QM- Muschik - Franz-Josef Schmitt – und mein Blog

Theorie II - Quantenmechanik
Skript zur Vorlesung
von Prof. Dr. Muschik
erweitert um zahlreiche Kapitel zur
fortgeschrittenen Quantenmechanik
Franz- Josef Schmitt
0. Einleitung
0.1 Überblick
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Materiewellen
Observable
Unitärer Raum
Anwendung
Dynamik
Drehimpuls und Spin
STörungsrechnung
Identische Teilchen
Statistischer Operator
Streuprozesse
1.
Materiewellen
1.1 Beziehungen von de Broglie
-
Lichtelektrischer Effekt
-
Hallwachs 1888
Lenard 1900
--à Lichtquantenhypothese von Einstein
Comptoneffekt 1923 -> relativistischer, inelastischer Stoß zwischen Elektronen und Photonen
Für Licht gilt:
E = hω
p = hk
De Broglie, 1924
Auch für Elektronen gilt:
E = hω
p = hk
mit
E = mc 2 − eV
p = mv − eA
Mit
B =∇× A
m0
m=
2
v
1− 
c
1.2 Partikel und Welle
Nichtrelativistischer Grenzfall:
E + eV =
m 2
v = hω + eV
2
( p + eA )2 = m 2 v 2 = (hk + eA )2
Dispersionsrelation
2
h 
e 
e
ω = ω (k ) =
k + A − V
2m 
h 
h
è Wellentheorie für Elektronen
Ansatz für ein nichtrelativistisches Wellenfeld
Ψ ( r , t ) = A ( r )e i [S ( r ) −ωt ]
ω = ω (k )
k := ∇ S ( r )
Bei ebenen Wellen:
S (r ) = k r
Gruppengeschwindigkeit
v g := grad k ω ( k ) =
∂
ω (k )
∂k
Satz
Aus der De- Broglie beziehung für das Wellenfeld:
Ψ ( r , t ) = A ( r )e i [S ( r ) −ωt ]
ω = ω (k )
E = hω
p = hk
folgt durch Identifizierung der Gruppengeschwindigkeit des Wellenfeldes mit der Teichengeschwindigkeit:
dr
dt
v g ≡ v :=
Damit folgt eine Bewegungsgleichung für das Teilchen:
m
dv
= −e[E + v × B ]
dt
1.3 Schrödinger - Gleichung
Satz:
Ein Wellenpaket
Ψ ( r , t ) = ∫ B (k ) ei [k r −ωt ]d 3k
ω = ω (k )
Das der Differentialgleichung
ih
∂
Ψ
∂t
2
t
= Hˆ Ψ
t
=
1 h

 ∇ + eA  Ψ
2m  i

t
− eV Ψ
t
genügt, erfüllt die Dispersionsrelation
2
h 
e 
e
ω (k ) =
k + A − V
2m 
h 
h
Somit ergibt sich die Dispersionsrelation aus der Schrödingergleichung kombiniert mit der De BroglieBeziehung.
Läßt man in der Schrödingergleichung
Gleichungen
h gegen Null laufen, so folgen die HAMILTON- JACOBISCHEN
Satz: Genügt ein Wellenfeld der Schrödingergleichung, so gilt eine globale BILANZGLEICHUNG:
d
dt
∫G
Ψ dV = − ∫
2
∂G
j ⋅ df
Mit
j :=
Für
1 
h

h
 
Ψ *  ∇ + eA  Ψ − Ψ ∇ + eA Ψ *

2m 
i

i
 
G → R 3 abgeschlossenes System:
j = 0 weit draußen
→∫
∂G
→∫
j ⋅ df =0
2
G
Ψ dV = const
Annahme: ΨΨ* ∝ Massendichte
è Widerspruch zur Dissipation des Wellenpaketes, während die Massendichte nicht dissipiert.
è Das Wellenpaket kann zu to um xo lokalisiert sein ( Delta- Artig).
è Durch Dispersionsrelation kommt es dann zur Dissipation und die Wellenfunktion, beispielsweise eine
Gaußglocke im Betragsquadrat verbreitert sich um xo zu t1 > to
è keine Massendichte
Spaltversuch
Interpretation:
2
Ψ ist Wahrscheinlichkeitsdichte -> Bornsche Deutung:
g ( r , t ) = Ψ ( r , t ) Ψ * (r , t )
→ Pt (G ) = ∫ g ( r , t )dV
G
mit der Normierung
∫R
3
g ( r , t ) dV = 1
1.4 Grenzbedingungen
∫R
3
Ψ (r , t ) Ψ * ( r , t ) dV = 1
Also: Quadratintegrabel. Aber: Sie sollen im Unendlichen verschwinden
Satz:
Die Normalkomponente der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
Potenzials
(j
(1)
)
− j ( 2) ⋅ n = 0
j geht stetig durch Unstetigkeitsflächen des
Satz
A an der Unstetigkeitsstelle von V stetig: A (1) = A (2 )
(1)
so sind Ψ
= Ψ (2 ) und n ⋅ ∇ (1) Ψ = n ⋅ ∇ (2 ) Ψ hinreichende Bedingungen für die Stetigkeit der
Ist
Normalkomponente der Wahrscheinlichkeitsstromdichte.
Beispiel:
h2
−
ϕ´´+Uϕ = Eϕ
2m
Mit
U = Vo x ≥ 0
U = 0 x ≤0
I)
h2
ϕ´´= Eϕ ϕ I = A1 sin k1 x + B1 cos k1 x
2m
2mE
k1 2 = 2
h
II)
h2
ϕ´´= (E − V0 )ϕ ϕ II = A2 sin k 2 x + B2 cos k 2 x
2m
2 m( E − Vo )
2
k1 =
h2
Stetigkeitsbedingungen:
ϕ I ( 0) = ϕ II ( 0) → B1 = B2
ϕ I ´(0) = ϕ´ II (0) → k1 A1 = k 2 A2 à Somit: kein Eigenwertproblem !
Vorlesung vom 18.10.
Wiederholung:
De Broglie -> Dispersionsrelation <- Schrödingergleichung
2
 1 h

∂

ih Ψ = 
 ∇ + eA  − eV  Ψ =: HΨ
∂t

 2m  i

V ( x,t )
A (x , t)
∂
∂t
∫
Ψ * ΨdV = −
g (t )
j=
∫
j ⋅ df
∂g ( t )
1 
h

h
 
Ψ *  ∇ + eA Ψ − Ψ ∇ + eA Ψ *

2m 
i

i
 
Bornsche Deutung:
ρ ( x , t ) = Ψ * ( x , t )Ψ( x , t )
Hinreichende Grenzbedingungen:
A1 = A 2
Ψ1 = Ψ 2
n ⋅ ∇ 1Ψ = n ⋅ ∇ 2 Ψ
2. Observablen
Physikalische Grundgrößen
E→H
Man sucht nun Übersetzungsvorschriften
In der Klassischen mechanik
ρ (x, t )
∫ ρ ( x , t )dV = M
1
M
∫ ρ (x , t )dV = 1
Born:
Ψ * ( x , t )Ψ ( x , t )
∫ Ψ * ( x , t )Ψ( x , t ) = 1
Also
ρ
= Ψ *Ψ
M
2.1.1 Ortsoperator
Schwerpunkt:
R (t ) =
1
M
∫ r (t) ρ ( x , t )dV
↔ R (t ) = ∫ Ψ * ( x , t )rˆ (t )Ψ ( x , t )dV
( der Einteilchengesamtheit)
mit dem Ortsoperator
rˆ (t ) ↔ r ( t )
Allgemein:
ρ (x, t )
dV
M
~
Ψ * (x , t )FΨ( x , t )dV
F (t) = ∫ f (r , t)
↔ F (t) = ∫
Reine Herleitung, ein Programm, um Operatoren zu finden mit
~ ~
F = F (r , t , ∇, ∂ t , ∆)
2.12 Geschwindigkeitsoperator
Schwerpunktsgeschwindigkeit:
1 d
R& (t ) =
M dt
∫ r (t) ρ (r , t )dV = M ∫ [r& (t ) ρ (r , t ) + r (t)[ ρ& (r , t ) + ρ (r , t )∇ ⋅ v (r , t )]]dV
1
Mit der Kontinuitätsgleichung folgt:
[ρ& (r , t) + ρ (r , t )∇ ⋅ v (r , t )] = 0
Also:
1
R& (t ) =
M
∫ [r& (t ) ρ (r , t )]dV
für die Schwerpunktsgeschwindigkeit
Welche Bedeutung sollte jedoch
r& (t ) in der Quantenmechanik haben ? Schließlich gibt es keine Bahn in der
QM !
Als Quantisierungsvorschrift / Quantisierungsaxiom betrachten wir deshalb die Forderungen
r& (t ) = 0
∇⋅v = 0
d
:= ∂ t + v ⋅ ∇ = ∂ t
dt
Somit gibt es nur noch eine Zeitableitung
1
R& (t ) =
M
∫ [r (t ) ρ& (r , t )]dV
In der QM damit als Quantisierungsvorschrift:
[
]
& * r (t)Ψ + Ψ * r (t)Ψ
& dV
R& (t ) = ∫ Ψ
Mit Hilfe der Schrödingergleichung:
& = 1 HΨ
Ψ
ih
& * = − 1 H *Ψ *
Ψ
ih
1
 1

⇒ R& (t ) = ∫  − r (t ) H * Ψ * r (t )Ψ + Ψ * r (t ) HΨ dV
ih
 ih

Behauptung: Es gilt:
Ψ * ( x , t )Hϕ ( x , t ) − ϕ ( x , t )HΨ * ( x , t )
=
h

 h
h

h

∇ ⋅ Ψ * ( x , t ) ∇ − qA ϕ ( x , t ) − ϕ ( x , t ) ∇ + qA Ψ * (x , t ) =: ∇ ⋅ j
2mi 
i

i

 i
Speziell:
ϕ ( x , t ) = Ψ( x , t )
h
∇⋅ j
i
1 

h

h

j :=
Ψ * ( x , t ) ∇ − qA Ψ ( x , t ) − Ψ ( x , t ) ∇ + qA Ψ * (x , t )
2m 
i

i


Ψ * ( x , t )HΨ( x , t ) − Ψ( x , t )HΨ * ( x , t ) =
R& (t ) = ∫ [− r ( t )∇ ⋅ j ]dV
r (t ) ∇ ⋅ j = ∇ ⋅ (r (t ) j ) − j ⋅ ∇r (t )
∇r (t ) = 1
∫ − ∇ ⋅ [r (t ) j ]dV + ∫ jdV
∫ − ∇ ⋅ [r (t ) j ]dV = −∫ [r (t) ⋅ j]df = 0
&
⇒ R (t ) =
für abgschlossene Systeme !
Also:

1 
h

h

R& (t ) = ∫ j dV = ∫
Ψ * ( x , t ) ∇ − qA  Ψ( x , t ) − Ψ( x , t ) ∇ + qA  Ψ * ( x , t )dV
2m 
i

i


1 
h
h

ˆ
=∫
Ψ * ( x , t ) ∇ Ψ( x , t ) − Ψ ( x , t ) ∇Ψ * (x , t ) − 2Ψ * ( x , t )qA Ψ( x , t )dV
2m 
i
i

Dabei wurde bereits der Feldoperator
Aˆ = A eingeführt
Mit Hilfe von

h
h

∫ Ψ * ( x , t ) i ∇Ψ( x , t ) + Ψ( x , t ) i ∇Ψ * ( x , t )dV = ∫
h
∇{Ψ * ( x , t )Ψ( x , t )}dV = 0
i
( Das Integral ist vom Gaußschen Typ, kann als Oberflächenintegral geschrieben werden und verschwindet dann
für abgeschlossene systeme
kann man zu
R& (t ) eine Null addieren und schreiben:
1

h

R& (t ) = ∫ Ψ * ( x , t ) ∇ − qAˆ Ψ ( x , t )dV
m
i


Ein Vergleich mit dem Forschungsuaftrag von Born
ρ (x, t )
dV
M
~
Ψ * (x , t )FΨ( x , t )dV
F (t) = ∫ f (r , t)
↔ F (t) = ∫
zeigt uns, dass wir den geschwindigkeitsoperator gefunden haben.
Er lautet:
1 h
ˆ
vˆ (t ) :=  ∇ − qA 
m i

Die Veränderung des Schwerpunktes ist nun gerade als Erwartungswert des Geschwindigkeitsoperators zu
verstehen:
{
}
R& (t ) = ∫ Ψ * ( x , t )vˆ (t ) Ψ( x , t ) dV
2.13 Der zeitableitungsoperator ( Kringeloperator)
F ( t ) = ∫ Ψ * (x , t )Fˆ Ψ( x , t )dV
Existiert nun ein Kringeloperator der Form
F& ( t ) = ∫ Ψ * (x , t )Fˆ ° Ψ( x , t )dV ?
Wichtig:
F̂ ° ist nicht die Zeitableitung des Operators F̂ sondern, er ist der Operator, dessen Erwartungswert die
Zeitableitung des Erwartungswertes von F̂ liefert.
°
Das heißt: F̂ erzeugt die Zeitableitung F& (t ) auf der linken Seite
d
F& ( t ) = ∫ Ψ * ( x , t )Fˆ Ψ( x , t )dV = ∫ ∂ t Ψ * ( x , t )FˆΨ (x , t ) + Ψ * ( x , t )Fˆ Ψ( x , t )∇ ⋅ v dV
dt
v =0
( [
( [
])
⇒ F& (t ) = ∫ ∂ t Ψ * (x , t )FˆΨ ( x , t ) dV
=
]
∫ ([(∂ t Ψ * ( x , t ))FˆΨ( x , t )] + [Ψ * (x , t )(∂ t Fˆ )Ψ ( x , t )]+ [Ψ * ( x , t )Fˆ∂ t Ψ( x , t )])dV
& = 1 HΨ
Ψ
ih
& * = − 1 H *Ψ *
Ψ
ih
Betrachtung des ersten Gliedes:
[
]
− ∫ (H * Ψ * ( x , t ))FˆΨ ( x , t ) dV
addiere:
∫ [(Ψ * ( x , t ))HFˆΨ (x , t )]dV
)
Also:
∫ [(Ψ * ( x , t ))HFˆΨ (x , t )] − [(FˆΨ ( x , t ))H * Ψ * ( x , t )]dV
Mit
Ψ * ( x , t )Hϕ ( x , t ) − ϕ ( x , t )HΨ * ( x , t )
=
h

 h
h

h

∇ ⋅ Ψ * ( x , t ) ∇ − qA ϕ ( x , t ) − ϕ ( x , t ) ∇ + qA Ψ * (x , t ) =: ∇ ⋅ j
2mi 
i

i

 i
Folgt dann:
∫ [(Ψ * ( x , t ))HFˆΨ ( x , t )] − [(FˆΨ( x , t ))H * Ψ * (x , t )]dV = ∫ jdf
→0
für abgeschlossene Systeme
Dies bei Addition von
∫ [(Ψ * ( x , t ))HFˆΨ (x , t )]dV
Also gilt:
[
]
[
]
− ∫ (H * Ψ * ( x , t ))Fˆ Ψ( x , t ) dV = − ∫ (Ψ * ( x , t ))HFˆΨ ( x , t ) dV
Also:
[
=
∫
( )
]
  1


1
  − H * Ψ * ( x , t )  Fˆ Ψ( x , t ) + Ψ * ( x , t ) ∂ t Fˆ Ψ (x , t ) + Ψ * (x , t )Fˆ HΨ( x , t ) dV
ih




  ih
1
1


Ψ * ( x , t ) ∂ t Fˆ + Fˆ H − HFˆ Ψ( x , t )dV
ih
ih


F& ( t ) = ∫
[
]
1


F& ( t ) = ∫ Ψ * (x , t ) ∂ t Fˆ +
H , Fˆ  Ψ( x , t )dV
ih


Also haben wir den Kringeloperator:
[
1
Fˆ ° = ∂ t Fˆ +
H , Fˆ
ih
]
Der Ableitungsoperator
Vorlesung 23.10.02
Wiederholung
Von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik:
Übersetzungsvorschrift:
ρ (x , t )
= Ψ * ( x , t )Ψ( x , t )
M
ρ (x, t )
dV
M
Ψ * (x , t )Fˆ Ψ( x , t )dV
F (t) = ∫ f (r , t)
↔ F (t) = ∫
Der Übergang erfolgt mit Hilfe des
REYNOLDSCHEN Transporttheorems und mit der Annahme:
r& (t ) = 0
∇⋅v = 0
d
:= ∂ t + v ⋅ ∇ = ∂ t
dt
Sowie der Schrödingergleichung
& = 1 HΨ
Ψ
ih
& * = − 1 H *Ψ *
Ψ
ih
Das Reynoldsche Transporttheorem / Expliziter Übergang:
Mit
d
∂
&
Ψ= Ψ=Ψ
dt
∂t
d
d  fρ 
 fρ 
F (t ) = ∫  dV +∫  ∇ ⋅ v dV
dt
dt  M 
M 
∇⋅v = 0

⇒
d
1
F (t ) =
dt
M
∫  ρ dt
d
⇒
d
F (t ) =
dt

d
∫  Ψ *  dt
f +f
∂ 
ρ  dV = ∫
∂t 

f Ψ +


d 
& Ψ * +ΨΨ
& *) dV
 Ψ *  f Ψ + f (Ψ

 dt 


i
 i

f  − Hˆ Ψ * + Ψ Hˆ * Ψ *   dV
h
 h

Zeitableitung für eine beliebige Funktion f !
Beispiele:
f (r , t ) = r
è Der Geschwindigkeitsoperator ist ableitbar, falls
è
1
Hˆ = mv 2 + qV
2
Teilchen im E- Magnet. Feld:
1 h

vˆ =  ∇ − qA 
m i

Masse: m
Ladung: q
Beweis:
Lagrangefunktion aufstellen -> Übergang zur Hamiltonfunktion
oder ( historisch): Lorentzkraft finden -> Erstellen der Hamiltonfunktion als Verallgemeinerte Form der
Gesamtenergie:
F = ma ⇔ p& = −
∂H
∂q
Wichtig:
in der QM gilt:
1 h
 1
vˆ =  ∇ − qA  ≠ pˆ
m i
 m
Nicht wie in dert klassischen mechanik !
Wichtig : Die Operatoren der QM hängen nicht zusammen wie ihre Erwartungswerte, also wie die Observablen
der klassischen Mechanik
Ebenso ist der Zeitableitungsoperator nicht einfach die Zeitableitung des entsprechenden Operators ( bei uns: °)
d
F& ( t ) =
dt
°
∫ Ψ * ( x , t )Fˆ Ψ( x , t )dV := ∫ Ψ * ( x , t )Fˆ Ψ (x , t )dV
[
1
Fˆ ° = ∂ t Fˆ +
H , Fˆ
ih
]
Nebenbemerkung
Hamiltongleichungen der Mechanik:
∂
x& = H p := ∇ p H =
H
∂p
p& = − H x
∂
∂
∂
F& ( x , p, t ) = F + Fx x& + F p p& = F + Fx H p − H x F p = F + {F , H }
∂t
∂t
∂t
Dies ist die bekannte zeitliche Änderung von Observablen aus dem Hamiltonformalismus der mechanik:
∂
F& ( x , p, t ) = F + {F , H }
∂t
Anwendungen:
∂
∂
H& ( x , p , t ) = H + {H , H } = H
∂t
∂t
Für die Elektrodynamik:
2
1 h
ˆ
Hˆ ( x , p , t ) =
 ∇ − qA  + qVˆ
2m  i

Für
ˆ
ˆ
A = A (x )
V = V ( x)
⇒ Hˆ ° ( x , p, t ) = 0
Behauptung:
[ ]
∂
i
xˆ ° = xˆ + Hˆ , xˆ = v
∂t
h
∂ ˆ
x=0
∂t
i
⇒ xˆ ° = Hˆ , xˆ
h
[ ]
Beweis: Anwenden auf Testfunktion:
[ ]
(
)
i ˆ ˆ
i
H , x Ψ = Hˆ xˆ Ψ − xˆ Hˆ Ψ
h
h
1 h
ˆ  h
ˆ
Hˆ xˆ Ψ =
 ∇ − qA  ∇ − qA  xˆ Ψ + qVˆxˆ Ψ
2m  i
 i

=
1 h
h

ˆ  h
ˆ
 ∇ − qA  Ψ∇xˆ + xˆ ∇ Ψ − qA xˆ Ψ  + qVˆxˆ Ψ
2m  i
i
 i

Dabei ( wie schon einmal oben) muss vorsichtig vorgegangen werden, da
∇x̂ hier als ein tensor zweiter Stufe und nicht als ∇ ⋅ x̂ zu verstehen ist !
1 h
h

ˆ  h
ˆ
 ∇ − qA  Ψ∇xˆ + xˆ ∇ Ψ − qA xˆ Ψ  + qVˆxˆ Ψ
2m  i
i
 i

=
1  2
h ˆ
h ˆ
h ˆ

2
2
2
 − h Ψ∆xˆ − h ∇ Ψ∇xˆ − h xˆ ∆Ψ − h ∇xˆ ∇Ψ − q ∇A xˆ Ψ − q A ∇xˆ Ψ − q A xˆ ∇Ψ 
2m 
i
i
i

+
1 
h ˆ
h ˆ

2 ˆ2
 − q A Ψ ∇xˆ − q A xˆ ∇Ψ + q A xˆ Ψ  + qVˆxˆ Ψ
2m 
i
i

Weiter:
1 
h ˆ
h

2
ˆ
2 ˆ2
xˆ Hˆ Ψ =
 − h xˆ ∆Ψ − q A xˆ ∇ Ψ − q xˆ ∇ A Ψ  + q A xˆ Ψ  + qVˆxˆ Ψ


2m 
i
i

Weiter:
qVˆxˆ Ψ = qxˆ VˆΨ
Wegen
[xˆ, xˆ ] = 0 ⇒ [xˆ , xˆ n ]= 0 ⇒ [Vˆ, xˆ ]= 0
Denn:
Alle Potenziale sind in einer Potenzreihe des Ortes entwickelbar !
Somit folgt nach länglicher Rechnung:
[ ]
i ˆ ˆ
1  h
h

ˆ
H,x Ψ =
 2 ∇ Ψ∇xˆ + ∆xˆ − 2 qA Ψ∇xˆ 
h
2m  i
i

∇xˆ = 1
∆xˆ = 0
⇒
[ ]
i ˆ ˆ
1 h

H , x Ψ =  ∇ − qAˆ  Ψ = VˆΨ
h
m i

In diesem Formalismus werden grundsätzlich
Somit:
∂ ˆ
x=0
∂t
x̂ und t als verschiedene Größen behandelt.
Impulsoperator:
q 

p (t ) = ∫ ρ  v +
A  dV
Klassisch:
M 

Somit Übergang zur QM durch Übersetzungsvorschrift für die Dichte/ Masse
und durch Ersetzen des Restes durch Operatoren:
q ˆ

p (t ) = ∫ MΨ *  vˆ +
A  ΨdV
M 

M =m
q ˆ q ˆ
 1 h
∇−
A+
A  ΨdV
i
M
M 
h 
Ψ *  ∇  ΨdV
i 
p (t ) =
∫ MΨ *  M
p (t ) =
∫
Somit:
pˆ =
h
∇
i
Der Impulsoperator
Alternative / andere Vorgehensweise:
Annehme einer typischen ebenen Welle:
Ψ = e i (k ⋅r −ωt )
De Broglie- Beziehung:
p = hk
Schrödingergleichung
& = HΨ = hωΨ
ihΨ
⇒ E = hω
So gewinnt man die Dispersionsrelation und die Energie
Ψ=e
i (k ⋅r −ω t )
=
p
i ( ⋅r −ωt )
e h
Mit
h
pˆ Ψ = p ⇒ pˆ = ∇
i
Der Beschleunigungsoperator
[ ]
∂vˆ i ˆ ˆ
bˆ = vˆ ° =
+ H,v
∂t h
mit
1 h
 1
vˆ =  ∇ − qA  ≠ pˆ
m i
 m
[
q ∂A j i  1 ˆ 2
q ∂A j i  1 ˆ 2 ˆ  i ˆ ˆ

⇒ bˆ j = −
+  mv + qVˆ , vˆ j  = −
+  mv , v j  + qV , v j
m ∂t
h 2
m ∂t
h 2

 h
j = 1, 2,3
Kommutatoren
[xˆ , pˆ ] = ih
[xˆ , xˆ ] = 0
[pˆ , pˆ ] = 0
[vˆi , vˆ j ] =
i, j, k
(
)
h
1 h
ˆ
∇ j Aˆ i − ∇ i Aˆ j = −
q  ∇ × A 
2
k
i
i
m
m
zyklisch
1
[vˆi , vˆ j ] = −
2
q
h
q ε ijk ∇ i Aˆ j
i
m
1
2
[Vˆ (xˆ ), vˆ j ] = − m1 hi ∇ jVˆ (xˆ )
]
[vˆ
2
] [
] [
]
, vˆ j = vˆ i vˆi , vˆ j + vˆ i , vˆ j vˆi
[vˆi , vˆ j ] = −vˆi 
[( ) − (Bˆ × vˆ ) ]
h
  1 h

1 h ˆ ˆ
q ε ijk ∇ i Aˆ j  − 
q ε ijk ∇ i Aˆ j  vˆi =
q v×B
 m2 i
  m2 i

m2 i
1
j
Bˆ = ∇ × Aˆ
ˆ
∂A
ˆ
E =−
− ∇ Vˆ
∂t
SUMMENKONVENTION !
Fazit: Die Beschleunigung im elektromagnetischen Feld ist die Lorentzkraft
mit
[
]
q ∂A j i  1 ˆ 2 ˆ  i ˆ ˆ
⇒ bˆ j = −
+  mv , v j  + qV , v j j = 1,2,3
m ∂t
h 2
 h
q
⇒ mbˆ = qEˆ + vˆ × Bˆ − Bˆ × vˆ
2
[( ) ( )]
Vertauschbarkeit im Kreuzprodukt:
(xˆ × pˆ )i = ε lmi xˆl pˆ m = ε lmi pˆ m xˆl + ε lmi [xˆl , pˆ m ] = ε lmi pˆ m xˆl + ε lmi hi δ lm = ε lmi pˆ m xˆl
j
VORLESUNG 25.10.2002
~
F ( t ) = ∫ Ψ * (x , t )FΨ( x , t )dV
F& ( t ) = ∫ Ψ * (x , t )Fˆ ° Ψ( x , t )dV
[
1
Fˆ ° = ∂ t Fˆ +
H , Fˆ
ih
h
pˆ = ∇
i
]
1 h

vˆ =  ∇ − qA 
m i

1
Hˆ = mv 2 + qV
2
[ ]
∂vˆ i ˆ ˆ
bˆ = vˆ ° =
+ H,v
∂t h
[( ) ( )]
q
q ˆ ˆ
bˆ = Eˆ +
v × B − Bˆ × vˆ
m
2m
[xˆ , pˆ ] = ih
[xˆ , xˆ ] = 0
[pˆ , pˆ ] = 0
[Fˆ , pˆ ]= −ih ∂∂p Fˆ
[Fˆ , xˆ ] = ih ∂∂xˆ Fˆ
Drehimpuls
Lˆ := xˆ × pˆ
Lˆ i := xˆ k pˆ l − xˆ l pˆ k , ijk
zyklisch
[Lˆ , xˆ ] = hi ∂∂p (xˆ pˆ − xˆ pˆ ) = 0
[Lˆ , pˆ ]= 0
[Lˆ , xˆ ] = hi ∂∂p (xˆ pˆ − xˆ pˆ ) = − hi xˆ
[Lˆ , pˆ ]= − hi pˆ
[Lˆ , Lˆ ] = xˆ hi pˆ − xˆ hi pˆ = − hi Lˆ
[Lˆ , Lˆ ]= 0
i
i
k l
l
k
i
i
i
i
k
k l
l
k
l
k
i
k
i
k
l
k
i
i
k
l
2
i
Satz
Es gilt die Energiebilanzgleichung
W& = −∇ ⋅ s + ε
Mit der Energiedichte

q2 2 
1 h
h
h
 h
 1



w = qV +
A Ψ * Ψ −
qA  Ψ * ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ * 
 ∇Ψ * ∇Ψ  −


