Jahrgang 2000 Aufg. III

Leistungskurs Physik (Bayern): Abiturprüfung 2000 – Aufgabe III
Atomphysik
1. Laserbremsung eines Atomstrahls
In einem Atomofen befindet sich Cäsium-Gas der Temperatur T. Die mittlere
Geschwindigkeit der Teilchen beträgt v = 300
m
s
. Durch ein kleines Loch in der
Ofenwand tritt ein Strahl von Atomen in einen evakuierten Raum ein.
a) Skizzieren und erläutern Sie eine Versuchsanordnung, mit der die Geschwindigkeit der Cäsium-Atome nach Verlassen des Ofens bestimmt werden kann.
b) Welche Temperatur ergibt sich für den Ofen?
7 BE
5 BE
Die Atome sollen nun durch Resonanzabsorption von Photonen abgebremst
werden. Dabei geht ein Atom in einen angeregten Zustand über und übernimmt
gleichzeitig den Photonenimpuls. Zur Abbremsung wird der Atomstrahl entgegen
seiner Bewegungsrichtung mit einem gebündelten Laserstrahl der Wellenlänge
λ = 852 nm beleuchtet (siehe Zeichnung).
c) Welche Geschwindigkeitsänderung ∆v erfährt ein Cäsium-Atom bei der Absorption eines Photons? [zur Kontrolle: ∆v = 3,5mm / s ]
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Cäsium-Atome den Ofen mit der einheitlichen Geschwindigkeit v = 300 m/s verlassen. Die Teilchen werden innerhalb
der Strecke s = 100 cm auf die Endgeschwindigkeit v' = 50 m/s abgebremst. Der
Einfluss der Gravitation ist zu vernachlässigen. Nach einer mittleren Lebensdauer
von τ = 30 ns geht ein angeregtes Cäsium-Atom unter Aussendung eines Photons
wieder in den Grundzustand über und kann erneut ein Photon absorbieren.
d) Erklären Sie, warum trotz des dabei auftretenden Rückstoßes nach Mittelung
über viele Absorptions- und Emissionszyklen eine Abbremsung des Atoms
erfolgt. Wie viele Photonen werden für die Abbremsung eines Atoms benötigt?
[zur Kontrolle: N = 7,1 · 104]
e) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung und die Zeit für die Abbremsung
eines Atoms längs der Strecke s auf die Geschwindigkeit v' = 50 m/s
[zur Kontrolle: ∆t= 5,7 ms]
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4 BE
7 BE
6 BE
f) Mit einem Bremslaser der Leistung 10 m W (λ = 852 nm) werden 107 Atome
(praktisch gleichzeitig) abgebremst. Berechnen Sie, welcher Prozentsatz der
vom Laser in der Bremszeit ausgesandten Photonen von den Atomen absorbiert
wird.
g) Ermitteln Sie unter Berücksichtigung der mittleren Lebensdauer τ des angeregten Zustands, ob man mit entsprechend intensiverer Laserstrahlung bei gleich
bleibender Wellenlänge die Cäsium-Atome schon innerhalb der Strecke
s' = 10 cm abbremsen könnte. Begründen Sie Ihre Antwort.
2. Eindimensionaler Potentialtopf
In dem organischen Molekül β-Carotin können sich 22 Elektronen praktisch frei
entlang einer Kohlenwassserstoffkette bewegen, das Molekül aber nicht verlassen.
Das Verhalten dieser Elektronen kann näherungsweise durch das quantenmechanische Modell des eindimensionalen Potentialtopfs der Länge a beschrieben werden.
a) Leiten Sie einen Ausdruck für die möglichen Energien eines Elektrons in einem
solchen Potentialtopf her und erklären Sie den Begriff Nullpunktsenergie.
h2
[zur Kontrolle: E n =
n2 ]
8m e a 2
b) Beschreiben Sie mit einer Skizze den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Zustand n = 2.
c) Im Grundzustand sind die tiefsten der in Teilaufgabe 2 a berechneten Energieniveaus mit jeweils 2 Elektronen besetzt. Im Absorptionsspektrum von β-Carotin findet man eine Linie mit der Wellenlänge λ = 451 nm. Diese Linie entspricht dem Übergang vom Grundzustand des Moleküls in den ersten angeregten Zustand. Berechnen Sie die Länge der Kohlenwasserstoffkette.
2000-14
6 BE
6 BE
7 BE
5 BE
7 BE
Lösungen
1. a)
Ein Cäsium-Atom kann beide Schlitze ungestört durchfliegen, wenn es zum Zurücklegen der Strecke s zwischen den beiden Scheiben die gleiche Zeit ∆t benötigt, die für
die Drehung einer Scheibe um den Winkel ϕ erforderlich ist.
