Rotation eines starren Körpers

⃗ , J − Trägheitsmoment und Drehimpuls
⃗̇ M
2.23 Rotation eines starren Körpers: ω
zip02-72//VORLESUNGEN/mewae-aktScr/Kap2_23/kap2_23_fs7 221103
Benötigte Formeln:
⃗ × B
⃗  = A
⃗C
⃗ B
⃗B
⃗
⃗×C
⃗ − A
⃗ C
1.A
⃗ B
⃗ = B
⃗×A
⃗ = C
⃗ A
⃗×B
⃗→A
⃗×B
⃗, C
⃗ →D
⃗×C
⃗ C
⃗   für A
⃗, B
⃗→C
⃗:
2.A
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
3.A × BC × D = ACAD − BCAD  für C = A, D = B:
⃗×B
⃗ 2B
⃗B
⃗ 2 = A
⃗ 2 − A
⃗ 2
4.A
Einleitende Anmerkung.
Die Bewegung eines starren Körpers kann durch Translation des Schwerpunkts, die den Gesetzen für die
Bewegung eines Massenpunktes gehorcht, und der Rotation des Körpers um den Schwerpunkt beschrieben
⃗ , der
⃗ ) ist ein Drehmoment M
werden. Ursache für eine Rotation (Änderung der Winkelgeschwindigkeit ω
⃗ wird durch das Trägheitsmoment J beschrieben.Während bei
Widerstand gegen eine solche Änderung von ω
der Translation der Widerstand eines Körpers gegen eine Änderung der Geschwindigkeit durch die skalare
Größe sdeiner trägen Masse beschrieben wird, sind die Verhältnisse bei der Rotation komplizierter: zu jeder
Rotationsachse ⃗e z gibt es ein dazugehöriges Trägheitsmoment J z des Körpers. Überträgt man auch die
⃗
Beziehung F = dp
mit dem daraus resultierenden Erhaltungssatz für den Impuls in abgeschlossenen Systemen
dt
p definiert wird, so wird es
in analoger Weise auf die Drehbewegung, in dem ein Drehimpuls als ⃗
L := ⃗r × ⃗
erforderlich, ein Trägheitsmoment mit 9 Komponenten einzuführen, um den Zusammenhang zwischen
⃗ vollständig zu beschreiben.
Drehimpuls und der Massenverteilung des Körpers bei einem gegebenen ω
⃗ und resultierender
Im folgenden soll zunächst der schon behandelte Zusammenhang zwischen Drehmoment M
⃗
dω
Änderung der Winkelgeschwindigkeit dt in Abhängigkeit vom Trägheitsmoment J bei einer Rotation um eine
feste Achse ⃗e z  für einzelnes Teilchen in ⃗r noch einmal allgemein dargestellt werden:
⃗ kann wirken, andere Komponenten werden durch Gegenkräfte
Feste Achse durch ⃗e z : nur z-Komponente von M
im Lager kompensiert.
