und 𝜔𝜔:
𝑥𝑥0 =
∙
tan 𝜑𝜑 =
Maximaler Leistungsübertrag bei 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝜔𝜔0
1
𝑘𝑘
𝑚𝑚
1
𝜏𝜏 2
1
�𝜏𝜏 ± �𝜏𝜏 2 − 𝜔𝜔02 �
𝐹𝐹0
𝑥𝑥0 = − 𝑚𝑚
𝑥𝑥0 =
𝑡𝑡�
2 −𝜔𝜔 2 �
�𝜔𝜔 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
0
𝐹𝐹0
+ 𝑚𝑚 2 −𝜔𝜔 2 mit Eigenfrequenz des Oszillators 𝜔𝜔0
�𝜔𝜔 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
0�
Gedämpfter Harmonischer Oszillator mit externer treibender Kraft:
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝛾𝛾𝑥𝑥̇ − 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥0 sin(𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 + 𝜑𝜑) (Schwingungsfrequenz 𝜔𝜔 entspricht treibender Frequenz 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 )
𝐹𝐹0
𝑚𝑚
𝜔𝜔02 =
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = −𝑚𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝛼𝛼(𝑡𝑡) mit 𝛼𝛼(𝑡𝑡) = 𝛼𝛼0 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔)
Periodische + Gleichförmige Bewegung: 𝑣𝑣(0) = 0 ⟹ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) =
2
Für 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
< 𝜔𝜔02 :
=
2 )2
�(𝜔𝜔02 − 𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝛾𝛾
𝜔𝜔 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
∙
2
𝑚𝑚 𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
𝛾𝛾 2
+ 𝑚𝑚 2
∙
1
−2
2
𝜔𝜔𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
�
=
𝑘𝑘
𝑚𝑚
Unter Berücksichtigung von Reibung und Auftrieb
Körper in zäher Flüssigkeit:
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑔𝑔 − 𝑚𝑚𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑔𝑔 − 6𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ∙ 𝑥𝑥̇ = 𝜌𝜌𝐾𝐾 𝑉𝑉𝑉𝑉 − 𝜌𝜌𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑉𝑉𝑔𝑔 − 6𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋 ∙ 𝑥𝑥̇
Gewichtskraft, Auftrieb, Stokes-Reibung
1
Umformung: 𝑣𝑣̇ = − ∙ (𝑣𝑣 − 𝑣𝑣∞ ) mit Abklingzeit 𝜏𝜏 =
𝜏𝜏
Freier Fall:
Lösung: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑣𝑣∞ ∙ �1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 �
𝑚𝑚
6𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
und Endgeschwindigkeit 𝑣𝑣∞ =
𝜌𝜌
2
𝑔𝑔
6𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = −𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑔𝑔 + 𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑔𝑔 + 𝑐𝑐𝑤𝑤 ∙ ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥̇ 2
∙ (𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝐹𝐹𝐹𝐹 )
Gewichtskraft, Auftrieb, Newton-Reibung
�𝑚𝑚 −𝑚𝑚 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑔𝑔
Endgeschwindigkeit für 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 0 ⇒ 𝑥𝑥̇ = �
𝜌𝜌
2
𝑐𝑐𝑤𝑤 ∙ ∙𝐴𝐴
Thermodynamik
Stoffmenge: 𝑛𝑛 =
𝑁𝑁
𝑁𝑁𝐴𝐴
[𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚] 𝑚𝑚 = 𝑁𝑁 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 ∙ 𝑁𝑁𝐴𝐴 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝑢𝑢
N = Molarität, N = Anzahl der Teilchen eines Stoffes, 𝑁𝑁𝐴𝐴 = 6,022 ∙ 1023 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙 −1 = Avogadro-Zahl, r = relative Molekülmasse [kg/mol],
u = atomare Maßeinheit [kg]
Kompressibilität 𝜅𝜅 = −
1 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑
(Dichteänderung bei Druckausübung)
Tiefendruck von Flüssigkeiten: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 + 𝑝𝑝0 mit 𝑝𝑝0 = Luftdruck
Kräftebetrachtungen bei stationären Flüssigkeiten: Kein Kräftegleichgewicht,
sondern Druckgleichgewicht!
Ideales Gas: WW nur durch elastische Stöße, kein Eigenvolumen
Gesetz von Boyle-Mariotte: 𝑝𝑝| 𝑇𝑇 ~
1
𝑉𝑉
Gesetz von Gay-Lussac: 𝑝𝑝|𝑉𝑉 ~𝑇𝑇 Gesetz von Charles: 𝑉𝑉|𝑝𝑝 ~𝑇𝑇
Zustandsgleichung des idealen Gases: 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑁𝑁𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇 = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
Mit 𝑘𝑘𝐵𝐵 = 1,38 ∙ 10−23 𝐽𝐽/𝐾𝐾 = Boltzmannkonstante, 𝑅𝑅 = 𝑁𝑁𝐴𝐴 𝑘𝑘𝐵𝐵 = 8,314
𝐽𝐽
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
= ideale Gaskonstante
Maxwell-Boltzmann Verteilung ist auf 1 normiert (e-Funktion ist BoltzmannFaktor):
𝑓𝑓(𝑣𝑣)𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3
2
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑚𝑚
(𝑣𝑣) = 4𝜋𝜋𝑣𝑣 2 �
� 𝑒𝑒
𝑁𝑁
2𝜋𝜋𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇
1
𝑚𝑚𝑣𝑣 2
�−2𝑘𝑘 𝑇𝑇 �
𝐵𝐵
𝑑𝑑𝑑𝑑
1
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit (Maximum der Verteilungsfunktion) erreicht für 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇
2
(Exponent des Boltzmannfaktors = -1)
Durchschnittliche = mittlere Geschwindigkeit (zu verwenden, wenn Impuls relevante Größe ist: Diffusion, Massentransport)
Mittlere quadratische Geschwindigkeit (zu verwenden, wenn kinetische Energie relevante Größe ist)
2𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑇𝑇
𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑤𝑤 = �
∞
8𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑇𝑇
𝜋𝜋𝜋𝜋
⟨𝑣𝑣⟩ = ∫0 𝑣𝑣 ∙ 𝑓𝑓(𝑣𝑣)𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
1
2
4
𝜋𝜋
= 𝑣𝑣𝑤𝑤 �
3
2
3𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑇𝑇
𝑚𝑚
𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = �⟨𝑣𝑣⟩2 = �
2
Mittlere kinetische Energie der Translation: 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑠𝑠 = 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇 (definiert Temperatur)
Gleichverteilungssatz (Äquipartitionstheorem): mittlere kinetische Energie ist für die Bewegung in jede der drei
1
2
1
2
2
⟩ = 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇
Raumrichtungen gleich groß: ⟨ 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧
Barometrische Höhenformel: 𝑝𝑝(𝑧𝑧) = 𝑝𝑝0 𝑒𝑒
Auftrieb in Atmosphäre: 𝐹𝐹𝐴𝐴 ≈ 𝐺𝐺𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 − 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑚𝑚𝑚𝑚 ℎ
𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑇𝑇
−
Partialdruck (wie barom. Höhenformel – nur für die jeweilige Spezies die Masse einsetzen!) besagt: Zwei Spezies eines
Gemisches verhalten sich jeweils so, als wäre die andere nicht da (unten erfolgt keine Verdrängung der leichten Spezies
durch die schwere Spezies)
𝑧𝑧𝑒𝑒 =
𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑇𝑇
𝑚𝑚 𝑗𝑗 𝑔𝑔
ist Höhe über Grund, bei der der partialdruck auf den 1/e ten Wert des Partialdruckes am Grund abgefallen ist.
Daltonsches Gesetz: Gesamtdruck eines mehratomigen Gases ist die Summe der partialdrücke. Die Gaskomponenten
verteilen sich unabhängig voneinander auf das Gesamtvolumen.
Normalmoden: N atomiges Molekül hat 3N Normalmoden (Koordinaten). 3 Koordinaten für Festlegung des SP
(Translation). 3 Winkel für Festlegung der Orientierung im Raum (Rotation); (Ausnahme: 2-atomiges Molekül hat nur 2
Winkel für Rotation). 3N-6 (3N-5) für interne Bewegungen (Vibrationen und Rotationen von Subgruppen des Moleküls).
Freiheitsgrade F: Normalmoden der Translation und Rotation entsprechen je einem Freiheitsgrad. Die der Vibration sind
1
2
doppelt zu zählen. Die mittlere thermische Energie eines Moleküls ist dann 𝑈𝑈 = 𝐹𝐹 ∙ 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇 (nach Gleichverteilungssatz).
Thermische Aktivierung von Freiheitsgraden: F ist nur aktiv, wenn 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇 hoch genug zur Aktivierung ist. Translation bei
1
2
0K, Rotation bei 100K, Vibration bei 1000K. 𝐶𝐶𝑉𝑉 = 𝐹𝐹 ∙ 𝑅𝑅
1
2
Innere Energie eines idealen Gases: 𝑈𝑈 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 ∙ 𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇 (gilt auch für ∆𝑈𝑈 und ∆𝑇𝑇)
Bei Erwärmung eines idealen Gases: ∆𝑈𝑈 = ∆𝑄𝑄, weshalb ∆𝑇𝑇 =
2∆𝑄𝑄
𝑁𝑁𝑁𝑁𝑘𝑘 𝐵𝐵
~
1
𝑓𝑓
Innere Energie des Kristalls, wenn alle Freiheitsgrade aktiv sind (Regel von Dulong-Petit): 𝑈𝑈 = 3𝑁𝑁𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇
Adiabatische Prozesse: ∆𝑄𝑄 = 0
Änderung der inneren Energie eines Gases (1. HS der TD): ∆𝑈𝑈 = −∆𝑊𝑊 + ∆𝑄𝑄
Mechanische Arbeit des Gases: ∆𝑊𝑊 = 𝑝𝑝∆𝑉𝑉
Wärmekapazität bei isochorer und isobarer Prozessführung: ??
∆𝐸𝐸
𝐽𝐽
𝑐𝑐𝑤𝑤 =
� �
∆𝑇𝑇 ∙ 𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑔𝑔
Adiabatengleichungen des idealen Gases:
𝑓𝑓
𝑇𝑇 2
�𝑇𝑇2 �
1
=
𝑉𝑉1
𝑉𝑉2
𝑝𝑝 2
𝑝𝑝1
=
𝑓𝑓+2
𝑇𝑇
2
�𝑇𝑇2 �
1
𝑝𝑝 2
𝑝𝑝1
=
𝑓𝑓+2
𝑉𝑉
𝑓𝑓
�𝑉𝑉1 �
2
𝑝𝑝1 𝑉𝑉1𝜅𝜅 = 𝑝𝑝2 𝑉𝑉2𝜅𝜅 mit dem Adiabatenkoeffizienten 𝜅𝜅 =
𝑓𝑓+2
𝑓𝑓
𝑉𝑉 1
1 𝑉𝑉 𝜅𝜅
Reversible adiabatische Expansion: 𝑊𝑊 = 𝑝𝑝1 𝑉𝑉1𝜅𝜅 ∙ ∫𝑉𝑉 2
𝑑𝑑𝑑𝑑
Irreversible adiabatische Expansion (Gas strömt von Kammer 1 in leere
Kammer 2): ∆𝑇𝑇1 = −∆𝑇𝑇2 für ideales Gas und |∆𝑇𝑇1 | ≫ |∆𝑇𝑇2 | für reales Gas
Reversible isotherme Expansion: ∆𝑄𝑄 = 𝑇𝑇∆𝑆𝑆
∆𝑆𝑆
𝑇𝑇
Mit ∆𝑄𝑄 = 𝐶𝐶∆𝑇𝑇 folgt allgemein: ∆𝑆𝑆 = 𝐶𝐶 ∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑇𝑇2 oder 𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇1 𝑒𝑒 𝐶𝐶
1
2
1
𝑇𝑇
für isochore Erwärmung: ∆𝑆𝑆 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑘𝑘𝐵𝐵 ∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑇𝑇2 (Entropiezunahme durch Änderung des Impulsraumes: 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =
�3𝑚𝑚𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇)
1
𝑁𝑁
Statistische Def der Entropie: ∆𝑆𝑆 = 𝑘𝑘𝐵𝐵 ln ∆𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
mit ∆𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = relative Volumenänderung (für Verdopplung z.B. 2) und N =
𝑊𝑊
𝑉𝑉 𝑁𝑁
Teilchenzahl. Oder: ∆𝑆𝑆 = 𝑘𝑘𝐵𝐵 ln 𝑃𝑃 mit 𝑃𝑃 = 1 = 1𝑁𝑁 (Entropiezunahme durch Änderung des Ortsraumes)
𝑊𝑊
𝑉𝑉
2
2
Im abgeschlossenen System gilt: ∆𝑆𝑆 = 0 bei rev. Proz. Und ∆𝑆𝑆 > 0 bei irrev Proz (2. HS der TD); im geschlossenen
System kann S auch abnehmen (bei T-Erniedrigung oder isothermer Kompression).