2m
2m  i
i
i
 i
 2m 



und der Energiestromdichte
s=
h  &  h

&  h ∇ − qA Ψ * 
 Ψ *  ∇ − qA  Ψ + Ψ

2mi 
i

i
 
und dem Energie- Supply:
d 
q 2 2 
q &
h
h

ε =   qV +
A  Ψ * Ψ −
A  Ψ * ∇Ψ − Ψ ∇Ψ *
2m
2m 
i
i

 dt 

Satz: Der HAMILTONoperator ist der Energieoperator
W ´:= ∫ wdV =
∫
Ψ * Hˆ ΨdV
2.2 Diracsche Schreibweise
2.2.1 Skalarprodukt
u v - Bilinearform
u v = vu *
u u ≥0
u u =0⇔ u =0
~
F ( t ) = ∫ Ψ * ( x , t )FΨ( x , t )dV
~
FΨ( x , t ) = Φ ( x , t )
⇒ F (t ) = Ψ( x , t ) Φ ( x , t ) = Ψ Φ
2.2.2 Entwicklungssatz
Komplexe Schreibweise der Fourier- Reihe:
x ∈ [− l , l ]
f (x ) =
n = −∞
l
∫f
2l
cn
π
in x
e l
π
− in x
( x )e l dx
−l
1
ϕ n ( x ) :=
f (x ) =
∑
2l
1
cn =
∞
1
2l
∞
∑
n = −∞
π
in x
e l
c nϕ n ( x)
l
c n = ∫ ϕ n * ( x ) f ( x )dx
−l
Orthogonalität:
l
c n = ∫ ϕ n´ * ( x )ϕ n ( x )dx = δ n´n
−l
Dirac:
f =
∞
∑
cn ϕ n
n = −∞
cn = ϕ n f
f =
∞
∑
ϕn ϕn f
n = −∞
∞
∑
n= −∞
ϕn ϕn = 1
( Vollständigkeitsrelation)
Vorteile der Schreibweise werden besonders an folgendem einfachen Beispiel deutlich:
f =
∞
∑
n = −∞
ϕm f =
cn ϕ n
∞
∑
n = −∞
cn ϕm ϕn = cm
ϕm ϕ n = δmn
2.3 Axiome
2.3.1 L- Messgerät
Sei ein System in verschiedenen Zuständen, so möge ein L- Messgerät die möglichen Eigenwerte
Zustände messen:
Gesamtspektrum:
= ∑ q k Φ δ (λ − λk ) + q
Φ
Q
Φ
(λ )
k
qk
q
Φ
Φ
1)
2)
3)
≥0
(λ ) ≥ 0
Die Messgröße ist messgerätspezifisch
è λ - Achse, wie Energie, Drehimpuls, Ort,...
AUftretende λ - Werte sind systemspezifisch, jedoch immer reell
Intensitätsverhältnisse sind zustandsspezifisch
q1 Φ ...qn
∞
∫
−∞
Φ
...q
Φ
(λ )
Q Φ (λ ) dλ = 1 = ∑ q k Φ +
k
VORLESUNG 30.10.2002
∞
∫
−∞
q
Φ
(λ ) dλ
λl der
qk
Φ
∞
∫
Q
,q
Φ
−∞
Φ
(λ ) sind die gemessenen Intensitäten ( im diskreten bzw. kontinuierlichen Teil des Spektrums)
(λ ) dλ = 1 = ∑ q k
k
Φ
+
∞
∫
q
Φ
(λ ) dλ ( Diskreter Teil + kontinuierlicher Teil)
−∞
Axiom I
(
)
( λ, µ ,...) Operatoren Lˆ , Mˆ ,... genannt Observablen zugeordnet, so
dass die Eigenwerte dieser Operatoren ( λ1 , λ 2 ,..., µ1 , µ 2 ,...) mit den von diesem System erzeugten
Jedem System werden durch Messgeräte
Messwerten übereinstimmen.
Diese erzeugten Messwerte heißen SPEKTRUM
Lˆ ϕ (λ ) = λ ϕ ( λ )
Mˆ Ψ ( µ ) = µ Ψ ( µ )
für den kontinuierlichen teil des Spektrums
Lˆ ϕ k = λ k ϕ k
Mˆ Ψl = µ l Ψl
Für den diskreten teil des Spektrums
Dabei sind alle Eigenwerte, ob aus dem diskreten oder aus dem kontinuierlichen teil, grundsätzlich reell
Axiom II
Das von einem L- Messgerät ausgeblendete ( der teil, der gemessen wurde und dann durch eine Blende
hindurchgelassen wurde) Teilspektrum wird in einem 2. L- Messgerät unverändert entworfen, falls beide
Messgeräte hintereinander egschaltet sind !
Idealmessung: Immer der gleiche Eigenwert wird gemessen !
Φ = ϕl
in
1 = ∑ qk
Φ
+
k
∞
∫
q
Φ
(λ ) dλ
−∞
bei Idealmessung:
∞
∫
q Φ (λ ) dλ = 0
−∞
1 = ql ϕ l
Reiner Zustand
Es wird immer die Intensität q l
ϕl
gemessen. Die Intensität des ausgeblendeten ( durchgelassenen) Teils ist
zeitlich konstant. Das heißt: Die Intensiät des Eigenwertes ist immer die gleiche.
q k ϕl = δ kl
ist reell und nicht negativ und alleine durch die
Wie kann die Intensität q k
ϕl
{ϕ m } darstellbar
= δ kl dargestellt werden ?
Vorschlag der Intensitätsdarstellung ( = Wahrscheinlichkeit des Auffindens eines Teilchens)
q k ϕ l = ϕ l ϕ k = δ kl
Dies ist jedoch nicht gut, da es sich nicht verallgemeinern läßt !
Beispiel:
qk Φ = Φ ϕ k
für den Einfall von Φ
q k Φ = Φ ϕ k ist jedoch ein komplexes Skalarprodukt und deshalb nicht notwendigerweise reell oder nicht
negativ.
Lösung
q k ϕ l = ϕ l ϕ k ϕ k ϕ l = δ kl = ϕ l ϕ k
2
Mit
Φ
qk
= Φ ϕk ϕk Φ
∑ qk Φ
= Φ ϕk ϕk Φ = Φ Φ = 1
k
Notwendige Forderungen für diese Interpretation als Intensitäten / Wahrscheinlichkeiten
∞
∑
n= −∞
ϕn ϕ n = 1
(Vollständigkeit)
Φ Φ = 1 (Normierung)
∞
Diese beiden Forderungen können als Definition von
∑
n= −∞
ϕ n ϕ n und Φ Φ verstanden werden und
ergeben sich als Bedingung aus dem Messgerät.
Interpretation:
∞
∑
n= −∞
ϕ n ϕ n = 1 - Was am kontinuierlichen Spektrum ausgeblendet wird muss vollständig sein
Φ Φ = 1 - die Zustände im Messgerät ( die Φ sitzen im Messgerät) müssen normiert sein
1 = ∑ qk
ϕl
= ϕl
k
∑ ϕk
ϕ k ϕ l = δ kl = ϕ l ϕ l = 1
k
( Nur diskrete Werte ( keine Operatoren mit diskretem Spektrum))
Beispiel für diskreten teil des Spektrums:
q k ∑l clϕ l = ∑
l
∑
cl ϕ l ϕ k ϕ k c l´ϕ l ´
l´
= ∑ c l * cl ´ ϕ l ϕ k ϕ k ϕ l´ = ∑ c l * cl ´δ klδ kl´ = c k * ck = ck
l ,l´
2
l ,l´
also reell und stets positiv !
Beispiel für kontinuierlichen teil des Spektrums:
q k ∫ dλ´c (λ´) ϕ (λ´) ( µ ) = ∫ dλ´∫ dλ´´c * ( λ´)c( λ´´) ϕ ( λ´) ϕ ( µ ) ϕ ( µ ) ϕ (λ´´)
ϕ (λ´) ϕ ( µ ) ϕ ( µ ) ϕ ( λ´´) = δ (λ´− µ )δ (µ − λ´´)
qk ∫
dλ ´c (λ ´) ϕ (λ ´)
Betrachte
( µ ) = c * ( µ )c ( µ )
Aˆ = ∑ Ψk a k ϕ k
k
mit
Ψl ϕ k = δ kl
⇒ Aˆ ϕl = al ϕl
Aˆ Ψl = al Ψl
∑
Ψk ak ϕ k
k
mit
Ψl ϕ k = δ kl
Dies ist das Eigenwertproblem des Operators
Aˆ = ∑ Ψk a k ϕ k
k
Das Eigenwertproblem kann auch auf Bra- Vektoren angewandt werden.
Oftmals ist es günstiger, die Eigenwerte nach rechts auszuwerten ( z.B. bei Produkten aus Operatoren).
ϕ l Aˆ = al ϕ l
Adjungierter Operator
Aˆ + = ∑ ϕ k a k * Ψk
k
ˆ+
⇒ A ϕ l = al * ϕ l
Ψl Aˆ + = a l * Ψl
Aus dem Eigenwertproblem können dann grundsätzlich die
ϕ l gewonnen werden:
Lˆ ϕ k = a k ϕ k
ergibt:
a k und ϕ k als Ergebnisse
Linearität
Lˆ ϕ k ϕ k = a k ϕ k ϕ k , falls L̂ linear ist. Dies muss bei Observablen so sein !
Aˆ = ∑ Ψk a k ϕ k ist linear angeschrieben !
k
è Diese Schreibweise ist nicht unbedingt ganz allgemein !
Sei L nun linear:
⇒ Lˆ ∑ ϕ k ϕ k = ∑ a k ϕ k ϕ k = Lˆ
k
k
⇒ Lˆ = ∑ ϕ k a k ϕ k
k
Lˆ+ = ∑ ϕ k a k * ϕ k
k
Falls
L̂ observable sind die Eigenwerte reell. Das heißt: a k * = a k .
+
In diesem Fall gilt: Lˆ = Lˆ ( Hermitizität)
Observablen sind grundsätzlich selbstadjungierte Operatoren.
Selbstadjungierte Operatoren haben reelle Eigenwerte und es gilt:
Lˆ = ∑ ϕ k a k Ψk
k
⇒ Ψk = ϕ k
Behauptung
Ψ Lˆ ϕ = Lˆ+ Ψ ϕ
für jede Observable
L̂ folgt damit:
Ψ Lˆ ϕ = Lˆ Ψ ϕ
Hermitizität:
Falls:
Ψ Bˆ ϕ = Bˆ Ψ ϕ
⇒ Bˆ
hermitesch
Jedoch könnten die Eigenwerte noch imaginär sein !
Also: selbstadjungierte Operatoren sind immer hermitesch !
hermitesche Operatoren sind nur mit reellen Eigenwerten selbstadjungiert !
Vorlesung 01.11.02
Aus der Idealmessung wissen wir:
qk
qk
ϕl
= δ kl
Φ
= Φ ϕk ϕk Φ
cϕ
q k ∑l l l = c k * c k = c k
2
q k ∫ dλ´c (λ´) ϕ (λ´) ( µ ) = c * ( µ )c ( µ )
ϕ (λ´) ϕ ( µ ) = δ (λ´− µ )
ϕ k ϕ l = δ kl
Aˆ = ∑ Ψk a k ϕ k
k
Aˆ + = ∑ ϕ k a k * Ψk
k
Observablen sind selbstadjungiert:
Lˆ = Lˆ +
Für den Fall dass L̂ hermitesch:
Ψ Lˆ ϕ = Lˆ Ψ ϕ = Ψ Lˆ ϕ
hermitesche Operatoren repräsentieren Observablen, falls sie auch linear sind.
Die Spektraldarstellung von Observablen lautet
Lˆ = ∑ ϕ k λk ϕ k + ∫ dλ ϕ ( λ ) λ ϕ ( λ )
k
2.3.3 Vollständigkeit
Entwicklungssatz:
Φ = ∑ cl ϕ l + ∫
∞
−∞
l
dλc (λ ) ϕ (λ )
ϕ k Φ = ∑ cl ϕ k ϕ l + ∫
∞
−∞
l
dλc (λ ) ϕ k ϕ ( λ )
ϕ k ϕ (λ ) = 0
⇒ ϕ k Φ = ck
Skalarprodukte aus dem diskreten und dem kontinuierlichen teil des Spektrums verschwinden stets !
ϕ ( µ ) Φ = ∑ cl ϕ ( µ ) ϕ l + ∫
l
ϕ (µ) ϕ (λ ) = δ (λ − µ )
⇒ ϕ (µ ) Φ = c (µ)
∞
−∞
dλc (λ ) ϕ ( µ ) ϕ (λ )
Φ = ∑ ϕk ϕ k Φ + ∫
∞
dλ ϕ (λ ) ϕ ( λ ) Φ
−∞
k
1 = Φ Φ = ∑ ϕk ϕk + ∫
∞
−∞
k
dλ ϕ (λ ) ϕ ( λ )
VOLLSTÄNDIGKEITSRELATION
Axiom III
Die Eigenfunktionen einer Observablen bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.
Die Intensitäten im Spektrum sind
qk
q
Φ
Φ
∑
= Φ ϕ k ϕ k Φ = ck * c k = c k
(λ ) = Φ ϕ (λ ) ϕ (λ ) Φ = c( λ )
qk
Φ
k
+∫
∞
−∞
dλq
Φ
2
2
(λ ) = 1
2.3.4 Linearität
Bisher wurde
L̂ nur auf seinen Eigenfunktionen definiert:
Lˆ ϕ k = λ k ϕ k
Lˆ ϕ ( λ ) = λ ϕ ( λ )
Betrachte
∞
Λ := ∑ Lˆ ϕ k ϕ k + ∫ dλLˆ ϕ ( λ ) ϕ (λ )
−∞
k
= ∑ λk ϕ k ϕk + ∫
∞
−∞
k
dλλ ϕ ( λ ) ϕ ( λ )
Λ ist ein linearer Operator. Auf den Eigenfunktionen unterscheiden sich L̂ und Λ nicht !
Λ ϕ j = Lˆ ϕ j = λ j ϕ j
Λ ϕ ( µ ) = Lˆ ϕ ( µ ) = µ ϕ ( µ )
Man nennt
Λ auch die lineare Erweiterung von L̂ .
Ist das eindeutig ?
Annahme:
∃Λ, Λ´ Λ ≠ Λ´ mit
Λ ϕ j = λ j ϕ j = Λ´ ϕ j
Λ ϕ ( µ ) = µ ϕ ( µ ) = Λ´ ϕ ( µ )
Entwicklungssatz:
Φ = ∑ ϕk ϕ k Φ + ∫
∞
−∞
k
Λ Φ = ∑ λk ϕk ϕk + ∫
dλ ϕ (λ ) ϕ (λ ) Φ
∞
−∞
k
dλλ ϕ (λ ) ϕ ( λ )
λ k ϕ k = Λ´ ϕ k
λ ϕ ( λ ) = Λ´ ϕ (λ )
Λ Φ = ∑ Λ´ ϕ k ϕ k + ∫
∞
−∞
k
dλΛ´ ϕ (λ ) ϕ (λ ) = Λ´ Φ
⇒ Λ = Λ´
Der Operator
L̂ wird nun durch seine eindeutige lineare Erweiterung ersetzt !
Λ = L̂
a)
Alle physikalischen grundgröen sind lineare Operatoren
b) Die Schrödingergleichung ist linear in
Ĥ
Axiom IV:
Observable ist linearer Operator, der auf allen Zuständen des physikalischen Systems definiert ist, reelle
Eigenwerte und ein vollständiges orthonormiertes System von Eigenfunktionen hat:
-
Spektraldarstellung
Orthonormierung
Vollständigkeitsrelation
Observablen sind selbstadjungiert.
Lˆ = ∑ λ k Pk + ∫ dλλP(λ ) := ∑ ∫ λP( λ )
k
λ
Pk := ϕ k ϕ k
P( λ ) = ϕ ( λ ) ϕ ( λ )
Beispiel: Stern - Gerlach- versuch
Lˆ ϕ k = λk ϕ k
k = 1, 2
ϕ j ϕ k = δ kj
qk
Φ
= Φ ϕ k ϕk Φ
∑ qk Φ
=1
k
Φ := ϕ1
q1 ϕ1 = ϕ1 ϕ1 ϕ1 ϕ1
q2
ϕ1
= ϕ1 ϕ 2 ϕ 2 ϕ1 = 0
Nun: Auftretende Zustände in der Basis des verwendeten Hilbertraums entwickeln:
Φ := ϕ1 ϕ1 Φ + ϕ 2 ϕ 2 Φ
Lˆ Φ = λ1 ϕ1 ϕ1 Φ + λ2 ϕ 2 ϕ 2 Φ
Φ Lˆ Φ = λ Φ ϕ ϕ Φ + λ Φ ϕ
1
1
1
2
2
ϕ2 Φ
Φ ϕ1 ϕ1 Φ = q1 Φ
Φ ϕ 2 ϕ 2 Φ = q2 Φ
⇒ Φ Lˆ Φ = λ1 Φ ϕ1 ϕ1 Φ + λ2 Φ ϕ 2 ϕ 2 Φ = ∑ λ k q k
Φ
k
Also: der Erwartungswert des L-Operators, im Allgemeinen selbst gar keine Messgröße ist als Summe von mit
den Eigenwerten gewichteten Intensitäten zu verstehen !
Der Erwartungswert muss keine Messgröße sein, so liegt eer bei diskreten Eigenwerten im Allgemeinen
zwischen zwei diskreten Werten:
Definition:
Der Erwartungswert
F̂ Φ
der Observablen
F̂ im Systemzustand
Mittelwert aus den Messwerten ( Eigenwerten) von
F̂ :
Φ ist der mit den Intensitäten gewichtete
:= ∑ qk
Fˆ Φ
Φ
λk
k
0 ≤ qk Φ ≤ 1
∑ qk Φ
=1
k
= ∑ Φ ϕ k ϕ k Φ λk = Φ ∑ ϕ k λ k ϕ k Φ = Φ Fˆ Φ
Fˆ Φ
k
∑
k
ϕ k λk ϕ k = Fˆ
k
Vorlesung 05.11.2002
Beispiel:
Ψ ( x , t ) = ∫ A(k )e i ( k x −ω t ) dk
ω = ω (k )
1
δ (u ) =
2π
∫
e iku dk
Nun:
∫
=
Ψ * ( x, t ) Ψ ( x, t ) dV =
∫∫∫
A * ( k ) e −i ( k x −ωt ) A( k ´)e i ( k ´ x −ω ´t ) dk ´dk dV
A * ( k ) A(k ´)e i ( k ´−k ) x e −i (ω´−ω ) t dk ´dk dV
∫∫∫
= (2π )
∫ ∫ A * (k )A(k ´)δ (k − k ´)e
= (2π )
∫
3
3
A * ( k ) A( k )e
−i (ω − ω )t
− i (ω ´−ω )t
dk ´dk
dk
k = k ´⇒ ω = ω´
= (2π )3 ∫ A * ( k ) A( k )dk =! = 1
⇒ ∫ A * ( k ) A( k ) dk =
1
(2π )3
&
HΨ = i hΨ
& = − i ωA( k )e i ( k x −ω t ) dk
Ψ
∫
E = Ψ HΨ = −i h ∫
= h∫
∫∫
∫∫
A * ( k ) e −i ( k x −ωt ) iω (k ´) A(k ´)e i (k ´x −ω ´t ) dk ´dk dV
A * ( k ) A( k ´)e i ( k ´− k ) x e −i (ω ´−ω )t ω (k ´)dk ´dk dV
= h (2π )3 ∫ A * (k ) A(k )ω ( k ) dk
Weiter:
ω muss eine glatte Funktion sein.
Damit : ( Mittelwertsatz der Integralrechnung)
∃k ´´
⇒ E = Ψ HΨ = h(2π )3 ω ( k ´´)∫ A * ( k ) A( k )dk
∫
A * ( k ) A(k ) dk =
1
(2π )3
⇒ E = Ψ HΨ = hω ( k ´´)
Impuls
h
P = Ψ Pˆ Ψ = Ψ ∇ Ψ
i
∇Ψ = ∫ ik A( k )e i ( k x −ωt ) dk
⇒ P = h (2π ) 3 ∫ A * ( k )k A( k ) dk = h k
2.5 Symmetrie
Φ Fˆ Ψ = ∑ Φ ϕ k λ k ϕ k Ψ
k
Fˆ Φ Ψ = ∑ Φ ϕ k λ k * ϕ k Ψ
k
Fˆ Φ = Fˆ Φ *
Somit:
Fˆ Φ Ψ = Φ Fˆ Ψ
⇒ Fˆ
ist
Observable
Beispiel: Symmetrie des Impulsoperators
ˆ h
P= ∇
i
h
Φ Pˆ Ψ = Φ ∇ Ψ =
i
∫
∫
h
Φ * ∇ Ψd 3 r =
i
h
∇(Φ * Ψ )d 3 r = Gauß =
i
∫
∫
h
h
∇ (Φ * Ψ )d 3 r − ∫ Ψ ∇ Φ * d 3 r
i
i
h
(Φ * Ψ )df = 0
i
h
h
⇒ Φ Pˆ Ψ = −∫ Ψ ∇Φ * d 3 r =
∇Φ Ψ = Pˆ Φ Ψ
i
i
Somit ist der Impuls eine Observable und wird durch einen hermiteschen Operator beschrieben !
Interpretation:
∫
Φ * Ψd 3 r
entspricht dem Anteil von Ψ , der parallel zu Φ liegt.
Im Unendlichen verschwindet jedoch die Wahrscheinlichkeit bei abgeschlossenen Systemen :
∫ (Φ * Ψ )df
=0
∂
3. Unitärer Raum
3.1 Motivation
Gesucht: Lösung der Schrödingergleichung:
2
∂
1 h

ih
Ψ =
 ∇ − qA  Ψ + qVˆ Ψ
∂t
2m  i

Dies ist eine lineare DGL ( 1. Ordnung in der zeit) und 2. ordnung im Ort !
Bekannt sei
Ψ ( x , t 0 ) := Ψ
∫
0
2
Ψ( x , t ) dV = 1 < ∞
Die Lösungen müssen superpositionierbar sein ! Sie müssen bestimmten Differenzierbarkeits- und
Integrierbarkeitskriterien entsprechend
-
Normierbarkeit
zweifach diffbar in ort und Zeit
Weiter:
Φ Ψ muss existieren -> das Skalarprodukt muss definiert sein
è es existieren bestimmte Funktionen, die diesen Forderungen genügen. bestimmte Funktionsklassen. Mit
diesen lassen sich dann Räume definieren.
Alleine Schon die Existenz des Skalarproduktes sticht ein paar Eigenschaften heraus, die den Räumen und
Funktionenklassen mitgegeben werden. Dadurch wird so etwas selektiert wie ein Hilbertraum etc...
3.2 Vektoren
3.2.1 Linearität
Def.: Eine Menge L von Elementen
Φ , Ψ , χ , Φ heißt linearer Raum, wenn gilt:
∀Ψ , Φ ∈L⇒ Ψ + Φ = Ψ +Φ ∈L
Ψ + Φ = Φ + Ψ
Ψ +Φ + χ = Ψ + Φ+ χ
∃0 ∈ L, ∀ Φ ∈ L : Φ + 0 = Φ
∀ Φ ∈ L∃ Ψ ∈ L : Φ + Ψ = 0
2)
∀ Ψ , Φ ∈ L , a, b ∈ C
aΨ ∈ L
aΦ = a * Φ
a Ψ +Φ = a Ψ +aΦ
aΦ = a Φ
( a + b) Φ = a Φ + b Φ
1Φ = Φ
Elemente eines linearen Raumes werden Vektoren genannt !
3.22 Skalarprodukt ( linear im 1. Eingang), antilinear im 2. Eingang
Definition: Ein linearer Raum U mit Skalarprodukt heißt UNITÄRER RAUM
Definition: Ein linearer Raum H heißt normiert, wenn gilt:
. :H → R
1) Ψ ≥ 0; Φ = 0 ⇔ Φ = 0
2) Φ + Ψ ≤ Φ + Ψ
3) a Φ = a Φ
∀a ∈ C
Satz:
Ein unitärer Raum ist mit
Dabei bilden die
Φ =
Φ Φ stets normiert
{Φ j } ein Orthonormalbasis, also:
Φ i Φ j = δ ij
∀Φj ⇒ Φ Φj =0⇒ Φ = 0
Damit folgt Vollständigkeit. Es handelt sich derart also um eine andere Form der Vollständigkeitsrelation
Φ = ∑ Φ k Φk Φ
k
Φ Φ = ∑ Φ Φ k Φk Φ
k
Φ
2
=∑
Φk Φ
2
k
Parcevalsche Ungleichung:
Φ
2
≥∑
Φk Φ
2
>∑
Φk Φ
2
k
mit
Φ
2
k
Falls
Φk
nicht vollständig !
Schwarzsche Ungleichung
Φ Ψ
2
≤ Φ Ψ
Definition
ein vollständig normierter Raum heißt Banach- Raum
ein vollständig unitärer Raum heißt Hilbert- Raum
Vollständigkeit ist äquivalent zu:
jede Cauchy- Folge konvergiert gegen ein Element des Raumes
3.2.3 Konvergenz
Def.: ein linearer Raum heißt metrisch, wenn gilt:
d : M ×M → R
∀f , g , h :
1) d ( f , g ) = 0 ⇔ f = g
2) d ( f , g ) ≤ d ( f , h ) + d (g , h )
3) d ( f , g ) = d ( g , f )
Definition
Eine Folge
lim
n→∞
lim
n→∞
{f n } ⊂ M
f n = f , falls
d( f n , f ) = 0
ist konvergent gegen ein f aus M, also
Cauchyfolgen konvergieren dabei gegen Elemente des Raumes.
Eine Folge
{f n } ⊂ M
heißt Cauchy- Folge, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃ n(ε ) ∈ N∀k , m ≥ n(ε ) mit d ( f k , f m ) < ε
Vervollständigung eines nicht vollständigen Raumes
è definiere Äquivalenzklassen der Cauchyfolgen !
è -> Der Raum wird vervollständigt !
Lineare Räume -> haben keinen Rand !
è definiere Folgen, die immer näher an den Rand herankommen, jedoch selbst gar nicht konvergieren.
<-> Lineare Hülle !
Dies ist dann äquivalent zur sogenannten "linearen Hülle "
Also:
unitär -> normiert -> metrisch
unitär:
ϕ Ψ
normiert:
ϕ :=
ϕ ϕ
metrisch:
d (u , v) := u − v
Beispiel: der Ortsoperator
x̂
xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x)
i
− ξp
Tˆ := e h
⇒ Tˆ , xˆ = −ξ Tˆ
[ ]
wegen
[F (xˆ, p ), xˆ ] = hí ∂∂p F ( xˆ , p)
vergl. : 2.1.9
⇒ Φ Tˆ (ξ )xˆ ϕ ( xˆ ) − Φ xˆ Tˆ (ξ )ϕ ( xˆ ) = −ξ Φ Tˆ (ξ )ϕ ( xˆ )
+
Φ Tˆ (ξ )xˆ ϕ ( xˆ ) = Tˆ (ξ ) Φ xˆ ϕ ( xˆ ) = x Φ xˆ ϕ ( xˆ )
⇒ (x + ξ ) Φ Tˆ (ξ )ϕ ( xˆ ) = Φ xˆ Tˆ (ξ )ϕ ( xˆ )
(x + ξ ) Tˆ (ξ )ϕ ( xˆ )
= xˆ Tˆ (ξ )ϕ ( xˆ )
Somit: Eigenwerte von
x̂ beliebig, da ξ beliebig
ϕ ( x´) xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x´) ϕ ( x ) = x δ ( x − x´)
ϕ ( x´) xˆ ϕ ( x ) = xˆ ϕ ( x´) ϕ ( x ) = x´ ϕ ( x´) ϕ ( x ) = x´δ ( x − x´)
⇒ x´δ ( x − x´) = x δ (x − x´)
3.3 Lineare Operatoren
Axiom 4: Observablen sind lineare Operatpren
Definition: H sei Hilbertraum;
M⊆H
Aˆ : M → H
ϕ → Aˆ ϕ
 sei Operator
 heißt linearer Operator:
<->
∀ Ψ , Φ ∈ M , a,b ∈ C
Aˆ aΦ + bΨ = aAˆ Φ + bAˆ Ψ
Aˆ , Bˆ lineare Operatoren<->
M, L ⊆ H
Aˆ : M → H
Def.:
Bˆ : L → H
Aˆ , Bˆ heißen gleich, falls:
i)M = L
ii ) Aˆ ϕ = Bˆ ϕ
∀ϕ ∈M = L ⊆ H
ˆ + Bˆ heißt Summe von Aˆ , Bˆ , falls:
Def.: A
M , L, N ⊆ H
Aˆ : M → H
Bˆ : L → H
Cˆ : N → H
Aˆ + Bˆ = Cˆ
N = M ∩L
Aˆ + Bˆ ϕ = Aˆ ϕ + Bˆ ϕ
(
)
∀ϕ ∈ N
Def.:
Aˆ Bˆ heißt Summe von Aˆ , Bˆ , falls:
M , L, N ⊆ H
Aˆ : M → H
Bˆ : L → H
Cˆ : N → H
Aˆ Bˆ = Cˆ
N⊆L
Aˆ Bˆ ϕ = Aˆ Bˆ ϕ
( )
(
)
∀ϕ ∈ N
3.3.3 Operatorfunktionen
∞
1
∑ n!Aˆ n
ˆ
e A :=
n =0
 selbstadjungiert: Aˆ = ∑ ϕ k λk ϕ k
k
Also:
∑
Aˆ n =
ϕ k λk ϕ k ϕ l λl ϕ l ... ϕ m λ m ϕ m
k ,l ,..., m
− > n − mal
− > nDelta − Funktionen
− > Aˆ n =
ϕ λ n ϕ
∑
k
k
k
k
∞
1
ϕ k λ k l ϕ k = ∑ ϕ k e λk ϕ k
∑
l =0 l! k
k
e A := ∑
ˆ
3.3.4 Unitäre Operatoren
+
Def.: U auf H heißt unitär: <-> Uˆ
unitäre Operatoren sind isometrisch:
Uˆ = UˆUˆ + = 1
Φ Uˆ +Uˆ ϕ = Φ ϕ = Uˆ Φ Uˆ ϕ = Φ ϕ
Beispiel:
)
ˆ
Aˆ = Aˆ + , B := e i A
e i AΦ e i Aϕ = ∑ Φ ϕ k e −i λk ϕ k ϕ l e iλl ϕ l ϕ = Φ ϕ
ˆ
ˆ
k ,l
Also :
ˆ
ei A
isometrisc h
+
+
 e i Aˆ  = e −i Aˆ ⇒  e i Aˆ  e i Aˆ = 1
 
 
Also:
ˆ
e i A unitärer Operator
3.4 Eigenwertprobleme
Def.: Eine nichttriviale Lösung ϕ
(λ ) ∈ M von
heißt EIGENVEKTOR zum EIGENWERT
Aˆ ϕ ( λ ) = λ ϕ (λ )
ϕ (λ ) = 1
λ:
Erwartungswert:
Aˆ ϕ (λ ) = ϕ (λ ) Aˆ ϕ (λ ) = λ
Def.:
Ein Eigenwert heißt ENTARTET, falls es mehr als einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert gibt:
Aˆ ϕ k ( λ) = λ ϕ k (λ )
ϕ (λ ) = 1
k = 1,..., k λ
Dann spannen die
ϕ k (λ ) den Eigenraum zu λ auf.
Die Dimension des Eigenraums ist durch die Maximalzahl der linear unabhängigen Eigenfunktionen zu diesem
Eigenwert gegeben ( := Entartungsgrad)
Aˆ ϕ k ( λ ) = λ ϕ k ( λ )
ϕ´(λ ) = β k (λ ) ϕ k (λ )
ϕ (λ ) = 1
β k (λ ) = 1
Dann:
β k (λ ) = e i γ k (λ )
ist Phasenfaktor !!
Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell. Eigenfunktionen ( Eigenvektoren) zu verschiedenen
Eigenwerten sind zueinander orthogonal.
Zum gleichen Eigenwert kann immer ein vollständiges ONS gewählt werden.
3.4.3 Vertauschbare Operatoren
Aˆ = Aˆ + , Bˆ = Bˆ + , Aˆ Bˆ = Bˆ Aˆ ohne Entartung
dann gilt:
Aˆ = Aˆ + , Bˆ = Bˆ + , Aˆ Bˆ = Bˆ Aˆ
Bˆ Aˆ ϕ (λ ) = λBˆ ϕ (λ ) = Bˆ λ ϕ (λ ) = Aˆ Bˆ ϕ (λ )
Also:
B̂ ϕ (λ ) ist wie ϕ (λ ) Eigenvektor von  zum Eigenwert λ
Also:
B̂ ϕ (λ ) = α ϕ (λ )
2.5 Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
ih
∂
Ψ
∂t
t
= Hˆ Ψ
Ψ
t
t
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
Ψ
t
=
i
− Hˆ t
h
e
Ψ
= U (t ,0) Ψ
0
0
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
U (t ,0) =
i
− Hˆt
h
e
=
∞
∑
n =0
n
1 i ˆ 
 − Ht  Zeitentwicklungsoperator
n!  h 
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
∂ ∞ 1  i  ˆn
ih ∑
− t  H Ψ
∂t n=0 n!  h 
n
∞
1 i  ˆn
= Hˆ ∑
− t  H Ψ
n = 0 n!  h 
∞
n
0
0
= Hˆ ∑
n =1
1  i 
− t 
n − 1!  h 
n−1
Hˆ n−1 Ψ
0
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein !
H+ =H
Klar:
⇒U
+
∞
=
∑
n =0
n
1  i  ˆn
 t  H ⇒ U +U = 1
n!  h 
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
∂
Ψ t Hˆ = −i h
Ψ
∂t
t
Mit der formalen Lösung:
Ψt = Ψ0
i ˆ
Ht
eh
= Ψ 0 U + (t ,0)
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
(
)
A(t ) ergibt sich für
Fˆ = Fˆ rˆ , pˆ , t :
Fˆ = Ψ t Fˆ Ψ
t
d ˆ
d
F =
Ψ t Fˆ Ψ
dt
dt
t
= Ψ
t
∂Fˆ
Ψ
∂t
t
∂
d
+
Ψ t  Fˆ Ψ
 ∂t
 dt
t
∂

+ Ψ t Fˆ  Ψ t 
 ∂t

1
∂

Ψ t=−
Ψ t Hˆ

∂
t
i
h


∂
1
Ψ t = Hˆ Ψ t
∂t
ih
Also:
73
d ˆ
d
F =
Ψ t Fˆ Ψ
dt
dt
t
= Ψ
t
[
]
∂Fˆ i ˆ ˆ
+ H, F Ψ
∂t h
t
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator
vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
[Hˆ , Fˆ ] = 0 ⇒ dtd
Fˆ = 0
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
-
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
F ( q , p , t ) eine klassische Observable und H (q , p ) die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
3 
d
∂
∂F ( q , p, t )
∂F ( q , p , t ) 
F (q , p, t ) = F ( q , p, t ) + ∑ 
q& i +
p& i 
dt
∂t
∂qi
∂p i

i =1 
3 
d
∂
∂F ( q , p, t ) ∂H ∂F ( q , p , t ) ∂H  ∂
 = F ( q , p , t ) + {H , F }
F (q , p, t ) = F ( q , p, t ) + ∑ 
−
dt
∂t
∂qi
∂pi
∂pi
∂q i  ∂t
i =1 
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
{H , F } → i [Hˆ , Fˆ ]
h
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
[
∂Fˆ i ˆ ˆ
Fˆ ° =
+ H, F
∂t h
F ( q , p , t ) " als Operator:
]
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für
Allgemeinen:
F̂ , da im
dFˆ
Fˆ ° ≠
dt
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
d ˆ
Fˆ ° =
F
dt
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
[ ]
[ ]
i
rˆ ° = Hˆ , rˆ
h
i
pˆ ° = Hˆ , pˆ
h
Merke dazu ( Ehrenfest- Theorem):
∂ t rˆ = 0
∂ t pˆ = 0
-> die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit
zeitabhängig !
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
74
pˆ 2
Hˆ =
+ V ( rˆ )
2m
folgt:
[Hˆ , xˆ ] = hi ∂∂pHˆˆ
k
k
[Hˆ , pˆ ] = − hi ∂∂xHˆˆ
k
k
Also:
pˆ
rˆ ° =
m
ˆp ° = −∇V rˆ
()
Denn:
[Hˆ , xˆk ] = hi ∂∂pHˆ
h o
∂Hˆ
pˆ
xˆ k ⇒ xˆ o =
=
i
∂pˆ
m
k
h ∂Hˆ
∂Hˆ
=−
⇒ pˆ o = −
= −∇V (xˆ )
i ∂xˆ k
∂xˆ
ˆ
[Hˆ , pˆ k ]
=
Merke:
d
dt
d
dt
rˆ = rˆ °
pˆ = pˆ °
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
d ˆ
1 ˆ
r =
p
dt
m
d ˆ
p = − ∇V rˆ
dt
∂ t rˆ = 0
da ja:
∂ t pˆ = 0
()
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen
Bewegungsgleichungen
Bilder:
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis
auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Ψ → Ψ´ = U Ψ
Fˆ → Fˆ ´= UFˆ U +
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte
∂Fˆ
= 0 , also keine explizite Zeitabhängigkeit !
∂t
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo
"verdrehen" und man hat ein neues Bild !
75
Schrödingerbild:
Operatoren
FˆS (rˆ , pˆ ) zeitunabhängig
Eigenvektoren
n zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
Ψ zeitabhängig ( Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die
Schrödingergleichung beschrieben):
ih
∂
Ψ
∂t
t
= Hˆ Ψ
t
Veranschaulichung im
R2 :
Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht !
R 2 entspricht F̂S einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. ( Übungsaufgabe !)
Im
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
Ψ
t
= U (t ,0) Ψ
0
Das Heisenbergbild
FˆS = Ψ t Fˆ S Ψ
t
= Ψ 0 U + (t ,0) Fˆ SU (t ,0) Ψ
0
+
U (t ,0) FˆS U ( t ,0) = FˆH (t )
In diesem Bild sind die
Operatoren
FˆH (t ) zeitabhängig
und damit Eigenvektoren
n zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
Veranschaulichung im
Ψ = Ψ
0
zeitunabhängig:
R2 :
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren ( zwangsläufig) unter unitären
Transformationen im Hilbertraum verdreht ( als Zeitentwicklung).
76
Aus
FˆH (t ) =
i ˆ
i
Ht
− Hˆ t
e h FˆS e h
folgt:
i
i
i
i
Hˆ t
− Hˆ t
Hˆ t
− Hˆ t
d ˆ
i
i
FH (t ) = Hˆ e h FˆS e h + e h FˆS  − Hˆ e h
dt
h
 h 
Also:
[
]
d ˆ
i
FH (t ) = Hˆ , FˆH ( Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumanndt
h
Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
[
d
i
Fˆ ° H = FˆH (t ) = Hˆ , FˆH
dt
h
]
Insbesondere gilt:
d ˆ
HH = 0
dt
also die bildunabhängige Darstellung
Hˆ H = Hˆ S = Hˆ
Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
Wechselwirkungsbild
Sei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
0
1
mit dem ungestörten Hamiltonoperator Ĥ und der Störung Ĥ .
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
FˆW (t ) =
i ˆ0
i
H t
− Hˆ 0t
e h FˆS e h
Somit gilt wieder die Relation
[
d ˆ
i
FW (t ) = Hˆ 0 , FˆW
dt
h
]
Also:
d ˆ0
H =0
dt
77
Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian
Aber:
[
] [
Hˆ 0 = Hˆ S = Hˆ H bildunabhängig.
]
d ˆ
i
i
HW ( t ) = Hˆ 0 , Hˆ W = Hˆ 0 , Hˆ 1 ≠ 0 im Allgemeinen
dt
h
h
FˆS = Ψ t Fˆ S Ψ
Ψ
t
i
− Hˆ 0t
h
e
i
+ Hˆ 0t
h
e
Fˆ
i
+ Hˆ 0t
h
e
= Ψ
i
− Hˆ 0 t
h
e
S
Ψ
0
FˆS = Ψ
= Ψ
t
S
i
i
− Hˆ 0 t + Hˆ 0t
h
h
e
e
Ψ
t
W
= FˆW (t )
= Ψ
W
t
i
i
− Hˆ 0t + Hˆ 0 t
h
h
e
e
Fˆ
W
FˆW ( t ) Ψ
W
Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
d
⇒
Ψ
dt
i
W
i ˆ 0 + h Hˆ
= H e
h
0
t
Ψ
t
i
+ Hˆ 0 t
+e h
i
∂
Ψ
∂t
t
− Hˆ t
∂
1
1
Ψ t = Hˆ S Ψ t = Hˆ S e h
ΨW
∂t
ih
ih
d
1
⇒
ΨW =
− Hˆ 0 Ψ W + Hˆ W Ψ W
dt
ih
wegen
(
i
+ Hˆ 0t
e h Hˆ
i
+ Hˆ 0t
e h
i
− Hˆ 0 t
e h
S
Ψ
t
= Ψ
0
)
= Hˆ W
W
Aber:
Hˆ W = Hˆ 0 + Hˆ 1
d
1
⇒
Ψ W = Hˆ 1 Ψ W
dt
ih
d
1
⇒
Ψ W = Hˆ W 1 Ψ W
dt
ih
d ˆ
i ˆ0 ˆ
FW (t ) = H , FW
dt
h
[
]
Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
Ψ
W
(t ) =
i ˆ1
Ht
h
e
Ψ
W
(0)
Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren
FˆW (t ) zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator Ĥ 0
und damit Eigenvektoren
n zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
78
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
Störoperator
Ψ
W
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den
Hˆ W 1 .
2.6 Der harmonische Oszillator
Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator
pˆ 2 mω2 2
Hˆ =
+
xˆ Als Hamiltonoperator
2m
2
Es gilt die Vertauschungsrelation
[ pˆ , xˆ ] = h
i
Besser:
[ pˆ l , xˆ k ] = h δkl
i
Definition eines Operators, des Leiteroperators ( nicht hermitesch !!)
a :=
1
)
mω
p−i
xˆ
2h
2mhω
1
mω
)
p+i
xˆ
2h
2mhω
1 ) 2 mω 2
i )
⇒ aa + =
p +
xˆ +
( pxˆ − xˆ p) ) = 1 p) 2 + mω xˆ 2 + i [ p) , xˆ ]
2mhω
2h
2h
2 mhω
2h
2h
[ p) , xˆ ] = h
i
1 ) 2 mω 2 1
1 ˆ 1
⇒ aa + =
p +
xˆ + =
H+
2mhω
2h
2 hω
2
a + :=
Merke:
Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:
a :=
1
mω
)
p −i
xˆ
2h
2 mhω
a + :=
1
)
mω
p+i
xˆ
2h
2mhω
Ebenso:
1 ) 2 mω 2
i )
p +
xˆ −
( pxˆ − xˆ p) ) = 1 p) 2 + mω xˆ 2 − i [ p), xˆ ]
2mhω
2h
2h
2 mhω
2h
2h
[ p), xˆ ] = h
i
1 ) 2 mω 2 1
1 ˆ 1
⇒ a +a =
p +
xˆ − =
H−
2 mhω
2h
2 hω
2
a +a =
[
]
⇒ a, a + = 1
aa + + a + a =
2 ˆ
H
hω
Somit:
79
(
)
(
)
1
1
Hˆ = hω aa + + a + a = hω a + a + 1 + a + a = hω a + a +
2
2

