Experimentalphysik E1

Experimentalphysik E1
27. Nov.
Bewegung des starren Körpers
Alle Informationen zur Vorlesung unter :
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html
Dynamik starrer ausgedehnter Körper
Körper als Menge von Volumenelementen ΔVi
V = ∑ ΔVi
Mit der Dichte ρ =
i
Δmi
ΔVi = ∑ ρ i ΔVi
ΔVi
i
M = ∑ Δmi = ∑
i
i
€
€
Δm
folgt
ΔV
€
rs 
ri
€
€
€
Grenzprozess für ΔV → 0
€
V =€lim
ΔVi →0
∑ ΔV = €∫ dV = ∫∫∫ ρ (x, y, z) dx dy dz
i
i

rS =
∑
€ 1
 
=
r
ρ (r ) ΔV
∑
∑ Δm M
i
i
i
∫ ρ dV
V
lim ΔV → 0

ri Δmi
i
=> M =
V
Massenschwerpunkt
€
S
i
i
i
 €1
rS =
M
∫
V

1
r dm =
M
∫
V
 
r ρ (r ) dV
Beispiel: Spkt Homogene Halbkugel
OBdA MP in O
z
dV
z θ r
‘
€
x
% 0 (
*
1'
ρ = const ⇒ r s = ' 0 *
V'
*
z'dV
∫
&
)
y
z'= r cosθ
€
€
€
$
'
0
)
1&
rs = &
0
)
V&
)
r
cos
θ
dV
%∫
(
Beispiel: Spkt Homogene Halbkugel
OBdA MP in O
dV = r sin θdϕ • rdθ • dr
r
r
€
r
r
&
)
(
+
0
+
1(
+
rs = (
0
V ( R π 2 2π
+
(( ∫ ∫ ∫ r 3 cos θ sin θdϕdθdr ++
'r=0θ =0ϕ =0
*
mit sin 2θ = 2 cosθ sin θ
R
€
$
&
1
&
= €
3
2 ⋅ πR &
3
&2 π
%
0
0
11
24
' $
'
) & 0 )
)=& 0 )
) &3 )
R 4 ) & R)
( %8 (
Die Bewegung eines starren Körpers

 
riS = ri − rS
d  
 
riS = viS = vi − vS
dt

Starrer Körper: riS = const.
€
€
€

d(riS 2 )
= 2 r • v iS = 0 ⇒ r iS ⊥ v iS
dt
€
 
 