Mischungsentropie (Mischung zweier Gase): ∆𝑆𝑆𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ℎ = ∆𝑆𝑆1 + ∆𝑆𝑆2 > 0 mit ∆𝑆𝑆𝑖𝑖 = 𝑁𝑁𝑖𝑖 𝑘𝑘𝐵𝐵 ln
Reversible adiabatische Prozesse: ∆𝑆𝑆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = −∆𝑆𝑆𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 → ∆𝑆𝑆 = 0
𝑉𝑉𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔
𝑉𝑉 𝑖𝑖
>0
Kreisprozesse:
Wirkungsgrad: 𝜂𝜂 =
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑊𝑊
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑄𝑄ℎ
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ä𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑄𝑄
≠ 1 da zusätzlich Teil als Abwärme abgegeben wird: 𝜂𝜂 = 1 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡
Carnot
Stirling:
𝜂𝜂𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝑇𝑇ℎ −𝑇𝑇𝑡𝑡
𝑇𝑇ℎ
𝜂𝜂𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 =
; Kein Kreisprozess kann höheren Wirkungsgrad haben als der Carnot-Prozess.
𝑇𝑇ℎ
�𝑇𝑇 −𝑇𝑇
ℎ
𝑡𝑡
+
2 ln �
𝑓𝑓
𝑉𝑉 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 ß
𝑉𝑉 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
−1
�
�
(ohne isochoren Schritt = 𝜂𝜂𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 )
𝑄𝑄ℎ
Leistungszahl der Wärmepumpe: 𝜀𝜀𝑃𝑃 =
Reale Gase:
𝜇𝜇 2
𝑉𝑉
|𝑄𝑄ℎ |
|𝑊𝑊|
≤ 𝑇𝑇
𝑇𝑇ℎ
ℎ −𝑇𝑇𝑡𝑡
Leistungszahl der Kältemaschine: 𝜀𝜀𝐾𝐾 =
|𝑄𝑄𝑡𝑡 |
|𝑊𝑊|
𝜇𝜇 2
𝑉𝑉
�𝑝𝑝 + 𝑎𝑎 � � � (𝑉𝑉 − 𝑏𝑏𝑏𝑏) = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 mit 𝑎𝑎 � � = Binnendruck wegen Anziehung zwischen Molekülen und 𝑏𝑏𝑏𝑏 = Kovolumen
wegen Ausdehnung der Moleküle.
𝐸𝐸
− 𝑉𝑉
Sättigungsdampfdruck: 𝑝𝑝𝑆𝑆 = 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 ∙ 𝑒𝑒 𝑘𝑘 𝐵𝐵 𝑇𝑇
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz: abgestrahlte Leistung eines Körpers 𝑃𝑃 = 𝛼𝛼𝑃𝑃𝑆𝑆 mit 𝑃𝑃𝑆𝑆 = abgestrahlte Leistung eines
schwarzen Körpers und 𝛼𝛼 = Anteil der einfallenden Strahlung.
Plancksches Strahlungsgesetz für schwarze Körper:
Elektrodynamik
A] ELEKTROSTATIK (Stromdichte j ist null)
Die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen ist das elektrische Feld einer Ladung A multipliziert mit der
wechselwirkenden Ladung B:
𝐹𝐹⃗𝐶𝐶 (𝑟𝑟⃗) =
1 𝑞𝑞1 𝑞𝑞2 𝑟𝑟⃗
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟 2 |𝑟𝑟⃗|
𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟⃗) =
𝐹𝐹⃗𝐶𝐶
𝑞𝑞2
𝐶𝐶 2
Mit 𝑞𝑞 = 𝑛𝑛 ∙ 𝑒𝑒 = 𝑛𝑛 ∙ 1,6022 ∙ 10−19 𝐶𝐶 = n mal Elementarladung, 𝜀𝜀0 = 8,8542 ∙ 10−12 𝑁𝑁𝑚𝑚 2 ,
𝑟𝑟⃗
|𝑟𝑟⃗|
gibt die Richtung des Feldes an
Potentielle Energie gilt nur für konservative Kräfte (diese sind nichtdissipativ, d.h. keine Arbeit wird in Energieformen
wie Wärme, Deformation… umgewandelt = dissipiiert, und zugleich nur vom Ort, nicht von der Geschwindigkeit
abhängig). Bezugspunkt ist immer im unendlichen, Annäherung entlang x-Achse, q im Nullpunkt.
𝑟𝑟⃗
𝑟𝑟⃗
𝑈𝑈(𝑟𝑟⃗) = − � 𝐹𝐹⃗ (𝑟𝑟⃗ ′ )𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ ′ = −𝑞𝑞2 ∙ � 𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟⃗ ′ )𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ ′ =
𝑟𝑟⃗0
∞
1 𝑞𝑞1 𝑞𝑞2
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑟
Elektrisches Feld und Elektrisches Potential sind Probeladungsfreie Größen
𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟⃗) = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔�𝜑𝜑
�⃗(𝑟𝑟⃗)�
Fernfeld eines Dipols: ~
𝑝𝑝⃗∙𝑟𝑟⃗
3
0 𝑟𝑟
𝜑𝜑
�⃗(𝑟𝑟⃗) ≈ 4𝜋𝜋𝜀𝜀
1
𝑟𝑟 3
𝜑𝜑
�⃗(𝑟𝑟⃗) =
𝑈𝑈(𝑟𝑟⃗)
𝑞𝑞2
𝐹𝐹⃗𝐶𝐶 (𝑟𝑟⃗) = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔�𝑈𝑈(𝑟𝑟⃗)�
(klingt schneller ab, als das einer einzelnen Ladung)
mit 𝑝𝑝⃗ = 𝑞𝑞 ∙ 2𝑎𝑎⃗ = Dipolmomentvektor (2𝑎𝑎⃗ ist der Abstand der beiden Ladungen des Dipols)
Feldgrößen sind additiv: 𝜑𝜑
�⃗(𝑟𝑟⃗) an einem bestimmten Punkt entspricht Summe aller elektrischen Potentiale, ausgehend
von den einzelnen Ladungen im Umfeld des Punktes.
Gleichmäßig geladener Stab der Länge 2a: Ladungsdichte 𝛽𝛽 =
𝜑𝜑
�⃗(𝑟𝑟⃗) =
∆𝑄𝑄
∆𝑥𝑥
= 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾; r‘ über Pythagoras in x umwandeln:
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝛽𝛽
1
𝛽𝛽
𝛽𝛽
1
∙�
𝑑𝑑𝑑𝑑′ =
∙�
𝑑𝑑𝑑𝑑′ ≈ 𝜑𝜑0 −
ln(𝑟𝑟)
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 −𝑎𝑎 �𝑥𝑥 ′2 + 𝑦𝑦 2
2𝜋𝜋𝜀𝜀0
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 −𝑎𝑎 𝑟𝑟′
Grundgleichungen der Elektrostatik (1. und 2. Maxwellgleichung):
(1) Konservativität des elektrischen Feldes (Integration über geschlossenen Weg): ∮𝐶𝐶 𝐸𝐸�⃗ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ ′ = 0
(2) Fluss des elektrischen Feldes (Integration über geschlossene Fläche):
𝑄𝑄
∮𝐴𝐴 𝐸𝐸�⃗ 𝑑𝑑𝐴𝐴⃗′ = 𝜀𝜀
0
Zweite Maxwellgleichung entspricht dem Coulombgesetz für das elektrische Potential (gleichwertig)
𝜑𝜑
�⃗(𝑟𝑟⃗) =
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀 0
∙ ∫𝑉𝑉
𝜌𝜌 (𝑟𝑟⃗′ )
|𝑟𝑟⃗−𝑟𝑟⃗|′
𝑑𝑑𝑑𝑑′ mit 𝜌𝜌(𝑟𝑟⃗′) = Ladungsdichte �
𝐶𝐶
�,
𝑚𝑚 3
𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟⃗) = −𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔�𝜑𝜑
�⃗(𝑟𝑟⃗)�
Umwandlung in den Satz von Gauß-Ostrogradsky (besagt: Fluss des elektrischen Feldes aus einer geschlossenen Fläche
ist proportional der eingeschlossenen elektrischen ladung)
� 𝐸𝐸�⃗ 𝑑𝑑𝐴𝐴⃗′ =
𝐴𝐴
1
𝑄𝑄
� 𝜌𝜌(𝑟𝑟⃗′)𝑑𝑑𝑑𝑑′ =
𝜀𝜀0 𝑉𝑉
𝜀𝜀0
Anwendung des S.v.G.O.: Potential im Zwischenraum
(zwischen Innenleier (+) und Außenleiter (-))
�⃗):
Fluss 𝚽𝚽 eines Vektorfeldes �𝑪𝑪⃗(𝒓𝒓
𝛷𝛷 = ∫𝐴𝐴 𝐶𝐶⃗𝑑𝑑𝐴𝐴⃗′ = ∫𝐴𝐴 𝐶𝐶⃗𝑛𝑛�𝑑𝑑𝑑𝑑′
Flächennormale hat Länge 1 und steht senkrecht auf Fläche; bei geschlossenen Flächen nach außen gerichtet.
Teilchenfluss in einem Rohr:
Teilchendichte: 𝑛𝑛 =
𝑁𝑁
𝐴𝐴∙∆𝑥𝑥
(Anzahl an Teilchen pro Fläche und Wegstrecke)
Teilchenstromdichte: |𝑗𝑗⃗| = 𝑛𝑛|𝑣𝑣⃗ | =
𝑁𝑁
𝐴𝐴∙∆𝑡𝑡
(Anzahl an Teilchen pro Fläche und Zeit)
𝛷𝛷 = � 𝑗𝑗⃗𝑛𝑛�𝑑𝑑𝑑𝑑′ = � |𝑗𝑗⃗|𝑑𝑑𝑑𝑑′ = |𝑗𝑗⃗| ∙ 𝐴𝐴
𝐴𝐴
Elektrische Stromstärke I ist Fluss der Stromdichte 𝑗𝑗⃗ = 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣⃗
𝐴𝐴
𝐼𝐼 = ∫𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑣𝑣⃗ 𝑛𝑛�𝑑𝑑𝑑𝑑′
Metallische Körper und E-Feld
Elektrostatik: Faradayscher Käfig: Im Innern von metallen ist die Feldstärke Null (das elektrische Potential konstant).