1

2
Merke dazu:
aa + =
1 ) 2 mω 2
i )
p +
xˆ +
( pxˆ − xˆp) ) = 1 p) 2 + mω xˆ 2 + i [ )p, xˆ ]
2 mhω
2h
2h
2mhω
2h
2h
Somit:
i )
[ p, xˆ ] als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:
2h
1
E0 = hω
2
Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe !
Weitere Vertauschungsrelationen:
(aa )a = h1ω Hˆ a + 12 a
1 ˆ 1
= a (a a ) =
aH − a
hω
2
⇒ [a, Hˆ ] = aHˆ − Hˆ a = hωa
+
+
Ebenso die adjungierteVersion:
[
] ( ) ( )
− a + , Hˆ = aHˆ ´* − Hˆ a * = hωa +
Verallgemeinerung
( )
( )
a, a + n  = n a +


n −1
=
∂
∂a +
(a )
+ n
Beweis: Vollständige Induktion:
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
a, a + 1  = 1


∂

+ n
+ n −1
+ n
Sei a, a
=
n
a
=
a
für n ≥ 1


∂a +
a, a + n+1  = a a + n+1 − a + n+1 a = a a + n+1 − a + n aa + + a +


n+1  
n
n
⇒  a, a +
= a , a +  a + + a + a, a +


 

a, a + n  = n a + n −1


n+1 
+ n −1 +
+ n
+ n
⇒  a, a +
=
n
a
a
+
a
=
(
n
+
1
)
a


n=1
Adjungierte Version:
[a
+
]
, a n = −n(a ) n−1 = −
( ) aa − (a )
n
+
+ n+1
a
∂
(a ) n
∂a
80
Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:
[a , f (a )] = ∂a∂ f (a )
[a , f (a )] = − ∂∂a f (a )
+
+
+
+
Eigenwerte von H
Sei
E ein normierter Eigenvektor von Ĥ mit Hˆ E = E E
So gilt:
hω
hω
hω
hω E a + a E = E Hˆ −
E = EE−
E =E−
2
2
2
E a +a E = Ψ Ψ ≥ 0
Das bedeutet:
hω
2
Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der
hω
E≥
⇔aE =0
2
E≥
Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie
Behauptung
a E ist Eigenzustand zu Ĥ mit dem Eigenwert E − hω :
ˆ a E = ( E − hω)a E
Also: H
Beweis:
(
)
Dabei gilt
(
)
(
)
Hˆ a E = aHˆ − hω a E = a Hˆ − hω E = a( E − hω) E = ( E − hω)a E
Hˆ a E = aHˆ − hω a E
wegen
[a, Hˆ ] = hωa
Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände
E ≠ 0 mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn
hω
gelten würde.
2
m
m−1
Daher existiert ein m ∈ N so dass a E = 0 aber a
E ≠0
nicht
E≥
Also definiere man einen Grundzustand:
0 := a m−1 E
Vorsicht ! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,
sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0
1
1
Hˆ 0 = hω a + a +  0 = hω 0
2
2

wegen
a 0 = am E = 0
Also:
E0 =
hω
2
a 0 = am E = 0
81
Weiter:
(
)
(
)
hω
3hω +
Hˆ a + 0 = a + H + hωa + 0 = a + Hˆ + hω 0 = a + 
+ hω 0 =
a 0
2
 2

[a , Hˆ ] = −hωa
Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation
+
+
Das heißt nun aber, dass a
+
Vollständige Induktion
( )
Hˆ a +
Dann:
n
( )
1
0 = hω n +  a +
2

( )
Hˆ a +
0 der Eigenzustand von Ĥ zum Eigenwert
(
n+1
0
)( )
0 = a + Hˆ + hωa + a +
(Hˆ + hω)(a + )n 0
( )
n
( )
)( )n 0
0 = a + Hˆ + hω a +
Normierung der Eigenzustände
(a )
+ n
)( )n 0
(
0 = a + Hˆ + hω a +
 
1

=  hω n +  + hω a +
2
 

(
n +1
⇒ Hˆ a +
n
3hω
ist.
2
n
0
( )
1

= hω n + 1 +  a +
2

n+1
0
0 :
Der Grundzustand sei normiert:
0 0 =1
Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:
( )
n
n = αn a +
0 mit Normierungsfaktor αn :
1 =! = n n = αn
( )
0 an a+
n
0 = 0 a n−1
wegen
( )
( ) 0



 (a ) a + a, (a )   0



0 an a+
2
n
+ n
+ n
( )
a, a + n  = n a +


n−1
Somit:
( ) 0 = 0 a  (a ) a + a , (a )   0 = 0 a (a ) a 0 + n 0 a (a )
0 a (a ) a 0 = 0
(a ) a 0 ⇒ ... ⇒
⇒ n 0 a (a ) a 0 = n(n − 1) 0 a
0 an a+
n −1
n
n−1
+ n
+ n
n−1
+ n
n−1
+ n−1
0
+ n
+ n −1
n −1
n −2
+ n− 2
Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:
( )
n
⇒ 0 a n a + a 0 = n! 0 0 = n!
Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
n =
( )
1
a+
n!
n
0 für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators
82
und diese gehören zu den Energiewerten

En = hω n +

Hˆ n = E n n
1

2
Quantensprechweise:
1
1
En − E n−1 = hω n +  − hω n − 1 +  = hω ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt
2
2


auch, es IST ein Schwingungsquant !
n ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten ( Phononen) der Frequenz ω
a ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
a + der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
n
n
1
1  + n
1
an =
a a+ 0 =
a +  a, a +   0 =
n a+
a


n!
n! 
n!
n+1
1
a+ n =
a+
0 = n +1 n +1
n!
( )
( )
( )
( )
n −1
0 = n n −1
( )
Teilchenzahloperator
N := a + a
N n = a+ a n = a+ n n −1 = n n n = n n
In Übereinstimmung mit
1
1
Hˆ n = hω a + a +  n = hω n +  n
2
2


Veranschaulichung
Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die
stationären Zustände
2
ϕ(x ) dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit
83
Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für
σ=
0,5σ0
, also
2
σ0
σ
, wobei 0 das σ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
2
2
σ
Es ist das σ = 0 für die kohärenten / Glauber - Zustände
2
mit einem
σ<
Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über
Glauberzustände ( kohärente Zustände)
Zusammenhang mit der Ortsdarstellung
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet ! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch
Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden !
Mit
1
mω
)
p −i
xˆ gilt:
2h
2mhω
1
mω 
)
p−i
xˆ ϕn ( x)
2h 
2mhω
ϕn ( x ) = x n und a :=

h d 
a  x ,
ϕn ( x ) = 
 i dx 

ξˆ :=
mω
xˆ
2h
mω
x
2h
1 ˆ d 
 h d 
⇒ a x,
ξ +
ϕn (ξ)
ϕn ( x) =
dξ 
 i dx 
i 2 
mω
ξˆ :=
xˆ
2h
ξ :=
Dabei gilt:
ξ :=
mω
x
2h
sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten !
84
In
1 ˆ d 
 h d 
⇒ a x,
ξ +
ϕn (ξ) wird über
ϕn ( x) =
dξ 
 i dx 
i 2 
ˆ d 
 ξ +
 der Impulsanteil durch die
dξ 

Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt.
Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz
Wegen
a ϕ0 = 0 mit ϕ0 := 0
a 0 = 0 folgt für n=0:

d 
0 = ξˆ +
ϕ0 (ξ)
dξ 

dϕ0
⇒
= −ξdξ
ϕ0
Somit ergibt sich:
ϕ0 (ξ) = A0
 ξ2 
 − 
e 2 
1
 mω  4
A0 = 

 hπ 
Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine
normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in ξ enthalten ist.
Für die angeregten Zustände gilt:
ϕ1 (ξ) = a +ϕ0 (ξ) =
1
⇒ ϕ1 (ξ) = −
i 2
1 
d 
1
 ξ −
ϕ0 (ξ) = −
dξ 
i 2
i 2
 ξ2 
 
e 2 
(
2
d
A0e (−ξ )
dξ
ξ 2 
 
e 2 
  −ξ 2 


d   2 
ϕ0 (ξ) 
e
dξ 



)
1
 mω  4
A0 = 

 hπ 
Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand
erzeugt !
Für den n-ten angeregten Zustand ( Induktion !) damit:
ϕn (ξ) =
A0
n
(a )
+ n
n!
ϕ0 (ξ) =
n

d 
1
ξ −
 ϕ0 (ξ) = n
dξ 
i
2 n n! 
1
in
A0
2 n n!
(− 1)
ξ 2 
 
n  2 
e
dn
( dξ )
n
e −ξ
2
:= An
2 n!
1
 mω  4
A0 = 

 hπ 
(− 1)
 ξ2 
 
n  2 
e
dn
(dξ )n
e
−ξ 2
:= H n (ξ)e
−
ξ2
2
85
Dabei kann
und
1
in
als Phasenfaktor ( für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
H n bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
ϕn (ξ) =
1
A0
in
2 n n!
(− 1)
ξ 2 
 
n  2 
e
dn
( dξ ) n
e −ξ
2
1
⇒ ϕn (ξ) =
 mω  4


 hπ 
(− 2 )
n
H n (ξ) e
−
ξ2
2
n!
Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome ( wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
H 0 (ξ) = 1
H1 (ξ) = 2ξ
H 2 (ξ) = 4ξ 2 − 2
H 3 (ξ) = 2ξ 3 − 12ξ
Letztendlich bezeichnet
(− 1)n die Parität von ϕn
Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial ( die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen
schematisch dargestellt:
Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen
Yl m (ϑ, ϕ) .
Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet
2
r = Yl m (ϑ,ϕ) das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen
Energieeigenwert. Die Niveaus sind ( ohne den Spin) L+1 - fach entartet ! die Charakterisierung erfolgt durch
die magnetische Quantenzahl m
86
Einwurf:
Kohärente (quasiklassische) Zustände
Abstract
Untersucht man die stationären Zustände
ϕn
des harmonischen Oszillators, so sind die Erwartungswerte von
Ort und Impuls in einem solchen Zustand Null. Statt dessen ergeben sich von Null verschiedene
Erwartungswerte
X̂ 2 und P̂ 2 , sogenanntes Quantenrauschen, welches für die Heisenbergsche
Unschärferelation verantwortlich ist.
Aus der klassischen Mechanik ist jedoch bekannt, dass Ort und Impuls eines Oszillators sich periodisch ändern.
Sie können nur dann konstant gleich null sein, wenn das auch für die Energie der Fall ist.
87
Für die Energie gilt jedoch:
1
Hˆ = (n + ) hϖ . Bekanntlich gelangt die Quantenmechanik für große
2
Quantenzahlen hinsichtlich ihrer Ergebnisse zu den gleichen Resultaten wie die klassische Mechanik.
Es drängt sich also die Frage auf: Kann man Quantenzustände konstruieren, für die die physikalischen
Voraussagen der Quantenmechanik zumindest bei einem makroskopischen Oszillator mit den Aussagen der
klassischen Mechanik identisch sind ?
Derartige Zustände existieren. Es sind kohärente Überlagerungen aller stationären Zustände
ϕn . Man nennt
sie deshalb auch quasiklassische oder kohärente Zustände.
Bei der elektromagnetischen Strahlung kann man den Fall beobachten, dass klassische Lösungen übergehen in
Effekte, die deutlichen Quantencharakter zeigen. Die Interferenz von Photonen am Doppelspalt bei äußerst
geringen Intensitäten ist nur ein Beispiel. Die kohärenten Zustände spielen deshalb auch in der Quantenoptik
eine große Rolle. Sie wurden von Glauber eingeführt und heißen demnach auch
Glauberzustände.
Bekanntlich vertauschen die Operatoren für Ort und Impuls nicht. Ein Zustand, aus dem exakt die klassischen
Ergebnisse resultieren kann demnach gar nicht existieren.
Wir begnügen uns mit der Suche nach einem Zustand, für den zu einer beliebigen Zeit t die Erwartungswerte von
Ort , Impuls und Energie möglichst nahe an den entsprechenden klassischen Werten liegen.
Das Ergebnis wird ein Kompromiss sein, bei dem keine der drei Observablen vollständig bestimmt ist, jedoch
wird sich herausstellen, dass man im makroskopischen Grenzfall die Standardabweichungen der Größen
gänzlich vernachlässigen darf. Am Beispiel eines makroskopischen Oszillators wird gezeigt, dass beispielsweise
die Ortsunschärfe weit unter einem Kerndurchmesser liegt und damit die Ergebnisse der klassischen Mechanik
weit genauer sind als dass man in makroskopischen Grenzfällen ihre Abweichungen mit physikalischen
Methoden heute messen könnte.
Der klassische Oszillator
Wir erinnern uns an die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen des Oszillators mit Masse m und Kreisfrequenz
ω:
d
1
x (t ) = p (t )
dt
m
d
p(t ) = −mω2 x (t )
dt
Ansatz sind immer die HAMILTONSCHEN GLEICHUNGEN !
Für den Übergang in die Quantenmechanik werden die Hamiltonschen Gleichungen mit dem Absteiger/
Aufsteiger- Formalismus formuliert !
Der Einfachheit halber werden dimensionslose Größen eingeführt:
xˆ (t ) = βx (t )
1
pˆ (t ) =
p( t )
hβ
β=
mω
h
Damit haben wir hier:
xˆ (t ), pˆ (t ) als Normalkoordinaten. Ich bitte, den wechselhaften Formalismus zu
entschuldigen ! Hier beschreibt nun ausnahmsweise das "Dach" die Normalkoordinaten !
88
Die Bewegungsgleichungen lauten:
d
xˆ (t ) = ω pˆ (t )
dt
d
pˆ (t ) = −ω xˆ (t )
dt
Klassisch ist ein solcher Oszillator bestimmt, wenn für alle Zeiten Ort und Impuls bekannt sind. Das Problem
des Oszillators eines Freiheitsgrades ist also zweidimensional, man fasst die beiden Größen x und p zu einer
komplexen Größe
α(t ) =
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] zusammen.
2
Das Gleichungssystem ist dann äquivalent zu einer Gleichung
d
α(t ) = −i ωα( t )
dt
Die Lösung lautet
α(t ) = α( 0) exp( −i ωt ) mit α(0) = α0 =
1
[xˆ (0) + ipˆ ( 0)]
2
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] einen Vektor, der mit der
2
xˆ (t )
Winkelgeschwindigkeit − ω um den Ursprung rotiert. Dabei gibt die Abszisse
an, auf der Ordinate findet
2
pˆ ( t )
sich
. Die Darstellung ist also sehr einfach und eine Bewegung mit bestimmten Anfangsbedingungen ist
2
durch den Punkt α0 bereits vollständig charakterisiert.
1
Aus α(t ) = α( 0) exp( −i ωt ) ergibt sich mit α(t ) =
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] nun:
2
1
xˆ (t ) =
[α(0) exp( −iωt) + α( 0) * exp(iωt )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α(0) exp(−iωt) − α( 0) * exp(iωt )]
2
In der komplexen Ebene beschreibt α(t )
=
Die klassische Energie des Systems ist zeitlich konstant:
1
[ p (0) ]2 + 1 mω2 [x( 0) ]2
2m
2
hω
E=
[ p (0) ]2 + [ x( 0)]2 = hωα0
2
E=
{
}
2
Für einen makroskopischen Oszillator ist die Energie viel größer als
hω . Also gilt α0 >> 1
89
Definition der quasiklassischen Zustände
Ziel: Die Erwartungswerte
Xˆ , Pˆ , Hˆ sollen zu allen Zeiten praktisch gleich den Werten xˆ, pˆ , Hˆ der
klassischen Bewegung sein.
Einfach ist die Berechnung der Erwartungswerte in algebraischer Schreibweise. Ort, Impuls und Energie werden
dabei durch Auf- und Absteiger ausgedrückt:
1
Xˆ = βX =
(a + a + )
2
1
i
Pˆ =
P=−
(a − a + )
hβ
2
1
Hˆ = hω( a + a + )
2
a + = a * ist zunächst a wieder als "komplexer, nicht hermitescher Operator" zu sehen, dessen
wegen
Realteil dem Ort und dessen Imaginärteil dem Impuls entspricht.
Umgekehrt: Wir betrachten Ort- und Impuls als Real- und Imaginärteil eines noch unbestimmten und zu
bestimmenden Operators, des "Aufsteigers". Dieser ist dann nicht- hermitesch !
Die zeitliche Entwicklung eines Matrixelements erfolgt durch die Differentialgleichung
d
a ( t ) = [a, H ] ( t )
dt
[a, H ] = hω a , a + a = hω a
ih
[
]
wegen:
d
i
a (t ) = [H , a ] (t )
dt
h
Also folgt eine Differentialgleichung für den Absteiger
a (t ) = a ( 0)e ( −iω t )
mit
[a , H ] = hω[a
+
+
]
, a + a = −hω a + folgt:
a + (t ) = a + ( 0)e ( iωt ) = a * ( 0)e ( iωt )
Also:
ih
[
]
d +
a = a + , H = −hω a +
dt
Diese Bewegungsgleichungen für Auf- und Absteiger entsprechen der klassischen Gleichung
α(t ) = α( 0) exp( −i ωt )
90
Werden die Lösungen für die zeitliche Entwicklung dieser Operatoren in unsere Definition von Energie,Ort und
Impuls eingesetzt, so ergibt sich:
Xˆ ( t ) =
[
1
1
(a + a + ) =
a ( 0)e −iω t + a * ( 0)e i ωt
2
2
[
]
i
i
(a − a + ) = −
a ( 0)e −iω t − a * ( 0)e i ωt
2
2
1
hω
Hˆ (t ) = Hˆ ( 0) = hω ( a + a + ) = hω a + a (0) +
2
2
Pˆ ( t ) = −
]
Vergleicht man dies mit der Lösung für den klassischen Fall ( Remember: Ort und Impuls wurden als komplexe
Zahl
α(t ) =
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] zusammengefasst, deren Bewegungsgleichung d α(t ) = −iωα( t) beide
dt
2
Hamiltonsche Gleichungen erfüllt), die denn lauteten:
1
[α(0) exp( −iωt) + α( 0) * exp(iωt )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α(0) exp(−iωt) − α( 0) * exp(iωt )]
2
xˆ (t ) =
So ist notwendig und hinreichend für unsere Bedingung
Xˆ ( t ) = xˆ (t )
Pˆ ( t ) = pˆ (t )
dass
a (0) = α0
Fazit:
Nach Aufstellen der Quantisierungsbedingungen ( Kommutatoren) und der Bewegungsgleichungen
H mit dem klassischen
(Ausgangspunkt) werden die eigentlichen Glauberzustände konstruiert, indem
Ergebnis verglichen wird.
Unser Ziel war es nun also, durch den Vergleich mit dem komplexen Parameter zur Charakterisierung der
klassischen Bewegung Zustände zu suchen, in denen die klassische Bewegung quantenmechanisch möglichst gut
approximiert wird. Diese Zustandsvektoren müssen normierbar sein und wir erhalten als erstes die Bedingung
a (0) = Ψ( 0) a Ψ( 0) = α0
( Normierbarkeitsbedingung)
Eine weitere Bedingung wurde uns durch die Energie geschenkt, für die gilt:
1
hω
Hˆ (t ) = Hˆ (0) = hω ( a + a + ) = hω a + a ( 0) +
= hωα0
2
2
2
( Energiebedingung, gerade angesprochen)
Näherung:
Da für einen klassischen Operator
Bedingung an den Zustandsvektor
α0 >> 1 können wir den Term
a + a (0) = α0
hω
vernachlässigen und es gilt als zweite
2
2
91
Diese beiden Bedingungen genügen jedoch zur Bestimmung des normierten Vektors
Ψ ( 0) bis auf einen
Phasenfaktor.
Merke: nach obiger Definition gilt:
2
α =
p2
1
ω
+ q 2m
2mωh 2
h
Grundsätzliches Vorgehen beim Problem , etwas quantisieren zu müssen:
Ausgangspunkt ist immer die Schrödingergleichung bzw. die Von- Neumann- Bewegungsgleichung und die
Vertauschungsrelation. Man muss also Vertauschungsrelationen aufstellen. Das ist die eigentliche Quantisierung.
Hier haben wir entsprechend dieser Aussage
d
a ( t ) = [a, H ] ( t )
dt
[a, H ] = hω a , a + a = hω a
ih
[
]
verwendet ! ( Im Heisenbergbild !)
Wirkung des Vernichtungsoperators auf quasiklassische Zustände
Mit dem Operator
b = a − α0
Kann die Norm des Kets
b(α0 ) Ψ0 berechnet werden:
Ψ0 b + (α0 )b(α0 ) Ψ0 = Ψ0 a + a Ψ0 − α0 Ψ0 a + Ψ0 − α0 * Ψ0 a Ψ0 + α0 * α0
Mit
a (0) = Ψ( 0) a Ψ( 0) = α0 und a + a (0) = α0
2
folgt dann:
Ψ0 b + (α0 )b(α0 ) Ψ0 = α0 * α0 − α0α0 * −α0α0 * +α0 * α0 = 0
Jedoch ist nur der Nullvektor vom Betrag Null, woraus folgt:
b(α0 ) Ψ0 = 0
also:
a Ψ0 = α0 Ψ0
Somit folgt aus unseren Bedingungen, dass
Ψ0 Eigenzustand zum Vernichtungsoperator mit dem Eigenwert
α0 sein muss, damit der Zustandsvektor Ψ0 den Bedingungen einer klassischen Bewegung mit dem
Parameter
α0 genügt. Im Folgenden heiße Ψ0 := α0 . Der Eigenvektor von a zum Eigenwert α ist α :
a α =αα
Aus dieser Eigenwertgleichung lassen sich die Lösungen
α bestimmen, indem α in den
quantenmechanischen Eigenzuständen des harmonischen Oszillators entwickelt wird. ( Diese ergeben sich durch
Lösung der Schrödingergleichung):
α = ∑ c n (α) ϕn
n
Die Wirkung des Absteigers auf die qm- Eigenzustände ist jedoch bekannt:
a α = a∑ c n (α) ϕn = ∑ c n (α) n ϕn −1 = α α = α∑ cn (α) ϕn
n
n
n
92
∑ c n (α)
n ϕn−1 = α∑ cn (α) ϕn
n
n
→ cn +1 (α) =
(Verschiebung des Summationsindex)
α
c n (α)
n +1
Man hat also eine Rekursionsformel für die Entwicklungskoeffizienten gefunden:
αn
c 0 (α)
n!
Es bleibt nun also, c 0 (α) zu bestimmen. Allerdings kennen wir weitere Bedingungen an die c n (α) . So sollten
c n (α) =
nämlich alle Zustände
α normierbar sein. Dies bedeutet jedoch, da die quantenmechanischn Eigenzustände
selbst normiert sind:
∑
n
cn (α) = 1 = ∑
2
n
2
| α |2n
| c0 (α) | 2 =| c0 (α) | 2 e|α|
n!
Vereinbaren wir noch, dass c 0 (α) reell und positiv sein soll, so ergibt sich:
c 0 (α) =
− |α | 2
e 2
→ α =e
−
|α |2
2
αn
∑ n! ϕn
n
Die kohärenten Zustände sind damit vollständig bestimmt.
Die
ϕn sind die bekannten, oben bestimmten Zustände des rein quantenmechanischen Oszillators.
Erwartungswerte und Streuungen von Energie, Ort und Impuls
Nun kann man die Energie eines Oszillators im kohärenten Zustand
α =e
−
|α |2
2
αn
∑ n! ϕn berechnen und
n
mit dem klassischen Ergebnis vergleichen:
1
En = (n + )hω mit der
2
2n
2 |α |
= e −|α|
. Dies ist eine Poisson- Verteilung.
n!
Eine Energiemessung liefert den Wert
Wahrscheinlichkeit
Pn (α) = c n
2
Man sieht, dass auch die Wahrscheinlichkeiten einer Rekursion genügen:
Pn (α) =
| α |2
Pn−1 (α)
n
Aus dieser Beziehung läßt sich ableiten, dass
Pn (α) für n = ganzzahliger Teil von | α | 2 maximal wird ( unter
der Bedingung, dass n ganzzahlig ist).
Mit
Hˆ
α a + a α = α* α sieht man:
α
1
1
1
= hω α  a + a +  α = hωα *α +  = hω| α | 2 + 
2
2
2



93
| α |>> 1 ,sieht man also, dass die im kohärenten
Zustand zu erwartende Energie nur wenig von der Energie E n abweicht, die bei Messung in ϕn mit
Für unserer Bedingung an makroskopische Oszillatoren:
maximaler Wahrscheinlichkeit
Pn (α) zu erwarten ist.
Ebenso einfach kann man mit Hilfe von
[a , a ] = 1 den Erwartungswert
+
2
Hˆ 2
1
1


= h ω α a + a +  α = h ²ω² | α | 4 +2 | α | 2 +  berechnen
2
4


2
α
2
und man erhält dann eine Standardabweichung
∆Hˆ α = hω | α |
Die relative Standardabweichung
∆Hˆ α
1
≈
<< 1 für große | α |
|α |
Hˆ
α
Damit ist die Energie im kohärenten Zustand relativ gut bestimmt
Remember:
1
Xˆ = βX =
(a + a + )
2
1
i
Pˆ =
P=−
(a − a + )
hβ
2
Somit, wie jeder leicht nachrechnen kann, ergibt sich:
2h
Re(α)
mω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im(α)
X2
P2
[
[
]
]
h
(α + α *) 2 + 1
α
2 mω
mωh
=
1 − (α − α *)2
α
2
=
Also kann man direkt die Standardabweichungen angeben:
∆X α =
h
2mω
∆Pα =
mhω
2
Beide hängen nun nicht mehr von
erlaubten Wert:
∆X α ⋅ ∆Pα =
α ab und Ihr Produkt liefert den nach der Unschärferelation minimalen
h
2
94
Erzeugung quasiklassischer Zustände aus dem qm.- Grundzustand
Wir definieren den Operator
D(α) = e (αa
+
−α *a)
D + (α) = e (α *a
Mit Hilfe von
e
A +B
−α a + )
[αa
=e e
A B
+
] = α* α =| α |
,α * a
−[ A, B ]
e 2 falls [[ A, B],
2
und
A] = [[ A, B], B] = 0
folgt:
D(α) = e
−
|α |2
+
2 eα a e −α *a
Wenn wir diesen Operator nun auf den Grundzustand der quantenmechanischen Zustände
ϕ0 wirken lassen,
so ergibt sich wegen


(α*) 2 a 2
e −α *a ϕ0 = 1 − α* a +
+ .... ϕ0 = ϕ0
2!


