Mechanische Schwingungen und Wellen

14.11.2011
Begriff mechanische Schwingung
• Eine mechanische Schwingung ist die periodische
Bewegung eines Körpers um seine Gleichgewichtslage.
• Dabei ändern sich mechanische Größen (z. B.
Auslenkung, Geschwindigkeit, Epot, Ekin ...) zeitlich
periodisch.
• Ursache:
Mechanische Schwingungen
und Wellen
Teil I - Schwingungen
– rücktreibende Kraft
– Trägheit
• Beispiele:
– Fadenpendel (rücktreibende Kraft = Gewichtskraft, durch
Trägheit Bewegung über Gleichgewichtslage hinaus)
– Federschwinger (rücktreibende Kraft = Federkraft)
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© Doris Walkowiak
Harmonische Schwingung
Kenngrößen der Schwingung
• Die rücktreibende Kraft ist zur Auslenkung y proportional
F
 kons tan t
y
F
• D … Direktionsgröße D 
y


• lineares Kraftgesetz: F  D  y
F~y
• Federschwinger: D … Federkonstante mit y = ∆ l
• Fadenpendel: für kleine Auslenkwinkel D 
mg
l
Größe
Formelzeichen
Einheit
Amplitude (maximale
Auslenkung)
ymax
m
Elongation (Auslenkung)
y
m
y = ymax  sin (t+φ0)
Periodendauer (Zeit für
eine vollständige
Schwingung)
T
s
T
t
n
Frequenz (Anzahl der
Schwingungen pro
Sekunde)
f
Hz
f
n 1

t T
Gleichung
Herleitung
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Beispiel 1
F mg


l
l
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Beispiel 2
An eine Spiralfeder wird ein Massestück von 200 g
angehängt, welche sich daraufhin um 7 cm ausdehnt.
Anschließend wird das Massestück in Schwingungen
versetzt, wobei die Amplitude 4 cm beträgt und in 15 s vier
vollständige Schwingungen absolviert werden.
Berechnen Sie die Federkonstante sowie Periodendauer
und Frequenz.
Stellen Sie die Schwingung grafisch dar.
D
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Beispiel Akustik
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m
s 2  28,03 N
0,07 m
m
0,2 kg  9,81
•
•
•
•
Ein Fadenpendel führt in einer halben Minute 6
Schwingungen mit einer Amplitude von 3 cm aus.
Berechnen Sie die Frequenz und die Periodendauer!
Zeichnen Sie das y-t-Diagramm für zwei Perioden!
Wie groß ist die Auslenkung nach 4 s?
Zu welchen Zeiten beträgt die Elongation 2 cm?
t 15 s