Ladungen treten nur an der äußeren Oberfläche auf (gilt für aufgebrachte und Influenz-Ladungen).
Dicke der Oberfläche, in der Ladungen vorliegen: Elektrische Felder können nur bis zur Skintiefe in das Metall
eindringen:
𝛿𝛿 =
1
�𝜇𝜇 0 𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
mit 𝜎𝜎 = Leitfähigkeit des Metalls, 𝜈𝜈 = Frequenz des Feldes
Wegen endlicher Leitfähigkeit ist 𝛿𝛿 nicht null (Beispiel Kupfer, Bild):
Geschwindigkeit, mit der das Metall auf Feldänderungen reagiert:
instantan bis zur Plasmafrequenz:
𝜈𝜈𝑃𝑃 =
1
2𝜋𝜋
|𝐸𝐸|~
𝐾𝐾𝐾𝐾ü𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
∙ 𝑒𝑒 ∙ �
𝑛𝑛
𝜀𝜀 0 𝑚𝑚
mit n = Elektronendichte, m = effektive Elektronenmasse
Oberfläche der metallischen Struktur ist Äquipotentialfläche (Potential zweier verbundener Kugeln identisch:
𝜑𝜑(𝑅𝑅) = 𝜑𝜑(𝑟𝑟)). An metallischen Spitzen herrschen hohe elektrische Felder und hohe Ladungsdichten vor:
|𝜑𝜑|
(kleiner Krümmungsradius = großes E-Feld), großes E-Feld = großes Q (Satz von G.O.)
Aus der Äquipotentialfläche ergibt sich:
𝑄𝑄𝑅𝑅
𝑞𝑞 𝑟𝑟
=
𝑅𝑅
𝑟𝑟
> 1 (Gesamtladung auf großes Kugel größer als auf kleiner)
𝑞𝑞
Oberflächenladungsdichte der kleinen Kugel (𝑞𝑞𝑟𝑟 wird durch obige Beziehung ersetzt): 𝜌𝜌(𝑟𝑟) = 4𝜋𝜋𝑟𝑟𝑟𝑟 2 = 𝜌𝜌(𝑅𝑅)
𝜌𝜌(𝑟𝑟) > 𝜌𝜌(𝑅𝑅) (Ladungsdichte und damit E-Feld ist an der Oberfläche der kleinen Kugel größer)
𝑅𝑅
𝑟𝑟
Der Plattenkondensator
Einzelne geladene Metallplatte: E-Feld innerhalb des Metalls ist null; die Ladungen sind symmetrisch auf beiden
Oberflächen verteilt. E-Feldlinien stehen senkrecht auf Oberfläche wegen Translationssymmetrie. E-Feld auf Oberfläche
ergibt sich aus dem S.G.O.
𝑄𝑄
1
1
= 𝜎𝜎 ∙
mit 𝜎𝜎 = Flächenladungsdichte, A = Fläche einer Platte, Q = Gesamtladung der Platte
�𝐸𝐸�⃗ � = ∙
𝐴𝐴
2𝜀𝜀 0
2𝜀𝜀 0
Zwei Platten: Oberflächenladungsdichte verdoppelt sich, wenn zwei ungleichnamig geladene Platten angenähert
werden, da die Ladungen sich nun auf einer Seite konzentrieren.
𝜎𝜎
Zwischen den Platten: �𝐸𝐸�⃗ � = Außerhalb der Platten: �𝐸𝐸�⃗ � = 0
𝜀𝜀 0
Randfelder an den Seiten des Kondensators mit 𝑑𝑑 ≪ √𝐴𝐴 (Vernachlässigbar), wobei d = Abstand der Platten
𝑟𝑟
Elektrische Spannung zwischen den Platten (Potentialdifferenz): 𝑈𝑈 = 𝜑𝜑+ − 𝜑𝜑− = ∫𝑟𝑟 − 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝐸𝐸 =
Kapazität des Kondensators: 𝐶𝐶 =
𝑄𝑄
𝑈𝑈
=
𝜀𝜀 0 𝐴𝐴
𝑑𝑑
𝐶𝐶
[𝐹𝐹] = � �
𝑉𝑉
+
𝜎𝜎
𝑑𝑑
𝜀𝜀 0
Spannungsquelle sorgt dafür, dass das Verschieben eines Elektrons von einer zur anderen Platte mit der
Energieänderung von eU einhergeht. Elektron gewinnt eU an potentieller Energie.
Elektrische Spannung: Maß für die Arbeitsfähigkeit eines Elektrons (Potentielle Energie je Elektron: eU)
Spannung Konstant = potentielle Energie je Elektron Konstant
Aufladen des Kondensators durch Ladungstrennung zwischen Anode A und Kathode K entgegen der abstoßenden
Coulomb-Kraft. Notwendige Arbeit = Gespeicherte Energie:
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝑄𝑄
𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫𝐾𝐾 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 = −𝑑𝑑𝑑𝑑 ∫𝐾𝐾 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = ∫0 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈
1
2
𝑊𝑊 = 𝐶𝐶𝑈𝑈 2 = 𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
1
2
Die gespeicherte Energie steckt im E-Feld: 𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝜀𝜀0 𝐸𝐸 2 𝐴𝐴𝐴𝐴
→ Energiedichte:
Mit 𝑉𝑉 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = Feldvolumen zwischen den Kondensatorplatten
Energiedichte ist für alle elektrisch geladenen Strukturen identisch.
𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑉𝑉
1
2
= 𝜀𝜀0 𝐸𝐸 2
Abstand zwischen den Platten, zwei Fälle:
(1) 𝑸𝑸 = 𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲, wenn nach Aufladung Platten von Spannungsquelle genommen werden. Energiedichte und E-Feld sind
konstant. Spannung und Energie ~d. Platten ziehen sich daher an und bewegen sich aufeinander zu (wenn keine
Haltekräfte), wobei potentielle in kinetische Energie umgewandelt wird.
(2) 𝑼𝑼 = 𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲𝑲, wenn Platten an Spannungsquelle bleiben. E-Feld, Energie und Ladung ~1/d. Energiedichte ~ 1/d². Nur
die Energie pro Ladung bleibt mit
Platten.
𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑄𝑄
1
2
= 𝑈𝑈 unverändert. Je kleiner der Abstand, desto größer die Ladung auf den
1
2
Kraft für die Aufladung des Kondensators: 𝐹𝐹𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝐶𝐶𝑈𝑈 2 ∙
1
𝑑𝑑
Polarisation, Dielektrizitätskonstante
Plattenkondensator mit Dieelektrikum: Berücksichtigung von 𝜀𝜀 = relative Dielektrizitätskonstante in allen Formeln.
Gespeicherte Energie steckt dann im Feld UND im Dielektrikum.
Ladung und E-Feld haben real zwei Komponenten:
𝑄𝑄𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑄𝑄𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 + 𝑄𝑄𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸�⃗0 + 𝐸𝐸�⃗𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
Das Feld 𝐸𝐸�⃗𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 ist entgegengesetzt zum E-Feld der Ladungen auf den elektrischen Leitern orientiert.
Polarisation: 𝑃𝑃�⃗ = −𝜀𝜀0 𝐸𝐸�⃗𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
1
𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸�⃗0 = 𝐸𝐸�⃗0 −
𝜀𝜀
Polarisation wirkt sich auf Satz von G.O. aus:
1
𝑃𝑃�⃗
𝜀𝜀 0
�⃗ 𝑑𝑑𝐴𝐴⃗′ = 𝑄𝑄𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 mit 𝐷𝐷
�⃗ = 𝜀𝜀𝜀𝜀0 𝐸𝐸�⃗ = dielektrische Verschiebungsdichte
∮𝐴𝐴 𝜀𝜀𝜀𝜀0 𝐸𝐸�⃗ 𝑑𝑑𝐴𝐴⃗′ = 𝑄𝑄𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 → ∮𝐴𝐴 𝐷𝐷
B] MAGNETOSTATIK (Stromdichte j ungleich null, aber zeitlich konstant)
Elektrischer Strom
Vorliegen eines Potentialgefälles => Elektrischer Strom 𝐼𝐼 =
Technische Stromrichtung: positive Ladungen fließen vom
Plus-Pol zum Minus-Pol; Ihre potentielle Energie 𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
nimmt beim Transport ab.
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
[𝐼𝐼] = 1𝐴𝐴 = 1
𝐶𝐶
𝑠𝑠
Reale Stromrichtng: Elektronen vom Minus-Pol zum PlusPol. Die potentielle Energie der Elektronen ist negativ oder
null. 𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 nimmt beim Transport ebenso ab.
Elektronenröhre:
Potentialdifferenz 𝑈𝑈 = 3 𝑘𝑘𝑘𝑘 entspricht Unterschied in der potentiellen Energie
zwischen den Elektroden (Draht und Zylinder). Am Draht ist 𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 = 3𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,
am Zylinder ist 𝑈𝑈𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 0, da Energie vollkommen in kinetische Energie
1
2𝑒𝑒𝑒𝑒
Geschwindigkeit der
umgewandelt wurde: 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑣𝑣 2 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 → 𝑣𝑣 = �
2
𝑚𝑚
𝑒𝑒
Elektronen am Zylinder
Energieeinheit: 1𝑒𝑒𝑒𝑒 = 1,602 ∙ 10−19 𝐽𝐽 ist die kinetische Energie eines Elektrons/Protons, wenn es eine
Potentialdifferenz von 1V durchlaufen hat und anfänglich keine kinetische Energie besaß.
Elektronenstrom:
Stromdichte 𝑗𝑗 =
𝐼𝐼
𝐴𝐴
= −𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 mit 𝑛𝑛 =
∆𝑁𝑁
∆𝑉𝑉
=
∆𝑁𝑁
𝐴𝐴∆𝑙𝑙
= Teilchendichte und 𝑣𝑣 =
Driftgeschwindigkeit der Elektronen.
Wobei ∆𝑁𝑁 Elektronen in der Zeit ∆𝑡𝑡 durch eine bestimmte
Querschnittsfläche des Strahls treten. Bei Kenntnis von I, A und v ist
Teilchendichte berechenbar!
Allgemein: 𝐼𝐼 = ∫𝐴𝐴 𝑗𝑗⃗𝑑𝑑𝐴𝐴⃗
Speziell im Festkörper: Ohmsches Gesetz: 𝐼𝐼 =
𝑈𝑈
𝑅𝑅
∆𝑙𝑙
∆𝑡𝑡
=
mit R = elektrischer Widerstand und 𝐺𝐺 =
Mikroskopische Stromdichte: 𝑗𝑗 = −𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝜎𝜎𝐸𝐸�⃗ mit 𝜎𝜎 = Leitfähigkeit und 𝜌𝜌 =
1
𝜎𝜎
𝜎𝜎
𝑛𝑛𝑛𝑛
= Beweglichkeit
= Leitwert.
= spezifischer Widerstand.
Driftgeschwindigkeit: linearer Anstieg mit der Feld-Stärke für niedrige E-Felder (𝑣𝑣𝐷𝐷 ~�𝐸𝐸�⃗ �;
Hier gilt das Ohmsche Gesetz 𝐼𝐼~𝑈𝑈). Hohe Feldstärken: hyperbolischer Anstieg gegen
maximale Driftgeschwindigkeit.