D(α) ϕ0 = e
−
|α |2
+
2 eαa
Die Wirkung von D (α) =
ϕ0 = e
e
−
−
|α |2
2
−
(αa + ) n
∑ n! ϕ0 = e
n
|α | 2
2
αn
∑ n! ϕn = α
n
|α |2
+
2 eα a e −α *a ist folglich die unitäre Transformation, die aus dem Grundzustand
ϕ0 den quasiklassischen Zustand α erzeugt.
Dies ist die einfachste Variante. Merke:
D(α) = e (αa −α *a )
1
α(t ) =
[x(t ) + ip (t )]
2
+
a=
1
pˆ −
2hmω
mω
xˆ
2h
Kohärente Wellenfunktionen in Ortsdarstellung
Bleibt noch, die Wellenfunktion
Ψα ( x ) = x α = x D(α) ϕ0 zu berechnen ( α in Ortsdarstellung)
Dazu kann man den Operator
αa + − α * a durch X und P ausdrücken:
mω  α − α * 
i  α + α *
αa + − α * a =

X −

P
h 
2 
mhω 
2 
95
Daraus folgt:
D(α) = e (αa
+
−α *a )
mω  α −α * 
i  α +α *  α *2 −α 2

X −

P
h  2 
e mhω  2  e 4
=e
Dies kann nun zur Berechnung der Ortsdarstellung des kohärenten Zustands herangezogen werden:
Ψα ( x ) = x e
mω  α −α * 
i  α +α *  α *2 −α 2

X −

P
h  2 
e mhω  2  e 4
ϕ0
mω  α −α * 
i  α +α * 

X −

P
h  2 
e mhω  2 
ϕ0
Ψα ( x ) =
α *2 −α 2
e 4
Ψα ( x ) =
mω  α −α * 
α *2 −α 2

x
4
e
e h  2 
xe
i  α +α * 

P
mhω  2 
−
xe
iλ P
e h ist jedoch gerade der Translationsoperator um
−
xe
i  α +α * 

P
mhω  2 
Ψα ( x) =
ϕ0
λ längs der x- Achse. Darum gilt:
h
(α + α*)
2mω
|= x −
mω  α −α * 
α *2 −α 2

 x

e 4 e h  2  ϕ0  x

−

h
(α + α*) 
2mω

Wegen
2h
Re(α) =
mω
h
(α + α*)
2mω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im( α) =
mhω
(α − α*)
2
kann man schließlich schreiben:
Ψα ( x ) =
α *2 − α 2 i P α x
e 4 e h ϕ0
(x −
X
α
) ( in Ortsdarstellung !)
Fazit: Multipliziert man die Wellenfunktion ϕ0 ( x ) des Grundzustands des eindimensionalen Oszillators mit
i P αx
dem oszillierenden Faktor
e
h
X
und verschiebt man sie dann um
die Ortswellenfunktion für den Zustand
α
α
längs der x- Achse, so erhält man
α * −α
. Der Phasenfaktor e 4
kann man vernachlässigen, da er
2
2
physikalisch keine Rolle spielt.
Für uns bedeutet dies: Die Gaußzustände werden gewonnen, indem man die quantenmechanischen Zustände in
klassischer Weise um
X
α
verschiebt.
Aus der Quantenmechanik ist bekannt:
1
 mω x 2 

2h 

 mω  4  −
ϕ0 ( x) = 
e

 πh 
∆X α =
h
2mω
96
ϕn (ξ) =
1
A0
in
2 n n!
(− 1)
ξ 2 
 
n  2 
e
dn
( dξ ) n
e −ξ
2
1
 mω  4
ξ2


−
hπ 

⇒ ϕn (ξ) =
H n (ξ) e 2
n
(− 2 ) n!
Also: mit
h
:
2mω
∆X α =
1
mω  4

ϕ0 ( x) = 

 πh 

x2 
 −

4 (∆X α )2 

e
Somit gilt:
(
ϕ0 x − X
α

1  − 1  x − X
 mω  4  4  ∆X α
e
) =  πh 

α




2





und man kann explizit angeben:
Ψα ( x ) =
  x− X
i P α x  − 1
 4  ∆X α
e h e 
1
α *2 −α 2
m
ω


4
e 4 

 πh 
α




2




Dies ist im Moment noch völlig zeitunabhängig. Zeitabhängigkeit kann man jedoch leicht einbauen. Man muss
lediglich
X
α
durch
X
α
(t ) ersetzen !
Die Wahrscheinlichkeitsdichte des kohärenten Zustands im Ortsraum ergibt sich demnach zu
2
 mω 
Ψα ( x) = 

 πh 
Man erhält also für jeden
 1  x − X 2 
− 
α  
 2 ∆ X  
α
 
e 
α - Zustand ein Gauß-Paket.
Es läßt sich zeigen, dass die kohärenten Zustände ( die ja, wie gezeigt, normierbar sind), die
Orthogonalitätsbedingungen und die Vollständigkeitsrelation erfüllen.
97
Zeitliche Entwicklung eines quasiklassischen Zustands
Der harmonische Oszi sei zum Anfangszustand in einem bestimmten
α - Zustand:
ψ(0) = α0
Wir wissen:
α =e
−
|α |2
2
∑
αn
ϕn
n!
n
. Die Zeitentwicklung der quantenmechanischen Eigenzustände ist jedoch
aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung bekannt:
ψn ( x, t ) = e
−
iE n t
h ψ ( x)
n
Wir haben oben den Ortsschieber kennengelernt ! Hier sehen wir wieder hinsichtlich der konjugierten Variablen
Zeit und Energie: Unser Zeitentwicklungsoperator ist ein " Zeitschieber":
e
−
iE n t
h als Zeitschieber !
Somit kann angegeben werden:
ψ(t ) = e
−
|α 0 | 2
2
∑
α0 n
n
n!
e
−
iE nt
h
ϕn = e
−
|α 0 | 2 − iωt
2 e 2
∑
α0 n
n
n!
e −inω t ϕn
Nun ist aber:
e
−
|α 0 | 2 − i ωt
2 e 2
∑
n
α0 n
n!
e
− inωt
−i ωt
=e 2
ϕn
α = α0 e −iωt
Und es ergibt sich der zeitentwickelte Zustand explizit:
ψ(t ) =
− iω t
e 2
α = α0e − iωt
Es genügt also, α0 durch
α0 e
−i ωt
− i ωt
zu ersetzen und den so erhaltenen Ket- Vektor mit e 2 zu multiplizieren ,
− i ωt
um vom Anfangszustand zum zeitentwickelten Zustand zu gelangen. e 2 ist dabei ohnehin ein globaler
Phasenfaktor ohne physikalische Konsequenzen. Somit bleibt der kohärente Zustand stets ein Eigenvektor zum
Vernichtungsoperator mit dem Eigenwert
α0 e −i ωt Dies ist jedoch nichts anderes als der Parameter
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] , der den Zustand des klassischen Oszillators vollständig charakterisiert.
2
α(t ) =
Zeitliche Entwicklung der physikalischen Eigenschaften
Wir verwenden nun α = α0e
− iωt
und erhalten sofort
2h
Re(α0e −i ωt )
mω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im(α0 e −iωt )
98
Dies entspricht nun genau den klassischen Beziehungen
1
[α(0) exp( −iωt) + α( 0) * exp(iωt )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α(0) exp(−iωt) − α( 0) * exp(iωt )]
2
xˆ (t ) =
Wir erhalten
1

= hω| α0 | 2 + 
2

∆Hα = hω | α0 |
H
α
∆X α =
h
2 mω
∆Pα =
mhω
2
Somit sind Energie und alle Schwankungen in Energie, Ort und Impuls zeitunabhängig. Das Wellenpaket bleibt
zu jedem Zeitpunkt minimal. Es zerfließt also nicht.
Ψα ( x ) =
1
α *2 −α 2
m
ω


4
e 4 

 πh 
  x− X
i P α x  − 1
 4  ∆X α
e h e 




2



 wird

1 − iω t i P x  − 1  x − X
α * −α
α
 4  ∆X α
 mω  4 2
e 4 
e h e 
 e
2
Ψα ( x , t ) = x Ψ(t ) =
α
2
 πh 
α




2




Das Gaußsche Wellenpaket erhält also als Zeitentwicklungsfaktor lediglich eine oszillierende Phase. Die Form
des Pakets bleibt vollständig erhalten.
Zu allen Zeiten bleibt
2
2
 mω 
Ψα ( x) = ϕ0 [x − X (t )] = 

 πh 
 1  x − X 2 
− 
α  
 2  ∆X  
α
 
e 
Die Bewegung des Wellenpaketes ist also eine harmonische Schwingung entlang der x- Achse mit der Periode
T=
2π
ω
Während das freie Gaußpaket zerfließt, passiert dies in einem parabelförmigen Potenzial nicht mehr. Man kann
sich dies so vorstellen, dass das Potenzial das Paket aus Bereichen mit großem Potenzial wieder zurückdrängt
und so der Verbreiterung entgegenwirkt.
Für sehr große | α | ändern sich die Standardabweichungen für Ort und Impuls nicht. Statt dessen werden die
Amplituden
X (t ) und P (t ) sehr groß im Vergleich zu ∆X und ∆P . Mit wachsendem | α | kann man also
eine quantenmechanische Bewegung erhalten, für die Ort und Impuls des Oszillators beliebig genau bestimmt
sind (relativ beliebig genau). Für große | α | beschreibt also der kohärente Zustand die Bewegung des
makroskopischen Oszillators gut. Die Ergebnisse sind gleichwertig der Betrachtung von Ort, Impuls und Energie
als klassische Größen
99
Bewegung des Gaußpaketes
Beispiel eines makroskopischen Oszillators:
Seien: m= 1kg, g~10 m/ s², l = 0,1 m
l
g
Es folgt: T ~ 0,63s und ω = 10rad / s
Der Oszillator werde um die Amplitude x m = 1cm ausgelenkt
Es gilt:
T = 2π
Wegen
X
α
=
2h
Re(α0 e −iω t )
mω
gilt:
| α |=
mω
x
2h m
Dies ergibt bei uns einen Zahlenwert:
| α |≈ 2,2 ⋅1015 >> 1
100
Die zeitunabhängigen Standardabweichungen in Energie, Ort und Impuls ergeben sich zu
∆H α
1
≈
≈ 0,4 ⋅10 −15 << 1
H α |α |
∆X α =
∆Pα =
h
≈ 2, 2 ⋅ 10 −18 m << xm
2mω
mhω
≈ 2,2 ⋅ 10 −17 kgm / s
2
→ ∆v ≈ 2,2 ⋅10 −17 m / s << 0,1m / s
Man sieht: Die Ortsunschärfe ist kleiner als ein Kernduchmesser, die Geschwindigkeitsunschärfe um ähnliche
Verhältnisse kleiner als die maximale Geschwindigkeit von 0,1 m/s und auch die relative Genauigkeit der
Oszillatorenergie ist ausgezeichnet.
Für die Beschreibung eines makroskopischen Oszillators reichen also die Gesetze der klassischen Mechanik in
weitem Maße aus.
101
3.5.2 Eigendarstellung: ( Darstellung durch Eigenwerte des Operators)
Alk = Φ l Aˆ Φ k = al δ lk
Aˆ Φ k = a k Φ k
A diagonal
Matrixgleichung:
A C k = ak C k
Behauptung:
Aˆ
Φ
=~
c * Ac
3.5.3 Energiedarstellung
& =H Φ
ih Φ
ihc& m = ∑ H mj c j
j
ϕ m Hϕ j = H mj = E j δ mj
⇒ E m cm = ihc& m
Das Problem zerfällt in einzelne Differenzialgleichungen. Die Komponenten c m mischen dabei nicht !
c m (t ) = c0
i
− E mt
h
e
cm = ϕ m Φ
Vorlesung 20.11.02
Wiederholung:
Projektor:
Pϕ := ϕ ϕ = Pϕ
2
Statistischer Operator:
P := ∑ p k Pϕ k = ∑ p k Pk
k
k
P ≠P
2
Gemisch <->
Pk ⊂ 1 ∀k
reine Gesamtheit:
P := ∑ pk Pϕ k
k
⇒ ∃N → p k = δ kN
⇒ P = PN = ϕ N ϕ N
P2 = P
bei reinen Zuständen ist der statistische Operator ein Projektor auf einen gewissen Eigenzustand.
das heißt: Bei Messung sind die Anteile der Eigenzustände für einen einfallenden beliebig aus den
Eigenzuständen überlagerten Zustand bekannt.
L- Darstellung einer L- Observable:
L = L = ∑ ϕ k lk ϕk
k
ϕl Aˆ ϕ j := Aˆ lj
ϕ j Φ k := c j k
Aˆ Φ k = ak Φ k
→ Aˆ c k = a k c k
Eigendarstellung/ Energiedarstellung
3.5.4 Ortsdarstellung
3.5.4.1 Ortsoperator
xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x )
f = ∫ dx´ ϕ ( x´) ϕ ( x´) f
ϕ ( x´) f := f xˆ ( x´)
Dies
ϕ ( x´) f := f xˆ ( x´) entspricht dem Anteil von f entlang ϕ an der Stelle ( x´) im ortsraum
xˆ f =
∫
dx´xˆ ϕ ( x´) ϕ ( x´) f = ∫ dx´ f xˆ ( x´) xˆ ϕ ( x´) = ∫ dx´ f xˆ ( x´) x´ ϕ ( x´)
⇒ ϕ ( x ) xˆ f = ϕ ( x ) ∫ dx´ f xˆ ( x´) x´ ϕ ( x´) = ∫ dx´ f xˆ ( x´) x´ ϕ ( x ) ϕ ( x´) =
=
∫
dx´ f xˆ ( x ´) x´δ ( x´− x ) = f xˆ ( x ) x
ˆ
mitf xˆ ( x ) x = f xˆ ( x ) xˆ x
ˆ
x := xˆ x
Der ort Als Auswertung des ortsoperators im ortsraum
ˆ
ϕ ( x´) xˆ ϕ ( x´) = x δ ( x´− x ) = xˆ x δ (x´− x )
Also haben wir ein Eigenwertproblem:
ˆ
xˆ x δ ( x´− x )´= x δ ( x´− x )
Wihtig: Kets und Bras können darstellungsfrei sein oder in einer bestimmten Darstellung gewählt werden. Dies
ist sauber zu unterscheiden !!
3.5.4.2 Impulsoperator
pˆ Φ ( p) = p Φ ( p )
pˆ f = ∫ d x ∫ dx´ ϕ ( x ) ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) ϕ ( x´) f
ϕ ( x´) f = f xˆ ( x´)
Die
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) sind zu berechnen
Betrachte:
[ ]
h
h
ϕ ( x ) pˆ , xˆ ϕ ( x´) = ϕ ( x ) 1 ϕ ( x´) = 1 δ (x − x´)
i
i
Hier wird erstmalig die 1 explizit als Einheitsmatrix dargestellt. Dies wurde möglicherweise oben hi und da
versäumt !
h
ϕ ( x ) pˆ xˆ ϕ ( x´) − ϕ ( x ) xˆ pˆ ϕ ( x´) = 1 δ ( x − x´)
i
ˆx ϕ ( x´) = x´ ϕ ( x´)
ϕ ( x ) xˆ = xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x )
h
⇒ (x´− x ) ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) = 1 δ ( x − x´)
i
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) in der Umgebung des Ortes x.
ˆ ϕ ( x´) derweil passiert:
Das heißt: Wir halten x fest und lassen x´laufen und betrachten, was mit ϕ ( x ) p
Betrachten wir nun das Verhalten von
Nun:
1) δ
2)
3)
( x − x´) ist gerade lokalisiert in x´um x. Überall sonst gleich Null
( x − x´) ist eine ungerade Funktion um x ( im ort)
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) ist also eine ungerade Funktion mit Deltaartigem Charakter !
Mittels
( x´− x ) ϕ ( x )
h
pˆ ϕ ( x´) = 1 δ ( x − x´)
i
Schreiben wir:
h
pˆ ϕ ( x´) = 1 (x − x´)δ (x − x´)
i
( x − x´)δ ( x − x´) = 0
( x´− x ) 2 ϕ ( x )
Dabei wurde verwendet:
f ( x )δ ( x ) = f ( 0)δ ( x )
xδ ( x ) = 0
∫
dxf ( x)δ (x ) = f (0) = ∫ dxf (0)δ (x ) = f (0) ∫ dxδ ( x )
Nun:
Entwicklung von
f xˆ ( x´) um
x:
f xˆ ( x´) = f xˆ ( x ) + ( x´− x )
∂
( x´− x ) 2 ∂ 2
f xˆ ( x´) +
f ˆ ( x´)
x
x
∂x´
2
∂x´2 x
Somit:
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x´) = ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x ) +
∂
( x´− x ) 2 ∂ 2
+ ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) ( x´− x )
f xˆ ( x´) + ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´)
f ( x ´) + O ( x 3 )
2 xˆ
x
x
∂x´
2
∂x´
Aber:
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) ( x´− x ) i = 0
i≥2
Somit ist die Entwicklung zur ersten ordnung bereits exakt:
∂
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x´) = ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x ) + ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) ( x´− x )
f ˆ ( x´)
x
∂x´ x
( x´− x ) ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) = h 1 δ ( x − x´)
i
h
∂
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x´) = ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x ) + 1 δ ( x − x´)
f ˆ ( x´)
x
i
∂x´ x
Also:
∫
h
∂
dx´ ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x ´) f xˆ ( x ´) = f xˆ ( x ) ∫ dx´ ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) + ∫ dx´ 1 δ ( x − x´)
f ˆ ( x´)
x
i
∂x´ x
∫
dx´ ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x ´) = 0
Dieses Integral verschwindet da, wie oben gezeigt wurde,
ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) eine ungerade Funktion in x´ ist
es verschwindet also alles bis auf die exakt erste ordnung der Entwicklung.
Nun:
h
∂
dx´ ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x´) = ∫ dx´ 1 δ ( x − x´)
f ˆ ( x´)
x
i
∂x´ x
h
∂
h ∂
∫ dx´ i 1 δ ( x − x´) ∂x´ f xˆ (x´) x = i 1 ∂x f xˆ (x )
h ∂
⇒ ∫ dx´ ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) f xˆ ( x´) = 1
f ˆ (x )
i ∂x x
h ∂
⇒ ∫ dx´ ϕ ( x ) pˆ ϕ ( x´) = 1
i ∂x
∫
Lezteres ist der Impulsoperator in ortsdarstellung
Also:
h ∂
pˆ f = ∫ dx ϕ ( x )
f ˆ (x )
i ∂x x
ϕ ( x ) f = f xˆ ( x )
h ∂
h ∂
⇒ ϕ ( x´) pˆ f = ∫ dx ϕ ( x´) ϕ ( x )
f xˆ ( x ) =
f ˆ ( x´)
i ∂x
i ∂x´ x
ˆ
:= x pˆ f ˆ ( x´)
x
Mit dem Impulsoperator in ortsdarstellung:
xˆ
pˆ
3.5.4.3 Impulseigenfunktionen
Setze:
f = Φ ( p ) , ϕ ( x´) Φ ( p ) := Φ xˆ ( x´, p )
h ∂
ϕ ( x ) pˆ Φ ( p ) =
Φ ˆ ( x , p ) = p ϕ ( x ) Φ ( p ) = p Φ xˆ ( x , p )
i ∂x x
h ∂
Φ ˆ ( x , p ) = pΦ xˆ ( x , p)
i ∂x x
Eine DGL zur Bestimmung der Impulseigenfunktionen
DGL lösen in ortsdarstellung:
Φ xˆ ( x , p)
i
px
h
= Ce
Normierung liefert:
Φ xˆ ( x , p ) =
C=
i
px
h
Ce
1
2πh
3
Problem:
Definitionsbereich von
In der ortsdarstellung
Φ xˆ ( x , p)
Φ xˆ ( x , p)
i
px
h
= Ce
ist noch unklar
i
px
h
= Ce
hängt
Φ xˆ ( x , p)
i
px
h
= Ce
noch von beiden, ort und IMpuls ab.
In der Ortsdarstellung jedoch ist x als Varible und p lediglich als Parameter zu verstehen
3.5.4.4 zeitunabhängige Schrödingergleichung
2
1 h
1 ˆ
ˆ
ˆ 2
 ∇ − qA  + qVˆ =
 p − qA  + qVˆ

2m  i
2m 

Aˆ = Aˆ ( x )
Vˆ = Vˆ ( x )
H =
Ersteres in ortsdarstellung, letzteres darstellungsfrei.
der Hamiltonian wirkt dabei auf kets:
Behauptung:
Ersteres in ortsdarstellung:
xˆ
2
1 h
ˆ
H=
 ∇ − qA  + qVˆ
2m  i

wirkt auf ortsfunktionen !
In der Schrödingergleichung hat der Hamiltonian im Wesentlichen 2 bedeutungen:
1) er wirkt als Zeitschiebeoperator
2) er wirkt als Energie- Eigenwertoperator
3.5.5 Impulsdarstellung:
pˆ Φ ( p) = p Φ ( p)
pˆ
pˆ δ ( p − p´) = pδ ( p − p´) = p´δ ( p − p´)
Vorhin hatten wir das Eigenwertproblem des Impulsoperators in Ortsdarstellung gelöst.
Nun machen wir uns an das Eigenwertproblem des Ortsoperators in Impulsdarstellung !
Trivial sind Eigenwertproblem von ortsoperator in Ortsdarstellung und des Impulsoperators in
Impulsdarstellung:
Φ( p ) xˆ ϕ ( x ) = Φ( p ) x ϕ ( x )
Φ( p ) ϕ ( x ) := Φ pˆ ( p , x )
Dabei:
Φ pˆ ( p , x ) als Ortseigenfunktion in Impulsdarstellung,
entsprechend
Φ xˆ * ( p , x ) als Komplex Konjugiertes der Impulseigenfunktion in Ortsdarstellung
Es gilt dann
pˆ
h ∂
xˆ Φ pˆ ( p , x ) = −
Φ ˆ ( p, x )
i ∂p p
22.11.02
Wiederholung:
pˆ Φ ( p) = p Φ ( p)
pˆ δ ( p − p´) = pδ ( p − p´) = p´δ ( p − p´)
xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x )
pˆ
Φ( p ) xˆ ϕ ( x ) = Φ( p ) x ϕ ( x )
Φ( p ) ϕ ( x ) := Φ pˆ ( p , x )
Nun gilt:
Φ ˆp ( p , x ) = Φ xˆ * ( x , p )
Dabei ist insbesondere die Vertauschung von Ort und Impuls von Bedeutung
pˆ
h ∂
xˆ Φ pˆ ( p , x ) = −
Φ ˆ ( p, x )
i ∂p p
Summary:
Wir gehen aus:
Axiome der Quantenmechanik mit
x& ≡ 0
div x& ≡ 0
Dann : Schrödingergelichung
Wir versuchen, die physikalischen grundgrößen als Operatoren in ortsdarstellung auszudrücken:
xˆ
xˆ = x
xˆ δ ( x − x´) = xδ ( x − x´)
h ∂
xˆ ˆ
p=
i ∂x
xˆ
xˆ
h ∂
pˆ Φ xˆ (x , p ) =
Φ ˆ ( p, x ) = pΦ xˆ ( x , p )
i ∂x x
Φ xˆ ( x , p ) = ϕ ( x ) Φ ( p ) =
pˆ
h ∂
xˆ = −
i ∂p
1
3
2πh 2
i
px
h
e
Φ ˆp ( p , x ) = Φ xˆ * ( x , p )
Von den physikalischen grundgrößen als Operatoren in ortsdarstellung kommen wir zum zeitableitungsoperator:
[
i
Fˆ ° = ∂ t Fˆ + H , Fˆ
h
]
Nun sind demnach die Vertauschungsrelationen zu finden:
[pˆ , xˆ ] = hi 1
Und wir kommen von den physikalischen grundgrößen als Operatoren in Ortsdarstellung zu den Observablen
Fˆ = Fˆ +
4. Anwendungen
4.1 eindimensionale Probleme
vergl. Bücher/ Einführung/ Übungsaufgaben
4.2 Der lineare harmonische Oszillator:
Potenzial:
k
1
Vˆ ( x ) = xˆ 2 = mω 2 xˆ 2
2
2
1 ˆ2 1
H =
p + mω 2 xˆ 2
2m
2
h
pˆ , xˆ = 1
i
i
xˆ ° = H , xˆ
h
i
pˆ ° = H , pˆ
h
[ ]
[ ]
[
]
Bereits berechnet:
[Fˆ , xˆ ] = hi ∂ p Fˆ
[Fˆ , pˆ ] = − hi ∂ x Fˆ
[ ]
i
pˆ
⇒ xˆ ° = H , xˆ = ∂ p H =
h
m
i
pˆ ° = H , pˆ = −∂ x H = −mω 2 xˆ
h
[
]
Also:
[
]
ˆ°
ˆx °° = i H , xˆ ° = p
h
m
i
pˆ ° = H , pˆ = −∂ x H = −mω 2 xˆ
h
°°
⇒ xˆ = −ω 2 xˆ
[
]
Lösungsansatz im Auf- und Absteigerformalismus:
( )
pˆ = B(bˆ − bˆ )
xˆ = A bˆ + bˆ +
+
xˆ = xˆ + ⇒ A ∈ R
pˆ = pˆ + ⇒ B ∈ I
[pˆ , xˆ ] = AB{(bˆ − bˆ+ )(bˆ + bˆ+ )− (bˆ + bˆ + )(bˆ − bˆ+ )}
{
[ ]
}
h
= 2 AB bˆ bˆ + − bˆ + bˆ = 2 AB bˆ , bˆ + = 1
i
Wähle:
2 AB =
h
i
[ ]
( )
( )
⇒ bˆ , bˆ + = 1
1 ˆ
x = bˆ + bˆ +
A
1 ˆ
p = bˆ − bˆ +
B
1 1
1 
⇒ bˆ =  xˆ + pˆ 
2 A
B 
11
1 
bˆ + =  xˆ − pˆ 
2A
B 
4.2.3 Eigenwertproblem
(
)
(
1 2 ˆ ˆ+ 2 1
B b−b
+ mω 2 A2 bˆ + bˆ +
2m
2
2
h
h
2 AB = ⇒ A2 = −
i
4B2
H =
⇒H =
)
2
2
1 2  ˆ 2 ˆ ˆ + ˆ+ ˆ ˆ + 2 2 1
B  b − b b − b b + b  + mω 2 A 2  bˆ 2 + bˆ bˆ + + bˆ +bˆ + bˆ + 
2m 

2


An sich können wir A UND B frei wählen. Bisher wurde nur
A2 = −
h2
4B 2
verwendet.
Wähle nun weiter:
1 2
mω 2 A 2
B =−
2m
2
Ziel:
Elimination der quadratischen terme des AUfsteigers und Absteigers
A2 = −
h2
4B2
1 2 mω 2 h 2
B =
2m
2 4B2
Diese Gleichung besitzt 4 Lösungen.
Weiter wussten wir jedoch noch, dass B rein imaginär sein soll !!
Also:
hmω
2
B = −i
h
2m ω
A=
Einsetzen in
2
2
2
1 2
1
H =
B  b − bˆ bˆ + − bˆ + bˆ + bˆ +  + mω 2 A 2  bˆ 2 + bˆbˆ + + bˆ +bˆ + bˆ + 
2m 

2


hω
hω ˆ ˆ + ˆ + ˆ hω ˆ ˆ +
+
+
+
⇒H =−
− 2bˆbˆ − 2bˆ bˆ =
bb + b b =
b , b + 2bˆ bˆ
2
2
2
h
ω
H = hωbˆ + bˆ +
bˆ, bˆ +
2
(
)
(
)
([
]
)
[ ]
Da wir nun dreidimensional rechnen, müssen wir jedoch noch den Kommutator zwischen
spezialisieren:
[bˆ , bˆ ]= 1 = bˆ bˆ
j
+
j
j
+
3
j
− bˆ + j bˆ j
ˆ ˆ
⇒ b j , b + j  = ∑ bˆ j bˆ + j − bˆ + j bˆ j = 3


j =1
Also folgt:
3
H = hωbˆ +bˆ + hω
2
Eindimensional:
1
H = hωbˆ +bˆ + hω
2
Satz:
Es gilt:
[bˆ, bˆ ] etwas
+
nˆ := bˆ + bˆ
⇒ nˆ , bˆ + = bˆ +
nˆ , bˆ = −bˆ
[ ]
[ ]
bˆnˆ = ( nˆ + 1) bˆ
bˆ + nˆ = bˆ +bˆ + bˆ = bˆ + bˆbˆ + − bˆ + b + , bˆ = ( nˆ − 1)bˆ +
bˆ q , nˆ = qbˆ q
[ ]
[ ]
(bˆ ) , nˆ  = −q (bˆ )


+ q
+ q
q∈N
Alle Operatoren mit den angegebenen Vertauschungsrelationen besitzen sogenannte
STUFENEIGENSCHAFT!
Stufeneigenschaft
nˆ u n = n u n
Betrachte
bˆ q nˆ u n = qbˆ q u n + nˆ bˆ q u n = bˆ q n u n
⇒ nˆ bˆ q u n = (n − q ) bˆ q u n
Analog:
( )
( )
q
q
nˆ bˆ + u n = (n + q ) bˆ + u n
Also:
Als Eigenwertproblem von
Zum Eigenwert
n̂ gewinnt man folgende Reihe:
gehört Eigenfunktion
b̂ q u n
n-q
...
...
n-1
b̂u n
n
un
n+1
bˆ + u n
...
(bˆ ) u
+ q
n+q
n
Einwurf und Fortführung: Kohärente Zustände
1. Kohärente (quasiklassische) Zustände
1.1 Abstract
Untersucht man die stationären Zustände
ϕn
des harmonischen Oszillators, so sind die Erwartungswerte von
Ort und Impuls in einem solchen Zustand Null. Statt dessen ergeben sich von Null verschiedene
Erwartungswerte
X̂ 2 und P̂ 2 , sogenanntes Quantenrauschen, welches für die Heisenbergsche
Unschärferelation verantwortlich ist.
Aus der klassischen Mechanik ist jedoch bekannt, dass Ort und Impuls eines Oszillators sich periodisch ändern.
Sie können nur dann konstant gleich null sein, wenn das auch für die Energie der Fall ist.
Für die Energie gilt jedoch:
1
Hˆ = (n + ) hϖ . Bekanntlich gelangt die Quantenmechanik für große
2
Quantenzahlen hinsichtlich ihrer Ergebnisse zu den gleichen Resultaten wie die klassische Mechanik.
Es drängt sich also die Frage auf: Kann man Quantenzustände konstruieren, für die die physikalischen
Voraussagen der Quantenmechanik zumindest bei einem makroskopischen Oszillator mit den Aussagen der
klassischen Mechanik identisch sind ?
Derartige Zustände existieren. Es sind kohärente Überlagerungen aller stationären Zustände
ϕ n . Man nennt
sie deshalb auch quasiklassische oder kohärente Zustände.
Bei der elektromagnetischen Strahlung kann man den Fall beobachten, dass klassische Lösungen übergehen in
Effekte, die deutlichen Quantencharakter zeigen. Die Interferenz von Photonen am Doppelspalt bei äußerst
geringen Intensitäten ist nur ein Beispiel. Die kohärenten Zustände spielen deshalb auch in der Quantenoptik
eine große Rolle. Sie wurden von Glauber eingeführt und heißen demnach auch
Glauberzustände.
Bekanntlich vertauschen die Operatoren für Ort und Impuls nicht. Ein Zustand, aus dem exakt die klassischen
Ergebnisse resultieren kann demnach gar nicht existieren.
Wir begnügen uns mit der Suche nach einem Zustand, für den zu einer beliebigen Zeit t die Erwartungswerte von
Ort , Impuls und Energie möglichst nahe an den entsprechenden klassischen Werten liegen.
Das Ergebnis wird ein Kompromiss sein, bei dem keine der drei Observablen vollständig bestimmt ist, jedoch
wird sich herausstellen, dass man im makroskopischen Grenzfall die Standardabweichungen der Größen
gänzlich vernachlässigen darf. Am Beispiel eines makroskopischen Oszillators wird gezeigt, dass beispielsweise
die Ortsunschärfe weit unter einem Kerndurchmesser liegt und damit die Ergebnisse der klassischen Mechanik
weit genauer sind als dass man in makroskopischen Grenzfällen ihre Abweichungen mit physikalischen
Methoden heute messen könnte.
2.2 Der klassische Oszillator
Wir erinnern uns an die hamiltonschen Bewegungsgleichungen des Oszillators mit Masse m und Kreisfrequenz
w:
d
1
x (t ) = p (t )
dt
m
d
p(t ) = −m ω 2 x (t )
dt
Der Einfachheit halber werden dimensionslose Größen eingeführt:
xˆ (t ) = βx (t )
1
pˆ (t ) =
p( t )
hβ
β=
mω
h
Die Bewegungsgleichungen lauten:
d
dt
d
dt
xˆ (t ) = ω pˆ (t )
pˆ (t ) = −ω xˆ (t )
Klassisch ist ein solcher Oszillator bestimmt, wenn für alle Zeiten Ort und Impuls bekannt sind. Das Problem
des Oszillators eines Freiheitsgrades ist also zweidimensional, man fasst die beiden Größen x und p zu einer
komplexen Größe
α (t ) =
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] zusammen.
2
Das Gleichungssystem ist dann äquivalent zu einer Gleichung
d
α (t ) = −i ωα ( t )
dt
Die Lösung lautet
α (t ) = α ( 0) exp( −i ω t ) mit α (0) = α 0 =
1
[xˆ (0) + ipˆ ( 0)]
2
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] einen Vektor, der mit der
2
xˆ (t )
Winkelgeschwindigkeit − ω um den Ursprung rotiert. Dabei gibt die Abszisse
an, auf der Ordinate findet
2
pˆ ( t )
sich
. Die Darstellung ist also sehr einfach und eine Bewegung mit bestimmten Anfangsbedingungen ist
2
durch den Punkt α 0 bereits vollständig charakterisiert.
1
Aus α (t ) = α ( 0) exp( −i ω t ) ergibt sich mit α (t ) =
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] nun:
2
1
xˆ (t ) =
[α (0) exp( −iω t) + α (0) * exp(iω t )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α (0) exp(−iω t) − α (0) * exp(iω t )]
2
In der komplexen Ebene beschreibt α (t )
=
Die klassische Energie des Systems ist zeitlich konstant:
1
[ p (0) ]2 + 1 mω 2 [x( 0) ]2
2m
2
hω
E=
[ p (0) ]2 + [ x( 0)]2 = hω α 0
2
E=
{
}
2
Für einen makroskopischen Oszillator ist die Energie viel größer als
hω . Also gilt α 0 >> 1
2.3 Definition der quasiklassischen Zustände
Ziel: Die Erwartungswerte
Xˆ , Pˆ , Hˆ sollen zu allen Zeiten praktisch gleich den Werten xˆ, pˆ , Hˆ der
klassischen Bewegung sein.
Einfach ist die Berechnung der Erwartungswerte in algebraischer Schreibweise. Ort, Impuls und Energie werden
dabei durch Auf- und Absteiger ausgedrückt:
1
Xˆ = βX =
(a + a + )
2
1
i
Pˆ =
P=−
(a − a + )
hβ
2
1
Hˆ = hω ( a + a + )
2
a + = a * ist zunächst a wieder als "komplexer, hermitescher Operator" zu sehen, dessen Realteil
wegen
dem Ort und dessen Imaginärteil dem Impuls entspricht.
Die zeitliche Entwicklung eines Matrixelements erfolgt durch die Differentialgleichung
d
a ( t ) = [a, H ] ( t )
dt
[a , H ] = hω a , a + a = hω a
ih
[
]
Also folgt eine Differentialgleichung für den Absteiger
a (t ) = a ( 0)e ( − iω t )
mit
[a , H ] = hω[a
+
+
]
, a + a = −hω a + folgt:
a + (t ) = a + ( 0)e ( iωt ) = a * ( 0)e ( iωt )
Diese Bewegungsgleichungen für Auf- und Absteiger entsprechen der klassischen Gleichung
α (t ) = α ( 0) exp( −i ω t )
Werden die Lösungen für die zeitliche Entwicklung dieser Operatoren in unsere Definition von Energie,Ort und
Impuls eingesetzt, so ergibt sich:
Xˆ ( t ) =
Pˆ ( t ) = −
1
2
(a + a + ) =
i
2
[ a (0)e
2
1
(a − a + ) = −
− iω t
[ a (0)e
2
i
+ a * (0)e i ωt
−i ωt
]
− a * ( 0)e i ωt
]
1
hω
Hˆ (t ) = Hˆ ( 0) = hω ( a + a + ) = hω a + a (0) +
2
2
Vergleicht man dies mit der Lösung für den klassischen Fall ( Remember: Ort und Impuls wurden als komplexe
Zahl
α (t ) =
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] zusammengefasst, deren Bewegungsgleichung d α (t ) = −iωα ( t) beide
dt
2
Hamiltonsche Gleichungen erfüllt), die denn lauteten:
1
[α (0) exp( −iω t) + α (0) * exp(iω t )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α (0) exp(−iω t) − α (0) * exp(iω t )]
2
xˆ (t ) =
So ist notwendig und hinreichend für unsere Bedingung
Xˆ ( t ) = xˆ (t )
Pˆ ( t ) = pˆ (t )
dass
a (0) = α 0
Unser Ziel war es nun jedoch, durch den Vergleich mit dem komplexen Parameter zur Charakterisierung der
klassischen Bewegung Zustände zu suchen, in denen die klassische Bewegung quantenmechanisch möglichst gut
approximiert wird. Diese Zustandsvektoren müssen normierbar sein und wir erhalten als erstes die Bedingung
a (0) = Ψ( 0) a Ψ( 0) = α 0
Eine weitere Bedingung wurde uns durch die Energie geschenkt, für die gilt:
1
hω
+
+
Hˆ (t ) = Hˆ (0) = hω ( a a + ) = hω a a ( 0) +
= hω α 0
2
2
Näherung:
Da für einen klassischen Operator
Bedingung an den Zustandsvektor
α 0 >> 1 können wir den Term
a + a (0) = α 0
2
hω
vernachlässigen und es gilt als zweite
2
2
Diese beiden Bedingungen genügen jedoch zur Bestimmung des normierten Vektors
Ψ ( 0) bis auf einen
Phasenfaktor.
Wirkung des Vernichtungsoperators auf quasiklassische Zustände
Mit dem Operator
b = a − α0
Kann die Norm des Kets
b(α 0 ) Ψ0 berechnet werden:
Ψ0 b + (α 0 )b(α 0 ) Ψ0 = Ψ0 a + a Ψ0 − α 0 Ψ0 a + Ψ0 − α 0 * Ψ0 a Ψ0 + α 0 * α 0
Mit
a (0) = Ψ( 0) a Ψ( 0) = α 0 und a + a (0) = α 0
2
folgt dann:
Ψ0 b + (α 0 )b(α 0 ) Ψ0 = α 0 * α 0 − α 0α 0 * −α 0α 0 * +α 0 * α 0 = 0
Jedoch ist nur der Nullvektor vom Betrag Null, woraus folgt:
b(α 0 ) Ψ0 = 0
also:
a Ψ0 = α 0 Ψ0
Somit folgt aus unseren Bedingungen, dass
Ψ0 Eigenzustand zum Vernichtungsoperator mit dem Eigenwert
α 0 sein muss, damit der Zustandsvektor Ψ0 den Bedingungen einer klassischen Bewegung mit dem
Parameter
α 0 genügt. Im Folgenden heiße Ψ0 := α 0 . Der Eigenvektor von a zum Eigenwert α ist α :
a α =α α
Aus dieser Eigenwertgleichung lassen sich die Lösungen
α bestimmen, indem α in den
quantenmechanischen Eigenzuständen des harmonischen Oszillators entwickelt wird. ( Diese ergeben sich durch
Lösung der Schrödingergleichung):
α = ∑ c n (α ) ϕ n
n
Die Wirkung des Absteigers auf die qm- Eigenzustände ist jedoch bekannt:
a α = a∑ c n (α ) ϕ n = ∑ c n (α ) n ϕ n −1 = α α = α ∑ cn (α ) ϕ n
∑ c n (α )
n
n
n
n
n ϕ n−1 = α ∑ cn (α ) ϕ n
n
→ cn +1 (α ) =
α
n +1
(Verschiebung des Summationsindex)
c n (α )
Man hat also eine Rekursionsformel für die Entwicklungskoeffizienten gefunden:
αn
c 0 (α )
n!
Es bleibt nun also, c 0 (α ) zu bestimmen. Allerdings kennen wir weitere Bedingungen an die c n (α ) . So sollten
c n (α ) =
nämlich alle Zustände
α normierbar sein. Dies bedeutet jedoch, da die quantenmechanischn Eigenzustände
selbst normiert sind:
∑ cn (α )
2
n
=1 = ∑
n
2
| α |2n
| c0 (α ) | 2 =| c0 (α ) | 2 e|α|
n!
Vereinbaren wir noch, dass c 0 (α ) reell und positiv sein soll, so ergibt sich:
c 0 (α ) =
−|α | 2
e 2
→ α =e
−
|α |2
2
αn
∑ n! ϕ n
n
Die kohärenten Zustände sind damit vollständig bestimmt.
2.4 Erwartungswerte und Streuungen von Energie, Ort und Impuls
Nun kann man die Energie eines Oszillators im kohärenten Zustand
mit dem klassischen Ergebnis vergleichen:
α =e
−
|α |2
2
αn
∑ n! ϕ n berechnen und
n
1
En = (n + )hω mit der
2
2
n
2 |α |
= e −|α |
. Dies ist eine Poisson- Verteilung.
n!
Eine Energiemessung liefert den Wert
Wahrscheinlichkeit
Pn (α ) = c n
2
Man sieht, dass auch die Wahrscheinlichkeiten einer Rekursion genügen:
| α |2
Pn (α ) =
Pn−1 (α )
n
Aus dieser Beziehung läßt sich ableiten, dass
Pn (α ) für n = ganzzahliger Teil von | α | 2 maximal wird ( unter
der Bedingung, dass n ganzzahlig ist).
α a + a α = α * α sieht man:
Mit
 +
= hω α  a a +