⃗ = Me⃗z mit M = ⃗r × F
⃗⃗e z = ⃗e z ⃗r × F
⃗
M
nach Gl. 2

=
⃗⃗e z × ⃗r = F
⃗⃗e t |e⃗z × ⃗r| = F t |e⃗z × ⃗r|
F
(*)
⃗ = F t |e⃗z × ⃗r|e⃗z darin wird F t jetzt durch dω = ω̇ ausgedrückt:
M
dt
⃗ × ⃗r⃗e t  = m dtd ω⃗e z × ⃗r⃗e t  = m dtd ω|e⃗z × ⃗r|e⃗t⃗e t  = m dtd ω|e⃗z × ⃗r| = m|e⃗z × ⃗r| ddtω
F t = ma t = m dvdtt = m dtd ω
=const obwohl ⃗r = ⃗rt
⃗ = m|e⃗z × ⃗r|2 ω̇ ⃗e z
in (*) eingesetzt: M
ω̇ =
⃗r
Für ein System von Teilchen gilt entsprechend:
Jz =
∑m
⃗ × ⃗e z  2 =
i r i
∑m ρ
i
2
i
M
m|e⃗z ×⃗r|2
mit ρ i =∣ ⃗r i × ⃗e z ∣
=
M
Jz
mit J z = m|e⃗z × ⃗r|2 für eine einzelne Masse in
Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung ⃗rm )
Jz =
∫
V
ρ 2 mdm =
∫
V
|e⃗z × ⃗rm|2 dm
Trägheitsmoment eines Körpers bei Rotation um
z-Achse
Drehimpuls:
⃗ = ⃗r × F
⃗ = ⃗r × ma⃗ = m⃗r × ⃗a = m⃗r ×
Es war: M
= dtd ⃗r × mv⃗ = dtd ⃗r × ⃗p = dtd ⃗L mit
dv⃗

dt
= m dtd ⃗r × ⃗v ...( da ⃗v × ⃗v = 0! )
⃗L := ⃗r × ⃗p ...Drehimpuls
⃗ = 0 : ⃗p = const. : für M
⃗ = 0 : ⃗r × ⃗p = const.
dann ist analog zu: F
⋅ Auch eine geradlinige Bewegung mit ⃗
p = const hat daher i.a. einen Drehimpuls!
⃗ = dL
M
dt
⃗
⃗ durch ω
⃗ × ⃗r eingesetzt:
⃗ ausgedrückt: ⃗v = ω
Jetzt wird L
⃗L = m⃗r × ⃗v = m⃗r × ω
⃗ r 2 − ⃗r⃗r ⋅ ω
⃗ × ⃗r = mω
⃗  wegen(1).
⃗
⃗!
Wichtig: Das resultierende L ist also i.a. nicht parallel zu ω
Anschauliche Erklärung: Gesamter Drehimpuls steht senkrecht auf ⃗r und ⃗e t : dann muß gelten ⃗
L⃗e r = ⃗
L⃗e t = 0
⃗L = mr 2 ω⃗e ω − mr 2 ω⃗e r⃗e ω ⃗e r | ⋅⃗e r ⇒ mr 2 ω⃗e ω⃗e r − mr 2 ω⃗e r⃗e ω  ⃗e r⃗e r = 0 q.e.d.

1
⃗ Dabei ist mr 2 = J ω das Trägheitsmoment bezüglich der durch ω
⃗
⃗ gilt offensichtlich: ⃗L = mr 2 ω
Für ⃗r ⊥ ω
definierten Achse wie oben definiert.
⃗ nicht parallel zu ω
⃗ : jede Komponente von ω
⃗ kann Beitrag zu jeder Komponente von L geben!
Wenn L
allgemein daher : L k =
∑J
kl ⋅
ωl
mit k, l = 1, 2, 3
J kl ....Trägheitstensor
L, der nicht in der
Aber: bei Symmetrie des Körpers um ⃗e z : zu jedem ⃗r gibt es ein ⃗r , dessen Beitrag zu ⃗
⃗∥ω
⃗
Rotationsachse liegt, denjenigen von ⃗r kompensiert: Für eine Symmetrieachse gilt also immer: L
′
⃗ gilt: ”Hauptträgheitsachsen” (ein
Wichtig: es gibt für jeden Körper 3 orthogonale Achsen, für die ⃗
L∥ω
körpereigenes System)
∑
die J kl bezüglich einer beliebigen Achse sind folgendermassen definiert:
J kk = ∫r 2 − x 2k dm für k = 1, 2, 3 , r 2 = x 2k , also z.B.