Proportionalitätsfaktor 𝑣𝑣𝐷𝐷 = 𝜇𝜇�𝐸𝐸�⃗ � mit 𝜇𝜇 =
1
𝑅𝑅
Kirchhoffsche Gesetze zur Analyse elektrischer Schaltungen
Knotenregel (Ladungserhaltung): An jeder Verzweigungsstelle ist die Summe
der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme:
∑𝑖𝑖 𝐼𝐼𝑖𝑖 = 0.
Vorzeichenkonvention: auf den Knoten zufließende Ströme sind positiv, von
ihm wegfließende negativ. Beispiel: +𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼3 = 0.
Maschenregel (Konservativität der Coulomb-WW): In jedem geschlossenen
Stromkreis ist die Summe der Spannungsabfälle Null: ∑𝑖𝑖 𝑈𝑈𝑖𝑖 = 0.
Vorzeichenkonvention: Alle Stromkreise werden im Uhrzeigersinn durchlaufen.
Spannungsabfälle in Richtung des Durchlaufens sind positiv, solche in
Gegenrichtung negativ. Beispiel: linke Masche: −𝑈𝑈0 + 𝑈𝑈1 + 𝑈𝑈3 = 0, rechte
Masche: +𝑈𝑈2 − 𝑈𝑈3 = 0
Wichtig: Polarität der Spannungsquelle beachten.
Potentiometer: Regulierung einer Spannung zwischen Null und dem Vollwert der
Spannungsquelle. U‘ ist die Spannung, welche nach der Potentiometer-Schaltung
am Verbraucher ankommt (Klemmspannung). U ist die an der Spannungsquelle
angelegte Spannung.
𝑈𝑈 ′
𝑈𝑈 ′
𝑈𝑈 =
⏟ 𝑈𝑈𝑟𝑟 + 𝑈𝑈 ′ =
⏟ 𝐼𝐼 ∙ 𝑟𝑟 + 𝑈𝑈 ′ =
⏟ (𝐼𝐼𝑅𝑅′ + 𝐼𝐼𝑅𝑅 ) ∙ 𝑟𝑟 + 𝑈𝑈 ′ =
⏟ � ′
+ � ∙ 𝑟𝑟 + 𝑈𝑈 ′
𝑅𝑅 − 𝑟𝑟 𝑅𝑅
𝑀𝑀𝑀𝑀,𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐾𝐾𝐾𝐾
2𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑟𝑟
𝑟𝑟
𝑈𝑈 ′
𝑅𝑅 ∙ (𝑅𝑅 ′ − 𝑟𝑟)
= 𝑈𝑈 ′ � ′
+ + 1� ⟹
=
𝑈𝑈 𝑅𝑅 ∙ 𝑅𝑅 ′ + 𝑟𝑟 ∙ (𝑅𝑅 ′ − 𝑟𝑟)
𝑅𝑅 − 𝑟𝑟 𝑅𝑅
Wheatstone-Brücke: Kompensationsschaltung zur Präzisionsmessung des Ohmschen
Widerstandes. 𝑅𝑅𝑋𝑋 ist zu vermessender Widerstand. Einer der drei bekannten
Widerstände muss regulierbar sein: Er wird so eingestellt, dass durch das Messgerät
in der Brücke von C nach D einen Strom von null anzeigt (damit ist auch der
Spannungsabfall null).
da 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0 folgt wegen Knotenregel: 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼𝑥𝑥 (oberer Knoten) und 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼3 (unterer
Knoten)
da 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶𝐶 = 0 folgt wegen Maschenregel: 𝑈𝑈1 = 𝑈𝑈2 (linke Masche) und 𝑈𝑈𝑥𝑥 = 𝑈𝑈3 (rechte
Masche). mit dem Ohmschen Gesetz folgen: 𝐼𝐼1 𝑅𝑅1 = 𝐼𝐼2 𝑅𝑅2 ⟺
𝐼𝐼3 𝑅𝑅3
⟺
�
𝐾𝐾𝐾𝐾 𝑣𝑣𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
𝐼𝐼1 𝑅𝑅𝑥𝑥 = 𝐼𝐼2 𝑅𝑅3 ⟺
𝐼𝐼1
𝐼𝐼2
=
𝑅𝑅3
𝑅𝑅𝑥𝑥
𝐼𝐼1
𝐼𝐼2
𝑅𝑅
= 𝑅𝑅2 bzw. 𝐼𝐼𝑥𝑥 𝑅𝑅𝑥𝑥 =
1
𝑅𝑅
Damit ergibt sich: 𝑅𝑅𝑥𝑥 = 𝑅𝑅3 ∙ 𝑅𝑅1
2
Innenwiderstand einer Spannungsquelle und Leistungsanpassung
Bei Stromfluss umgesetzte Leistung: 𝑃𝑃 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 =
𝑈𝑈 2
𝑅𝑅
= 𝐼𝐼 2 𝑅𝑅 (Potentielle Energie der Spannungsquelle wird in Arbeit
(mechanische, elektrische, magnetische) und kinetische Energie der Elektronen umgewandelt; Ekin wird über Stöße in
Wärmeenergie umgewandelt).
Unbelastatete Spannungsquelle hat Leerlaufspannung 𝑈𝑈0 . Tatsächlich abgreifbare
Klemmspannung 𝑈𝑈 < 𝑈𝑈0 wegen Innenwiderstand 𝑅𝑅𝑖𝑖 der Spannungsquelle.
Maschenregel: −𝑈𝑈0 + 𝑈𝑈𝑖𝑖 + 𝑈𝑈 = 0 → 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈0 − 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 ⟺ 𝐼𝐼 =
𝑈𝑈0
𝑅𝑅+𝑅𝑅𝑖𝑖
Mit zunehmendem Strom I wird die abgreifbare Spannung U kleiner, da der
Spannungsabfall über 𝑅𝑅𝑖𝑖 größer wird.
𝑅𝑅
Entnehmbare Leistung bei gegebenem R: 𝑃𝑃 = 𝐼𝐼 2 𝑅𝑅 = 𝑈𝑈02 (𝑅𝑅+𝑅𝑅 )2 (maximal
𝑖𝑖
entnehmbare Leistung für 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 ; ständige Anpassung von 𝑅𝑅𝑖𝑖 an den Lastwiderstand
R durch Stromunternehmen erforderlich)
Innenwiderstand von Messgeräten und Messung von U und I
Jedes Bauelement (auch Messinstrumente) hat einen effektiven Widerstand = Innenwiderstand.
STROMMESSUNG: Reales Strommessgerät = ideales +
SPANNUNGSMESSUNG: Reales Spannungsmessgerät =
Innenwiderstand in Reihe.
ideales + Innenwiderstand parallel.
Messgerät darf den Stromfluss möglichst wenig
verändern. Dies ist erfüllt, wenn 𝑅𝑅𝑖𝑖 ≪ 𝑅𝑅 da wegen
𝑈𝑈
Reihenschaltung: 𝐼𝐼 = 0
𝑅𝑅+𝑅𝑅𝑖𝑖
 Niederohmige Amperemeter
Wegen Parallelschaltung muss 𝑅𝑅𝑖𝑖 ≫ 𝑅𝑅, um Stromfluss
nicht zu verfälschen.
 Hochohmige Voltmeter
Magnetfeld
�⃗
Magnetisches Feld 𝐻𝐻
[𝐻𝐻] =
𝐴𝐴
𝑚𝑚
(analog zum E-Feld)
�⃗ = 𝜇𝜇0 ∙ 𝐻𝐻
�⃗ [𝐵𝐵] =
Magnetische Flussdichte 𝐵𝐵
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝑚𝑚 2
(analog zur elektrischen Verschiebungsdichte D[𝐷𝐷] =
Mit 𝜇𝜇0 = 4𝜋𝜋 ∙ 10−7 𝐴𝐴𝐴𝐴 = magnetische Feldkonstante.
Kraft auf elektrische Ladung im Magnetfeld = Lorentz-Kraft:
�⃗
𝐹𝐹⃗𝐿𝐿 = 𝑞𝑞 ∙ 𝑣𝑣⃗ × 𝐵𝐵
�⃗
Elektrischer Leiter im Magnetfeld: 𝐹𝐹⃗𝐿𝐿 = 𝐼𝐼 ∙ 𝐿𝐿�⃗ × 𝐵𝐵
mit L = Länge des Leiters im Magnetfeld in technischer Stromrichtung
Hall-Effekt: Teil der in die Probe eintretenden Elektronen werden durch 𝐹𝐹𝐿𝐿
abgelenkt. Dadurch baut sich ein elektrisches Feld (Hall-Feld, HallSpannung) senkrecht zum magnetischen auf. Nachfolgende Elektronen
bewegen sich geradlinig im GG von 𝐹𝐹𝐶𝐶 und 𝐹𝐹𝐿𝐿 .
�⃗ = −𝑒𝑒 ∙ 𝐸𝐸�⃗ ⟺ 𝐸𝐸 = −𝑣𝑣𝑣𝑣
𝐹𝐹⃗𝐿𝐿 = −𝐹𝐹⃗𝐶𝐶 ⟺ −𝑒𝑒 ∙ 𝑣𝑣⃗ × 𝐵𝐵
𝐴𝐴𝐴𝐴
)
𝑚𝑚 2
𝐼𝐼
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
1 𝐼𝐼𝐼𝐼
− ∙
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑
Geschwindigkeit v der Elektronen kann aus Strom erhalten werden: 𝐼𝐼 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 ⟹ 𝑣𝑣 = −
⟹ 𝐸𝐸 = −
𝐼𝐼𝐼𝐼
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
mit 𝐴𝐴 = ℎ𝑑𝑑 = Querschnitt des Leiters; Hall-Spannung: 𝑈𝑈𝐻𝐻 = 𝐸𝐸 ∙ ℎ =
Allgemeiner Hall Koeffizient: 𝐴𝐴𝐻𝐻 =
1
𝑞𝑞𝑞𝑞
Elektronen und positive Ladungen werden durch 𝐹𝐹𝐿𝐿 zur selben Seite hin abgelenkt. Bei gleich vielen beweglichen
positiven und negativen Ladungsträgern wäre 𝑈𝑈𝐻𝐻 = 0.
Grundgleichungen der Magnetostatik (2 Maxwellgleichungen)
[3] Quellenfreiheit des Magnetischen Feldes (es gibt nur magnetische Dipole):
magnetische Feldlinien haben weder Anfang noch Ende. Jede Feldlinie, die in eine
geschlossene Fläche hineinläuft, muss auch wieder hinauslaufen.
�⃗𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ = 0
� 𝐵𝐵
𝐴𝐴
�⃗𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ [Φ𝐵𝐵 ] = 1𝑊𝑊𝑊𝑊 = 1𝑇𝑇𝑚𝑚2
Magnetischer Fluss: Φ𝐵𝐵 = ∫𝐴𝐴 𝐵𝐵
[4] Amperesches Gesetz: Linienintegral entland einer beliebigen geschlossenen Kurve C:
�⃗𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = 𝜇𝜇0 � 𝑗𝑗⃗𝑑𝑑𝐴𝐴⃗ = 𝜇𝜇0 𝐼𝐼
� 𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐴𝐴
Gleichwertig zum Ampereschesn Gesetz: Bio-Savart Gesetz
(Äquivalent zum Coulombpotential  Satz von G.O. in der Elektrostatik; Bio-Savart und Coulom-Ansätze sind
Standarsansätze, aber rechenaufwendig; Ampere und S.v.G.O. Ansätze sind gut anwendbar, erfordern aber Vorkenntnisse
über die Felder wie Symmetrien)
�⃗ = − 𝜇𝜇 0 𝑒𝑒3 ∙ 𝑣𝑣⃗ × 𝑟𝑟⃗ oder 𝑑𝑑𝐵𝐵
�⃗(𝑟𝑟⃗) = − 𝜇𝜇 0 𝐼𝐼3 ∙ 𝑑𝑑𝑙𝑙⃗ × 𝑟𝑟⃗
𝐵𝐵
4𝜋𝜋𝑟𝑟
4𝜋𝜋𝑟𝑟
�⃗ zum magnetischen Feld leistet.
