Lösung: Übungsaufgaben: 44 bis 47 (8. Übung)

Aufgabe 44
44. Bei einem Wasserkraftwerk wird durch Erhöhung des Wirkungsgrades von
92 % auf 94 % eine Steigerung der Nutzleistung um 3,5 MW erreicht.
Wie groß war die anfängliche Leistung?
Benutzt wird die Definition des Wirkungsgrades vor und nach der Erhöhung.
(1) η1 =
(2) η2 =
P … Ausgangsleistung
P1
mit P , P0 … davon nutzbare Leistung vor/nach der Erhöhung
1
2
P0
P2
analog nach der Erhöhung
P0
Gegeben ist
Gesucht ist P1
Aus (1) folgt:
η1 = 0,92
η2 = 0,94
ΔP = P2 − P1 = 3,5 MW (3)
Wir haben 3 Gleichungen und 3 Unbekannte (P0,P1,P2) Æ lösen
(1)* P1 = P0 ⋅η1
(1)* und (2)* in (3) einsetzen:
(2)* P2 = P0 ⋅η1
Aus (2) folgt:
ΔP = P2 − P1 = P0 ⋅η2 − P0 ⋅η1 = P0 ⋅ (η2 − η1 )
→ P0 =
(3)* in (1)* einsetzen: P1 = P0 ⋅η1 =
ΔP
(3)*
(η2 − η1 )
ΔP
⋅η1 = 161 MW
(η2 − η1 )
Anmerkung: Aus der Proportionalität zwischen Nutzleistung und Wirkungsgrad (siehe
Gleichung (1)) folgt auch direkt die Proportionalität von deren ‘Differenzen‘:
PNutz ∼ η → ΔPNutz ∼ Δη →
ΔP
ΔP
P
=
= 1 → P1 …
Δη η2 − η1 η1
Aufgabe 45
45. Vom obersten Punkt einer auf Ihrer Kreisfläche liegenden Halbkugel (Radius
r = 1,50m) gleitet reibungsfrei eine Punktmasse (Masse m) nach unten.
In welcher Höhe h (bezüglich der Unterlage, auf der die Kugel ruht) löst er
sich von der Kugeloberfläche ab?
Was passiert? Nachdem die Punktmasse (Anfangsgeschwindigkeit 0) losgerutscht ist,
wird ein Teil ihrer potentiellen Energie in kinetische Energie umgewandelt (reibungsfrei).
Man kann auch sagen: Sie wird durch die Hangabtriebskraft-Komponente ihrer Gewichtskraft beschleunigt.
Die Punktmasse wird immer schneller und damit die auf sie wirkende Zentrifugalkraft
(Die Bewegung um den Kugelmittelpunkt M ist eine Bewegung auf einer Kreisbahn)
größer, während die Normalkraft-Komponente ihrer Gewichtskraft (geometriebedingt)
immer kleiner wird. Sind beide Kräfte im Grenzfall betragsmäßig gleich groß, hebt die
Punktmasse ab.
1
Aus der Geometrie folgt:
FZ
2
v
Skizze:
α FN
h
α
r −h
FG
r
r
α
(1)
h FN
cos α = =
r FG
Aus dem geforderten Kräftegleichgewicht folgt:
(2) FZ = FN
E pot1 + Ekin1 = E pot 2 + Ekin 2
0 = E pot 2 − E pot1 + Ekin 2 − Ekin1
M
Aus dem Energieerhaltungssatz bzw.
der Energieumwandlung von 1Æ2 folgt:
0 = ΔE pot + ΔEkin
(3) -ΔE pot = ΔEkin
1
FZ
2
v
Skizze:
r −h
(1)
α FN
h
α
FG
r
r
α
Aus dem Energieerhaltungssatz bzw.
der Energieumwandlung von 1Æ2 folgt:
Dabei ist:
(2) in (1):
(4) und (5)
eingesetzt:
Aus der Geometrie folgt:
v2
(4) FZ = m ⋅
r
(5) FG = m ⋅ g
h FN FZ
=
=
r FG FG
v2
m⋅
h
v2
r
=
=
r m⋅ g r ⋅ g
v 2 = h ⋅ g (8)
cos α =
h FN
=
r FG
Aus dem geforderten Kräftegleichgewicht folgt:
(2) FN = FZ
(3) -ΔE pot = ΔEkin
m 2
(6) ΔEkin = ⋅ v
2
(7) ΔE pot = m ⋅ g ( h − r )
m 2
⋅v
(6) und (7) in (3):
2
v 2 = −2 ⋅ g ⋅ (h − r ) = 2 ⋅ g ⋅ (r − h)
(8) eingesetzt g ⋅ h = 2 ⋅ g ⋅ (r − h)
-m ⋅ g ( h − r ) =
h = 2 ⋅ ( r − h) = 2 ⋅ r − 2 ⋅ h
3⋅ h = 2 ⋅ r
2
h = ⋅ r = 1, 00 m
3
Aufgabe 46
46. Aus einem Salzbergwerk soll eine Pumpe Sole der Dichte ρ =1,15 g/cm3
auf die Höhe h=50,0 m heben. Mit welcher Leistung muss die Pumpe
betrieben werden, wenn sie die Stromstärke I = 3,60 hl/min (Volumen pro
Zeit) erzeugen soll?