 3,75 s
n
4
n 1 4
f  
Hz  0,27 Hz
t T 15
T
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Lösung
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Bewegungsgesetze
Gleichung der Periodendauer
y( t )  y max  sin(   t  0 )
• Fadenpendel
T  2
l
g
• Federschwinger
T  2
m
D
v( t )  y max    cos(   t  0 )
a( t )   y max  2  sin(   t  0 )
mathematischer Zusammenhang:
dy
d2 y
v( t ) 
 y' ( t )
a( t )  2  y' ' ( t )
dt
dt
• Herleitungen
Planen Sie ein Experiment zur Bestimmung der
Fallbeschleunigung g!
GTR (z. B. ymax = 3 cm; f = 0,2 Hz; φ0 = 0):
Y1=3*sin(2*π*0.2*x)
WINDOW (0 < x < 10; -5 < y < 5)
Y2=nDeriv(Y1,X,X)
Y3=nDeriv(Y2,X,X)
• Welche Messwerte müssen aufgenommen werden?
• Wie erreicht man ein möglichst genaues Ergebnis?
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Excel-Tabelle
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Protokoll
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Energieumwandlungen
Resonanz
ungedämpfte Schwingung:
• einmalige Energiezufuhr  Eigenschwingung mit
Eigenfrequenz f0
• Epot + Ekin = konst. (keine Reibung), Amplitude im y-tDiagramm ist konstant
Clixx
gedämpfte Schwingung:
• Epot + Ekin  Etherm („Energieverluste“ durch Reibung),
Amplitude nimmt ab, f bleibt etwa gleich
Beispiel gekoppelte Fadenpendel:
• Pendel1 schwingt mit Erregerfrequenz fE  Pendel2,
welches eine Eigenfrequenz f0 hat, wird zum
Mitschwingen angeregt (periodische Energiezufuhr) und
führt eine erzwungene Schwingung aus
• Interessant ist der Fall
ymax
f0 = fE  maximale Amplitude
Stoßdämpfer
Applet Resonanz
fe
f0
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Beispiele
Überlagerung von Schwingungen
Resonanz unerwünscht:
• Bauwerke (Tacoma Narrows Bridge)
• Gleichschritt über Brücke
• rotierende Maschinenteile (Unwucht)
Resonanz erwünscht:
• Zungenfrequenzmesser
• Schaukeln
• Glocke läuten
• In Abhängigkeit von der Amplitude, Frequenz oder
Phasenverschiebung kann es zur Verstärkung, Abschwächung oder
Auslöschung kommen. (Excel-Beispiel)
y ( t)
y
m
a x
in
=
y 1 ( t)
+
y 2 ( t)
c m
1 0 ,0
y ( t)
y 1 ( t)
y 2 ( t)
5 ,0
0 ,0
0
5
1 0
- 5 ,0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
t
in
s
- 1 0 ,0
Quellen: www.nwrain.com
http://www.cornelsen.de/physikextra/htdocs/Resonanz.html
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• Anwendung: Akustik, Lärmbekämpfung
• Überlagert man zwei harmonische Schwingungen mit der gleichen
Frequenz, entsteht eine harmonische Schwingung derselben
Frequenz.
• Überlagert man zwei Schwingungen, deren Frequenzen nur
geringfügig abweichen , entsteht eine Schwebung.
(Simulation; grafische Darstellung; GTR)
Schülerpräsentation Akustik
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Resonanz im Schwingkreis
XL  X C  2f  L 
Meißnersche Rückkopplungsschaltung
1
1
f
... Re sonanzfrequenz
2f  C
2 LC
Thomsonsche Schwingungsgleichung:
• Dem Schwingkreis wird
einmalig Energie
zugeführt
T  2 LC
Bild: wikipedia
• Die von der Spule
induzierte Spannung
steuert den Transistor
 Gleichspannung der
Batterie wird im Takt
der Wechselspannung
an den Schwingkreis
angelegt
S.278
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Rückkopplungsprinzip
Quellen
• Rückführung eines Teils des Ausgangssignals auf den
Eingang
http://www.abi-tools.de/themen/physik/physik.htm
Multiple Choice Fragen zu verschiedenen Themen
http://www.schule.at/index.php?url=kategorien&kthid=937
Applets zur Schwingung
http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/sinus1.html
Akustik, z. B. Abhängigkeit Tonhöhe und Lautstärke von Frequenz und Amplitude
http://www.br-online.de/wissen-bildung/telekolleg/faecher/physik/
Telekolleg multimedial des br
http://lbsneu.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/wellen/mechschwing
Applets, Demos …
http://www.schulserver.hessen.de/gladenbach/freiherr-vom-stein-europa/infothek/physik/Physik.html
Links
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline.html/video1/welcome.html
Videos von Experimenten
http://www.cornelsen.de/physikextra/htdocs/Resonanz.html
Einsturz der Tacoma Narrows Bridge
http://www.nwrain.com/%7Enewtsuit/recoveries/narrows/cb.htm
Tacoma Narrows Bridge heute
http://www.susannealbers.de/pk_applets/wwanne/06wissen-physik-wwanne.html
Simulation Wellenwanne
http://www.pi5.uni-stuttgart.de/lehre/versuche/versuche.html
Videos von Versuchen
• Mitkopplung (Verstärkung) oder Gegenkopplung
(Abschwächung)
• ungedämpfte Schwingung (Foucaultsches Pendel),
Meißnersche Schaltung, Kettenreaktion als Mitkopplung
• Fliehkraftregler, Heizungsregelung, Preisbildung aus
Angebot und Nachfrage als Gegenkopplung
• unerwünscht in Audiotechnik (Pfeifen), Schuldenfalle,
Resonanzkatastrophe
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Backups
•
•
•
•
•
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Lösung zum Beispiel Folie 6
t 30 s

 5s
n
6
1
f   0,2 Hz
T
y  y max  sin(2f  t )
T
Lösung zum Beispiel Folie 6
Herleitung Direktionskonstante Fadenpendel
Herleitung Gleichung Periodendauer Fadenpendel
Herleitung Gleichung Periodendauer Federschwinger
Schwebung mit dem GTR
 3 cm  sin( 2  0,2 s 1  4 s)
 2,85 cm
t1 
sin1(2 cm / 3 cm)
 0,58 s
2  0,2 s 1
t 2  2,5 s  0,58 s  1,92 s
t 3  5 s  0,58 s  5,58 s
t 4  7,5 s  0,58 s  6,92 s
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Herleitung Direktionskonstante Fadenpendel
Herleitungen Periodendauer
Fadenpendel:
• Fadenpendel
Kreisbewegung: FR = m · ar → FR = m · ω2 · r
F = m·g·sin α
kleine Winkel:
y mg
F  mg 
y
l
l
F  Dy
y
sin  
l
2 
mg
mit D 
 konst.
l

F
Dr D


m r m r m
  2f 
2

T

T
 
F FG
D
m
2
1
m
 2
 2

D
D
m
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Herleitungen Periodendauer
Schwebung mit dem GTR
• Federschwinger
• Y1 = sin(2*π*440*X)
• Y2 = sin(2*π*442*X)
• Y3 = Y1 + Y2
D
FG m  g

l
l

T  2
m
l
l
 2 m 
 2
D
mg
g
• Y1 und Y2 deaktivieren
• WINDOW
–
–
–
–
–
–
Xmin = 0
Xmax = 2000
Xscl = 500
Ymin = -3
Ymax = 3
Yscl = 1
• MODE - RADIAN
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