Mit 𝑑𝑑𝑙𝑙⃗ = Längensegment des Leiters, das Beitrag 𝑑𝑑𝐵𝐵
Magnetfeld einer Leiterschleife: Stärke des Magnetfelds auf Mittelsenkrechte in Höhe h
über der Schleife: Die Leitersegmente dl tragen Magnetfelder dB bei, deren Vektoren
einen Kegelmantel beschreiben. Daher bleibt nach der Integration über alle
Leitersegmente nur die z-Komponente übrig: 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑧𝑧 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ cos 𝛼𝛼
𝑎𝑎 = 𝑟𝑟 ∙ cos 𝛼𝛼
𝜇𝜇 0 𝐼𝐼
𝑑𝑑𝐵𝐵𝑧𝑧
𝜇𝜇 0 𝐼𝐼
𝑎𝑎
𝜇𝜇 𝐼𝐼𝐼𝐼
�⃗(𝑟𝑟⃗) = − 3 ∙ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ⟺
Da 𝑑𝑑𝑙𝑙⃗ ⊥ 𝑟𝑟⃗: 𝑑𝑑𝐵𝐵
=− 3∙
𝑑𝑑𝑑𝑑 ⟺ ∫ 𝑑𝑑𝐵𝐵𝑧𝑧 = − 0 3 ∙ ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝑟𝑟
cos 𝛼𝛼
4𝜋𝜋𝑟𝑟
cos 𝛼𝛼
Integration über Kreisbogen (𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋) ergibt: 𝐵𝐵𝑧𝑧 =
𝜇𝜇 0 𝐼𝐼𝑎𝑎 2
− 2𝑟𝑟
3
4𝜋𝜋𝑟𝑟
Magnetisches Feld einer Spule nur an den Enden konzentriert.
Magnetische Induktion
Grundlage: Jedes physikalische System versucht den magnetischen Fluss, den es
durchdringt, aufrecht zu erhalten. Durch Änderung des magnetischen Flusses Φ werden
elektrische Felder 𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 induziert, welche Kreisströme 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 erzeugen. Letztere induzieren Magnetfelder 𝐵𝐵𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 , welche der
Flussänderung entgegenwirken (Lenzsche Regel).
Faradaysches Induktionsgesetz:
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = −Φ̇ = ∫𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗
Die Lorentzkraft ruft die Ladungstrennung hervor und wird als Wirkung eines
�⃗ = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ⟺
induzierten E-Feldes angesehen: 𝐹𝐹𝐿𝐿 = 𝐹𝐹𝐶𝐶 ⟺ −𝑒𝑒𝑣𝑣⃗ × 𝐵𝐵
�⃗
𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑣𝑣⃗ × 𝐵𝐵
�⃗𝑑𝑑𝐴𝐴⃗, so wird eine elektrische Spannung 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ∫ 𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗, die gleich der
Ändert sich der magnetische Fluss Φ𝐵𝐵 = ∫𝐴𝐴 𝐵𝐵
𝐶𝐶
zeitlichen Ableitung des magnetischen Flusses ist.
Schleifenfläche einer Leiterschleife im homogenen M-Feld 𝐻𝐻 =
1
𝜇𝜇 0
𝐵𝐵 wird vergrößert. Zwei Betrachtungsweisen:
[1] Lorentzkraft-Bild
Ladungsträger im Stab erfahren 𝐹𝐹𝐿𝐿 bei Bewegung des Stabes mit 𝑣𝑣. Dadurch
werden bewegliche Ladungsträger verschoben und es entsteht ein Kreisstrom
𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (Wirbelstrom).
[2] Faraday-Bild
Bei Bewegung des Stabes nach rechts wird A größer, wodurch der magnetische
Fluss Φ = BA wächst (Φ̇ > 0). Um dem entgegenzuwirken wird eine Spannung
𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = −Φ̇ < 0 induziert.
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
Integration um Schleife herum: 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = −Φ̇ = ∫
𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
Wegen Flussänderung in Leiterschleife wird E-Feld 𝐸𝐸�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 antiparallel zu 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗
induziert, das einen elektrischen Strom 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 treibt.
�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛�𝑑𝑑𝑑𝑑 < 0 wirkt der Flusszunahme wegen der Flächenzunahme
Φ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ∫𝐴𝐴 𝐵𝐵
�⃗𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 und 𝑛𝑛� antiparallel zueinander sind.
entgegen. Φ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 < 0, da 𝐵𝐵
Vorteile des Faraday-Bildes: auch anwendbar, wenn Änderung des B-Feldes (und nicht Änderung der Fläche)
Materie im Magnetischen Feld
(1) Diamagnete haben kein magnetisches Moment
(2) Paramagnete haben zufällig orientierte magnetische Momente
(3) Ferromagnete haben parallel orientierte magnetische Momente
(4) Antiferromagnete haben teilweise antiparallel orientierte und parallel orientierte magnetische Momente
(5) Ferrimagnete haben anti-parallel orientierte magnetische Momente
Magnetisierung: Spule ohne Eisenkern = schwaches Feld; mit Eisenkern = starkes Feld. Eisen = Ferromagnet.
�⃗0 ruft im Eisen eine Magnetisierung 𝑀𝑀
��⃗, hervor welche das Gesamt-M-Feld 𝐻𝐻
�⃗ verstärkt. Analog
Magnetfeld der Spule 𝐻𝐻
zur Polarisation P von Dielektrika im E-Feld definiert man bei magnetischen Materialien im M-Feld die Magnetisierung:
��⃗ = 𝜒𝜒 ∙ 𝐻𝐻
�⃗0 mit 𝜒𝜒 = magnetische Suszeptibilität.
𝑀𝑀
Das Gesamtfeld im Inneren des Materials:
𝜇𝜇 = 1 + 𝜒𝜒 = Permeabilität
�⃗0 + 𝑀𝑀
��⃗ = 𝐻𝐻
�⃗0 (1 + 𝜒𝜒) = 𝜇𝜇𝐻𝐻
�⃗0 mit
�⃗ = 𝐻𝐻
𝐻𝐻
��⃗ ist von 𝐻𝐻
�⃗0 abhängig: Hysterese-Kurve
𝑀𝑀
Materialien mit orientierten Elektronenspins: Gruppen von Spins (Weissche Bereiche) sind gleich ausgerichtet (wegen
Austauschwechselwirkung *lol* = Spin-Spin-WW??). Im Magnetfeld erfolgt Ausrichtung entlang des äußeren
Magnetfeldes.
Ferromangetismus: Ferromagnete, Ferrimagnete, Antiferromagnete (𝝌𝝌 ≫ 𝟎𝟎 => Feldverstärkung) permanentes
magnetisches Moment. Aufgrund starker WW der Spins sind diese ständig ausgerichtet => permanente Magnetisierung
des Materials. Im Magnetfeld erfolgt Ausrichtung der Magnetisierung.
Paramagnetismus: Paramagnete (𝝌𝝌 > 0 => Feldverstärkung): Verhalten wird durch Spins und Bahndrehimpulsbeiträge
bestimmt. Nur schwache WW zwischen Spins => keine Ausrichtung ohne externes Magnetfeld. Teilweise Ausrichtung
der Spins im externen Feld. Permanentes magnetisches Moment, aber keine permanente Magnetisierung des Materials
𝐶𝐶
𝑇𝑇
Curie-Gesetz der Suszeptibilität: 𝜒𝜒(𝑇𝑇) = mit C = Curie-Konstante (materialspezifisch)
Ferromagnete werden oberhalb einer für den Magneten charakteristischen Temperatur
(Curie-Temperatur 𝑻𝑻𝑪𝑪 ) paramagnetisch. Für diese gilt oberhalb von 𝑇𝑇𝐶𝐶 das Curie-Weiss-
Gesetz: 𝜒𝜒(𝑇𝑇) =
𝐶𝐶
𝑇𝑇−𝑇𝑇𝐶𝐶
Diamagnetismus: Diamagnete (𝝌𝝌 < 0 => Feldabschwächung; ideale Diamagnete: 𝝌𝝌 = −𝟏𝟏): Materialien, bei denen sich
Spins in ihrer magnetischen Wirkung kompensieren. Kein permanentes Magnetisches Moment => keine permanente
Magnetisierung des Materials, daher greift Lenzsche Regel (Bestreben der Abschwächung eindringender magnetischer
Flüsse).
C] Wechselstromlehre: Zeitabhängige elektrische und magnetische Felder
Zentral: Faradaysches Induktionsgesetz: 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = −
𝑑𝑑Φ
𝑑𝑑𝑑𝑑
besagt, dass ein zeitabhängiges M-Feld ein E-Feld induziert.
Selbstinduktion in einer Spule
Änderung des Stroms und damit des M-Feldes in einer Spule erzeugt ein Induktionsstrom in der
Spule selbst. Zeitabhängiges M-Feld einer Spule:
𝐵𝐵(𝑡𝑡) = 𝜇𝜇0
𝑁𝑁
𝑙𝑙
∙ 𝐼𝐼(𝑡𝑡) mit
𝑁𝑁
𝑙𝑙
= Windungszahl
pro Spulenlänge = Windungsdichte.
Selbstinduzierte Spannung (magnetischer Fluss ist proportional zur Windungszahl N):
−Φ̇ = −
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
�𝐴𝐴 ∙ 𝜇𝜇0
[𝐿𝐿] = 1𝐻𝐻 = 1
𝑉𝑉𝑉𝑉
𝐴𝐴
𝑁𝑁 2
𝑙𝑙
∙ 𝐼𝐼(𝑡𝑡)� = −𝐿𝐿 ∙ 𝐼𝐼 ̇ = 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 mit 𝐿𝐿 = 𝐴𝐴 ∙ 𝜇𝜇0
und A = Querschnittsfläche
𝑁𝑁 2
𝑙𝑙
= Eigeninduktivität
Zeitlicher Verlauf des Stromes in der Spule über Maschenregel (DGL = Stahlkugel in Honig):
−𝑈𝑈 + 𝑈𝑈𝑅𝑅 − 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 0 ⟺ −𝑈𝑈 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐿𝐿𝐼𝐼 ̇ = 0 ⟺
In Spule induzierte Spannung hat gleiches Vorzeichen wie Spannung der Spannungsquelle!
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑈𝑈 𝑅𝑅
= −
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿 𝐿𝐿𝐿𝐿
Zwei Lösungen:
Einschaltprozess 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼0 �1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏 � für 𝑡𝑡 ≥ 0 mit 𝐼𝐼0 = 𝑈𝑈0 /𝑅𝑅 und 𝜏𝜏 = 𝐿𝐿/𝑅𝑅 = Dämpfungszeit
Ausschaltprozess 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡/𝜏𝜏
Transformator
Zweck: Transformation der Amplitude von Wechselspannung
In Primärspule wird Strom 𝐼𝐼1 angeworfen, wodurch ein magnetisches Feld
induziert wird. Dieses zeigt in der Sekundärspule von oben nach unten. Die
Sekundärspule wirkt dem ansteigenden magnetischen Fluss entgegen,
indem ein Gegenfeld aufgebaut wird. Dazu ist der Strom 𝐼𝐼2 notwendig.