Es geht hier darum, eine bestimmte Masse hochzuheben.
W
P=
mit W = FG ⋅ h
Hubarbeit
t
FG ⋅ h
→P=
mit der Gewichtskraft FG = m ⋅ g
t
m⋅ g ⋅h
→P=
mit der Masse m = ρ ⋅V (Dichtedefinition)
t
ρ ⋅V ⋅ g ⋅ h
→P=
t
V
= I Das ist gerade die gegebene (Volumen)-Stromstärke, die aussagt,
welches Volumen pro Zeiteinheit gefördert wird.
t
Definition Leistung:
(aus der Einheit ersichtlich)
→ P = ρ ⋅ I ⋅ g ⋅ h = 3,38 kW
Aufgabe 47
Berechnen Sie für das abgebildete System die Beschleunigung und die Seilkraft
bei einem Gleitreibungskoeffizienten μ = 0, 25 . Die Massen betragen
m1 = 2, 00 kg und m2 = 1, 00 kg
F
R1
1
FN 1 = FG1
Die beschleunigende Kraft ist die Gewichtskraft der Masse 2,
vermindert um die Reibungskraft der Masse 1, die der Beschleunigung
entgegenwirkt:
(1)
2
FG 2
FB = FG 2 − FR1 = FG 2 − μ ⋅ FN 1 = m2 ⋅ g − m1 ⋅ g ⋅ μ
Beschleunigt wird nach dem Newton‘schen Grundgesetz, d.h. beide über das
straffe Seil verbundene Massen werden beschleunigt.
.
FB = (m1 + m2 ) ⋅ a
FB = (m1 + m2 ) ⋅ a = m2 ⋅ g − m1 ⋅ g ⋅ μ
m2 ⋅ g − m1 ⋅ g ⋅ μ
= 1, 635 m/s 2
a=
(m1 + m2 ) ⋅
Gleichung (1) eingesetzt
Berechnung der Seilkraft:
Innerhalb eines gespannten Seiles wirkt an allen Stellen des Seiles die gleiche Seilkraft
bezüglich ihres Betrages. Die Richtung kann durch Umlenkrollen verändert werden.
Das bedeutet, wir können gedanklich das Seil aufschneiden und die Seilkraft getrennt
an einer der beiden Seiten berechnen.
Setzen wir uns in das beschleunigte Bezugssystem ‘Seil‘ an der Masse 1, so muss
die Summe aller angreifenden Kräfte gleich Null sein, da die Masse 1 sich nicht
bewegt. Der Seilkraft wirken die Reibungskraft der Masse 1 und die Trägheitskraft der
Masse1 entgegen. Folglich gilt:
FS + FT 1 + FR1 = 0 mit
FT 1 = −m1 ⋅ a
FR1 = − μ ⋅ FN
FT 1
FR1
Das Minuszeichen bei der Reibungskraft zeigt die
Gegenrichtung zur Beschleunigung an.
Damit:
FS a
1
FS
FN 1 = FG1
FS = − FT 1 − FR1 = m1 ⋅ a + μ ⋅ m1 ⋅ g = 8, 2 N
2
a
FT 2
FG 2
Anmerkung:
Betrachtet man das System von außen (ruhender Beobachter), so muss die Seilkraft
die
Reibungskraft der Masse 1 überwinden und zusätzlich die Beschleunigung a der
.
Masse 1 hervorrufen:
FS = m1 ⋅ a + FR1 = m1 ⋅ a + μ ⋅ m1 ⋅ g = 8, 2 N
Anmerkung 2:
Die selben Überlegungen für den Angriffspunkt an der Masse 2 ergeben für den
mitbeschleunigten Betrachter eine Seilkraft, welche die Gewichtskraft der Masse 2
ausgleichen muss, vermindert um die Trägheitskraft der Masse 2. Die Trägheit
vermindert somit die notwendige Seilkraft: Hier haben die Trägheitskraft und die
Seilkraft die gleiche Richtung. Folglich:
FT 2 = −m2 ⋅ a
FT 1
FS + FT 2 + FG 2 = 0 mit:
FG 2 = m2 ⋅ g
FR1
FS = − FT 2 − FG = m2 ⋅ a − m2 ⋅ g = −8, 2 N
1
FS a
FS
FN 1 = FG1
2
Das Minuszeichen sagt aus, dass die Seilkraft entgegen der
Bewegungsrichtung wirkt.
FT 2
FG 2
Letzte Anmerkung
Die analogen Überlegungen für den Angriffspunkt an der Masse 2 ergeben für den
außenstehenden Betrachter eine notwendige Seilkraft, die der beschleunigenden
Gewichtskraft der Masse 2 entgegenwirkt, so daß insgesamt nur mit a beschleunigt
wird.
m2 ⋅ a = FG 2 − FS → FS = FG 2 − m2 ⋅ a = m2 ⋅ g − m2 ⋅ a = 8, 2 N
a