1
1

 2 1
α
=
h
ω
α
*
α
+
=
h
ω

| α | + 2 
α
2 
2 



Für unserer Bedingung an makroskopische Oszillatoren: | α |>> 1 ,sieht man also, dass die im kohärenten
Hˆ
Zustand zu erwartende Energie nur wenig von der Energie
maximaler Wahrscheinlichkeit
E n abweicht, die bei Messung in ϕ n mit
Pn (α ) zu erwarten ist.
Ebenso einfach kann man mit Hilfe von
[a, a ] = 1 den Erwartungswert
+
2
Hˆ 2
α
1
1


= h 2ω 2 α a + a +  α = h ²ω ² | α | 4 +2 | α | 2 +  berechnen
2
4


und man erhält dann eine Standardabweichung
∆Hˆ α = hω | α |
Die relative Standardabweichung
∆Hˆ α
1
≈
<< 1 für große | α |
|α |
Hˆ
α
Damit ist die Energie im kohärenten Zustand relativ gut bestimmt
Remember:
1
Xˆ = βX =
(a + a + )
2
1
i
Pˆ =
P=−
(a − a + )
hβ
2
Somit, wie jeder leicht nachrechnen kann, ergibt sich:
2h
Re(α )
mω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im(α )
X2
P2
[
[
]
]
h
(α + α *) 2 + 1
α
2 mω
m ωh
=
1 − (α − α *)2
α
2
=
Also kann man direkt die Standardabweichungen angeben:
∆X α =
h
2m ω
∆Pα =
mhω
2
Beide hängen nun nicht mehr von
erlaubten Wert:
α ab und Ihr Produkt liefert den nach der Unschärferelation minimalen
h
2
∆X α ⋅ ∆Pα =
2.5 Erzeugung quasiklassischer Zustände aus dem Grundzustand
Wir definieren den Operator
D (α ) = e (αa
+
−α *a)
D + (α ) = e (α *a
Mit Hilfe von
e
A +B
=e e
−α a + )
[αa
A B
+
]
, α * a = α * α =| α | 2 und
−[ A, B ]
e 2 falls [[ A, B],
A] = [[ A, B], B] = 0
folgt:
D (α ) = e
−
|α | 2
+
2 eα a e −α *a
Wenn wir diesen Operator nun auf den Grundzustand der quantenmechanischen Zustände
ϕ 0 wirken lassen,
so ergibt sich wegen
e
−α *a


(α *) 2 a 2
ϕ 0 = 1 − α * a +
+ .... ϕ 0 = ϕ 0
2!


D(α ) ϕ 0 = e
−
|α |2
+
2 eαa
Die Wirkung von D (α ) =
ϕ0 = e
e
−
−
|α |2
2
−
(αa + ) n
∑ n! ϕ 0 = e
n
|α | 2
2
αn
∑ n! ϕ n = α
n
|α | 2
+
2 eα a e −α *a ist folglich die unitäre Transformation, die aus dem Grundzustand
ϕ 0 den quasiklassischen Zustand α erzeugt.
2.6 Kohärente Wellenfunktionen in Ortsdarstellung
Bleibt noch, die Wellenfunktion
Ψα ( x ) = x α = x D(α ) ϕ 0 zu berechnen ( α in Ortsdarstellung)
Dazu kann man den Operator
αa + − α * a durch X und P ausdrücken:
mω  α − α * 
i  α + α *
αa + − α * a =

X −

P
h 
2 
m hω 
2 
Daraus folgt:
D (α ) = e (αa
+
−α *a )
m ω  α −α * 
i  α +α *  α *2 −α 2

X −

P
h  2 
e m hω  2  e 4
=e
Dies kann nun zur Berechnung der Ortsdarstellung des kohärenten Zustands herangezogen werden:
Ψα ( x ) = x e
mω  α −α * 
i  α +α *  α *2 −α 2

X −

P
h  2 
e mhω  2  e 4
ϕ0
mω  α −α * 
i  α +α * 

X −

P
h  2 
m
hω  2 
e
ϕ0
Ψα ( x ) =
α *2 −α 2
e 4
Ψα ( x ) =
mω  α −α * 
α *2 −α 2

x
h  2 
4
e
e
xe
−
xe
i  α +α * 

P
mhω  2 
iλP
e h ist jedoch gerade der Translationsoperator um
−
xe
i  α +α * 

P
mhω  2 
Ψα ( x) =
α *2 −α 2
e 4
e
ϕ0
λ längs der x- Achse. Darum gilt:
h
(α + α *)
2m ω
|= x −
mω  α − α * 

 x
h 
2 

ϕ0  x −


h
(α + α *) 
2mω

Wegen
2h
Re(α ) =
mω
h
(α + α *)
2m ω
X
α
=
P
α
= 2mhω Im( α ) =
m hω
(α − α *)
2
kann man schließlich schreiben:
Ψα ( x ) =
α *2 − α 2 i P α x
e 4 e h ϕ
0
(x −
X
α
)
Fazit: Multipliziert man die Wellenfunktion ϕ 0 ( x ) des Grundzustands des eindimensionalen Oszillators mit
i P αx
dem oszillierenden Faktor
e
h
und verschiebt man sie dann um
die Ortswellenfunktion für den Zustand
α
Aus der Quantenmechanik ist bekannt:
 mω
ϕ 0 ( x) = 

 πh 
α
längs der x- Achse, so erhält man
α *2 −α 2
. Der Phasenfaktor e 4
kann man vernachlässigen, da er
physikalisch keine Rolle spielt.
1  mω x 2 


 4  − 2h 
e
X
∆X α =
h
2mω
1
4
 mω
ϕ 0 ( x) = 

 πh 

x2
 −
2
e  4 (∆X α )



Somit gilt:

1  − 1  x − X
 4  4  ∆X α
(
 mω
)
=


α
πh
ϕ0 x − X

α
e





2




und man kann explizit angeben:
Ψα ( x ) =
  x− X
i P α x  − 1
 4  ∆X α
e h e 
1
4
α *2 −α 2
e 4
 mω


 πh 
α




2




Die Wahrscheinlichkeitsdichte des kohärenten Zustands im Ortsraum ergibt sich demnach zu
2
 mω 
Ψα ( x) = 
 e
 πh 
Man erhält also für jeden
 1  x− X
− 
 2 ∆ X
α
 
α




2




α - Zustand ein Gauß-Paket.
Es läßt sich zeigen, dass die kohärenten Zustände ( die ja, wie gezeigt, normierbar sind), die
Orthogonalitätsbedingungen und die Vollständigkeitsrelation erfüllen.
2.7 Zeitliche Entwicklung eines quasiklassischen Zustands
Der harmonische Oszi sei zum Anfangszustand in einem bestimmten
α - Zustand:
ψ (0) = α 0
Wir wissen:
α =e
−
|α |2
2
αn
ϕn
n!
∑
n
. Die Zeitentwicklung der quantenmechanischen Eigenzustände ist jedoch
aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung bekannt:
ψ n ( x, t ) = e
−
iE n t
h ψ
n (x )
Somit kann angegeben werden:
ψ (t ) = e
−
|α 0 | 2
2
∑
α0n
n
n!
e
−
iE nt
h
ϕn = e
−
|α 0 |2 − iωt
2 e 2
∑
α0 n
n
Nun ist aber:
e
−
|α 0 | 2 −i ωt
2 e 2
∑
n
α 0n
n!
e
− inωt
ϕn
−i ωt
=e 2
α = α 0 e −iωt
Und es ergibt sich der zeitentwickelte Zustand explizit:
n!
e −inω t ϕ n
ψ (t ) =
− iω t
e 2
α = α 0e − iωt
Es genügt also, α 0 durch
α0e
−i ωt
−i ωt
zu ersetzen und den so erhaltenen Ket- Vektor mit e 2 zu multiplizieren ,
−i ωt
um vom Anfangszustand zum zeitentwickelten Zustand zu gelangen. e 2 ist dabei ohnehin ein globaler
Phasenfaktor ohne physikalische Konsequenzen. Somit bleibt der kohärente Zustand stets ein Eigenvektor zum
Vernichtungsoperator mit dem Eigenwert
α 0 e −i ωt Dies ist jedoch nichts anderes als der Parameter
1
[xˆ (t) + ipˆ (t) ] , der den Zustand des klassischen Oszillators vollständig charakterisiert.
2
α (t ) =
Zeitliche Entwicklung der physikalischen Eigenschaften
Wir verwenden nun α
= α 0e −iωt und erhalten sofort
2h
− iωt
Re(α 0 e
)
mω
X
α
=
P
α
= 2m hω Im(α 0 e −iωt )
Dies entspricht nun genau den klassischen Beziehungen
1
[α (0) exp( −iω t) + α (0) * exp(iω t )]
2
−i
pˆ (t ) =
[α (0) exp(−iω t) − α (0) * exp(iω t )]
2
xˆ (t ) =
Wir erhalten
1

= hω | α 0 | 2 + 
2

∆ H α = hω | α 0 |
H
α
∆X α =
h
2 mω
∆Pα =
m hω
2
Somit sind Energie und alle Schwankungen in Energie, Ort und Impuls zeitunabhängig. Das Wellenpaket bleibt
zu jedem Zeitpunkt minimal. Es zerfließt also nicht.
α * −α
e 4
2
Ψα ( x ) =
2
1
4
 mω


 πh 
Ψα ( x , t ) = x Ψ(t ) =
  x− X
i P α x  − 1
 4  ∆X α
e h e 
α *2 −α 2
e 4
1
4
 mω


 πh 
α




2



 wird
 1  x− X
− iω t i P α x  − 
4 ∆X α
e 2 e h e 
α




2




Das Gaußsche Wellenpaket erhält also als Zeitentwicklungsfaktor lediglich eine oszillierende Phase. Die Form
des Pakets bleibt vollständig erhalten.
Zu allen Zeiten bleibt
2
2
 mω 
Ψα ( x) = ϕ 0 [x − X (t )] = 

 πh 
 1  x− X
− 
 2  ∆X
α

e
α




2




Die Bewegung des Wellenpaketes ist also eine harmonische Schwingung entlang der x- Achse mit der Periode
T=
2π
ω
Während das freie Gaußpaket zerfließt, passiert dies in einem parabelförmigen Potenzial nicht mehr. an kann
sich dies so vorstellen, dass das Potenzial das Paket aus Bereichen mit großem Potenzial wieder zurückdrängt
und so der Verbreiterung entgegenwirkt.
Für sehr große | α | ändern sich die Standardabweichungen für Ort und Impuls nicht. Statt dessen werden die
Amplituden
X (t ) und P (t ) sehr groß im Vergleich zu ∆X und ∆P . Mit wachsendem | α | kann man also
eine quantenmechanische Bewegung erhalten, für die Ort und Impuls des Oszillators beliebig genau bestimmt
sind (relativ beliebig genau). Für große | α | beschreibt also der kohärente Zustand die Bewegung des
makroskopischen Oszillators gut. Die Ergebnisse sind gleichwertig der Betrachtung von Ort, Impuls und Energie
als klassische Größen
Bewegung des Gaußpaketes
2.8 Beispiel eines makroskopischen Oszillators:
Seien: m= 1kg, g~10 m/ s², l = 0,1 m
l
g
Es folgt: T ~ 0,63s und ω = 10rad / s
Der Oszillator werde um die Amplitude x m = 1cm ausgelenkt
Es gilt:
T = 2π
Wegen
X
α
=
2h
Re(α 0 e −iω t )
mω
gilt:
| α |=
mω
x
2h m
Dies ergibt bei uns einen Zahlenwert:
| α |≈ 2,2 ⋅1015 >> 1
Die zeitunabhängigen Standardabweichungen in Energie, Ort und Impuls ergeben sich zu
∆H α
1
≈
≈ 0,4 ⋅10 −15 << 1
H α |α |
∆X α =
∆Pα =
h
≈ 2, 2 ⋅ 10 −18 m << xm
2mω
mhω
≈ 2,2 ⋅ 10 −17 kgm / s
2
→ ∆v ≈ 2,2 ⋅10 −17 m / s << 0,1m / s
Man sieht: Die Ortsunschärfe ist kleiner als ein Kernduchmesser, die Geschwindigkeitsunschärfe um ähnliche
Verhältnisse kleiner als die maximale Geschwindigkeit von 0,1 m/s und auch die relative Genauigkeit der
Oszillatorenergie ist ausgezeichnet.
Für die Beschreibung eines makroskopischen Oszillators reichen also die Gesetze der klassischen Mechanik in
weitem Maße aus.
Literaturverzeichnis
Bronstein, Taschenbuch der Mathematik
Cohen-Tannoudji, Quantenmechanik I
Dallmann, Elster, Einführung in die höhere Mathematik III
Fließbach, Quantenmechanik
Langenscheidt, Taschenwörterbuch Englisch-Deutsch
Schwabel, Quantenmechanik
Werner, Bound entangled Gaussian states
Werner, Quantum Information and Quantum Computing
?, Probability Theory
Vorlesung 27.11.2002
k
1
Vˆ ( x ) = xˆ 2 = mω 2 xˆ 2
2
2
1 ˆ2 1
H =
p + mω 2 xˆ 2
2m
2
h
pˆ , xˆ = 1
i
i
pˆ °
xˆ °° = H , xˆ ° =
h
m
i
pˆ ° = H , pˆ = −∂ x H = −mω 2 xˆ
h
°°
⇒ xˆ = −ω 2 xˆ
[ ]
[
[
ˆ
b=
]
]
mω ˆ
1 ˆ
x+i
p
2h
2hmω
ˆ
b+ =
mω ˆ
1 ˆ
x−i
p
2h
2hmω
Vertauschungsrelationen:
nˆ := bˆ + bˆ
⇒ nˆ , bˆ + = bˆ +
nˆ , bˆ = −bˆ
[ ]
[ ]
bˆnˆ = ( nˆ + 1) bˆ
bˆ + nˆ = bˆ +bˆ + bˆ = bˆ + bˆbˆ + − bˆ + b + , bˆ = ( nˆ − 1)bˆ +
bˆ q , nˆ = qbˆ q
[ ]
[ ]
(bˆ ) , nˆ  = −q (bˆ )


+ q
+ q
q ∈ N, q ≥ 0
Dies definiert Operatoren mit sogenannter STufeneigenschaft
3
H = hωbˆ +bˆ + hω
2
Eindimensional:
1
H = hωbˆ +bˆ + hω
2
Stufeneigenschaft:
nˆ u n = n u n
Betrachte
bˆ q nˆ u n = qbˆ q u n + nˆ bˆ q u n = bˆ q n u n
⇒ nˆ bˆ q u n = (n − q ) bˆ q u n
Analog:
( )
( )
q
q
nˆ bˆ + u n = (n + q ) bˆ + u n
Also:
Als Eigenwertproblem von
n̂ gewinnt man folgende Reihe:
Zum Eigenwert
gehört Eigenfunktion
b̂ q u n
n-q
...
...
n-1
b̂u n
n
un
n+1
bˆ + u n
...
(bˆ ) u
+ q
n+q
n
nˆ bˆ q u n = (n − q ) bˆ q u n
( )
( )
q
q
nˆ bˆ + u n = (n + q ) bˆ + u n
Weiter:
bˆ q+1u n bˆ q +1u n ≥ 0
bˆ q+1u n bˆ q +1u n = bˆ q u n bˆ + bˆbˆ q u n = bˆ q u n nˆ bˆ q u n = ( n − q ) bˆ q u n bˆ q u n
bˆ q u n bˆ q u n ≥ 0
⇒ (n − q) ≥ 0 ⇒ n ≥ q ≥ 0
Die Eigenwerte von n̂ sind nicht negativ !
Für n=q
bˆ n+1u n bˆ n +1u n = 0
⇒ bˆ n +1u n = 0
Speziell: n=0
bˆu 0 = 0
Ist n Ganzzahlig ?
Annahme: n ist nicht Ganz :
Sei [n] die kleinste ganze zahl mit der Eigenschaft [n]>n
Beispiel: [27,3]=28
Somit:
nˆ bˆ [ n]u n = (n − [ n]) bˆ[ n] un
( n − [ n]) ≤ 0
Dies ist nicht möglich ( negativer Eigenwert), es sei denn:
1)
bˆ[ n ]u n = 0
2)
oder : [n ] = n , also n ganzzahlig
nehmen wir, um dies zu klären
bˆ q+1u n bˆ q +1u n ≥ 0
bˆ q+1u n bˆ q +1u n = bˆ q u n bˆ + bˆbˆ q u n = bˆ q u n nˆ bˆ q u n = ( n − q ) bˆ q u n bˆ q u n
bˆ q u n bˆ q u n ≥ 0
⇒ (n − q) ≥ 0 ⇒ n ≥ q ≥ 0
und ersetzen q durch q-1
Also:
ˆq
b u n bˆ q un ≥ 0
bˆ qu n bˆ q un (n − q + 1) bˆ q−1un bˆ q−1un = ... = (n − q + 1)(n − q + 2)(n − q + 3).....(n − 1)n bˆ 0u n bˆ 0u
bˆ 0un bˆ 0u n = un u n = 1
Setze:
q = [n ] :
bˆ [n ]u bˆ [n ]u
n
n
≥0=
( n − [ n] + 1) bˆ [ n]−1u n bˆ [ n]−1u n = ... = ( n − [ n] + 1)( n − [ n] + 2)( n − [ n] + 3).....( n − 1) n
( n − [ n] + 1) > 0
( n − [ n] + 2) > 0...
( n − 1) > 0
n >0
⇒ bˆ[ n] u n bˆ[ n] u n > 0
⇒ bˆ [ n]u n ≠ 0
Somit ist Annahme 1) falsch.
Also muss n ganzzahlig sein !
Es gilt:
1
H u n = hωbˆ +bˆ u n + hω u n = E n u n
2
1

E = hω  n + 
2

n = 0,1, 2...
hω
E0 =
2
Die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind also äquidistant.
Es handelt sich somit auch bei Gitterschwingungen, die durch den harmonischen Oszillatzor beschrieben
werden, um quantisierte Erschinungen
n ist dann als Anzahloperator der Phononen mit Frequenz
ω zu betrachten !
4.2.4 Ereugungs- und Vernichtungsoperatoren
nˆ bˆ q u n = ( n − q ) bˆ q u n
q
q
nˆ bˆ + u n = (n + q) bˆ + u n
Speziell: N=0, q=0
nˆ u 0 = 0 u 0 = 0
n=0,q=1
nˆ bˆ u0 = −1 bˆu 0
Dies darf jedoch nicht sein ( siehe oben)
Also:
bˆu 0 = 0
Andererseits(n=0,q=1):
nˆ bˆ + u0 = 1 bˆ + u 0
Somit bezeichnet man
b̂ als Phonone- Vernichtungsoperator und b̂ + als Phononen- Erzeugungsoperator
Satz:
bˆ + u n = n + 1 u n+1
(bˆ ) u
+ q
0
= q! u q
Satz:
Die Oszillator- Eigenfunktionen sind vollständig:
∑
un un = 1
n
In der Eigendarstellung des Anzahloperators ist n̂ diagonal
Matrixschreibweise mit
bkl = u k bˆ ul :
0

1




0
2
.... 

ˆ
b=
0
3 


0


 ....

0
0



0
 1 0

.... 
+

ˆ
b =
2 0 0


3 0 

 ....



0 0



0 1 0

....
) 
n=
0 2 0


0 3 



 ....

xˆ =
 0

 1
h 
2m ω 


 ....
1
0
2
2
0
3



....
3 
0 


0 − 1

 1
0
− 2
hmω 
pˆ = i
2
0
2 

3

 ....



.... 
− 3 

0


Abstrakt läßt sich zwar leichter rechnen, jedoch hat man dann keine Wellenfuntion in ortsdarstellung und damit
auch keine Dichteinterpretation.
Es können also keinerlei Wahrscheinlichkeitsaussagen gegeben werden.
Wir brauchen einfach Wellenfunktionen in Ortsdarstellung !
4.2.6 Ortsdarstellung
xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x )
Für den eindimensionalen Fall:
xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x)
Eigenwertproblem:
n̂ in Ortsdarstellung, wissen dass nˆ = bˆ + bˆ .
+
Also brauchen wir bˆ bˆ in Ortsdarstellung.
Wir brauchen
u = ∫ dx ϕ ( x ) ϕ ( x) u
ˆ
ϕ ( x ) bˆu = x bˆ ϕ ( x) u
ϕ ( x ) u := Φ( x)
Dies ist der typische Ansatz für den Übergang in die Ortsdarstellung !!
mω
1
xˆ − i
pˆ
2h
2hmω
bˆ + =
mω
1 h ∂
xˆ − i
=
2h
2hmω i ∂x
xˆ ˆ +
b =
mω
1
xˆ + i
pˆ
2h
2hmω
bˆ =
xˆ
mω
h ∂
xˆ −
2h
2 mω ∂x
mω
1 h ∂
xˆ + i
=
2h
2hmω i ∂x
bˆ =
mω
xˆ +
2h
h ∂
2mω ∂x
 mω
h ∂ 
bˆΦ( x) = 
xˆ +
Φ(x )
2mω ∂x 
 2h
 mω
h ∂ 
xˆ ˆ +
b Φ ( x ) = 
xˆ −
Φ(x )
2mω ∂x 
 2h
xˆ
Schreibe:
mω
x
h
ξ :=
1 
∂ 
bˆΦ (ξ ) =
 ξ +
 Φ (ξ )
∂ξ 
2
1 
∂ 
xˆ ˆ +
b Φ (ξ ) =
 ξ −
 Φ(ξ )
∂ξ 
2
xˆ
Wir wissen über den Grundzustand:
u 0 : bˆu 0 = 0
⇒
1 
∂
 ξ +
∂ξ
2

Φ 0 (ξ ) = 0

Weiter über die Erzeugung der angeregten Zustände aus dem grundzustand:
un :
⇒ un =
(bˆ )
n!
1
⇒ Φ n (ξ ) =
+ n
u0
n

∂ 
 ξ −
 Φ 0 (ξ )
∂ξ 
2 n n! 
1
Dies ist gerade die Hermité- Differenzialgleichung.
Lösung dieser Diffgleichung sind die Hermiteschen Polynome:
Φ n (ξ ) =
mω
hπ
1
H n (ξ ) e
n
2 n!
Mit
H n (ξ ) = (− 1)n eξ
dn
2
dξ
Vorlesung 29.11.2002
Wiederholung:
1
H = hωbˆ +bˆ + hω
2
n
eξ
−2
−
ξ2
2
H ϕn = En ϕ n
1
E n = hω ( n + )
2
nˆ u n = n u n , n = 0,1,2...
bˆ + u n = n + 1 u n+1
Ortsdarstellung
 mω
h ∂ 
bˆΦ ( x ) = 
xˆ +
Φ ( x)
2mω ∂x 
 2h
 mω
h ∂ 
xˆ ˆ +
b Φ ( x ) = 
xˆ −
Φ ( x)
2mω ∂x 
 2h
xˆ
Mit

∂ 
 ξ +
 Φ 0 (ξ ) = 0
∂ξ 

ξ :=
n

∂ 
ξ −
 Φ 0 (ξ )
n 
∂
ξ


2 n!
1
Φ n (ξ ) =
mω
x
h
Lösung dieses DGL- Systems führt auf die Hermiteschen Polynome
4.4 Präparation und Messung
4.4.1 Streuung einer Observablen
Remember:
Fˆ Φ
:= ∑ qk
Φ
λk = Φ Fˆ Φ
k
Als Erwartungswert einer Observablen F
Streuung und Varianz:
Streuung/ Varianz:
[
( )
V Fˆ Φ = ∑ q k Φ λ k − Fˆ Φ
k
( )
⇒ V Fˆ Φ = ∑ qk
k
Φ
] =∑ q
2
 2
ˆ
λk − F Φ

k
2
k
Φ
 2
ˆ
λk − 2λ k F Φ

Φ
2
ˆ
 = ∑ q k λk − F Φ
 k
+ Fˆ Φ
2
2


 2
ˆ
 λk − F Φ

2
∑
qk
∑
qk
∑
ϕ k λk ϕ k = Fˆ = ∑ ϕ l λl ϕ l
Φ
k
Φ
k
λk 2 = ∑ Φ ϕ k ϕ k Φ λ k 2 = ∑ Φ ϕ k λ k ϕ k ϕ l λl ϕ l Φ
k
k
2
Φ
2
ˆ
 = ∑ q k λk − F Φ
 k
k ,l
l
⇒ ∑ Φ ϕ k λk ϕ k ϕ l λl ϕ l Φ = Φ Fˆ 2 Φ
k ,l

⇒ ∑ q k Φ λ k 2 − Fˆ Φ

k
( )
V Fˆ Φ = Fˆ 2
Betrachte:
(
− Fˆ Φ
Φ
Φ Fˆ − Φ Fˆ Φ
(
)2 Φ
= Φ Fˆ 2 − Φ Fˆ Φ
2
2
ˆ2
ˆ
 = F Φ − FΦ

2
( )
= V Fˆ Φ
2
(
= Φ Fˆ 2 − 2Fˆ Φ Fˆ Φ + Φ Fˆ Φ
) Φ = Φ Fˆ
2
Φ − Φ Fˆ Φ
2
2
)Φ
( )
= V Fˆ Φ
Satz:
Ist
F̂ selbstadjungiert, so ist auch Fˆ + a, a = a * selbstadjungiert
Beweis:
(
)
()
(
)
Φ Fˆ + a Ψ = Φ Fˆ Ψ + a Φ Ψ = FˆΦ Ψ + aΦ Ψ = Fˆ + a Φ Ψ
Mit
( )
(
V Fˆ Φ = Φ Fˆ − Φ Fˆ Φ
= Fˆ − Φ Fˆ Φ
)2 Φ
(
) (
)
= Fˆ − Φ Fˆ Φ Φ Fˆ − Φ Fˆ Φ Φ
2
Satz
Ist
Φ streuungsfrei bezüglich der Observablen F̂ , so liegt Φ in einem Eigenraum zu F̂ .
F̂ nur eindimensionale Eigenräume, so gilt:
∃m : Φ = cm ϕ m
Besitzt
Beweis:
Streuungsfrei:
( )
(
⇒ (Fˆ − Φ Fˆ Φ ) Φ
V Fˆ Φ = 0 = Φ Fˆ − Φ Fˆ Φ
)2 Φ
(
) (
)
= Fˆ − Φ Fˆ Φ Φ Fˆ − Φ Fˆ Φ Φ
=0
Fˆ Φ = Φ Φ Fˆ Φ
Also ist
Φ Eigenvektor zu F̂ mit dem Eigenwert F̂ Φ .
Nun:
Fˆ ϕ k α = λ k ϕ k α
Mit
α = 1,2,..., t k Eigenvektoren der Entarteten Eigenwertgleichung
t k damit Entartungsgrad ( = Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert λk .
Somit:
∃m : Φ = ∑ cm β ϕ m β
β
λk nicht entartet:
∃m → Φ = c ϕ m
Sei
2
c =1
c =e
iδ
4.4.2 Wahrscheinlichkeit von Messwerten:
Intensitäten im diskreten Spektrum:
qk
Φ
= Φ ϕk ϕk Φ = ϕk Φ
2
ohne Entartung
und
qk
Φ
= Φ
∑
α
ϕk
α
ϕk
α
Φ = ϕk Φ
2
α = 1,.., t k
mit Entartung
Dabei ist
∑
ϕ kα ϕ k α
α
α = 1,.., t k
Der Projektor Pk auf den Eigenraum zu
qk
∑
α
= Φ ∑ ϕ k α ϕ k α Φ = Φ Pk Φ = Pk Φ
Φ
Pk
λk mit der Dimension tk
α
Φ
(
)

= sp Pk P Φ = sp  ∑ ϕ k α ϕ k α P Φ
α
ϕ k α ϕ k α = Pk




qk
Φ
= Φ Pk Φ = Φ ∑ ϕl α ϕ l α Pk Φ =
l ,α
= ∑ ϕ l Pk Φ Φ ϕ l α
α
l ,α
Φ Φ := PΦ
(
⇒ q k Φ = ∑ ϕ l α Pk P Φ ϕ l α = sp Pk P Φ
l ,α
)
Beispiel: Stern- Gerlach- Versuch:
Der Stern- gerlach Apparat erzeuge bei SPin 1/2 zwei teilstrahlen:
Beispiel: Bei Errichtung entlang der z- achse:
ϕ+ z
ϕ− z
Lˆ z ϕ + z = λ+ z ϕ + z
Lˆ z ϕ − z = λ − z ϕ − z
Das Gleiche in x- Richtung:
ϕ+ x
ϕ− x
Lˆ x ϕ + x = λ + x ϕ + x
Lˆ x ϕ − x = λ− x ϕ − x
Dabei:
λ +i = 1
λ − i = −1
Somit haben wir die Spektraldarstellung des Stern- geralch Apparats:
Lˆ z = ϕ + z ϕ + z . − ϕ − z ϕ − z .
Lˆ x = ϕ + x ϕ + x . − ϕ − x ϕ − x .
ϕ+ z ϕ+ z . + ϕ− z ϕ− z = ϕ+ x ϕ +x . + ϕ−x ϕ− x = 1
als Vollständigkeitsrelation
Lˆ = ∑ l k ϕ k α ϕ k α .
k ,α
Lˆ ϕ k = l k ϕ k
Wir schreiben:
Lˆ z + 1 = ϕ + z ϕ + z . − ϕ − z ϕ − z . + ϕ + z ϕ + z . + ϕ − z ϕ − z = 2 ϕ + z ϕ + z = 2 Pϕ
Lˆ x + 1 = ϕ + x ϕ + x . − ϕ − x ϕ − x . + ϕ + x ϕ + x . + ϕ − x ϕ − x = 2 Pϕ
x
+
Lˆ x − 1 = ϕ + x ϕ + x . − ϕ − x ϕ − x . − ϕ + x ϕ + x . − ϕ − x ϕ − x = −2 Pϕ
Somit:
(Lˆ
(Lˆ
(Lˆ
(Lˆ
z
z
x
x
)(
+ 1 )(Lˆ
+ 1 )(Lˆ
− 1 )(Lˆ
)
− 1 ) = −4 P
+ 1 ) = 4P
+ 1 ) = −4 P
+ 1 Lˆ x + 1 = 4 Pϕ z Pϕ
+
x
ϕ+
z
z
Pϕ
= Lˆ z Lˆ x + Lˆ x − Lˆ z − 1
x
−
Pϕ z = Lˆ x Lˆ z + Lˆ x + Lˆ z + 1
ϕ+ x
z
= Lˆ z Lˆ x + Lˆ x + Lˆ z + 1
x
+
+
ϕ −x
Pϕ
= Lˆ x Lˆ z + Lˆ x − Lˆ z − 1
z
+
Gleichungen 1/2 und 3/4 zusammenfassen und dann subtrahieren:
[
]