Der magnetische Fluss durch jede Spule hängt vom Strom durch beide Spulen ab. Magnetischer Fluss durch Spule 1, die
mit Spule 2 koppelt: Φ1 = 𝐿𝐿11 ∙ 𝐼𝐼1 + 𝐿𝐿12 ∙ 𝐼𝐼2 mit Selbstinduktivität 𝐿𝐿11 und Gegeninduktivität 𝐿𝐿12 . Vorzeichen der 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 ist
von Wicklungsrichtung abhängig. Die Eingangs- und Ausgangsspannungen sind dementsprechend nach dem
Faradayschen Gesetz und der Maschenregel: 𝑈𝑈𝑖𝑖 = 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐼𝐼𝑖𝑖̇ + 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐼𝐼𝑗𝑗̇ .
Bestimmung durch Amperegesetz: 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0 𝜇𝜇(𝐼𝐼1 𝑁𝑁1 − 𝐼𝐼2 𝑁𝑁2 ) mit 𝑙𝑙 = Länge des Weges C über geschlossene Fläche des
Eisenjochs.
𝐴𝐴
𝑙𝑙
Der Magnetische Fluss in Spule 1 Φ1 = 𝑁𝑁1 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜇𝜇0 𝜇𝜇 (𝐼𝐼1 𝑁𝑁12 − 𝐼𝐼2 𝑁𝑁1 𝑁𝑁2 ) mit A= Querschnitt einer Spulenwindung
𝐴𝐴
𝑙𝑙
𝐴𝐴
𝑙𝑙
Daraus ergeben sich: Selbstinduktivität: 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇0 𝜇𝜇 𝑁𝑁𝑖𝑖2 , Gegeninduktivität: 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖 = −𝜇𝜇0 𝜇𝜇 𝑁𝑁𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑗𝑗
Es gilt:
𝑈𝑈2
𝑈𝑈1
𝑁𝑁
= − 𝑁𝑁2
1
2 Spezialfälle:
𝑅𝑅 → ∞ (Leerlauf): In Spule 2 fließt kein Strom => Φ stammt nur vom Strom durch Spule 1. Man hat nur Blindleistung
𝑅𝑅 ≠ ∞ (Lastfall): Φ wird von beiden Strömen bestimmt. Man entnimmt Wirkleistung.
Schaltungen der Grundelemente: Ohmscher Widerstand, Kondensator, Spule
Zeitabhängige Felder: es genügt die Betrachtung sinus- und cosinus-förmiger harmonischer Zeitabhängigkeiten, da jede
periodische und nicht periodische Funktion durch Fourier-Synthese aus harmonischen Funktionen dagestellt werden
kann.
Fourier-Synthese = Summe von Sinusfunktionen: ∑ 𝐴𝐴𝑛𝑛 ∙ sin(𝑛𝑛 ∙ 𝜔𝜔𝜔𝜔)
Sägezahn-Funktion durch 5 sin Funktionen angenähert; für exakte Funktion unendliche sinusFunktionen nötig.
Wechselstromleistung und komplexer Widerstand
𝑈𝑈
𝐼𝐼
Komplexer Widerstand = Impedanz 𝑍𝑍 = , Scheinwiderstand |𝑍𝑍| =
𝑈𝑈0
𝐼𝐼0
𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔 +𝜑𝜑)
Ansätze für Spannung und Strom: 𝑈𝑈(𝑡𝑡) = 𝑈𝑈0 ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 und 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼0 ∙ 𝑒𝑒
reiner Wirkwiderstand
Reiner Blindwiderstand
reine Wirkleistung
Reine Blindleistung
𝑈𝑈 = 𝐼𝐼𝐼𝐼
𝑈𝑈 = 𝑍𝑍𝑅𝑅 𝐼𝐼
𝐼𝐼(𝑡𝑡) =
𝑈𝑈0 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑒𝑒
𝑅𝑅
𝑈𝑈02
𝑃𝑃(𝑡𝑡) =
cos2 𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑅𝑅
𝑄𝑄
𝐼𝐼
→ 𝑈𝑈̇ =
𝐶𝐶
𝐶𝐶
1
𝑈𝑈 = 𝑍𝑍𝐶𝐶 𝐼𝐼 =
∙ 𝐼𝐼
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑈𝑈 = 𝐿𝐿𝐼𝐼 ̇
𝑈𝑈 =
𝑈𝑈 = 𝑍𝑍𝐿𝐿 𝐼𝐼 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝐼𝐼
𝐼𝐼(𝑡𝑡) =
𝑈𝑈0 𝑖𝑖�𝜔𝜔𝜔𝜔 −𝜋𝜋 �
2
𝑒𝑒
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑈𝑈0 𝑒𝑒
𝑈𝑈02
𝑃𝑃(𝑡𝑡) =
sin 2𝜔𝜔𝜔𝜔
2𝜔𝜔𝜔𝜔
Komplexer Widerstand allgemein: 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑍𝑍) + 𝑖𝑖 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑍𝑍) =
𝑈𝑈(𝑡𝑡)
𝐼𝐼(𝑡𝑡)
=
=> Umgesetzte Leistung: 𝑃𝑃 = 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑈𝑈) ∙ 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝐼𝐼)
Reiner Blindwiderstand
Reine Blindleistung
𝑈𝑈0
𝐼𝐼0
𝜋𝜋
𝑖𝑖�𝜔𝜔𝜔𝜔 + �
2
1
𝑃𝑃(𝑡𝑡) = − 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑈𝑈02 sin 2𝜔𝜔𝜔𝜔
2
∙ 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖 =
𝑈𝑈
0
cos 𝜑𝜑
𝐼𝐼0
�����
𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊
𝑈𝑈
+ 𝑖𝑖 ∙ �− 𝐼𝐼 0 � sin 𝜑𝜑
������
���
0
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
Die Phase 𝜑𝜑 bestimmt das Verhältnis von Wirk- zu Blindwiderstand.
Leistungsabgabe an Z allgemein: 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝑈𝑈(𝑡𝑡)� ∙ 𝑅𝑅𝑅𝑅�𝐼𝐼(𝑡𝑡)�
= �������������
𝑈𝑈0 𝐼𝐼0 ∙ cos 𝜑𝜑 ∙ cos2 𝜔𝜔𝜔𝜔 − �������������������
𝑈𝑈0 𝐼𝐼0 ∙ sin 𝜑𝜑 ∙ sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 ∙ cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑍𝑍) ∙ 𝐼𝐼02 ∙ cos 2 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑍𝑍) ∙ 𝐼𝐼02 ∙ sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 ∙ cos 𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
Die Blindleistung ist im Zeitmittel gleich null, die Wirkleistung nicht: ⟨𝑃𝑃𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 ⟩ =
1
2
𝑈𝑈0 𝐼𝐼0 ∙ cos 𝜑𝜑 maximal für 𝜑𝜑 = 0
Die Blindleistung beschreibt das periodische Ein- und Ausspeisen von Leistung, um E- und M-Felder auf- und abzubauen.
Auch hier bestimmt die Phase das Verhältnis zwischen Wirk- und Blindleistung. Wirkwiderstand bestimmt Wirkleistung;
Blindwiderstand bestimmt Blindleistung.
Schaltung mit 2 Bauelementen
Reihenschaltung
Parallelschaltung
𝑈𝑈 = 𝑈𝑈1 + 𝑈𝑈2 = 𝐼𝐼 ∙ (𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2 )
𝑍𝑍𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑍𝑍1 + 𝑍𝑍2
Maschenregel:
Knotenregel:
Für Kondensatoren:
𝟏𝟏
𝒁𝒁𝒊𝒊 =
𝒊𝒊𝒊𝒊𝑪𝑪𝒊𝒊
𝐶𝐶𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 =
1
1
+
𝐶𝐶1 𝐶𝐶2
𝑈𝑈 = 𝑈𝑈1 = 𝐼𝐼1 𝑍𝑍1 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑈𝑈1 = 𝑈𝑈2 = 𝐼𝐼2 𝑍𝑍2
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 =
𝑈𝑈1 𝑈𝑈2
𝑈𝑈
1
1
1
+
=
→
= +
𝑍𝑍1 𝑍𝑍2 𝑍𝑍𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑍𝑍𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑍𝑍1 𝑍𝑍2
𝐶𝐶𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2
Reihenschaltung von Widerstand und Spule: Tiefpass
Helligkeit der Glühbirne (R) ist Maß für mittlere Leistung (Wirkleistung), die von
Spannungsquelle an Schaltkreis abgegeben wird.
Gesamtimpedanz: 𝑍𝑍𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑅𝑅 + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ⟹ |𝑍𝑍𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 | = √𝑅𝑅 2 + 𝜔𝜔 2 𝐿𝐿2
Strom: |𝑍𝑍𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 | =
Tiefpass)
𝑈𝑈0
𝐼𝐼0
𝑈𝑈0
⟹ 𝐼𝐼0 = |𝑍𝑍
1
2
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 |
=
𝑈𝑈0
√𝑅𝑅 2 +𝜔𝜔 2 𝐿𝐿2
1
2
Wirkleistung: ⟨𝑃𝑃𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊𝑊 ⟩ = 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑍𝑍)𝐼𝐼02 = 𝑈𝑈02 ∙
(Zunahme von 𝜔𝜔 bewirkt Abnahme von 𝐼𝐼0
𝑅𝑅
𝑅𝑅 2 +𝜔𝜔 2 𝐿𝐿2
Abnahme der Wirkleistung)
Phasenunterschied zwischen Spannung und Strom:
𝑍𝑍𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 =
𝑈𝑈0
𝐼𝐼0
∙ (cos 𝜑𝜑 − 𝑖𝑖 sin 𝜑𝜑) = 𝑅𝑅 + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 → 𝑅𝑅 =
Beiden Gleichungen auflösen nach
𝑈𝑈0
𝐼𝐼0
=
𝑅𝑅
cos 𝜑𝜑
𝑈𝑈0
𝐼𝐼0
=−
=>
(Zunahme von 𝜔𝜔 bewirkt
∙ cos 𝜑𝜑 und 𝜔𝜔𝜔𝜔 = −
𝜔𝜔𝜔𝜔
sin 𝜑𝜑
→ tan 𝜑𝜑 = −
𝑈𝑈0
𝐼𝐼0
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑅𝑅
∙ sin 𝜑𝜑
(Zunahme von 𝜔𝜔 bewirkt Änderung von 𝜑𝜑 = 0 (reine Wirkleistung) nach
𝜑𝜑 = −𝜋𝜋/2 (reine Blindleistung).