Für die Drehung gilt:
ϕ = ω · ∆t = 2πf · ∆t
Bewegung längs der Strecke s:
s
s
; ∆t = eingesetzt :
∆t
v
s
2 πfs
ϕ = 2 πf ⋅ ; v =
ϕ
v
v=
Alternativ: Versuch von Stern.
b) Mittlere kinetische Energie der Atome:
E kin =
m v2
3
1
kT = m v 2 ; T =
2
2
3k
Die Beziehung v = 0,92 v 2 war nicht gefordert.
m v2
3k
133 ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 ⋅ 300 2
T=
K = 480K
3 ⋅ 1,38 ⋅ 10 −23
T=
c) Die Absorption eines Photons führt zu einer Geschwindigkeitsänderung ∆v.
p Ph =
h
; ∆p Cs = m ⋅ ∆v
λ
2000-15
Impulserhaltung (Beträge):
h
h
;
= m ⋅ ∆v; ∆v =
λ
λm
6,63 ⋅ 10 −34
m
m
mm
∆v =
= 3,5 ⋅ 10 −3 = 3,5
−
s
s
852 ⋅ 10 9 ⋅ 133 ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 s
p Ph = ∆p Cs ;
d) Bei Rückkehr in den Grundzustand werden die Photonen von den angeregten Atomen
allseitig (isotrop) emittiert. Bei sehr vielen Zyklen treffen im Mittel auf jede Raumrichtung gleich viele emittierte Photonen. Durch die Emission gibt es deshalb im Mittel
keine Geschwindigkeitsänderung.
Eine Abbremsung erfolgt nur in Strahlrichtung.
Anzahl N der zur Abbremsung benötigten Photonen:
∆v ges
v − v'
=
∆v
∆v
300 − 50
N=
= 71000 = 7,1 ⋅ 10 4
3,5 ⋅ 10 −3
N=
e) Bewegungsgleichung für das Atom:
v ' 2 − v 2 = 2as; a =
a=
v '2 − v 2
2s
50 2 − 300 2 m
m
= −4, 4 ⋅ 10 4
2 ⋅1
s2
s2
Zeit ∆t für die Abbremsung:
a=
∆v
∆v
250
; ∆t =
; ∆t =
s = 5,7 ms
∆t
a
4, 4 ⋅ 10 4
f) Die Leistung des Lasers beträgt P = 10 mW
Emittierte Energie in 1 s:
E
; E = P ⋅ t; E = 10 ⋅ 10 −3 J
t
Energie eines emittierten Photons:
P=
E Ph =
h ⋅c
λ
Anzahl N der pro s emittierten Photonen:
N=
E
E⋅λ
=
;
E Ph
h ⋅c
N=
10 ⋅ 10 −3 ⋅ 852 ⋅ 10 −9
= 4,3 ⋅ 1016
6,63 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 ⋅ 108
2000-16
Anzahl n der in der Bremszeit ∆t = 5,7 ms emittierten Photonen:
n = N ⋅ ∆t; n = 4,3 ⋅ 1016 ⋅ 0,0057 = 2,5 ⋅ 1014
Zur Abbremsung von einem Atom braucht man nach 1.d) 7,1·104 Photonen.
Zur Abbremsung von 107 Atomen braucht man also:
n' = 107 · 7,1 · 104 = 7,1 · 1011 Photonen.
Prozentualer Anteil:
n ' 7,1 ⋅ 1011
=
= 2,8 ⋅ 10 −3 2,8‰ = 0, 28%
n 2,5 ⋅ 1014
1
g) Neue Beschleunigung a' = 10 · a, da die Beschleunigungsstrecke s ' = s beträgt. Die
10
jetzt benötigte Zeit ∆t' beträgt:
1
∆t ' = ∆t; ∆t ' = 5,7 ⋅10 −4 s
10
In dieser Zeit erfolgen N Stöße mit N = 7,1 · 104 aus Teilaufgabe 1.d). Mittlere Zeit τ'
zwischen 2 Stößen:
5,7 ⋅10 −4
∆t ′
; τ' =
s = 8ns < 30ns
τ' =
N
7,1 ⋅ 10 4
Die mittlere Lebensdauer im angeregten Zustand beträgt τ = 30 ns.
Da τ' < τ bleiben die Atome zu lange im angeregten Zustand.
Eine Abbremsung innerhalb der kürzeren Strecke s' ist also nicht möglich.
2. a) Für die Länge a des linearen Potentialtopfs gilt („stehende Welle“):
λ n h
nh
= ⋅ ;p=
2 2 p
2a
p2
1
mit E ges = E kin = mv 2 =
gilt :
2
2m
2
2
2
n h
h
E ges =
=
n2
4a 2 ⋅ 2m 8ma 2
Der niedrigste Wert für Eges ergibt sich für den kleinstmöglichen Wert von n, nämlich
n = 1, und heißt Nullpunktsenergie:
h2
E ges =
8 m a2
a = n⋅
b) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons ist bei
a
gleich Null, bei
2
a
3
x = und x = a am größten.
4
4
x=
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b)
c) Wegen der Besetzung mit jeweils zwei Elektronen sind die untersten 11 Niveaus
besetzt. Die Anregung erfolgt also von n = 11 auf n = 12:
E12 − E11 =
hc
h2
=
(12 2 − 112 )
λ 8ma 2
a=
hλ
(12 2 − 112 )
8mc
a=
6,63 ⋅ 10 −34 ⋅ 451 ⋅ 10 −9 ⋅ (12 2 − 112 )
m = 1,77 ⋅ 10 −9 m = 1,77 nm
8 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 3 ⋅ 108
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