 
=> vi = vS + (ω × riS )
=> viS = (ω × riS )
Bewegung des Translation des Rotation um den
+
=
starren Körpers
Schwerpunkts
Schwerpunkt
€
6 Freiheitsgrade:
€
3
€
+
3
Trägheitsmoment einer kontinuierlicher Massenverteilung
2
2
I = ∑ mi ⋅ ri ⇒ ∫ r dm
i
r
Achse
dm
€
Trägheitsmoment und Rotationsenergie
kinetische Energie eines Massenelements
1
1
2
Ekin (Δmi ) = Δmi vi = Δmi ri⊥2 ω 2
2
2
⇒  Rotationsenergie:
€
(1 N
+ 1 2 2
2 2
Erot = lim * € ∑ Δmi ri⊥ω - = ω ∫ r⊥ dm
N→∞ 2
, 2 V
i=1
Δmi →0)
mit dem Trägheitsmoment
I=
2
r
∫ ⊥ dm =
V
und dem Drehimpuls:
€
€
2
r
∫ ⊥ ρ dV
V
€
Li = ri⊥ × Δmi vi = ri⊥2 Δmi ω => L = ∑ Li = I ω
(
)
2
1
L
Erot = I ω 2 =
2€
2I
€
€
€
€
Der Steiner‘sche Satz
Trägheitsmoment eines Körpers ist achsenabhängig
⇒  für Achse B||A (A geht durch S)
2
r
∫ ⊥ dm=
IB =
V
=
2
⊥S
∫r
V
2
r
+
a
∫ ( S⊥ ⊥ ) dm
V
dm + 2a ∫ r⊥S dm +
€
IB = IS + a 2 M
V
=0
Def. Spkt
∫a
⊥
2
dm
V
Das Trägheitsmoment IBeines Körpers bei
Rotation um eine beliebige Achse B ist
gleich dem Trägheitsmoment IS um eine zu
B parallele Achse durch den Schwerpunkt
plus dem Trägheitsmoment der in S
vereinigten Gesamtmasse M bezüglich B
Beispiel 1 : dünne Scheibe
Ix = ρ
∫ (y
2
V
+ z ) dV≈ ρ
2
∫y
dV
V
Iy = ρ ∫ ( x + z ) dV ≈ ρ
V €
2
2
2
∫
x 2 dV
V
R
Iz = ρ ∫ ( x + y ) dV = ρ
€
V
2
2
ρ π h R4
1
=
=
M R2
2
2
€
€
2
r
∫ dV= 2π h ρ
V
3
r
∫ dr
0
=> Iz ≈ Ix + Iy
für flache Körper
Beispiel 2 : Hohlzylinder
R
Iz = ρ
2
r
∫ dV= 2 π h ρ
V
3
r
∫ dr
R−d
π
4
4
= h
ρ R − (R − d)
2
€
≈ 2 π h ρ R 3 d = M R2
[
€
€
]
Beispiel 3 : Vollzylinder
€
R
π
2
3
ρ R 4≈
Iz = ρ ∫ r dV= 2 π h ρ ∫ r dr= h
2
V
0
1
MR2
2
Beispiel 4 : dünner Stab
Ia = ρ
∫
V
x 2 dV
L
2
= A ρ ∫ x 2 dx
−
€
L
2
1
1
3
=
ρAL =
M L2
12
12
€
€
Beispiel 5 : zweiatomiges Molekül
€
=> ISa = m1r12 + m2 r22 = µ R 2
Reduzierte Masse:
€
€
m1 m2
µ=
m1 + m2
Beispiel 6 : Kugel
IS = ρ
2
a
∫ dV
V
R
= ρ∫
π 2π
4
3
∫ ∫ r sin ϑ
dr dϑ dϕ
r=0 ϑ =0ϕ =0
€
€
€
π
1
=
ρ R 5 2 π ∫ sin 3ϑ dϑ
5
ϕ =0
2
2 4
=
ρR
π R3= 2 M R2
5
3
5
€
Bewegungsgleichung der Rotation eines starren Körpers
Drehimpuls eines Massenelements:
(
)
(
L i = ri⊥ × p i = Δm i ri⊥ × vi
)
= Δm iri⊥2 ω
€
€
dL i € %
dvi (
= Δm i ' ri⊥ ×
*
dt
dt )
&
(
= ri⊥ × Ft
D i ||
€
)
= Di ||
2 dω
= D i = Δm i ri⊥
dt
€
Def.
∆mi
dω
d 2ϕ
=> D = I
=I 2
dt
dt
⇒  Für D= const, Bewegungsgleichung analog zur Translationsbewegung:
D 2
ϕ =
t + ω0 t + ϕ 0
2I €
Beispiel 1: Rollen am Hang
Trägheitsmoment nach Satz von Steiner:
I = IS + M r 2
(SpktsBewegung ist Rotation von M um mitbewegte
Drehachse A , Alternative Herleitung siehe z.B. Gerthsen)
€
Drehmoment:
Dω = M g r sinα = (IS + M r 2 ) ω˙
Translationsbeschleunigung des Schwerpunkts:
€
€
g sinα
M g r sinα
d2
=
a = 2 €s = r ω˙ = r
2
IS
IS + M r
dt
1+
M r2
⇒  Beschleunigung ist im Vergleich zu einem
reibungsfrei rutschenden
Körper reduziert
um
€
b = 1+ IS / M r 2
€
Hohlzylinder: b = 2
Vollzylinder: b = 3/2
Kugel: b = 7/5
Die schiefe Ebene
Ekin ( Rotation) + Ekin (Translation) = ΔE pot
Iω 2 mv 2
+
= mgΔh
2
2
€
€
Beispiel 2 : Maxwell‘sches Rad
Trägheitsmoment nach Satz von Steiner:
1
I =
M R2 + M r2
2
Drehmoment:
D = r × Mg
Translationsbeschleunigung des Schwerpunkts:
g
r2 M g
d2
rD
=
=
a=r 2ϕ =
2
dt
I 1 M R 2 + M r 2 1+ R
2
2r 2
Energiebilanz: M g h = E kin = E trans + E rot
2
1
2
r
M r 2ω 2 = M g h 2
€2
€ R + 2r 2
€
€
weil
2
2
2
2
R
1
I ω2 = M g h 2
R + 2r 2
2
2
2
r ω = vh = 2ah = 2gh /(1+ R / 2r )
Drehschwingung um feste Achse
Drehmoment: D(ϕ ) = -Dr
ϕ
Richtmoment
Bewegungsgleichung: I0ϕ˙˙ + Dr ϕ = 0
# D &
I0
r
t ( => T0 = 2 π
Ansatz: ϕ (t ) = a sin%
Dr
$ I0 '
€
€
Mit Probe: I1 = I0 + IA
€
€
€I + I
=> T1 = 2 π 0 A
Dr
IA
=> T − T = 4 π
Dr
2
1
€
2
0
2
IA
=> Dr = 4 π 2
T1 − T02
2
Mit steinerschem Satz => Vermessung beliebige Körper
Analogien zwischen Translations- und Rotationsbewegungen
Translation
v
Ort
r 
Geschwindigkeit v v
Beschleunigung a
Masse m 

d
p

F
=
m
⋅
a
=
Kraft dt


Impuls p = m ⋅ v
m 2
⋅ v
Kinetische Energie
2
Rotation
Winkel
Winkelgeschw.
Winkelbeschl.
ϕ
v
ω
v
α
2
I
=
m
r
∑ ii
Trägheitsmoment

 dL
Drehmoment
M = I ⋅ α =
dt
v
v
Drehimpuls
L = I ⋅ω
I
2
Rotationsenergie
⋅ω
2