Der elektrische Schwingkreis
1
1
DGL: 𝑅𝑅 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐿𝐿 ∙ 𝐼𝐼 ̇ + ∙ 𝑄𝑄 = 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡) ⟺ 𝐿𝐿 ∙ 𝑄𝑄̈ + 𝑅𝑅 ∙ 𝑄𝑄̇ + ∙ 𝑄𝑄 = 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡)
𝐶𝐶
𝐶𝐶
Mit 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈0 ∙ cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 bzw. komplex: 𝑈𝑈𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡) = 𝑈𝑈0 ∙ 𝑒𝑒 −𝜔𝜔𝜔𝜔
Lösung: 𝑄𝑄(𝑡𝑡) = 𝑄𝑄0 (𝜔𝜔) ∙ cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)
DGL ist äquivalent zum getrieben h.O. mit Dämpfung: 𝑚𝑚𝑧𝑧̈ + 𝛾𝛾𝑧𝑧̇ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡) → 𝑧𝑧(𝑡𝑡) = 𝑧𝑧0 (𝜔𝜔) ∙ cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜑𝜑)
In E-Dynamik interessiert 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝑄𝑄̇. Bestimmungsgleichung für 𝐼𝐼(𝑡𝑡) ist äquivalent zur Bestimmungsgleichung von 𝑣𝑣(𝑡𝑡):
1
𝐶𝐶
𝐿𝐿 ∙ 𝐼𝐼 ̈ + 𝑅𝑅 ∙ 𝐼𝐼 ̇ + ∙ 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈̇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡)
̇ (𝑡𝑡)
Vergleich: 𝑚𝑚𝑣𝑣̈ + 𝛾𝛾𝑣𝑣̇ + 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
Schwingung:
(1) Kondensator geladen (gesamte Energie des Schwingkreises im E-Feld
des Kondensators). Maximale Potentialdifferenz zwischen den Platten
= Maximale Spannung am Schwingkreis. Kein Strom in der Spule
(2) Anliegende Spannung induziert in Spule ein Stromfluss, wodurch
Kondensator entladen wird. Ansteigender Strom erhöht
magnetischen Fluss in Spule, was nach Lenzscher Regel
Gegenspannung induziert, die der Stromursache entgegen wirkt
(Strom steigt anfangs stark, dann langsamer an). Die Spannung
verringert sich, bis sie null wird und der Strom sein Maximum
erreicht. Magnetische Feldstärke der Spule ist maximal und
Kondensator entladen. Die gesamte Energie ist im Magnetfeld der
Spule
(3) Stromstärke nimmt wieder ab => magnetische Flussdichte an Spule
sinkt. Nach Lenzscher Regel wird erneut Induktionsspannung induziert (dieses mal mit negativem Vorzeichen;
Strom nimmt sehr langsam ab). Potentialdifferenz zwischen Kondensatorplatten steigt an, mit
entgegengesetzter Polung. Spannung am Schwingkreis hat umgekehrtes Vorzeichen. Magnetische Feld-Energie
wird wieder vollständig in elektrische Feld-Energie umgewandelt.
Hertzscher Dipol und EM-Wellen
Optik
1
2
Überlagerung zweier Schwingungen ergibt Schwebung der Frequenz (𝜔𝜔1 − 𝜔𝜔2 )
Monochromatische Welle: 𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟⃗, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸�⃗0 cos�𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘�⃗ 𝑟𝑟⃗ + 𝜑𝜑0 �
2𝜋𝜋
Mit 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = Kreisfrequenz, 𝑘𝑘�⃗ = Wellenvektor, �𝑘𝑘�⃗ � = = Wellenzahl, 𝜑𝜑0 =
𝜆𝜆
Phasenversatz (meist 0 gesetzt)
Ausbreitung in einer Dimension: 𝐸𝐸�⃗ (𝑟𝑟⃗, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸�⃗0 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝐸𝐸�⃗0 𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔 −𝑘𝑘𝑘𝑘 )
𝑘𝑘 > 0 => Welle propagiert in x-Richtung. 𝑘𝑘 < 0 => Welle propagiert in –x Richtung
Phasenfront/Wellenfront: 𝜑𝜑(𝑥𝑥1 , 𝑡𝑡1 ) = 𝜑𝜑(𝑥𝑥2 , 𝑡𝑡2 ) = 𝜙𝜙 = 𝜔𝜔𝑡𝑡𝑖𝑖 − 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑖𝑖 ⟺ 𝑥𝑥𝑖𝑖 =
𝜔𝜔
Geschwindigkeit der Phasenfront: 𝑣𝑣𝑃𝑃ℎ = , |𝑣𝑣𝑃𝑃ℎ | = 𝑐𝑐 =
𝑘𝑘
2𝜋𝜋
Wellenlänge 𝜆𝜆 = |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 | = |𝑘𝑘| =
𝑐𝑐
𝑓𝑓
𝑐𝑐0
𝑛𝑛
𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑖𝑖 − 𝜙𝜙
𝑘𝑘
Energiedichten 𝒅𝒅 und Intensitäten 𝑰𝑰 = 𝑬𝑬/𝑨𝑨𝑨𝑨 des elektrischen und magnetischen Feldes
1
1
1
1
𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡) = 𝜀𝜀𝜀𝜀0 𝐸𝐸𝑦𝑦2 (𝑡𝑡) = 𝜀𝜀𝜀𝜀0 𝐸𝐸02 ∙ cos 2 (𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘) ⟨𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ⟩ = 𝜀𝜀𝜀𝜀0 𝐸𝐸02 ⟨𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ⟩ = 𝜀𝜀𝜀𝜀0 𝑐𝑐𝐸𝐸02
2
2
4
4
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1
𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑡𝑡) =
𝐵𝐵𝑧𝑧 (𝑡𝑡) =
𝐵𝐵0 ∙ cos2 (𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑘𝑘𝑘𝑘) ⟨𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⟩ =
𝐵𝐵0 ⟨𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⟩ =
𝑐𝑐𝐵𝐵2
2 𝜇𝜇𝜇𝜇0
2 𝜇𝜇𝜇𝜇0
4 𝜇𝜇𝜇𝜇0
4 𝜇𝜇𝜇𝜇0 0
Mit 𝐵𝐵0 = �𝜀𝜀𝜀𝜀 ∙ 𝜀𝜀0 𝜇𝜇0 ∙ 𝐸𝐸0
𝑐𝑐02 =
1
𝜀𝜀 0 𝜇𝜇 0
𝑐𝑐 =
𝑐𝑐0
𝑛𝑛
=
𝑐𝑐0
√𝜀𝜀
folgt: ⟨𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ⟩ = ⟨𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⟩
1
2
Für die Gesamtintensität folgt: ⟨𝐼𝐼⟩ = ⟨𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ⟩ + ⟨𝐼𝐼𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ⟩ = 𝑛𝑛𝜀𝜀0 𝑐𝑐0 𝐸𝐸02
�⃗ mit ⟨�𝑆𝑆⃗�⟩ = ⟨𝐼𝐼⟩ zeigt in Propagationsrichtung
Der Poynting-Vektor 𝑆𝑆⃗ = 𝐸𝐸�⃗ × 𝐻𝐻
I und d oszillieren als Funktion von der Zeit und dem Ort
Energie, Impuls, Druck von Licht
Quantelung der Energie: 𝐸𝐸𝑃𝑃 = ℎ𝜈𝜈 = ℏ𝜔𝜔 mit ℎ = 6,626 ∙ 10−34 𝐽𝐽𝐽𝐽 = Plancksches Wirkungsquantum
𝑝𝑝 2
Energie eines Masselosen Teilchens: 𝐸𝐸 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 , Energie eines Teilchens mit Ruhemasse: 𝐸𝐸 = 2𝑚𝑚
Strahlung trägt Impulsdichte, je Photon ist der Impuls:
Lichtdruck 𝑃𝑃 =
𝐼𝐼
𝑐𝑐
𝐸𝐸𝑃𝑃
𝑐𝑐
=
ℎ𝜈𝜈
𝑐𝑐
=
ℎ
𝜆𝜆
= ℏ𝑘𝑘 = 𝑝𝑝
WW zwischen Licht und Medium: Brechungsindex und Dispersion
𝑐𝑐
𝑓𝑓
In Materie wird 𝜆𝜆 = auf 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆𝑚𝑚 −
𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑛𝑛
verkürzt
Dispersion = Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex (Transparente Gläser haben im UV-Bereich höheren
Brechungsindex)
Elektronen-Bewegung eines Atoms im Lichtfeld = erzwungene, gedämpfte Schwingung
𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑥𝑥̈ + 𝛾𝛾𝑥𝑥̇ + 𝑘𝑘𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = −𝑒𝑒𝐸𝐸0 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 mit 𝐸𝐸0 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = Lichtfeld am Ort des Elektrons
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = −
𝑒𝑒
𝑚𝑚 𝑒𝑒
∙
𝐸𝐸(𝑡𝑡)
�𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 2 �+𝑖𝑖Γ𝜔𝜔
mit 𝜔𝜔02 =
𝑐𝑐
,Γ
𝑚𝑚 𝑒𝑒
=
γ
m
Resonanz entspricht in der Atomphysik Übergängen zwischen Energieniveaus.
Gesamtes elektrisches Feld = eingestrahltes Feld + Polarisationsfeld der Materie:
�⃗
𝑃𝑃 (𝑡𝑡)
(𝑡𝑡) −
𝐸𝐸�⃗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 (𝑡𝑡) = ��
𝐸𝐸�⃗𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺��
𝜀𝜀𝑟𝑟 ∙���
𝜀𝜀
𝐸𝐸�⃗𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑡𝑡)
⟹ 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 1 + 𝜀𝜀
0
𝑃𝑃(𝑡𝑡)
0 𝐸𝐸(𝑡𝑡)
𝑁𝑁
𝑃𝑃�⃗(𝑡𝑡) = − 𝑒𝑒 ∙ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) für N Elektronen je Volumeneinheit V
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
Daraus ergibt sich die frequenzabhängige Dielektrizitätsfunktion:
𝑁𝑁 2
𝑒𝑒
𝜀𝜀(𝜔𝜔) = 1 + 𝑚𝑚𝑉𝑉
𝑒𝑒 𝜀𝜀 0
∙
1
�𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 2 �+𝑖𝑖Γ𝜔𝜔
𝑁𝑁 2
𝑒𝑒
= 1 + 𝑚𝑚𝑉𝑉
𝑒𝑒 𝜀𝜀 0
∙
1
2
��𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 2 � +Γ 2 𝜔𝜔 2
Der Brechungsindex ist komplexe Größe: 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑅𝑅 + 𝑖𝑖𝑛𝑛𝐼𝐼
𝑉𝑉
∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 mit tan 𝜑𝜑 = −
Γ𝜔𝜔
𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 2
und 𝑛𝑛(𝜔𝜔) = �𝜀𝜀(𝜔𝜔)
TAFEL!!
Vereinfachungen: (1) dünne Medien wie Gase: 𝑁𝑁/𝑉𝑉 sehr klein (2) starke Dämpfung: Γ sehr groß
1
2
1
2
Dann weicht 𝜀𝜀(𝜔𝜔) und n nur geringfügig von 1 ab (für alle 𝜔𝜔): 𝑛𝑛 = 1 + ∆𝑛𝑛 = + 𝜀𝜀 mit ∆𝑛𝑛 ≪ 1
𝑛𝑛2 − 1 𝜀𝜀 − 1
∆𝑛𝑛 =
=
2
2
Realteil des Brechungsindex zeigt anleitungsartigen Verlauf im Bereich der
Resonanz. Für 𝜔𝜔 → 0 strebt der Wert gegen 1. Imaginärteil des Brechungsindex
ist negativ und nur im Bereich der Resonanz von null verschieden.
𝑁𝑁 2
𝑒𝑒
𝑉𝑉
𝑛𝑛𝑅𝑅 = 1 + 2𝑚𝑚
𝑒𝑒 𝜀𝜀 0
∙
𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 2
2
�𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 2 � +Γ 2 𝜔𝜔 2
𝑁𝑁 2
𝑒𝑒
𝑉𝑉
𝑛𝑛𝐼𝐼 = 2𝑚𝑚
𝑒𝑒 𝜀𝜀 0
∙
−Γ𝜔𝜔
2
�𝜔𝜔 02 −𝜔𝜔 2 � +Γ 2 𝜔𝜔 2
Frequenzverlauf des Brechungsindex 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑅𝑅 :
(1) Normale Disperson: n nimmt mit Frequenz zu.
(2) anormale Disperson (n nimmt mit Frequenz ab, Grund: Absorption) nur in Nähe der Resonanzfrequenzen
(Straffiert). Zunahme von n
(3) In Bereichen normaler Disperion nimmt n mit kleinen Frequenzen zu. Grund: es werden immer mehr
Resonanzen im Material angeregt, welche die Elektromagnetische Welle verlangsamen.