Jzz = y 2 + z 2 dm = ρ 2 dm
∫
∫
∫
J kl = − x k x l dm für k ≠ l
⃗ -Richtung als z-Achse gewählt: ω
⃗ = ω ⋅ ⃗e z
(Ein Beispiel zum allgemeinen Fall: z.B. ω
⃗L = mr 2 ω⃗e z − mω ⋅ ⃗r⃗r⃗e z  davon wird hier jetzt z.B. die z-Komponente bestimmt: ⋅⃗e z
L z = mr 2 ω ⋅ 1 − mω⃗r⃗e z ⃗r⃗e z  = mr 2 ω − ω⃗r ⋅ ⃗e z  2  = mω⃗r⃗r ⋅ ⃗e z⃗e z  − ⃗r ⋅ ⃗e z  2  nach (4.) ist dies:
= mω⃗r × ⃗e z  2 = J zz ⋅ ω mit J zz = m⃗r × ⃗e z  2 ...Trägheitsmoment bzgl. z-Achse,
⃗ = ω ⋅ ⃗e z , also ein ω
⃗ nur
J zz ... Beitrag von ω z zur z_Komponente des Drehimpulses L z , denn wir hatten ja ω
in z-Richtung angenommen und dazu die L z - Komponente berechnet, oder formal:
⃗ = ω ⋅ ⃗e z : L z = J zl ⋅ ω l = J zz ⋅ ω z wegen ω l = δ zk ω k .
Für ω
Die Diagonalelemente des Trägheitstensors = J kk mit k = x, y, z sind also die Trägheitsmomente J k bezüglich
∑
der k-Achse (k = x,y,z), J k = m⃗r × ⃗e k  2
wie oben definiert.)
Wenn man im System der Hauptträgheitsachsen die Trägheitsmomente J bezüglich einer beliebigen Achse ⃗e k
berechnet, so liegen die Punkte const ⃗e k auf einem Ellipsoid (”Trägheitsellipsoid”).
J
Mit dem Abstand R der Ellipsoidoberfläche vom Bezugspunkt entlang der Richtung ⃗e k kann also dann das
Trägheitsmoment als J = const
bestimmt werden. Schliesst die Achse mit den Hauptträgheitsachsen die Winkel
R2
α, β und γ ein, so kann das Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse sehr einfach aus den Trägheitsmomenten
bezüglich der Hauptträgheitsachsen (den Hauptträgheitsmomenten des Körpers) J a , J b und J c berechnet
werden als:
J k = J a cos 2 α + J b cos 2 β + J c cos 2 γ
Steiner’scher Satz:
J bezüglich Achse durch Schwerpunkt aus Symmetriegründen meist relativ leicht berechenbar.
Methode, J bezüglich anderer Achse zu berechnen: 0 liegt auf Achse, die nicht durch SP geht und durch ⃗e c
gegeben ist.
r⃗i = ⃗r sp + ⃗r ∗i
Jc =
m i r⃗i × ⃗e c  2 =
m i ⃗r sp × ⃗e c  + ⃗r ∗i × ⃗e c  2 =
m i ⃗r sp × ⃗e c  2 + ⃗r ∗i × ⃗e c  2 +
2
+2⃗r sp × ⃗e c ⃗r ∗i × ⃗e c  = m i ⃗r sp × ⃗e c  + m i ⃗r ∗i × ⃗e c  2 + 2⃗r sp × ⃗e c  m i⃗r ∗i × ⃗e c 
∑
∑
∑
ρ SP
∑
∑
J SP
⃗ 2sp +J sp∣∣⃗e c
J c = M ⋅ρ
∑
= 0 per def.
Beispiel zum Steinerschen Satz
Wie groß ist J c ?
Jc =
1
2
MR 2 + MR 2 =
3
2
MR 2
Kinetische Energie bei Rotation:
⃗ × ⃗r 2 = 12 mω 2 r 2 ⃗e ω × ⃗e r  2 =
W kin = 12 mv 2 = 12 mω
da∣ ⃗e ω × ⃗e r ∣= sin α, ρ = r ⋅ sinα
1
2
mρ 2 ω 2
System v. Teilchen:
W kin = 12 J⋅ω 2
mit
J=
∑
m i ⋅ ρ 2i
ρ⃗ i = |r⃗i × ⃗e ω |e⃗r ; ρ i = r i ⋅ sin α i