Lˆ z Lˆ x − Lˆ x Lˆ z = Lˆ z , Lˆ x = 4 ± Pϕ z Pϕ x m Pϕ x Pϕ z 
+
±
±
+


Annahme ( experimentell als falsch erwiesen:
[Lˆ z , Lˆ x ] = 4 ± Pϕ
⇒ Pϕ
z
+
Pϕ
x
±
z
+
Pϕ
= Pϕ x Pϕ
±
m Pϕ
x
±
x
±
Pϕ z  = 0
+

z
+
⇒ ϕ+ z ϕ+ z . ϕ± x ϕ ±x = ϕ± x ϕ ±x ϕ+ z ϕ +z ⋅ ϕ m x
ϕ± x ⋅ ϕm x = 0
⇒ 0 = ϕ ± x ϕ± x ϕ+ z ϕ+ z ϕ m x
⇒ ϕ± x ϕ+ z ϕ+ z ϕ m x = 0
⇒ ϕ ± x ϕ + z = 0 oder
ϕ+ z ϕm x = 0
Wir wissen:
ϕ+ z = ϕ+ x ϕ+ x ϕ+ z + ϕ− x ϕ− x ϕ+ z
mit
ϕ + x ϕ + z = 0 oder
ϕ− x ϕ+ z
Somit dürfte in x- Richtung an Lx nur EIN STrahl austreten.
Dies ist jedoch experimentell falsch. Statt dessen treten wieder zwei STrahle aus.
Somit:
[Lˆ z , Lˆ x ] ≠ 0
x
−
z
+
Vorlesung 4.12.
Wiederholung
Streuung/Varianz
( )
[λ − Fˆ ] = Fˆ − Fˆ
V (Fˆ ) = Φ (Fˆ − Φ Fˆ Φ ) Φ = (Fˆ − Φ Fˆ Φ )Φ (Fˆ − Φ Fˆ Φ ) Φ
V Fˆ Φ = ∑ q k
2
Φ
k
2
Φ
2
Φ
Φ
k
2
Φ
2
= Fˆ − Φ Fˆ Φ
( )
Streuungsfreie Messung im Eigenzustand:
V Fˆ Φ = 0 ⇒ Fˆ Φ = Φ Φ Fˆ Φ
qk
= Φ ∑ ϕ k α ϕ k α Φ = Φ Pk Φ = Pk Φ
Φ
Pk
∑
α
α
Φ
(
)

= sp Pk P Φ = sp  ∑ ϕ k α ϕ k α P Φ
α
ϕ k α ϕ k α = Pk
4.4.3 Verträglichkeit von Messungen:
Φ =
∞
tk
∑ ∑
k =0 α =0
tk
∑
α =0
ϕ kα ϕ k α Φ
ϕ k α ϕ k α := Pk
Mit dem Entartungsgrad tk
Φ =
∞
∑
k =0
Pk Φ
N m 2 Pm Φ Pm Φ = 1 ⇒ Ψ =
Pm Φ
PmΦ Pm Φ




Das Ausblenden des m. Eigenwerts des Spektrums bewirkt:
Φ → N m Pm Φ
Wir wissen: Kommensurabel entspricht vertauschbar<-> gemeinsames System von Eigenvektoren
Def.:
ˆ ,...
Eine Menge vertauschbarer Operatoren Lˆ , Mˆ , N
heißt vollständiger Satz, wenn ihre GEMEINSAMEN Eigenräume alle eindimensional sind:
Sei eine Eigenfunktion gegeben ( eindeutig, also keine Entartung) mit:
Φ = Φ (λ , µ ,...)
Lˆ Φ = λ Φ
Mˆ Φ = µ Φ
Mit jeweils eindimensionalen gemeinsamen Eigenräumen !
4.4.4 Unschärferelation
Für Observablen
Bˆ =
Aˆ =
Bˆ +
Aˆ +
Gilt die Ungleichung:
[ ]2
1 ˆ ˆ
Aˆ 2 Bˆ 2 ≥ −
A, B
4
Also: Die Nichtvertauschbarkeit hat quasi eine obere Grenze !
Beweis:
(αAˆ + iBˆ )Φ (αAˆ + iBˆ )Φ
(αAˆ + iBˆ ) ≠ (αAˆ + iBˆ )+
≥0
möglich. Der Ausdruck muss nicht unbedingt selbstadjungiert sein !
Also:
(
Φ αAˆ + i Bˆ
)+ (αAˆ + iBˆ )Φ
(αAˆ + iBˆ )+ (αAˆ + iBˆ )
≥0
(
Φ
2 2
2
⇒ α Aˆ + α * iAˆ Bˆ − αiBˆ Aˆ + Bˆ
2
⇒ α Aˆ 2
Wähle α reell:
Φ
+ Bˆ 2
)(
≥ 0 ⇒ α * Aˆ + − iBˆ + αAˆ + iBˆ
Φ
Φ
+ α * i Aˆ Bˆ
)
Φ
≥0
Φ
− αi Bˆ Aˆ
Φ
≥0
≥0
⇒ α 2 Aˆ 2
Φ
+ Bˆ 2
Bˆ 2
⇒ α2
Φ
+
Φ
Aˆ 2
Φ
[ ]Φ
+ iα Aˆ Bˆ
[ ]Φ
i
+
α Aˆ Bˆ
Aˆ 2
Φ
≥0
≥0
Φ
Dies ist eine quadratische Gleichung in
α , welches reell gewählt wurde.
Dabei ist der Ausdruck ( der quadratische) immer dann größer als Null, wenn die Diskriminante des Ausdrucks
kleiner als Null, bzw. gobt es eine Nullstelle ( Berührungspunkt), wenn die Diskriminante gleich NUll.
ALso:
[ ]Φ
i Aˆ Bˆ
−
Aˆ 2
Φ
[ ]Φ
 i Aˆ Bˆ

± 
 Aˆ 2

Φ
2

Bˆ 2

 −4

Aˆ 2

Φ
= α 1/ 2
Φ
Eine / keine Lösung der Nullstellenfrage:
[ ] Φ 
 i Aˆ Bˆ


 Aˆ 2

2
Bˆ 2
Φ
 −4
≤0

Aˆ 2
Φ 
Φ
2
Bˆ 2
ˆˆ
1 AB Φ
Φ
⇒−
−
≤0
ˆ2
4 ˆ2 2
A
A
Φ
Φ
⇒−
[ ]
[ ]2Φ
1 ˆˆ
AB
4
− Aˆ 2
Φ
Bˆ 2
Φ
≤0
Zusammenhang zur Varianz der Messung:
Setze:
Aˆ = Lˆ − Lˆ
Bˆ = Mˆ − Mˆ
(
)(
⇒ Aˆ Bˆ = Lˆ − Lˆ Mˆ − Mˆ
) = Lˆ Mˆ − Lˆ Mˆ
Bˆ Aˆ = Mˆ Lˆ − Lˆ Mˆ − Mˆ Lˆ + Lˆ Mˆ
[ ] [
⇒ Aˆ , Bˆ = Lˆ , Mˆ
Nun:
]
− Mˆ Lˆ + Lˆ Mˆ
[ ]
1 ˆˆ 2
AB Φ ≤ Aˆ 2
4
Aˆ = Lˆ − Lˆ
−
Bˆ 2
Φ
Φ
Bˆ = Mˆ − Mˆ
[Aˆ , Bˆ ] = [Lˆ , Mˆ ]
2
1
⇒ − [Lˆ , Mˆ ] Φ
4
( )Φ

=  Fˆ − Fˆ

V Fˆ
⇒−
(
≤ Lˆ − Lˆ
[
1 ˆ ˆ
L, M
4
]2Φ
Φ



)
2
(Mˆ − Mˆ )
2
Φ
Φ
2
Φ
()( )
≤ V Lˆ V Mˆ
Bleibt zu zeigen, damit das Ganze Sinn macht:
−
[ ]2Φ
1 ˆ ˆ
A, B
4
≥0
Gilt, wenn Erwartungswerte von Kommutatoren grundsätzlich rein imaginär sind !
Beweis:
[Lˆ, Mˆ ] Φ * = Φ [Lˆ, Mˆ ] Φ * = [Lˆ, Mˆ ]Φ Φ = (LˆMˆ − Mˆ Lˆ )Φ Φ
Mˆ = Mˆ +
+
Lˆ = Lˆ
(Mˆ Lˆ)+ = Lˆ+ Mˆ + = LˆMˆ
+
⇒ Φ [Lˆ , Mˆ ] Φ = (Lˆ Mˆ − Mˆ Lˆ )Φ Φ = Φ (Lˆ Mˆ − Mˆ Lˆ ) Φ
= Φ (Mˆ Lˆ − Lˆ Mˆ )Φ = Φ [Mˆ , Lˆ ]Φ
⇒ Φ [Lˆ , Mˆ ] Φ * = Φ [Mˆ , Lˆ ]Φ = − Φ [Lˆ , Mˆ ] Φ
⇒ Φ [Lˆ , Mˆ ] Φ ∈ Im
Standardabweichung:
( )+ − (Mˆ Lˆ )+ Φ
= Φ  Lˆ Mˆ

()
∆Fˆ := V Fˆ ≥ 0
[
]
1
⇒ ∆Lˆ ∆Mˆ ≥ ± i Φ Lˆ , Mˆ Φ
2
Φ Lˆ , Mˆ Φ := i α
[
]
α ∈R
[
]
1
⇒ ∆Lˆ ∆Mˆ ≥
Φ Lˆ , Mˆ Φ
2
Interpretation:
Je größer der Betrag des Erwartungswertes des Kommutators in einem beliebigen Zustand, das bedeutet, je
weiter die Observablen von der Kommensurabilität entfernt sind, je unverträglicher die Observablen also
zueinander sind, desto größer ist die Varianz des produktes von Messungen der beiden Observablen !
Aussage:
Wenn L̂ in gewissen Grenzen genau bestimmt ist, so kann abhängig von dieser Genauigkeit
klein sein !
∆M̂ nicht beliebig
Beispiel für Ort und Impuls:
[xˆ , pˆ ] = ih 1
[
]
1
∆Lˆ ∆Mˆ ≥
Φ Lˆ , Mˆ Φ
2
1
⇒ ∆xˆ ∆pˆ ≥ h 1
2
und zwar komponentenweise.
Merke:
[
]
1
∆Lˆ ∆Mˆ ≥
Φ Lˆ , Mˆ Φ
2
gilt für beliebige Operatoren !!
Sei
[Lˆ, Mˆ ] = 0
⇒ ∆Lˆ ∆Mˆ ≥ 0
Also sind
∆Lˆ = 0
∆Mˆ = 0
möglich.
Wann jedoch werden diese unteren Schranken, also Varianzen des Wertes Null angenommen ?/ Wann
verschwinden die Varianzen ?
Dann, wenn wir sicher EINEN Wert messen !
Wir messen an einem Zustand
Φ = Φ (λ , µ ,...)
Lˆ Φ = λ Φ
Mˆ Φ = µ Φ
Falls also
Φ und die Varianz verschwindet genau dann, wenn
[Lˆ, Mˆ ] = 0
⇒ ∆Lˆ ∆Mˆ ≥ 0
dann macht die obige Definition also Sinn:
Def.:
ˆ ,...
Eine Menge vertauschbarer Operatoren Lˆ , Mˆ , N
heißt vollständiger Satz, wenn ihre GEMEINSAMEN Eigenräume alle eindimensional sind:
Sei eine Eigenfunktion gegeben ( eindeutig, also keine Entartung) mit:
Φ = Φ (λ , µ ,...)
Lˆ Φ = λ Φ
Mˆ Φ = µ Φ
Mit jeweils eindimensionalen gemeinsamen Eigenräumen !
Die Energie / zeit Unschärfe
-
Energieoperator H
- Zeitoperator -> existiert nicht !
t ist vielmehr eine C- Zahl, ein sogenannter Parameter !
Vergleiche: Priogines versuche, durch einen Zeitoperator eine irreversible QM zu konstruieren !
Die Theorie bei uns ist bisher völlig reversibel !
Zeitoperator müsste ein kontinuierliches Spektrum haben, weil die zeit nicht quantisiert ist
Aber: H hat ein diskretes Spektrum _> Hauptproblem !
So kann der zeitoperator folglich nicht eingeführt werden !
( Warum geht man nicht davon aus, dass der Zeitoperator doch ein diskretes Spektrum hat ? -> Dies würde auch
die Divergenzprobleme der QUantenfeldtheorie zumindest teilweise beseitigen.
Vielleicht lässt sich die ART durch ein diskretes Raumzeitspektrum quantisieren . Man könnte dadurch die
Divergenzen im Gravitonenfeld vermeiden ! )
Schließlich könnte jedes Graviton nur noch Elementarteilchen mit begrenzter Energie aus seinem Feld
emittieren, da die Lebensdauer über dem quantisierten Schwellwert liegen muss !
[Lˆ, Mˆ ] = 0
⇒ ∆Lˆ ∆Mˆ ≥ 0
gilt nur, falls
Φ = Φ (λ , µ ,...)
Lˆ Φ = λ Φ
Mˆ Φ = µ Φ
Also
Φ aus dem gemeinsamen Eigenraum gewählt wird !
Entartung fordert dann, dass lediglich eine Varianz verschwindet.
5. Dynamik
5.1 Grundgleichungen ( Vergl. Fick 3.5, §2 )
Betrachte:
Ψ Φ =C
& Φ + Ψ Φ
&
C& = Ψ
& =i H Ψ
Ψ
h
i
i
i
i
C& = HΨ Φ + Ψ − HΦ = Ψ HΦ − Ψ HΦ = 0
h
h
h
h
Das bedeutet:
Die Existenz der Schrödingergleichung bedingt,
dass in der Schrödingerdynamik Skalarprodukte prinzipiell zeitunabhängig, also zeitlich konstant sind !
Die natürliche Dynamik läßt also Skalarprodukte invariant !
Wenn bra und ket der gleichen Dynamik folgen, also wenn beide Faktoren der gleichen Dynamik unterliegen.
C
2
= Ψ Φ Ψ Φ * = Ψ Φ Φ Ψ = Ψ PΦ Ψ
d 2 d
C =
Ψ PΦ Ψ = 0
dt
dt
⇒ Ψ P° Φ Ψ = 0 ∀Ψ
⇒ P° Φ = 0
Schrödinger axiomatisierte:
Die Dynamik wird durch
P ° Φ = 0 gekennzeichnet !
Also:
−
[
]
i
H, PΦ = ∂ tPΦ
h
Wegen
[ ]
i
Lˆ° = H , Lˆ + ∂ t Lˆ
h
So ist die Dynamik vollständig beschrieben.
Aber: Man braucht die Schrödingergleichung dennoch !
Vergleiche Übungsaufgaben !
Verwendet man die DGL
−
[
]
i
H, PΦ = ∂ tPΦ
h
Als Ersatz für die Schrödingergleichung, so ändert sich nicht viel ( Die Schrödingergleichung) kommt wieder
raus !
1926: Schrödinger rät Schrödingergleichung !
5.2 Bilder
Betachten wir eine Familie unitärer Trafos:
Ξ (t )
Ξ + (t )Ξ (t ) = Ξ (t )Ξ + (t ) = 1
Ξ (t ) Lˆ 0 Ξ + (t ) := Lˆ (t )
Ξ (0) =!= 1
Dabei soll die zeitliche Entwicklung per Definition durch diese unitäre Trafo bschrieben werden !
Die Zeitliche Entwicklung ist gegeben durch
[ ]
i
Lˆ° = H , Lˆ + ∂ t Lˆ
h
Sei zu untersuchen mittels
Ξ (t ) Lˆ 0 Ξ + (t ) := Lˆ ( t )
Lˆ (t ,τ ) := Lˆ ( xˆ ( t ), pˆ (t ),τ )
Ξ (t ) Lˆ Ξ + (t ) := Lˆ (t )
0
Lˆ (t ,τ )
t =τ
= Lˆ ( t , t ) ≡ Lˆ ( t )
Lˆ (t ) = Lˆ ( xˆ ( t ), pˆ (t ), t ) = Ξ (t ) Lˆ 0 Ξ + ( t ) = Lˆ (Ξ (t ) xˆ Ξ + (t ), Ξ (t ) pˆ Ξ + (t ), t )
Betrachten wir das Eigenwertproblem
Lˆ ϕ k = λ k ϕ k
Ξ (t ) Lˆ 0 Ξ + (t ) Ξ( t ) ϕ k = Ξ( t ) λk ϕ k
⇒ Ξ( t ) Lˆ 0 ϕ k = Ξ (t )λ k ϕ k
Ξ (t ) ϕ k = ϕ k (t )
Lˆ (t )Ξ (t ) ϕ k = λ k Ξ (t ) ϕ k
Lˆ (t ) ϕ (t ) = λ ϕ ( t )
k
k
k
t ≠ t0
Ξ (t ) Lˆ 0 Ξ + (t ) := Lˆ (t )
Lˆ (t 0 ) = Ξ (t 0 ) Lˆ0 Ξ + ( t 0 )
⇒ Lˆ 0 = Ξ + (t 0 ) Lˆ (t 0 )Ξ (t 0 )
Lˆ (t ) = Ξ (t )Ξ + (t 0 ) Lˆ (t 0 )Ξ (t 0 )Ξ + (t )
Ξ (t )Ξ + (t 0 ) := U (t , t 0 )
Ξ (t 0 )Ξ + (t ) := U + (t , t 0 )
Lˆ (t ) = U (t , t 0 ) Lˆ (t 0 )U + ( t , t 0 )
U (t , t 0 )U + ( t , t 0 ) = Ξ (t ) Ξ + (t 0 ) Ξ (t 0 ) Ξ + (t ) = Ξ( t ) Ξ + (t ) = 1
Wir bezeichnen
U (t , t 0 ) als Zeitschiebeoperator !
Sei:
Lˆ ( 0) = Lˆ
U (t ) = Ξ( t )
Ξ (0) = 1
U (t , t 0 ) schiebt t 0 → t
⇒ U (t , t 0 ) = Ξ (t ) Ξ + (t 0 ) = Ξ( t ) Ξ + ( t1 ) Ξ( t1 )Ξ + ( t 0 )
Ξ + (t1 )Ξ (t1 ) = 1
⇒ U (t , t 0 ) = U ( t , t1 )U (t1 , t 0 )
t1 → t
nach t 0 → t1
Definition:
Ein Bild wird durch die Wahl eines Zeitschiebeoperators festgelegt, der folgende Eigenschaften hat:
U (t , t 0 ) als Zeitschiebeoperator !
U (t , t ) = 1
U (t , t 0 ) = U (t 0 , t ) +
U (t , t 0 ) = U (t , t1 )U (t 1 , t 0 )
Diese Bedingungen ergeben sich aus der reversiblen Quantenmechanik
Dann:
Lˆ (t ) = U (t , t 0 ) Lˆ (t 0 )U + (t , t 0 )
und für die Eigenvektoren:
ϕ k (t ) = Ξ (t ) ϕ k = Ξ (t )Ξ + ( t 0 ) Ξ( t 0 ) ϕ k = Ξ( t ) Ξ + (t 0 ) ϕ k (t 0 ) = U ( t , t 0 ) ϕ k (t 0 )
5.2.2 Zeitableitung eines Operators
Lˆ (t ) = Uˆ (t ,0) Lˆ ( xˆ, pˆ ,0)Uˆ + (t ,0)
&
&
&
Lˆ (t ) = Uˆ (t ,0) Lˆ ( xˆ, pˆ ,0)Uˆ + (t ,0) + Uˆ (t ,0) ∂ t Lˆ ( xˆ , pˆ ,0) Uˆ + (t ,0) + Uˆ (t ,0) Lˆ ( xˆ, pˆ ,0)Uˆ + (t ,0)
&
&
= Uˆ (t ,0)Uˆ + ( t ,0)Uˆ (t ,0) Lˆ ( xˆ , pˆ ,0)Uˆ + (t ,0) + ∂ t Lˆ ( xˆ , pˆ ,0) + Uˆ (t ,0) Lˆ ( xˆ , pˆ ,0)Uˆ + (t ,0)Uˆ (t ,0)Uˆ + (t ,0)
(
(
)
(
)t
)t
&
&
= Uˆ (t ,0)Uˆ + ( t ,0) Lˆ ( xˆ , pˆ , t ) + ∂ t Lˆ ( xˆ , pˆ ,0) + Lˆ ( xˆ , pˆ , t )Uˆ (t ,0)Uˆ + (t ,0)
+
Uˆ (t ,0)Uˆ ( t ,0) = 1
&
&
⇒ Uˆ (t ,0)Uˆ + (t ,0) + Uˆ ( t ,0)Uˆ + (t ,0) = 0
&
&
⇒ Uˆ (t ,0)Uˆ + (t ,0) = −Uˆ ( t ,0)Uˆ + (t ,0)
&
&
⇒ Lˆ (t ) = Uˆ (t ,0)Uˆ + (t ,0) Lˆ ( xˆ , pˆ , t ) + ∂ t Lˆ ( xˆ , pˆ ,0)
(
)t − Lˆ( xˆ, pˆ, t)U&ˆ (t,0)Uˆ + (t ,0)
&
&
Lˆ (t ) = Uˆ ( t ,0)Uˆ + (t ,0), Lˆ ( xˆ , pˆ , t ) + (∂ t Lˆ ( xˆ , pˆ ,0) )


t
Dies gilt für die Dynamik der Operatoren in einem beliebigen Bild, wenn ein unitärer Operator gefunden wurde,
mit der Eigenschaft
U (t , t 0 ) als Zeitschiebeoperator !
U (t , t ) = 1
U (t , t 0 ) = U (t 0 , t ) +
U (t , t 0 ) = U (t , t1 )U (t 1 , t 0 )
Definiere
ˆ ( t , t ) := h Uˆ& ( t , t )Uˆ + (t , t )
Χ
0
0
0
i
i ˆ
&
⇒ Lˆ (t ) = Χ
( t , t 0 ), Lˆ ( xˆ, pˆ , t ) + ∂ t Lˆ ( xˆ, pˆ ,0)
h
[
] (
Satz:
ˆ (t , t ) = Χ
ˆ (t )
Χ
0
ˆ + (t ) = Χ
ˆ (t )
Χ
SOmit:
ˆ ( t , t ) := h Uˆ& (t , t )Uˆ + (t , t )
Χ
0
0
0
i
i ˆ
&
⇒ Lˆ (t ) = Χ
(t ), Lˆ (t ) + ∂ t Lˆ (t )
h
[
Wegen:
] ( )
[ ] ( )
[
] ( )
[
i
Lˆ° = H , Lˆ + ∂ t Lˆ
h
i
⇒ Lˆ° (t ) = H (t ), Lˆ (t ) + ∂ t Lˆ (t )
h
i
&
ˆ (t ), Lˆ (t )
⇒ Lˆ (t ) = Lˆ° (t ) − H (t ) − Χ
h
]
) t = U&ˆ (t,0)Uˆ + (t ,0), Lˆ(xˆ, pˆ , t) + (∂ t Lˆ (xˆ, pˆ ,0)) t
(∂ P ) = − hi [H , P ]
i
Uˆ ( t ,0) (∂ P )Uˆ (t ,0) =: (∂ P )(t ) = − [H (t ), P
h
i
ˆ (t ), P (t ) ]
⇒ P& = P (t ) − [H (t ) − Χ
h
t
Φ
Φ
t
+
Φ
Φ
Φ
Φ
t
°
Φ
(t )
]
Φ
Wir verwenden das Dynamik- Axiom:
P Φ ° (t ) = 0
[
[
] (
) [
i
ˆ (t ), P (t ) = ∂ P + i Χ
ˆ ( t ), P (t )
P& Φ = − H (t ) − Χ
t Φ
Φ
Φ
h
h
i
P& Φ := − Jˆ (t ), P Φ ( t )
h
ˆ (t )
Jˆ (t ) := H (t ) − Χ
]
]
Jˆ (t ) = Jˆ + (t )
Speziell:
Lˆ = H
[
i ˆ
H& ( t ) = H ° ( t ) + Χ
(t ), H (t )
h
H ° (t ) = ∂ t H ( t )
[
]
]
i ˆ
H& ( t ) = + Χ
(t ), H ( t ) + ∂ t H ( t )
h
è Wenn der X- Operator einen endlichen Wert hat, so wird die Zeitableitung des Hamiltonian durch den Wert
des Kommutators dieses X- Operators mit H bestimmt.
è Spezialfall Schrödingerbild: der X- Operator ist Null !
5.2.3 Zeitableitung von Kets
[
]
i
& Φ + Φ Φ
& = − i Jˆ (t ) Φ (t ) Φ (t ) + i Φ(t ) Φ(t ) Jˆ (t )
P& Φ = − Jˆ (t ), P Φ (t ) = Φ
h
h
h
& (t ) + i Jˆ (t )Φ (t ) Φ (t ) + Φ (t ) Φ
& (t ) −  − i  Jˆ (t )Φ (t ) = 0
Φ
h
 h
& (t ) + i Jˆ (t )Φ (t ) Φ (t ) + Φ (t ) Φ
& (t ) + i Jˆ ( t )Φ (t ) = 0
Φ
h
h
Vorlesung 11.12.02
Dynamik:
(∂ P ) = − hi [H , P ]
i
Uˆ ( t ,0) (∂ P )Uˆ (t ,0) =: (∂ P )(t ) = − [H (t ), P
h
t
Φ
Φ
t
Φ
+
t
gegeben durch
P Φ ° (t ) = 0
Bilder
U (t , t 0 ) als Zeitschiebeoperator !
Φ
Φ
(t )
]
U (t , t ) = 1
U (t , t 0 ) = U (t 0 , t ) +
U (t , t 0 ) = U (t , t1 )U (t 1 , t 0 )
Ξ (t ) Lˆ 0 Ξ + (t ) := Lˆ (t )
Lˆ (t ) = Lˆ ( xˆ (t ), pˆ (t ), t ) = Ξ (t ) Lˆ0 Ξ + ( t ) = Lˆ ( Ξ (t ) xˆ Ξ + (t ), Ξ( t ) pˆ Ξ + (t ), t )
Betrachten wir das Eigenwertproblem
Lˆ (t ) ϕ k ( t ) = λk ϕ k (t )
Ξ (t ) ϕ k := ϕ k (t )
Observable
Lˆ (t ) = Uˆ (t ,0) Lˆ ( xˆ , pˆ ,0)Uˆ + (t ,0)
Ξ (t ) Ξ + (t 0 ) = U (t , t 0 )
&
&
Lˆ (t ) = Uˆ (t ,0)Uˆ + ( t ,0), Lˆ ( xˆ , pˆ , t ) + ∂ t Lˆ ( xˆ , pˆ ,0)


t
ˆ ( t , t ) := h U&ˆ (t ,0)Uˆ + (t ,0) = Χ
ˆ + (t , t )
Χ
0
0
i
i ˆ
&
⇒ Lˆ (t ) = Χ
(t ), Lˆ (t ) + ∂ t Lˆ (t )
h
i
Lˆ° = H , Lˆ + ∂ t Lˆ
h
i
⇒ Lˆ° (t ) = H (t ), Lˆ (t ) + ∂ t Lˆ (t )
h
i
&
ˆ (t ), Lˆ (t )
⇒ Lˆ (t ) = Lˆ° (t ) − H (t ) − Χ
h
i
ˆ (t ), P (t ) = ∂ P + i Χ
ˆ (t ), P (t )
P& Φ = − H (t ) − Χ
t Φ
Φ
Φ
h
h
i
P& Φ := − Jˆ (t ), P Φ (t )
h
ˆ (t)
Jˆ (t ) := H (t ) − Χ
(
[
] ( )
[ ] ( )
[
] ( )
[
[
[
] (
]
Jˆ (t ) = Jˆ + (t )
Lˆ = H
[
i ˆ
H& ( t ) = H ° ( t ) + Χ
(t ), H (t )
h
H ° (t ) = ∂ t H ( t )
[
]
]
i ˆ
H& ( t ) = + Χ
(t ), H ( t ) + ∂ t H ( t )
h
5.2.3 Zeitableitung von Kets
]
)
) [
]
[
]
i
& Φ + Φ Φ
& = − i Jˆ (t ) Φ (t ) Φ (t ) + i Φ(t ) Φ(t ) Jˆ (t )
P& Φ = − Jˆ (t ), P Φ (t ) = Φ
h
h
h
i
i
− Jˆ (t ) Φ( t ) Φ( t ) = − Jˆ (t )Φ (t ) Φ (t )
h
h
i
i ˆ
Φ (t ) Φ (t ) Jˆ (t ) = − Φ(t )
J ( t )Φ (t )
h
h
& (t ) + i Jˆ (t )Φ (t ) Φ (t ) + Φ (t ) Φ
& (t ) −  − i  Jˆ (t )Φ (t ) = 0
Φ
h
 h
& (t ) + i Jˆ (t )Φ (t ) Φ (t ) + Φ (t ) Φ
& (t ) + i Jˆ ( t )Φ (t ) = 0
Φ
h
h
Satz:
α β + β α =0
⇒ α = im β
m∈ R
Beweis:
α β + β α =0
Somit ist α || β , damit sich beide Vektoren zu Null addieren können !
Also:
α =mβ
⇒ m β β +m* β β = 0
m ∈ Im
Somit:
& (t ) + i Jˆ ( t )Φ (t ) = i ω Φ (t )
Φ
h
ω ∈R
Dies ist eine DGL für Φ (t ) .
Wir wählen den Lösungsansatz:
Φ (t ) = e
i ∫ ω (t )dt
Φ´(t )
& (t ) = i ω Φ(t ) + ei ∫
⇒ Φ
ω ( t )dt
& ´(t )
Φ
& (t ) + i Jˆ (t )Φ( t ) = iω Φ(t )
Φ
h
i
⇒e ∫
⇒e
ω ( t )dt
i ∫ ω ( t )dt
Φ (t ) = e
& ´(t ) + i Jˆ (t ) Φ (t ) + Φ
& (t ) = Φ
& (t )
Φ
h
& ´(t ) + i Jˆ (t ) Φ (t ) = 0
Φ
h
i ∫ ω ( t )dt
Φ´(t )
& ´(t ) + i Jˆ (t ) Φ´(t ) = 0
⇒ Φ
h
i
& (t ) = − Jˆ (t ) Φ (t )
Φ
h
Wir haben dabei noch kein U(t,t0) und damit noch keinen X- Operator, also auch keinen J- Operator näher
spezifiziert.
Es gilt ganz allgemein
& (t ) = − i Jˆ (t ) Φ(t )
Φ
h
Der Zeitschieber für die Kets
Φ (t ) = Cˆ (t , t 0 ) Φ (t 0 )
einsetzen in
& (t ) = − i Jˆ (t ) Φ(t )
Φ
h
Also:
i
&
Cˆ ( t , t 0 ) = − Jˆ (t )Cˆ (t , t 0 )
h
i
&
ˆ ( t ) Cˆ ( t , t )
Cˆ ( t , t 0 ) = − H ( t ) − Χ
0
h
(
)
Für den alten zeitschieber U(t,t0):
ϕ (t ) = Uˆ (t , t 0 ) ϕ (t 0 )
&
ϕ& (t ) = Uˆ (t , t 0 ) ϕ (t 0 )
i ˆ
&
Uˆ ( t , t 0 ) = Χ
(t , t 0 )Uˆ ( t , t 0 )
h
Wegen
ˆ (t ,0) := h U&ˆ ( t ,0)Uˆ + (t ,0)
Χ
i
i ˆ
&
⇒ Uˆ ( t ,0) = Χ
(t ,0)Uˆ (t ,0)
h
i ˆ
i ˆ
ϕ& (t ) = Χ
( t , t 0 )Uˆ (t ,0) ϕ (t 0 ) = Χ
(t , t 0 ) ϕ (t )
h
h
5.2.4 Bildunabhängigkeit der Schrödingergleichung
Φ (λ , t ) := ϕ (λ , t ) Φ (t )
& (λ , t ) := ϕ& (λ , t ) Φ (t ) + ϕ (λ , t ) Φ
& (t )
Φ
Sprechweise:
ϕ& (λ, t ) Φ (t )
Klein phi- Punkt ( Bra) kontrahiert mit Phi !
& (λ , t ) := ϕ& (λ , t ) Φ (t ) + ϕ (λ , t ) Φ
& (t )
Φ
i ˆ
X (t )ϕ ( λ, t )
h
ϕ& (λ, t ) =
(
)
& (t ) = − i H (t ) − Xˆ (t ) Φ (t )
Φ
h
(
)
& (λ , t ) := i Xˆ ( t )ϕ ( λ, t ) Φ(t ) + ϕ ( λ, t ) − i H (t ) − Xˆ (t ) Φ(t )
Φ
h
h
i ˆ
=−
X (t )ϕ (λ , t ) Φ(t ) + ϕ (λ , t ) H ( t ) − Xˆ (t ) Φ(t )
h
i
i
= − ϕ ( λ, t ) H (t ) Φ(t ) = − H (t ) Φ(λ, t )
h
h
{
(
)
}
Also: Die Zeitableitung der Operatoren und Kets ist bildabhängig, die Schrödingergleichung dagegen ist
invariant gegen Bildwechsel !
5.25 Schrödinger- Bild
Der Anteil der Dynamik der Operatoren ist Null, somit ist der X- Operator Null !
Xˆ S (t ) = 0
Also gilt:
[
]
i
&
LˆS (t ) = Lˆ° S (t ) − H S (t ), Lˆ S (t ) = ∂ t LˆS (t )
h
i
Lˆ°S (t ) = H S (t ), LˆS (t ) + ∂ t Lˆ S (t )
h
[
]
Besser: Die Dynamik der Operatoren ist Null, wenn sie nicht explizit zeitabhängig sind !
(
)
& S (t ) = − i H S ( t ) Φ S (t )
Φ
h
5.2.6 Heisenbergbild
Der Anteil der Dynamik der Operatoren ist alles, somit ist der X- Operator der Hamiltonoperator !
es verschwindet die Dynamik der Ket- Zustände
Xˆ H (t ) = H H (t )
Also gilt:
[
]
i
&
LˆH (t ) = Lˆ° H (t ) = H H ( t ), Lˆ H ( t ) + ∂ t Lˆ H (t )
h
H
& (t ) = 0
Φ
5.27 Wechselwirkungsbild
Die Dynamik teilt sich auf Operatoren und Zustände auf.
Die Störung des ungestörten Hamiltonian bestimmt die Dynamik der Zustände. Der ungestörte Hamiltonian
dagegen bestimmt die Dynamik der Operatoren. Somit ist der X- Operator gerade der ungestörte Hamiltonian.
Die Dynamik der Zustände wird durch die Differenz zwischen H und Ho bestimmt, also durch den STöroperator.
Das heißt, wenn die Störung verschwindet, so geht das Wechselwirkungsbild ins Heisenbergbild über !
H W (t ) = H 0 (t ) + H 1 ( t )
Xˆ W (t ) = H 0W (t )
Also gilt:
[
]
i
&
LˆW (t ) = Lˆ°W (t ) − H 1W (t ), LˆW (t )
h
i
i
Lˆ°W (t ) = H W (t ), LˆW (t ) + ∂ t LˆW (t ) = H 0W (t ) + H 1W (t ), LˆW (t ) + ∂ t LˆW (t )
h
h
i
i
&
⇒ LˆW (t ) = H 0W (t ) + H 1W (t ), LˆW (t ) + ∂ t LˆW (t ) − H 1W (t ), LˆW (t )
h
h
i
&
LˆW (t ) = H 0W (t ), LˆW (t ) + ∂ t LˆW (t )
h
& W (t ) = − i H W (t ) Φ W (t )
Φ
1
h
[
[
]
[
]
]
[
[
]
]
Alternativer Zugang: Dynamik im Schrödinger- heisenberg- und Wechselwirkungsbild
Betrachte die Zeitabhängigen Zustände
ih
∂
Ψ
∂t
t
= Hˆ Ψ
Ψ
t
t
Die zeitabhängige Schrödingergelichung kann formal gelöst werden:
Ψ
t
=
i
− Hˆ t
h
e
Ψ
0
= U (t ,0) Ψ
0
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
U (t ,0) =
i
− Hˆt
h
e
=
∞
∑
n =0
n
1 i ˆ 
 − Ht  Zeitentwicklungsoperator
n!  h 
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
∂ ∞ 1  i  ˆn
ih ∑
− t  H Ψ
∂t n=0 n!  h 
n
∞
1 i  ˆn
= Hˆ ∑
− t  H Ψ
n!  h 
n =0
0
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein !
H+ =H
Klar:
⇒U + =
∞
∑
n= 0
∞
n
n
1  i  ˆn
 t  H ⇒ U +U = 1
n!  h 
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
0
= Hˆ ∑
n =1
1  i 
− t 
n − 1!  h 
n−1
Hˆ n−1 Ψ
0
∂
Ψ t Hˆ = −i h
Ψ
∂t
t
Mit der formalen Lösung:
Ψt = Ψ0
i ˆ
Ht
h
e
= Ψ 0 U + (t ,0)
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
(
)
A(t ) ergibt sich für
Fˆ = Fˆ rˆ , pˆ , t :
Fˆ = Ψ t Fˆ Ψ
t
d ˆ
d
F =
Ψ t Fˆ Ψ
dt
dt
t
= Ψ
t
∂Fˆ
Ψ
∂t
t
∂
d
+
Ψ t  Fˆ Ψ
 ∂t
 dt
t
∂