Phasengeschwindigkeit kann Überlichtgeschwindigkeit erreichen.
Huygens-Fresnelsches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Quelle einer sekundären Kugelwelle. Die neue
Wellenfront ist dann die Einhüllende dieser Sekundärwelle.
Brechung und Reflektion an der Grenzfläche zwischen 2 Medien
Randbedingungen: 𝜃𝜃𝑒𝑒 = 𝜃𝜃𝑟𝑟
Snellsches Gesetz: 𝑛𝑛𝑒𝑒 sin 𝜃𝜃𝑒𝑒 = 𝑛𝑛𝑡𝑡 sin 𝜃𝜃𝑡𝑡
�⃗
Elektrische Felder: 𝐸𝐸�⃗𝑗𝑗 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐸𝐸�⃗𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑒𝑒 𝑖𝑖�𝜔𝜔𝜔𝜔 −𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑥𝑥⃗� = 𝐸𝐸�⃗𝑜𝑜𝑜𝑜 ê𝑗𝑗 mit 𝐸𝐸�⃗𝑜𝑜𝑜𝑜 = Feldamplitude und ê𝑗𝑗 = Richtungsvektor, wobei 𝑗𝑗 = 𝑒𝑒, 𝑟𝑟, 𝑡𝑡
�⃗𝑗𝑗 = 1 𝑘𝑘�⃗𝑗𝑗 × 𝐸𝐸�⃗𝑗𝑗 mit 𝜇𝜇𝑒𝑒 = 𝜇𝜇𝑡𝑡 = 1
Magnetische Felder: 𝐵𝐵
𝜔𝜔
Fresnel-Gleichungen für nicht-magnetische Materialien
s-Polarisation: 𝐸𝐸�⃗𝑒𝑒 ⊥ Einfallsebene
p-Polarisation: 𝐸𝐸�⃗𝑒𝑒 in Einfallsebene
Reflexionskoeffizient:
𝐸𝐸0𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒 − 𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡
𝑟𝑟⊥ = � � =
𝐸𝐸0𝑙𝑙 ⊥ 𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒 + 𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡
Transmissionskoeffizient:
𝐸𝐸0𝑡𝑡
2𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒
𝑡𝑡⊥ = � � =
𝐸𝐸0𝑙𝑙 ⊥ 𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒 + 𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡
Übergang ins optisch dichtere Medium
𝐸𝐸0𝑟𝑟
𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒 − 𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡
𝑟𝑟∥ = � � =
𝐸𝐸0𝑙𝑙 ∥ 𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡 + 𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒
𝐸𝐸0𝑡𝑡
2𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒
𝑡𝑡∥ = � � =
𝐸𝐸0𝑙𝑙 ∥ 𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡 + 𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒
Übergang ins optisch dünnere Medium
Brewster Winkel: reflektierter und transmittierter Strahl stehen senkrecht aufeinander
Harmonische Welle erleidet Phasensprung 𝜋𝜋 bei Reflektion am festen Ende. Reflektion
am freien Ende = kein Phasensprung.
Reflexionsgrad R ist Verhältnis der reflektierten/einfallenden Leistungen 𝑃𝑃𝑟𝑟/𝑒𝑒 .
Die Leistung ist das Produkt aus Intensität und Querschnittsfläche des jeweiligen Strahls,
wobei 𝐴𝐴𝑟𝑟 = 𝐴𝐴𝑒𝑒 .
𝐸𝐸0𝑟𝑟 2
𝑃𝑃𝑟𝑟 𝐼𝐼𝑟𝑟 𝐴𝐴𝑟𝑟
= � � = 𝑟𝑟 2
𝑅𝑅 = =
𝑃𝑃𝑒𝑒 𝐼𝐼𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑒𝑒
𝐸𝐸0𝑒𝑒
Transmissionsgrad T entsprechend, wobei 𝐴𝐴𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑔𝑔 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡 ≠ 𝐴𝐴𝑒𝑒 = 𝐴𝐴𝑔𝑔 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒 mit 𝐴𝐴𝑔𝑔 = Fläche des Strahls auf Körper, an
dem reflektiert/transmittiert wird.
𝑃𝑃𝑡𝑡 𝐼𝐼𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡
𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡 𝐸𝐸0𝑡𝑡 2 𝑛𝑛𝑡𝑡 cos 𝜃𝜃𝑡𝑡 2
𝑇𝑇 = =
=
∙� � =
∙ 𝑡𝑡
𝑃𝑃𝑒𝑒 𝐼𝐼𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒 𝐸𝐸0𝑒𝑒
𝑛𝑛𝑒𝑒 cos 𝜃𝜃𝑒𝑒
Wegen Energieerhaltung gilt für beide Polariastionsrichtungen ⊥ und ∥: 𝑅𝑅 + 𝑇𝑇 = 1
Unter Berücksichtigung der Absorption gelten die Formeln nicht, da 𝑅𝑅 + 𝑇𝑇 + 𝐴𝐴 = 1
Vielstrahlinterferenz pdf 23 mitte weggelassen
Geometrische Optik = Strahlenoptik
Entspricht Vereinfachung 𝜆𝜆 → 0 (keine Welleneigenschaften), möglich wenn Objektgröße >> Wellenlänge (Fermatsches
Prinzip)
Fermatsches Prinzip: Elektromagneticshe Strahung breitet sich zwischen zwei Punkten so aus, dass die Laufzeit bei
Variation des Weges stationär ist:
𝑑𝑑𝑡𝑡 12
𝑑𝑑𝑑𝑑
=0
Definition Strahl: Kurve im Raum, die dem Fluss der Strahlunsenergie folgt. Richtung gegeben durch Poynting Vektor.
Bildpunkt: Stelle, wo sich die von einem Gegenstandspunkt kommenden Strahlen oder ihre Verlängerungen schneiden
Reelle Abbildung: (1) konvergenter Strahlenverlauf nach
Instrument, (2) Bild auf Schirm auffangbar, (3) Bild
zwischen Instrument und Beobachter
Virtuelle Abbildung: (1) divergenter Strahlenverlauf nach
Instrument (2) Bild nicht auf Schirm auffangbar (3) Bild vor
Instrument
Auge = abbildendes Instrument, das von reellen und virtuellen Bildpunkten rellee Bildpunkte auf Netzhaut erzeugt.
Abbildung durch sphärische Grenzfläche:
Optische Achse: Symmetrieachse der Fläche.
Abbildung nur mit achsnahen Strahlen (Abstand h des brechenden Punktes auf Kugelfläche << Krümmungsradius r) =
paraxiale Näherung. Grund: achsferne Strahlen zeigen sphärische Abberation.
Für diese Näherung gilt: sin 𝜃𝜃𝑒𝑒,𝑡𝑡 = 𝜃𝜃𝑒𝑒,𝑡𝑡 (Snellsches Gesetz vereinfacht!)
𝑛𝑛1 𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
+
=
𝑔𝑔
𝑏𝑏
𝑟𝑟
Bildseitiger Brennpunkt b [Bildpunkt eines in unendlicher Entfernung befindlichen Gegenstandspunktes (𝑔𝑔 → ∞)] =
bildseitige Brennweite.
𝑛𝑛2
𝑏𝑏 =
𝑟𝑟 = 𝑓𝑓𝐵𝐵
𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
Gegenstandsseitiger Brennpunkt [axialer Gegenstandspunkt, der einen im Unendlichen befindlichen Bildpunkt ergibt
(𝑏𝑏 → ∞)] =gegenstandsseitige Brennweite
𝑛𝑛1
𝑔𝑔 =
𝑟𝑟 = 𝑓𝑓𝐺𝐺
𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1
Näherung: Dünne Linsen
𝑛𝑛 1
𝑔𝑔
Linsenschleiferformel
+
𝑛𝑛 1
𝑏𝑏
1
𝑟𝑟1
1
𝑟𝑟2
= (𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛1 ) � − �
Für Luft/Vakuum ist n=1
Bild- und gegenstandsseitige Brennweiten sind gleich groß bei dünnen Linsen: 𝑓𝑓𝐺𝐺 = 𝑓𝑓𝐵𝐵
Grundgleichung der Abbildung mit dünnen Linsen:
1
𝑔𝑔
1
𝑏𝑏
+ =
1
𝑓𝑓
⟺ 𝑏𝑏 =
𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑔𝑔−𝑓𝑓
Sammellinsen (konvex):
Bildkonstruktion: durch Parallelstrahl, Mittelpunktstrahl, Brennpunktstrahl.
Reelles und Virtuelles Bild:
Vergrößerung 𝑉𝑉 =
𝐵𝐵
𝐺𝐺
𝑏𝑏
𝑔𝑔
= − (Minuszeichen, da Bild invertiert)
Einsetzen der Grundgleichung: 𝑉𝑉 =
−𝑓𝑓
𝑔𝑔−𝑓𝑓
(wenn 𝑔𝑔 < 𝑓𝑓 erzeugt Sammellinse ein aufrechtes virtuelles Bild)
Zerstreuungslinsen (konkav):
Brennpunkte 𝐹𝐹𝐺𝐺 und 𝐹𝐹𝐵𝐵 sind vertauscht, da f negativ.
Da 𝑏𝑏 =
𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑔𝑔−𝑓𝑓
< 0 liefert Zerstreuungslinse ein virtuelles Bild; da 𝑉𝑉 =
−𝑓𝑓
𝑔𝑔−𝑓𝑓
> 0 aufrecht
Einlinsige optische Systeme (Lupe, Kamera)
Vergrößerung wird auf Verhältnis der Sehwinkel mit und ohne abbildendem Instrument definiert.
𝐺𝐺
𝐺𝐺
𝜀𝜀1 25𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜀𝜀1 =
𝑉𝑉 = =
𝜀𝜀0
25𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑓𝑓𝐿𝐿
𝑓𝑓𝐿𝐿
Zweilinsige optische Systeme (Fernrohr, Mikroskop, Diaprojektor)
𝜀𝜀0 =
Fernrohr (Objektiv erzeugt relles, invertiertes Bild B‘, Okular=Lupe vergrößert dieses): 𝑉𝑉 =
𝑓𝑓 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑓𝑓 𝐿𝐿
Zusätzlich Feldlinse im bildseitigen Fokus der Objektivlinse, um Strahlen auf Lupe (kleiner Radius) zu lenken (sonst
würden die Spitzen des Objekts nicht abgebildet!)
Mikroskop (Objektiv erzeugt vergrößertes relles Bild B‘, B‘ wird über Lupe betrachtet; es existiert virtuelles umgekehrtes
Bild des Objektes)
𝑉𝑉 =
𝐵𝐵
𝐺𝐺
= 𝑉𝑉𝐿𝐿 𝑉𝑉𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 =
𝐵𝐵
𝐵𝐵 ′
∙
𝐵𝐵 ′
𝐺𝐺
=
25𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑓𝑓 𝐿𝐿
∙ �−
𝑡𝑡
𝑓𝑓 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
�=−
400𝑐𝑐𝑚𝑚 2
𝑓𝑓 𝐿𝐿 𝑓𝑓 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
mit der Tubuslänge t (meist 16 cm)
Beugung
Beugung = Vielstrahlinterferenz aufgrund Berandungen und Struktur der Objekte.
Fresnel-Beugung (komplexe Interferenz) ist im Nahfeld zu sehen; Fraunhofer-Beugung (klare Struktur) im Fernfeld (auf
Schirm auffangbar)
Frauenhofer-Beugung am Einzelspalt
Frauenhofer-Beugung am Doppelspalt