+ Ψ t Fˆ  Ψ t 
 ∂t

1
∂

Ψ t=−
Ψ t Hˆ

ih
 ∂t

∂
1
Ψ t = Hˆ Ψ t
∂t
ih
Also:
d ˆ
d
F =
Ψ t Fˆ Ψ
dt
dt
t
= Ψ
t
[
]
∂Fˆ i ˆ ˆ
+ H, F Ψ
∂t h
t
Ein nicht explizit abhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant,wenn er mit dem Hamiltonoperator
vertauscht.
Für einn nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
[Hˆ , Fˆ ] = 0 ⇒ dtd
Fˆ = 0
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
-
in der klassischen mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
F ( q , p , t ) eine klasssiche Observable und H (q , p ) die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
3 
d
∂
∂F ( q , p, t )
∂F ( q , p , t ) 
F (q , p, t ) = F ( q , p, t ) + ∑ 
q& i +
p& i 
dt
∂t
∂qi
∂p i

i =1 
3 
d
∂
∂F ( q , p, t ) ∂H ∂F ( q , p , t ) ∂H  ∂
 = F ( q , p , t ) + {H , F }
F (q , p, t ) = F ( q , p, t ) + ∑ 
−
dt
∂t
∂qi
∂pi
∂pi
∂q i  ∂t
i =1 
lso gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
{H , F } →
[
i ˆ ˆ
H,F
h
]
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
[
∂Fˆ i ˆ ˆ
Fˆ ° =
+ H, F
∂t h
F ( q , p , t ) " als Operator:
]
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für
Allgemeinen:
F̂ , da im
dFˆ
Fˆ ° ≠
dt
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich übers einen Erwartungswert definiert:
d ˆ
Fˆ ° =
F
dt
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
[ ]
[ ]
i
rˆ ° = Hˆ , rˆ
h
i
pˆ ° = Hˆ , pˆ
h
Mit der Allgemeinen Hamitlonfunktion für ein Potenzial, nämlich
pˆ 2
Hˆ =
+ V ( rˆ )
2m
folgt:
[Hˆ , xˆk ] = hi ∂∂pHˆ
ˆ
k
[Hˆ , pˆ k ] = − hi ∂∂xHˆˆ
k
Also:
pˆ
rˆ ° =
m
pˆ ° = −∇V rˆ
()
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
d
dt
d
dt
1 ˆ
rˆ =
p
m
()
pˆ = − ∇V rˆ
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen
Bewegungsgleichungen
Bilder:
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur
bisauf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Ψ → Ψ´ = U Ψ
Fˆ → Fˆ ´= UFˆ U +
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte
∂Fˆ
= 0 , also keine explizite Zeitabhängigkeit !
∂t
Schrödingerbild:
Operatoren
FˆS (rˆ , pˆ ) zeitunabhängig
Eigenvektoren
n zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
ih
∂
Ψ
∂t
t
= Hˆ Ψ
t
Veranschaulichung im
Im
Ψ zeitabhängig:
R2 :
R 2 entspricht F̂S einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. ( Übungsaufgabe !)
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
Ψ
t
= U (t ,0) Ψ
0
Das heisenbergbild
FˆS = Ψ t Fˆ S Ψ
t
= Ψ 0 U + (t ,0) Fˆ SU (t ,0) Ψ
0
U + (t ,0) FˆS U ( t ,0) = FˆH (t )
In diesem Bild sind die
Operatoren
FˆH (t ) zeitabhängig
und damit Eigenvektoren
n zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
Veranschaulichung im
R2 :
Ψ = Ψ 0 zeitunabhängig:
Aus
Fˆ H (t ) =
i ˆ
i
Ht
− Hˆ t
e h FˆS e h
folgt:
i
i
i
i
ˆ
Hˆ t
− Hˆ t
Hˆ t
d ˆ
i
 i  − Ht
FH (t ) = Hˆ e h FˆS e h + e h FˆS  − Hˆ e h
dt
h
 h 
Also:
[
d ˆ
i
FH (t ) = Hˆ , FˆH
dt
h
]
Somit folgt für das heisenbergbild:
[
d
i
Fˆ ° H = FˆH (t ) = Hˆ , FˆH
dt
h
]
Insbesondere gilt:
d ˆ
HH =0
dt
also die bildunabhängige Dardstellung
Hˆ H = Hˆ S = Hˆ
Wechselwirkungsbild
Sei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
0
1
mit dem ungestörten Hamiltonoperator Ĥ und der Störung Ĥ .
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
i ˆ0
H t
FˆW (t ) = e h
FˆS e
i
− Hˆ 0t
h
Somit gilt wieder die Relation
[
d ˆ
i
FW (t ) = Hˆ 0 , FˆW
dt
h
]
Also:
d ˆ0
H =0
dt
Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian
Hˆ 0 = Hˆ S = Hˆ H bildunabhängig.
Aber:
[
] [
]
d ˆ
i
i
H W ( t ) = Hˆ 0 , Hˆ W = Hˆ 0 , Hˆ 1 ≠ 0 im Allgemeinen
dt
h
h
FˆS = Ψ t Fˆ S Ψ
Ψ
t
i
− Hˆ 0t
h
e
i
+ Hˆ 0t
h
e
Fˆ
i
+ Hˆ 0t
h
e
= Ψ
i
− Hˆ 0 t
h
e
S
Ψ
0
FˆS = Ψ
t
= Ψ
t
i
i
− Hˆ 0t + Hˆ 0 t
h
h
e
e
Fˆ
S
i
i
− Hˆ 0 t + Hˆ 0t
h
h
e
e
Ψ
t
W
= FˆW (t )
= Ψ
W
ˆ (t) Ψ
F
W W
W
Bemerkung: Die erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
d
⇒
Ψ
dt
i
W
+ Hˆ
i
= Hˆ 0 e h
h
0
t
Ψ
t
i
+ Hˆ 0 t
h
+e
i
∂
Ψ
∂t
t
− Hˆ t
∂
1
1
Ψ t = Hˆ S Ψ t = Hˆ S e h
ΨW
∂t
ih
ih
d
1
⇒
ΨW =
− Hˆ 0 Ψ W + Hˆ W Ψ W
dt
ih
wegen
0
(
i
+ Hˆ 0t
h
e
Hˆ
i
+ Hˆ 0t
h
e
S
i
− Hˆ 0 t
h
e
Ψ
t
= Ψ
)
= Hˆ W
W
Aber:
Hˆ W = Hˆ 0 + Hˆ 1
d
1
⇒
Ψ W = Hˆ 1 Ψ W
dt
ih
d
1
1
⇒
Ψ W = Hˆ W Ψ W
dt
ih
d ˆ
i ˆ0 ˆ
FW (t ) = H , FW
dt
h
[
]
Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren
FˆW (t ) zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator Ĥ 0
und damit Eigenvektoren
n zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
STöroperator
Hˆ W 1 .
5.2.8 Zusammenhang zweier Bilder
Ψ
W
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den
Seien B und B´zwei Bilder, die zu einem Zeitpunkt t* übereinstimmen sollen !
LˆB (t *) = Lˆ B´ (t *)
für einen beliebigen Operator
L̂
Satz ( Ohne Beweis)
+
+
LˆB´ (t ) = U B´ (t , t*)U B (t1, t *)Lˆ B (t1 )U B (t1 , t*)U B´ (t , t *)
Dabei ist die Trafo
U
B+
B
B
(t1 , t *) Lˆ (t1 )U (t1 , t *)
in umgekehrter zeitlicher Reihenfolge ( von t* nach t1) vorzunehmen !
Φ B´ (t ) = Cˆ B´ (t , t *)Cˆ B + (t1 , t *) Φ B (t1 )
ϕ k (t ) = U B´ (t , t *)U B + (t1 , t *) ϕ k (t 1 )
B´
B
5.3 Ehrenfestsches Theorem
Lˆ° (t )
Φ
=
d ˆ
L(t )
dt
Φ
Im heisenbergbild:
&
LˆH (t ) = Lˆ°H (t )
&
⇒ Lˆ (t )
Φ
=
d ˆ
L( t )
dt
Φ
[ ] ( )
i
Lˆ° =
H , Lˆ + ∂ t Lˆ
h
i
&
ˆ (t ), Lˆ (t )
Lˆ° ( t ) = Lˆ (t ) + H (t ) − Χ
h
i
&
°
ˆ ( t ), Lˆ (t )
⇒ Lˆ = Lˆ (t ) + H (t ) − Χ
h
i
&
ˆ (t ) Lˆ (t ) − i Lˆ (t ) H (t ) − Χ
ˆ (t )
⇒ Lˆ° = Lˆ (t ) +
H (t) − Χ
h
h
i
&
ˆ (t ) Lˆ (t ) Φ − i Φ Lˆ (t ) H (t ) − Χ
ˆ (t ) Φ
⇒ Lˆ° = Φ Lˆ (t ) Φ + Φ H ( t ) − Χ
h
h
&
& Lˆ (t ) Φ + Φ Lˆ (t ) Φ
& = d Φ Lˆ (t ) Φ = d Lˆ
⇒ Lˆ° = Φ Lˆ (t ) Φ + Φ
dt
dt
d
Lˆ°
=
Lˆ
Φ (t )
Φ (t )
dt
[
]
[
]
(
)
(
(
)
)
(
Definition:
L̂ heißt Erhaltungsgröße, wenn gilt:
d ˆ
=
L
= 0∀ Φ(t )
Φ (t )
dt
Eine Observable
Lˆ°
Φ (t )
Ehrenfest:
Lˆ°
Φ (t )
= 0∀ Φ (t )
Lˆ° = 0
Beispiel: Zeitableitung einer Erhaltungsgröße/ Vergleich verschiedener Bilder
Lˆ° = 0 → Lˆ° (t ) = 0
)
ˆ S (t ) = 0
Χ
[
] (
i
&
LˆS ( t ) = − H S (t ), LˆS ( t ) = ∂ t LˆS (t )
h
ˆ H (t ) = H H ( t )
Χ
)
&
LˆH (t ) = Lˆ° ( t ) = 0
ˆ W (t ) = H W (t )
Χ
0
[
]
i
&
W
LˆSW (t ) = − H 1 (t ), LˆW (t )
h
i
Lˆ° ( t ) = 0 = H , Lˆ ( t ) + ∂ t Lˆ (t )
h
∂ t Lˆ (t ) = 0 ⇒ H , Lˆ (t ) = 0
[
[
]
]
Satz:
Eyplizit zeitunabhängige Observablen, die mit H vertauschen, sind Erhaltungsgrößen.
Beispiel:
Unter welchen bedingungen ist der Drehimpuls bei verschwindendem Magnetfeld eine Erhaltungsgröße ?
Lˆ = xˆ × pˆ
Drehimpuls
[ ]
 pˆ 2

⇒ H , Lˆ = 
+ V ( xˆ ), xˆ × pˆ 
 2m

Satz
[pˆ
2
]
, xˆ × pˆ = 0
[V (xˆ ), xˆ × pˆ ] = − hi xˆ × ∂V (ˆx ) := − hi xˆ × kˆ
ˆ
∂x
∂V ( xˆ )
kˆ :=
∂xˆ
k als Kraftdichteoperator
ˆ
Falls xˆ × k = 0 -> Der Drehimpuls ist Erhaltungsgröße. Dies stimmt für Zentralkraftfelder !
5.4 Energie- zeit- Unschärfe
aus 4.4.4
[
]
1
∆Lˆ ∆Mˆ ≥
Φ Lˆ , Mˆ Φ
2
∆E ≡ ∆H ≥
(
Φ Hˆ − E
h ˆ°
⇒ ∆E∆Mˆ ≥
M
2
)2 Φ
Denn:
[H , Mˆ ] = hi (− ∂ t Mˆ + Mˆ ° )
∂ t Mˆ = 0
da keine explizite Zeitabhängigkeit
[
]
h
⇒ H , Mˆ = Mˆ °
i
h d ˆ
∆E∆Mˆ ≥
M
2 dt
d ˆ
∆Mˆ
M :=
dt
τ
Was ist die zeit tau ?
Sie ist zu interpretieren als die Zeit, die vergehen muss, damit sich die Observable
ändern kann !
Also die zeitliche Änderung der Variable
um den betrag dieser gesamten Unschärfe
M̂ um ihre Unschärfe ∆M̂
M̂ beim essprozess ist etwa die gesamte Unschärfe / Änderungszeit
h ∆Mˆ
∆E∆Mˆ ≥
2 τ
h
⇒ ∆Eτ ≥
2
So kommt man zu einer Form der Unschärfe !
6. Drehimpuls und Spin !
6.1 Drehimpuls
6.1.1 Vertauschungsrelationen
Lˆ = xˆ × pˆ
Lˆ j = ε jkl rˆk pˆ l
Lˆ = rˆ × pˆ ist hermitesch:
+
+
+ +
Lˆ j = ε jkl (rˆk pˆ l ) = ε jkl pˆ l rˆk = ε
ˆ l rˆk
jkl p
= ε jkl rˆk pˆ l
Vertauschungs- relationen:
[Lˆ1 , Lˆ2 ] = [(rˆ2 pˆ 3 − rˆ3 pˆ 2 ), (rˆ3 pˆ1 − rˆ1 pˆ 3 )] = rˆ2 pˆ 3 rˆ3 pˆ1 − rˆ2 pˆ 3 rˆ1 pˆ 3 − rˆ3 pˆ 2 rˆ3 pˆ1 + rˆ3 pˆ 2 rˆ1 pˆ 3
− rˆ3 pˆ 1rˆ2 pˆ 3 + rˆ3 pˆ 1 rˆ3 pˆ 2 + rˆ1 pˆ 3 rˆ2 pˆ 3 − rˆ1 pˆ 3 rˆ3 pˆ 2
= rˆ2 pˆ 3 rˆ3 pˆ 1 − rˆ1 pˆ 3 rˆ3 pˆ 2 + rˆ3 pˆ 2 rˆ1 pˆ 3 − rˆ3 pˆ 1 rˆ2 pˆ 3 = rˆ2 pˆ 3 rˆ3 pˆ 1 − rˆ2 rˆ3 pˆ 3 pˆ 1 + rˆ1rˆ3 pˆ 3 pˆ 2 − rˆ1 pˆ 3 rˆ3 pˆ 2
= rˆ2 [ pˆ 3 , rˆ3 ] pˆ 1 + rˆ1 [rˆ3 , pˆ 3 ] pˆ 2 =
Allgemein:
h
h
rˆ2 pˆ 1 − rˆ1 pˆ 2 = i hLˆ 3
i
i
[Lˆ j , Lˆk ]= ihLˆl mit (jkl) zyklisch
Lˆ1Lˆ 2 − Lˆ 2 Lˆ1 = i hLˆ3
Lˆ 2 Lˆ3 − Lˆ 3 Lˆ 2 = i hLˆ1
Lˆ 3 Lˆ1 − Lˆ1 Lˆ3 = ihLˆ 2
→ Lˆ × Lˆ = ihLˆ
Also kann es keine gemeinsamen Eigenvektoren zu je zwei Drehimpulskomponenten geben.
Aber:
[Lˆ , Lˆ ] = 0 für k = 1,2,3
2
k
Beweis: Übung
Merke:
[Lˆ , Lˆ ] = [Lˆ + Lˆ + Lˆ , Lˆ ]
[Lˆ , Lˆ ] = Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ
2
2
k
2
1
2
2
3
k
2
1
k
1
1
k
1
k
1
Es gibt also gemeinsame Eigenvektoren zu EINEM Lk, konventionshalber
L̂3 und L̂2 .
Definition von leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):
Lˆ + := Lˆ1 + i Lˆ 2
nicht hermitesch
Lˆ − := Lˆ1 − i Lˆ 2
Es gilt vielmehr:
(Lˆ+ )+ = Lˆ −
(Lˆ− )+ = Lˆ+
Vertauschungsrelationen
[Lˆ+ , Lˆ3 ] = [Lˆ1 , Lˆ3 ]+ i[Lˆ2 , Lˆ3 ] = −ihLˆ2 − hLˆ1 = −h(Lˆ1 + iLˆ2 )
[Lˆ+ , Lˆ3 ] = −hLˆ+
[Lˆ− , Lˆ3 ] = hLˆ−
L+- Form und adjungierte Form.
Auch dies kann verallgemeinert werden:
( )
( )n
 Lˆ n , Lˆ  = −nh Lˆ
3
+
 +

( )
( )n
 Lˆ n , Lˆ  = nh Lˆ
3
−
 −

Beweis: Durch vollständige Induktion:
Für n = 1 gezeigt. Sei es nun richtig für ein n größer/gleich 1
Dann:
( )n +1 , Lˆ3  = (Lˆ+ )n [(Lˆ+ ), Lˆ3 ]+ (Lˆ+ )n , Lˆ3 (Lˆ + ) = (Lˆ+ )n (− h (Lˆ+ )) − nh(Lˆ+ )n Lˆ+ = −(n + 1)h(Lˆ+ )n+1
 Lˆ
 +
Weiter gilt:
(
)(
)
[
]
2
2
2
2
Lˆ + Lˆ − = Lˆ1 + i Lˆ 2 Lˆ1 − i Lˆ 2 = Lˆ1 + Lˆ 2 − i Lˆ1 , Lˆ 2 = Lˆ − Lˆ3 + hLˆ 3
[
]
2
2
2
2
Lˆ − Lˆ + = Lˆ1 + Lˆ 2 + i Lˆ1 , Lˆ 2 = Lˆ − Lˆ 3 − hLˆ3
→ Lˆ + , Lˆ − = 2hLˆ3
[
]
[Lˆ , Lˆ ] = 0
[Lˆ , Lˆ ] = 0
2
2
+
−
Lˆ + , Lˆ − gelingt die zerlegung von L̂2 in mit L̂2 vertauschbare Operatoren Lˆ 3 , Lˆ + , Lˆ − :
Mittels
Lˆ2 = Lˆ12 + Lˆ 2 2 + Lˆ3 2 = Lˆ 32 + Lˆ + Lˆ − − h Lˆ 3
Merke
[Lˆ j , Lˆk ]= ihLˆl mit (jkl) zyklisch
[Lˆ , Lˆ ] = 0 für k = 1,2,3
2
k
[Lˆ+ , Lˆ− ] = 2hLˆ3
[Lˆ , Lˆ ] = 0
[Lˆ , Lˆ ]= 0
2
2
+
−
mit 1=x, 2=y, 3=z
[Lˆ+ , Lˆ3 ] = −hLˆ+
[Lˆ− , Lˆ3 ] = hLˆ−
(Lˆ )n , Lˆ  = −nh (Lˆ )n
3
+
 +

(Lˆ )n , Lˆ  = nh (Lˆ )n
3
−
 −

(
)
1
Lˆ2 = Lˆ12 + Lˆ 2 2 + Lˆ 3 2 = Lˆ 3 2 + Lˆ + Lˆ − − hLˆ3 = Lˆ + Lˆ − + Lˆ − Lˆ + + Lˆ 3 2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
L+ L− = L − L3 + hL3
Lˆ − Lˆ + = Lˆ2 − Lˆ 32 − hLˆ 3
Lˆ + := Lˆ1 + i Lˆ 2
nicht hermitesch
Lˆ − := Lˆ1 − i Lˆ 2
(
)
(
)
1
Lˆ1 := Lˆ + + Lˆ −
2
1 ˆ
Lˆ 2 =
L+ − Lˆ −
2i
Eigenwertproblem
Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren
Lˆ2 a, m = ah 2 a, m
Lˆ 3 a, m = mh a , m
a, m von L̂2 und L̂3 gehorchen den Eigenwertgleichungen
Da
L̂ hermitesch ist, gilt:
3
ah 2 = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i + Lˆ i a, m
i =1
+
a, m Lˆ i Lˆi a, m := Φ Φ ≥ 0
3
ah 2 = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i + Lˆ i a, m ≥ a , m Lˆ 3 2 a, m ≥ 0
i =1
a, m Lˆ 3 2 a , m = m 2 h 2
→ ah 2 ≥ m 2 h 2 ≥ 0
Setze
a, m = u
Betrachte:
Lˆ 3 Lˆ ± u = Lˆ ± Lˆ3 u ± hLˆ ± u
[Lˆ3 , Lˆ± ] = ±hLˆ±
Lˆ 3 Lˆ ± u = Lˆ ± u (m ± 1)h
Lˆ 3 Lˆ ± u = (m ± 1)h Lˆ ±u
Also:
L̂± sind die AUf- und Absteigeoperatoren im Spektrum von Lz
Satz:
( )
( )
q
q
Lˆ 3 Lˆ ± u = (m ± q )h Lˆ ± u
q = 0,1,2,3...
L̂± im Spektrum von L² ?
L Lˆ ± u = Lˆ ± Lˆ2 u
Was machen die
ˆ2
Lˆ ± Lˆ 2 u = Lˆ ± ah 2 u
Lˆ2 Lˆ ± u = ah 2 Lˆ ±u
Satz:
( )
( )q u
q
Lˆ2 Lˆ ± u = ah 2 Lˆ ±
ah 2 ≥ m 2 h 2 ≥ 0
⇒ a ≥ m2 ≥ 0
⇒ a≥m≥− a
Das Spektrum von L̂3 ist nach oben und nach unten beschränkt:
3
ah 2 = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i + Lˆ i a, m
i =1
+
a, m Lˆ i Lˆi a, m := Φ Φ ≥ 0
3
+
2
ah 2 = a, m Lˆ 2 a, m = ∑ a , m Lˆ i Lˆ i a, m ≥ a , m Lˆ 3 a, m ≥ 0
i =1
2
a, m Lˆ 3 a , m = m 2 h 2
→ a≥m≥− a
Also existiert ein größter Eigenwert
mmax = m0 + nmax h und ein kleinster Eigenwert mmin = m0 − k max h
mit
Lˆ + a , mmax = Lˆ − a, mmin = 0
Daraus folgt:
(
= (Lˆ
)
+ hLˆ ) a, m
(
= (a − m
)
0 = Lˆ − Lˆ + a , mmax = Lˆ 2 − Lˆ 3 2 − hLˆ 3 a, mmax = a − mmax 2 − hmmax h 2 a, mmax
0 = Lˆ + Lˆ − a , mmin
2
− Lˆ 3 2
3
min
2
min
)
+ hmmin h 2 a, mmin
Also:
a = mmax 2 + hmmax = mmin 2 − hmmin
Andererseits existiert ein
Also:
( )n a, mmin
n ∈ N 0 mit a , m max = Lˆ +
mmax h = mmin h + nh
Setzt man dies in
ah 2 = h 2 mmax 2 + h 2 mmax = h 2 mmin 2 − h 2 mmin ein, so folgt:
h m min + 2nh m min + n h + h (hm min + nh ) = h m min − h m min
2
2
2
2 2
2 nh 2 m min + n 2 h 2 + h(h 2m min + nh ) = 0
⇒ m min h = −
n( n + 1) h 2
n
= − h =: −l h
2(n + 1)h
2
mit
l :=
n
, n ganzzahlig
2
Somit:
ah 2 = h 2 mmin (mmin − h ) = (− l )(− l − 1)h 2
a = l (l + 1)
mmax h = mmin h + 2l h = lh
mmin h = −lh
Mögliche Eigenwerte von
L̂2 : ah 2 = l (l + 1)h 2
n∈N
1 3
⇒ l = 0, ,1, ,...
2 2
Mögliche Eigenwerte von
L̂3 für festes l:
mh
mit
m = −l , −l + 1,−l + 2,..., l − 2, l − 1, l
2
2
2
m=-l -> gehört zu bmin
m=+l -> gehört zu b max
Es können keine weiteren Eigenwerte von
Anwendung von
L̂+ bzw. L̂− die Schranken m ≤ l verletzen könnte.
Zu jedem l gibt es
2l + 1 Werte von m:
Dies entspricht der energetisch gleichen
Tabelle:
Quantenzahlen
L̂3 zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte
2l + 1 - fachen Richtungsentartung von L̂2
Eigenwert von
Richtungsquantenzahl m
l
L̂
h l (l + 1)
m
0
0
0
3
4
h 2
15
h
4
−
1
2
1
3
2
h
1 1
,+
2 2
− 1,0,1
−
3 1 1 3
,− , ,
2 2 2 2
Lˆ2 l , m = h 2l (l + 1) l , m
Lˆ3 l , m = hm l , m
Diracsches Vektormodell:
Darstellung der Richtungsquantisierung:
m=1/2 -> Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse
m=-1/2 -> der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse
Zur Übung ist zu zeigen:
l , m Lˆi l , m = 0 für i=1,2
(
l , m Lˆi − Lˆi
)
2
l , m = 0 soll berechnet werden
Nebenbemerkung: Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen
Komponenten des Drehimpulses !
Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses
h
r pˆ l , m = ∇Ψlm (r )
i
r r l , m = r Ψlm ( r )
Lˆ = rˆ × pˆ
ergibt:
h
r Lˆ3 l , m = ( xˆ1∂ 2 − xˆ 2 ∂1 )Ψlm ( r ) = hm Ψlm ( r )
i
In Kugelkoordinaten:
x1 = r sin ϑ cos ϕ
x 2 = r sin ϑ sin ϕ
x3 = r cos ϑ
x1∂ 2 − x 2 ∂1 =
⇒
∂
∂ϕ
h ∂
Ψlm (r , ϑ , ϕ ) = hmΨlm ( r ,ϑ , ϕ ) Eigenwertgleichung für L̂3 .
i ∂ϕ
Lösung
Ψlm ( r ,ϑ , ϕ ) = e imϕ f lm (r , ϑ )
m = −l ,..., l
Eindeutigkeit:
e im ϕ = e im (ϕ +2π )
⇒ m∈Z
⇒ Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.
Leiteroperatoren:
h
 ∂
∂ 
r Lˆ ± l , m = (xˆ 2 ∂ 3 − xˆ 3 ∂ 2 ± i xˆ 3∂ 1 m ixˆ1∂ 3 )Ψlm ( r ) = he ±iϕ  ±
+ i cot ϑ
 Ψlm ( r ,ϑ , ϕ )
i
∂ϕ 
 ∂ϑ
 ∂
∂ 
 ∂

he ±i ϕ  ±
+ i cot ϑ
Ψlm ( r ,ϑ , ϕ ) = hei ( m±1)ϕ  ±
− m cot ϑ  f lm ( r ,ϑ )
∂ϕ 
 ∂ϑ

 ∂ϑ
Für m=l ( Maximalwert) ist
Lˆ + l ,l = 0
 ∂

⇒ he i (l +1)ϕ 
− l cot ϑ  f ll ( r , ϑ ) = 0
 ∂ϑ

Lösung:
df ll (r , ϑ )
= l ∫ cot ϑdϑ
f
∫
f ll (r , ϑ ) = (− 1)l
(2l + 1)!
1
2
l
2 l!
(sin ϑ )l Rll ( r )
Mit dem Normierungsfaktor
(2l + 1)!
1
2
2 l l!
Erzeugung der anderen f lm ( r ,ϑ ) :
[
∂

i (l −1)ϕ 
i (l −1)ϕ
(sin ϑ )1−l ∂ (sin ϑ )l fll ( r ,ϑ
Ψl ,l −1 ( r ) ∝ r Lˆ − ll = he
− l cot ϑ  f ll ( r , ϑ ) = he
−
∂ cos ϑ
 ∂ϑ

Normierung:
Ψl ,m (r ,ϑ ,ϕ ) = R lm ( r )Yl m (ϑ, ϕ )
Mit den Kugelflächenfunktionen
Yl m (ϑ ,ϕ ) =
Yl m (ϑ ,ϕ ) =
(− 1) m (2l + 1)(l − m )! 1
d l −m
(sin ϑ )2l
l
m
l−m
2
(
l
+
m
)
!
2 l!
(sin ϑ ) d (cos ϑ )
(2l + 1)(l − m)! m
⋅ (− 1)m
P l (cos ϑ )
2 (l + m )!
eim ϕ
⋅
2π
e
im ϕ
2π
Wobei
Pl ( x) :=
1
2 l l! (dx)l
(
Pl ( x) := 1 −
m
dl
)
(x − 1) Legendre- Polynom l- ten Grades
m
2 2
x
2
dm
(dx)m
l
Pl ( x) zugeordnetes Legendre- Polynom
Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase
Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert
]
2π
[
π
∫
]
*
dϕ ∫ dϑ sin ϑ Yl m (ϑ , ϕ ) Yl ´m´ (ϑ , ϕ ) = δ ll ´δ mm´
0
0
Dies ist ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln
lassen:
∞
F (ϑ , ϕ ) = ∑
l
∑
l = 0 m= − l
cl mYl m (ϑ , ϕ )
Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:
Yl m (ϑ , ϕ ) = (− 1) m Yl − m
*
Die Inversion am Ursprung liefert: ( also:
r → −r ), also (ϑ , ϕ ) → (π − ϑ , ϕ + π ) :
Yl (π − ϑ ,ϕ + π ) = (− 1) Yl (ϑ , ϕ )
m
l
m
Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände
Eigenfunktion
Knotenlinien von l
{ }
Re Yl
0
Y0
4π
3
0
Y1 =
4π
±1
Y1 = m
m
Bemerkungen
m
0
0
0
gerade (s-Orbitale)
cosϑ
1
1
0
ungerade (p-Orbitale)
3
1
1
±1
ungerade ( ebenfalls p-Orb.)
1
=
l, m haben die Parität (− 1)l
8π
sin ϑe ± iϕ
ΨPx =
ΨPy =
(
)
5
3 cos2 ϑ − 1
16π
15
±1
Y2 = m
sin ϑ cosϑe ± iϕ
8π
15
±2
Y2 =
sin 2 ϑe± 2 iϕ
32π
0
Y2 =
sin ϑ sin ϕ
0
gerade (d-Orbitale)
2
2
±1
gerade (d-Orbitale)
2
2
±2
gerade (d-Orbitale)
1
4π
3
cosϑ
4π
Y1±1 = m
4π
sin ϑ cosϕ
2
Eine Knotenlinie
Y10 =
4π
3
2
Keine Knotenlinie
Y0 0 =
3
3
sin ϑe ±iϕ
8π
Zwei Knotenlinien
Y2 0 =
Y2 ±1 = m
Y2 ±2 =
(
)
5
3 cos 2 ϑ − 1
16π
15
sin ϑ cos ϑe±i ϕ
8π
15
sin 2 ϑe ±2iϕ
32π
Kleiner Einwurf
Vorlesung 08.01.2003
Vorlesung 08.01.2003
Lˆ = xˆ × pˆ
Lˆ2 , Lˆ = 0
[
Lˆ2 u
k
M
]
J
= J ( J + 1)h 2 u M J
folgt alleine aus dem Virialtheorem
Lˆ z u M J = mh u M J
Dabei indiziert m den Entartungsgrad der Drehimpulslänge, nämlich versteckt als Möglichkeiten, diese Länge
entlang z auszurichten ( vergl. Diracsches vektormodell)
1 3
J = 0, ,1, ,...
2 2
M = J , J − 1,..., − J + 1,− J
Der Entartungsgrad ist gerade 2J+1 ( Potenzialunabhängig)
Merke
[Lˆ j , Lˆk ]= ihLˆl mit (jkl) zyklisch
[Lˆ , Lˆ ] = 0 für k = 1,2,3
2
k
[
]
Lˆ + , Lˆ − = 2hLˆ 3
[Lˆ , Lˆ ] = 0
[Lˆ , Lˆ ]= 0
2
2
+
−
mit 1=x, 2=y, 3=z
[Lˆ+ , Lˆ3 ] = −hLˆ+
[Lˆ− , Lˆ3 ] = hLˆ−
(Lˆ )n , Lˆ  = −nh (Lˆ )n
3
+
 +

(Lˆ )n , Lˆ  = nh (Lˆ )n
3
−
 −

Drehoperator
i ˆ
− αL
h
=e
Rˆ (α )
xˆ ϕ ( x ) = x ϕ ( x )
speziell
x = ( 0,0,2)
ϕ (( 0,0,2)) =
∑cJ0 uJ 0
J
Ganz
(
)
Lˆ3 ϕ ((0,0,2)) = xˆ1 pˆ 2 − xˆ 2 pˆ 1 ϕ ((0,0,2))
Sei
i
− α Lˆ
Rˆ (α ) = e h
xˆ 0 ϕ ( x ) = x0 ϕ ( x )
⇒ Rˆ (α ) xˆ 0 ϕ ( x ) = x0 Rˆ (α )ϕ ( x )
⇒ Rˆ (α ) xˆ 0 Rˆ (α ) −1 Rˆ (α )ϕ ( x ) = x 0 Rˆ (α )ϕ ( x )
Rˆ (α ) xˆ 0 Rˆ (α ) −1 := xˆ
Rˆ (α )ϕ ( x ) := ϕ ( x 0 )
xˆ ϕ ( x 0 ) = x0 ϕ ( x0 )
Man sagt
x0
aus
x durch Drehung erzeugt !
x0 = Q x
QQ T = Q TQ = 1
Satz von Euler- DÁlemebert
α = αα 0
mit dem Winkel
α und der Drehachse α 0 .
Spezielle Erzeugung durch Drehung von
ϕ (( 0,0, 2)) :
Rˆ (α ) ϕ (( 0,0,2)) = ϕ ( x´)
x = ( 0,0,2)
ϕ ( x´) =
∑ c J 0 Rˆ (α ) u J 0
J
Ganz
mit
Rˆ (α ) u J M = ∑ Rˆ J MM ´ (α ) u J M ´
M´
ϕ ( x´) =
∑ cJ 0 ∑
J
Ganz
Rˆ J 0 M ´ (α ) u J M ´
M´
Dieses Ziel wurde erreicht durch Ausgehen von einem beliebigen
Zu einem beliebigen
x´ kommt man dann immer alleine durch Wahl des richtigen Drehoperators.
Ganzzahlige J reichen uns nun also, um eine Basis
Was bedeuten dann jedoch halbzahlige J ?
è Spin !
( siehe später=)
x = ( 0,0,2) ( hier !)
{ϕ (x´) }darzustellen.
bisher: l=0,1,2,3, entspricht l=s,p,d,f, ( historisch)
Ortsdarstellung
 y∂z − z ∂y 

h
h
ˆ
L = rˆ × pˆ = rˆ × ∇ =  z ∂x − x∂z 
i
 x∂y − y∂x  i


h
Lˆz = (x∂y − y∂x )
i
h
h h
Lˆ± = ( y∂z − z∂y ) ± i (z ∂x − x∂z ) = [( y m ix )∂z − z (∂y m i∂x )]
i
i i
In Kugelkoordinaten:
x1 = r sin ϑ cos ϕ
x 2 = r sin ϑ sin ϕ
x3 = r cos ϑ
x1∂ 2 − x 2 ∂1 =
∂
= −r sin ϑ sin ϕ∂ x + r sin ϑ cos ϕ∂ y
∂ϕ
∂
= r cos ϑ cos ϕ∂ x + r cos ϑ sin ϕ∂ y − r sin ϑ∂ z
∂ϑ
h h ∂
Lˆz = (x∂y − y∂x ) =
i i ∂ϕ
 1 ∂ 
∂ 
1
∂2 
Lˆ 2 = −h 2 
sin
ϑ
+



∂ϑ  sin 2 ϑ ∂ϕ 2 
 sin ϑ ∂ϑ 
è Kugelflächenfunktionen ( Legendre- Polynome)
6.3 Kugelsymmetrische Hamiltonoperatoren
Zentralkräfte:
[ ]
Lˆ° = 0 ⇒ H , Lˆ = 0
Beispiele:
Vo = const
Q1Q2
r
−
g2
e
freies Teilchen
Coulomb
r
r0
r
− V0 Θ(r0 − r )
1
mω 2 r 2
2
Yukawa ( starke Kernkraft)
Potenzialtopf
Oszillator
Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:
H ϕ k = Ek ϕ k
ϕ ( x ) ϕ k = ϕ k (r ,ϑ , ϕ )
Ψ ( r, ϑ , ϕ ) = R ( r )Y (ϑ , ϕ )
mit
L2Y (ϑ, ϕ ) = h 2l (l + 1)Y (ϑ, ϕ )
Also:
( )
h2 Y d 2
(rR ) + R 2 L2Y + Y (V (r ) − E )R = 0
2
2m r dr
2mr
L2Y = h 2 l (l + 1)Y
−
(
)
h2 Y d 2
(rR ) + R 2 h 2l (l + 1)Y + Y (V ( r ) − E )R = 0
2
2m r dr
2mr
 h 2l (l + 1)

h2 d 2

(rR ) = 0
⇒−
(
rR
)
+
+
V
(
r
)
−
E
 2mr 2

2m dr 2


2
h l (l + 1)
⇒−
Dabei wird
analog zur klassischen mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet
2mr 2
Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:
Veff . =
h 2l (l + 1)
2mr 2
+ V (r )
Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:
Sei
lim
r→0
V (r) ≤
M
rα
mit α < 2
Also: dominiere das Zentriofugalpotenzial gegenüber V für r-> 0,
so gilt:
Es existieren für ein anziehendes Potenzial V (r ) , also negatives Potenzial wie im 1dimensionalen Fall
grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände.
Dabei existiert eine Serie E nl n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l
Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.
Also: es existieren endlich oder unendlich viele E nl zu jedem l mit jeweils 2l + 1 facher Entartung.
Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren !
Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:
Jeweils vertauschbar sind:
L2 mit L j , H
und
2
H mit L , L j .
Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu
H , L2 , L3 . Es ist möglich, einen Operator, z.B. den
Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken
Wir haben jedoch gesehen, dass
[Lˆ j , Lˆ k ] = ihε jkl Lˆl ⇔ Lˆ × Lˆ = ihLˆ
Wir haben als leiteroperatoren:
Lˆ + := Lˆ1 + i Lˆ 2
nicht hermitesch
Lˆ − := Lˆ1 − i Lˆ 2
mit Lˆ ± l , m ~ l , m ± 1 nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische
Quantenzahl.
⇒ Lˆ 2 l , m = h 2 l ( l + 1) l , m
Lˆ l , m = hm l , m
3
1
⇒ l = 0, ,1,...
2
m = −l ,−l + 1,...., l
Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:
Lˆ = rˆ × pˆ
Das Spektrum ist einzuschränken:
⇒ l = 0,1,2...
m = −l ,−l + 1,...., l
Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:
rˆ nlm = Ψnlm = Ψ (r , ϑ, ϕ ) = R nl ( r )Yl m (ϑ, ϕ )
als Separationsansatz.
Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu
H , L2 , L3
kann man den Hamiltonian zusammenstellen:


 (r ⋅ p )(r ⋅ p ) +
p


HΨ = 
+ V ( r ) Ψ = 
 2m


2 mr 2




2
= HΨ =


L
+
+ V ( r ) Ψ
2

2 mr



1  h 2 ∂2
L2
−
(
r
Ψ
)
+
Ψ + V (r)Ψ


2
2m  r ∂r 2
 2mr
h2 ∂ 2
−
(rΨ ) = p r 2
2
r ∂r
Dabei:
pr 2 ≠
h
i 
(r ⋅ p ) 2
r2
( klassisch)
2
Es ergibt sich die Schrödingergleichung:
−
 h 2 l (l + 1)

h2 d 2
(
rR ) + 
+ V (r ) − E (rR ) = 0
 2mr 2

2m dr 2


als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial
und dem effektiven Potenzial Veff . (r ) = V (r ) +
h 2l (l + 1)
2mr 2
h 2 l (l + 1)
2mr 2
Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:
u (r )
rˆ nlm = Ψnlm ( r ) = Ψ (r ,ϑ , ϕ ) = R nl (r ) Yl m (ϑ, ϕ ) = nl Yl m (ϑ ,ϕ )
r
u (r )
R nl ( r ) = nl
r
Aus der Normierbarkeit
∫
d r Ψnlm
3
2
= ∫ dΩ Yl (ϑ ,ϕ )
m
2 ∞
r2
0
∫
unl ( r )
r
2
= ∫ dΩ Yl (ϑ ,ϕ )
m
2 ∞
folgt:
lim
a
unl ( r ) ≤ ε
r →∞
r
1
mit ε >
2
Asymptotisches Verhalten für r → ∞ :
−
h2 d 2
u = Eu
2m dr 2
⇒ u ~ e −kr
1
k :=
2m(− E )
h
Verhalten für r → 0 :
 h 2 d 2 h 2 l (l + 1) 
+
−
u = 0
2
2mr 2 
 2m dr
Ansatz: u( r ) ~ r s :
− s (s − 1) + l (l + 1) = 0
⇒ s1 = l + 1; s 2 = −l
Jedoh ist s2 = − l nicht zulässig, da R (r ) ~ r −l −1 singulär an der Stelle r=0
. Es ist notwendig, dass
lim
r−> 0
u (r ) = 0
Nebenbemerkung:
Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung
∫0
2
u nl (r ) < ∞
−
h2 d2
u + (V ( r ) − E )u = 0 mit u ( 0) = 0 äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit
2m dr 2
V1 ( x) = V ( x) für x > 0
V1 ( x) = ∞ x ≤ 0
Vergleiche: Harmonischer Oszi !
Symmetrische Fortsetzung des Potenzials V s :
Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von V s sind auch Eigenzustände von V 1
Fazit: Der Grundzustand von V 1 entspricht dem ersten angeregten Zustand von V s ( radialsymmetrisches
Potenzial der Schrödingergleichung).
Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand !
Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.
6.4 Spin
6.4.1 Experimentelles
Stern- Gerlach Experiment: 1922:
Für das inhomogene Magnetfeld gilt: ∇B3 ⊥Strahl
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
F = ∇(µ 3 B3 ) = µ 3∇B3
Somit: ABlenkung parallel zu µ3 !!
Bahndrehimpuls l ergäbe 2l + 1 - fache Strahlaufspaltung ( also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
⇒ µ ~ S Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !
Stern- gerlach mit
Wasserstoffatomen
Im s- Zustand ( l=0)
Grundzustand -> m =0
Man erwartete für einen Wasserstoffstrahl in einem Feld parallel zur z- Achse demanch keine AUfspaltung.
Dies war jedoch ein Irrtum.
Stattdessen spaltete der Atomstrahl in 2 Strahlen auf !
Der Zustand ist also zweifach entartet.
Demnach kann J =0 nicht sein, sondern:
(2J + 1) = 2 ⇒ J = 1
2
Lösung:
Erweiterung des Hilbertraumes und Zusammentensorierung !
1.
2.
Problem: Halbzahligkeit
Problem: widerspruchsfreie tensorierung der teilräume
J =
1
2
1 1
⇒m =− ,
2 2
6.4.2 Spinraum
Der Spinraum ist ein zweidimensionaler unitärer Hilbertraum
US
U ges . = U ⊗ U S
Lˆ − > Sˆ
Spinoperator !
J=
1
2
1 1
⇒ ms = − ,
2 2
3
ˆ
S 2 u± = h 2 u ±
4
1
ˆ
Sz u ± = ± h u±
2
Es gilt zu den Stufenoperatoren
Sˆ ± = Sˆ x ± iSˆ y
Es gilt ( kann mittels des verwendeten gezeigt werden, vergl. Drehimpuls):
Lˆ ± u m J = l ( l + 1) − m( m ± 1) h u m J
allgemein für Drehimpulsoperatoren
Sˆ + u + = 0
Sˆ + u − = h u +
Sˆ − u − = 0
Sˆ − u + = h u −
u± u ± =1
u± u m = 0
Matrixelemente der Spinoperatoren
sz- Darstellung
0
u m Sˆ + um´ = h
0
0
u m Sˆ− u m´ = h
1
1

0 
0

0 
1
h 0 1
u m Sˆx um´ = u m  Sˆ + + Sˆ−  um´ = 


2
2  1 0 
i
h 0 − i
u m Sˆ y um´ = u m  Sˆ− − Sˆ+  u m´ = 


2
2  i 0 
h 1 0 
u m Sˆz u m´ = 

2  0 − 1
Pauli- Spinmatrizen
2
σˆ i := Sˆi
h
 0 1
σˆ 1 αβ = 

 1 0
0 − i 
σˆ 2 αβ = 

i 0 
( )
( )
(σˆ 3 )αβ =  10

0

− 1
Relationen:
Sˆ± 2 = 0
1
Sˆx 2 = Sˆ y 2 = Sˆ z 2 = h 2 1
4
0
1
0
− i   − i 0



σˆ 1σˆ 2 = 

 = 
 = iσˆ 3
 1 0  i 0   0 i 
 0 − i  0 1 

 = −iσˆ 3
σˆ 2σˆ 1 = 
i
0
1
0



⇒ σˆ 1,σˆ 2 = 2iσˆ 3
[
]
und zyklisch vertauschbar
σˆ 1σˆ 2 = −σˆ 2σˆ 1
σˆ 1,σˆ 2 = 2σˆ 1σˆ 2
[
]
⇒ σˆ 1σˆ 2 = iσˆ 3
und zyklisch vertauschbar
Summary nur für Pauli- Matrizen ( leichter zu merken)
σˆ 12 + σˆ 2 2 + σˆ 3 2 = 1
σˆ 1,σˆ 2 = 2iσˆ 3 u.zyklisch
[ ]
{σˆ1,σˆ 2 } = 0
u.zyklisch
σˆ 1σˆ 2 = −σˆ 2σˆ 1 = i σˆ 3
u.zyklisch
σˆ 1σˆ 2σˆ 3 = i 1
Sp(σˆ i ) = 0
Det (σˆ i ) = −1
Tensorierte Räume
Gesamtraum:
Es gilt:
U ⊗V
U : { e k }dim : N
V : { El }dim : n
Tensoriert:
U ⊗ V : { ek ⊗ El
}
α ek El = αe k El
ek ´ El´ ek El = δ kk´δ ll ´
dim U ⊗ V : nN
Direkte Summe
U ⊕ V : { ek ⊕ E l
}
α ek ⊕ E l = αek ⊕ αEl
ek ´ ⊕ El ´ e k ⊕ El = δ kk´ + δ ll ´
dim U ⊕ V : n + N
Die Erweiterung um den Spianteil
Φ = ϕ s
ϕ ∈U
s ∈Us
mit
ϕ spinfrei und s = reiner Spinanteil
Ψ Φ = ψ v ϕ s = ψ ϕ v s
Distributivgesetz:
ϕ u + v =ϕ u +ϕ v
Entwicklungssatz:
Φ = ∑ akj ϕ k u j
k, j
Wirkung von Operatoren:
(Aˆ ⊗ Bˆ )ϕ ⊗ s
= Aˆ ϕ ⊗ Bˆ s
ϕ ∈U
s ∈Us
(Aˆ ⊗ Bˆ )ϕ
s = Aˆ ϕ Bˆ s
ϕ ∈U
s ∈Us
Vollständigkeitsrelation
∑
ϕk ϕ k = 1
∑
ϕk ⊗ u j ϕk ⊗ u j = ∑ ϕk ϕ k ⊗ u j u j = 1
k
k, j
k,j
6.5 Magnetisches Moment
6.5.1 Magnetischer Parallelismus
( )
( )
2
1 ˆ
H ( xˆ , pˆ , t ) =
 p − qAˆ xˆ , t  − qVˆ xˆ , t

2µ 
Von außen werde ein homogenes, statisches Magnetfeld
( ) (
( )
( )
)
B0 = const angelegt:
1
Aˆ xˆ , t = xˆ × B0
2
ˆ
rot A xˆ , t = B0
in Coulomb- Eichung
div Aˆ xˆ , t = 0
Magnetfeldanteil:
( )
( )
( )
q ˆˆ ˆ
q ˆ ˆ ˆ q2 ˆ 2 ˆ
H ( xˆ , pˆ , t ) m = −
pA x , t −
A x, t p +
A x, t
2µ
2µ
2µ
Remind:
[pˆ , Fˆ ] = hi ∂ xˆ Fˆ
( ) ( )
) ( )i
i i(
( )
(
h
h
1
pˆ i Aˆ i xˆ , t − Aˆ xˆ , t i pˆ i = ∂ xˆ i Aˆ xˆ , t i = ∂ xˆ i xˆ × B0
i
i
2
ˆ
ˆ
⇒ pˆ A xˆ , t = A xˆ , t pˆ
)i = 0 #
i
Somit:
H m ( xˆ , pˆ , t ) = −
Weiter:
( )
( )
( )
( )
( )
q ˆˆ ˆ
q ˆ ˆ ˆ q2 ˆ 2 ˆ
q
q2 ˆ 2 ˆ
pA x , t −
A x, t p +
A x , t = Aˆ xˆ , t pˆ +
A x,t
2µ
2µ
2µ
µ
2µ
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)(
(( )
( ))
(
))
)
1
1
1
Aˆ xˆ , t pˆ = B0 × xˆ pˆ = xˆ × pˆ B0 = B0
2
2
2
2
2
1
1
Aˆ xˆ , t = xˆ × B0 = xˆ × B0 xˆ × B0 =
4
4
2
1
Aˆ xˆ , t = B0 xˆ ⋅ xˆ B0 − B0 ⋅ xˆ xˆ
4
xˆ ⋅ xˆ B0 − B0 ⋅ xˆ xˆ = − xˆ × xˆ × B0
( )
(( )
(
)
(xˆ × pˆ )
( )
(
)(
1 ˆ ˆ
1
x ⋅ x (B0 ⋅ B0 ) − B0 ⋅ xˆ xˆ ⋅ B0
4
4
)
SOmit:
H m ( xˆ , pˆ , t ) =
( )
( )
q ˆ ˆ ˆ q2 ˆ 2 ˆ
A x, t p +
A x,t
µ
2µ
(
)
[ (
q
q2
⇒ H m ( xˆ , pˆ , t ) = −
B0 ⋅ xˆ × pˆ −
B0 xˆ × xˆ × B0
2µ
8µ
)]
Der magnetische Hamiltonian setzt sich also zusammen aus einem Teil, der
(xˆ × pˆ ) = lˆ beinhaltet.
Dieser Teil macht den magnetischen B- Feld Effekt und ist als mechanischer teil zu verstehen.
Der zweite Term ist von der Form nach eine Zentrifugalkraft.
Das Ganze läuft unter dem Namen mechanisch magnetischer Parallelismus
Es existiert also ein permanentes magnetisches Bahnmoment:
m :=
q
l
2µ
Auf dieses gehen alle paramagnetischen Effekte zurück ( Paramagnetismus).
Dieses Moment wirkt beispielsweise auch auf Eisen/ Kobalt.
Im anderen term
[ (
)]
q2
B0 xˆ × xˆ × B0 findet sich ein induzierter Teil. Ein induziertes magnetisches Moment..
8µ
Dieses wirkt nur auf Magnete !
mind . =
[ (
q2 ˆ ˆ
x × x × B0
8µ
)]
Es handelt sich dabei um den diamagnetischen term
Im konstanten Magnetfeld kommt es also zur Linienaufspaltung !
m z :=
q
lz
2µ
Mit den Eigenwerten
q
hmz
2µ
m = l , l − 1,...,−l + 1, −l
Einheit ist das Bohrsche Magneton:
µB = −
Betachte
q
h = 9, 2732 ⋅ 10 −24 J / T
2µ
(xˆ × B0 )2 Dieser Term ist invariant gegen das vertauschen von ort und Magnetfeld !
Zentrifugalkraft:
[ω × (ω × x )] hat die gleiche Struktur !
Bei Vertauschung von Ort und Magnetfeld
[ (
)] [
(
⇒ xˆ × xˆ × B0 → B0 × B0 × xˆ
)]
(xˆ × B0 )2 → (B0 × xˆ )2
Bei der Zentrifugalkraft lautet die Interpretation: Bei links- statt rechtsdrehen bleibt die Zentrifugalkraft erhalten
!
Hier:
Wechsele von B -> -B
(xˆ × B0 ) → −(xˆ × B0 ) = (B0 × xˆ )
und der Diamagnetismus bleibt erhalten !
Einstein - De- Haas, 1915
Messung des gyromagnetischen Verhältnisses mittels Magnetkern an Torsionsfaden !
Die Magnetisierung des Magnetkerns ergibt sich zu
M = mV
q ˆ
q ˆ
⇒ Mˆ = mˆ V = V
l :=
Λ
2µ
2µ
Nun kommt man von
B& → M& → Λ&
Experimentell:
M&
Λ&
=
q
µ
ohne den Faktor 1/2 -> der Spin wurde vergessen !
Dies ist typisch. Wenn ein Faktor 1/2 auftritt, so wurde der Spin vergessen -> der Spinraum muss einen
mechanisch magnetischen Parallelismus besitzen !
Spin <-> magnetisches Moment
m s = gs
q ˆ
s
2µ
gs heißt Gyromagnetischer Faktor !
è Fazit: Der Spin kommt nicht aus der Theorie. Er musste erst gemessen werden und nachträglich eingebaut
werden !
Einstein De Haas bestimmten gs =2
q ˆ
mˆ s = g s
s
2µ
Der Spin wird in der Quanten- Elektrodynamik gewonnen !
Dabei gilt:
α


e
g s = 21 +
+ ...
2
π


1
e2
α=
=
137 hc
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Elektronen:
ms =
q ˆ
s
µ
Das Elektron hat die potenzielle Energie U im Magnetfeld Bo
U = − ms B0 = − g s
q ˆ
s ⋅ B0 = H S
2µ
Hamilton- Operator für Bahn:
1
Hˆ B =
( p + eA )2 − eV ( r ) Elektron mit Ladung e<0
2 m0
Wirkt alleine im Hilbertraum H B
Hamilton- Operator für Spin:
1
Hˆ =
( p − qA )2 + qV (r ) + Hˆ S
2 m0
q ˆ
Hˆ S = − g s
s ⋅ B0
2µ
Ĥ S wirkt dabei nur im Hilbertraum H S
Ohne Berücksichtigung von
Hˆ B Ψα
t
= ih
α = 1,2
∂
Ψα
∂t
Ĥ S :
t
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in H B :
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Hˆ B Ψα
t
= ih
α = 1, 2
∂
Ψα
∂t
t
(
)
⇔ Hˆ B × 1 Ψ
t
= ih
∂
Ψ
∂t
t
Für den gesamten Hamiltonian gilt:
Hˆ Ψ
t
= ih
∂
Ψ
∂t
t
1
Hˆ =
( p − qA )2 + qV (r ) − g s q sˆ ⋅ B0
2 m0
2µ
Dabei
1 = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im
Spinraum:
1 0
1 = 

0 1
Ĥ S :
∂
= ih
Ψ
∂t
MIT Berücksichtigung von
(Hˆ B × 1 + Hˆ S ) Ψ t
t
In Matrix- Darstellung:
Hˆ S = −hω l σˆ 3
ωl =
eB
2µ
In Matrix- Darstellung:
 Hˆ ´B + hω l


0

(
 Ψ1
0

− hω l  Ψ2
Hˆ ´B
)
⇔ Hˆ ´B + hω l Ψ1
t
= ih
(Hˆ ´B − hω l ) Ψ2 t = ih ∂∂t
∂
Ψ1
∂t
Ψ2

 Ψ
 = ih ∂  1

∂t  Ψ2
t
t



t
t
PAULI- GLEICHUNG
t
t
Dies ist äquivalent zu folgender Darstellung:
Hˆ Ψ
t
= ih
∂
Ψ
∂t
t
1
Hˆ =
( p − qA )2 + qV (r ) − g s q sˆ ⋅ B0
2 m0
2µ
Pauli- Gleichung !
6.5.3 Normaler ( einfacher) Zeeman- Effekt
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder
Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
B = Be3
 1 ˆ2

q ˆ ˆ
q ˆ ˆ
Hˆ = Hˆ B ⊗ 1 + H S = 
p + qV (r ) ⊗ 1 −
B0 ⋅ l − g s
B 0 ⋅ s + O( B0 2 )
2
µ
2
µ
2
µ


 1 ˆ2

p + qV (r )  := H 0

 2µ

Dabei wird durch Hˆ ⊗ 1 der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
B
q ˆ ˆ
Hˆ = H 0 −
B 0  l + g s sˆ 

2µ 
 1 ˆ2

 2µ p + qV ( r)  := H 0


Für B = Be3
q ˆ ˆ
Hˆ = H 0 −
B0  l z + g s sˆ z 

2µ 
 1 ˆ2

 2µ p + qV (r )  := H 0


Wirkung auf die Zustände:
H 0 Ψnlm u ± = E nlm 0 Ψnlm u ±
⇔ (H 0 ⊗ 1) Ψnlm ⊗ u ± = E nlm Ψnlm ⊗ u ±
0
n= Hauptquantenzahl
l= Nebenquantenzahl ( Eigenwerte von l²)
m= magnetische Quantenzahl ( Eigenwerte von lz)
(H 0 ⊗ 1) Ψnlm ⊗ u ±
(
)
 q 
+ lˆz ⊗ 1 + 1 ⊗ g S sˆ z  −
 B0 Ψ nlm ⊗ u ±
 2µ 
= E nlm 0 Ψnlm ⊗ u ± −
q 
 h 
mh + g s  ±  Ψnlm ⊗ u ±

2µ 
 2 
Man bekommt also mit dem Korrekturterm
q 
 h 
mh + g s  ±  

2µ 
 2 
eine Korrektur an die Energie !!
Merke:
H 0 , H haben die GLEICHEN Eigenfunktionen, jedoch unterschiedliche Eigenwerte !
Für Elektronen mit gs~2 und q = -e
ergibt sich:
(H 0 ⊗ 1) Ψnlm ⊗ u ±
= E nlm 0 Ψnlm ⊗ u ±
⇒ E nlm = E nlm 0 +
(
)
 q 
 B0 Ψ nlm ⊗ u ±
+ lˆz ⊗ 1 + 1 ⊗ g S sˆ z  −
2
µ


e
+ B0
[mh ± h] Ψnlm ⊗ u ±
2µ
e
B 0h[m ± 1]
2µ
n=2,l=1,m=-1,0,1: Zeeman- Triplett
n=1,l=0,m=0 -> Singulett
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen
Elektron
Proton
Neutron
Neutrino
Photon
6.5.4 Larmour- Frequenz
s
1/2
1/2
1/2
1/2
1
g
2
5,59
-3,83
0
0
Q
-e
e
0
0
0
[ ]
i
sˆ ° = ∂ t sˆ + H , sˆ
h
∂ t sˆ = 0
H = H0 −
[H 0 , sˆ ] = 0
q
ˆ
B0 ⋅  l + g s sˆ 


2µ
lˆ , sˆ  = 0
 
i q
°
sˆ = −
g s B0 ⋅ sˆ , sˆ
h 2µ
[
[
]
]
i q
i q
°
sˆ z = −
g s B0 ⋅ sˆ , sˆ z = −
g s ∑ (B0i sˆi sˆ z − sˆ z B0i sˆi )
h 2µ
h 2µ
i
Wegen:
h
sˆ y
i
h
sˆ y sˆ z − sˆ z sˆ y = − sˆ x
i
i q
h
q
°
sˆ z = −
g s B0 x sˆ y − B0 y sˆ x =
g s B0 y sˆ x − B0 x sˆ y
h 2µ
i
2µ
ˆ ×B
= mˆ sx B0 y − mˆ sy B0 x = m
S
0 z
sˆ x sˆ z − sˆ z sˆ x =
(
)
(
(
)
)
sˆ ° = mˆ S × B0
Ehrenfest:
d ˆ ˆ
s = m S × B0
dt
Wähle z- Achse || B0 à B0 kein Vektor mehr
d
q
sˆ x = mˆ sy B0 = g s
sˆ B
dt
2µ y 0
d
q
sˆ y = −mˆ sx B0 = − g s
sˆ x B0
dt
2µ
d
sˆ = 0
dt z
Damit haben wir ein DGL System 1. ordnung:



q
sˆ x (t ) = sˆ y ( 0) sin  g s
B0t  + sˆ x (0) cos g s
 2µ





q
sˆ y (t ) = sˆ y ( 0) cos g s
B0t  − sˆ x (0) sin  g s
 2µ


sˆ z (t ) = sˆ z (0)

q
B0 t 
2µ


q
B0t 
2µ

Das heißt: Der Spinvektor präzediert in der x/y- Ebene mit der Larmour- Frequenz
die Ausrichtung zur z- Achse ( parallel zum Magnetfeld) zeitlich konstant bleibt !
ω = gs
q
B0 , während
2µ
6.6 Gesamtdrehimpuls
6.6.1 vertauschungsrelationen
Jˆ = Lˆ + Sˆ
[Lˆ j , Sˆk ] = 0 Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die
zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
[Lˆ
∑
k
k
]
(
)
, Sˆ k = 0 = ∑ Lˆ k Sˆ k − Sˆ k Lˆ k = Lˆ Sˆ − Sˆ Lˆ
k
⇒ Lˆ Sˆ = Sˆ Lˆ
⇒ Jˆ j , Jˆ k = Lˆ j , Lˆ k + Sˆ j , Sˆ k
[
] [
] [
]
[Lˆ j , Lˆ k ] = ihε jkl Lˆl
[Sˆ j , Sˆ k ] = ihε jkl Sˆl
⇒ [Jˆ j , Jˆ k ] = ihε jkl Jˆ l
Aber:
[Jˆ j , Jˆk ] = ihε jkl Jˆl ist als Vertauschungsrelation hinreichend zur Definition eines Drehimpulses. Also ist J
auch ein drehimpuls
Satz
Gekoppelte Drehimpulse sind ebenfalls Drehimpulse !
[Jˆ , Jˆ ] = 0
[Jˆ , Lˆ ]= Lˆ + Sˆ , Lˆ  = 0
[Jˆ , Lˆ ] = 0
[Jˆ , Lˆ ] = Lˆ + Sˆ + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Lˆ  = 0
2
k
2
3
2
3
3
2
k
2
2
2
2
2
 Jˆ 2 , Sˆ 2  =  Lˆ 2 + Sˆ 2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Sˆ 2  = 0

 

 Jˆ , Sˆ 2  =  Lˆ + Sˆ , Sˆ 2  = 0
k
 k
  k

 Jˆ 2 , Lˆ ⋅ Sˆ  = 0


6.6.2 Clebsch- Gordan-Koeffizienten ( auch: Wigner- Koeffizienten)
Eigenwertproblem:
Jˆ 2 jm ges = h 2 ( j ( j + 1)) jm ges
Jˆ 3 jm ges = hm ges jm ges
1
j = 0, ,1,...
2
m ges . = j , j − 1,...,− j
Basis für
U ⊗U s :
{lml
⊗ sm s
}
[Jˆ , Lˆ ] = Lˆ + Sˆ + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Lˆ  = 0
[Jˆ , Lˆ ] = Lˆ + Sˆ , Lˆ  = 0
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
Es werden die Eigenfunktionen
jm ges gesucht, die auch Eigenfunktionen zu L̂2 bei festem l sind:
jmges =
∑
Cmges. , j m,ms lml sm s
m,ms
Jˆ z = Jˆ3
Jˆ 3 jmges = hmges . jmges =
(
∑
)
Cmges. , j m,ms Lˆ z + Sˆ z lml sm s =
m,ms
⇒
∑ (m ges − m l − m s )Cm
m,ms
(
)
ges.
,j
m, ms
ges.
,j
m,ms
(mh + mS h ) lml
m,ms
lm l sm s = 0
⇒ m ges − ml − m s C mges. , j m,ms = 0
(
∑ Cm
)
⇒ C mges. , j m,ms = 0, falls m ges − m l − m s ≠ 0
(
)
C mges. , j m,ms ≠ 0, falls m ges − ml − m s = 0 ⇒ m l = m ges. − m s
Speziell
ms = ±
1
2
-> Die Clebsh-Gordan- Koeffizienten sind unabhängig von ml
1
jm ges = Cmges. , j − 2 l , ml −
1
1
1
1
1
−
+ Cmges. , j + 2 l , ml +
+
2
2
2
2
Vergleiche Fick, 4.3 § 6
6.6.3 Addition von Drehimpulsen( Vergl. Schwabl)
Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
Jˆ = Lˆ + Sˆ
Die Vertauschungsrelationen:
[Lˆ j , Sˆk ] = 0 Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die
zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
⇒ [Jˆ j , Jˆ k ] = [Lˆ j , Lˆ k ] + [Sˆ j , Sˆ k ]
[Lˆ j , Lˆ k ] = ihε jkl Lˆl
[Sˆ j , Sˆ k ] = ihε jkl Sˆl
⇒ [Jˆ j , Jˆ k ] = ihε jkl Jˆ l
sm s
Drehimpuls Vertauschungsrelationen !
[Jˆ , Lˆ ]= [Lˆ
Ebenso:
[Jˆ , Sˆ ] ≠ 0
2
]
[
]
(
)
+ Sˆ 2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Lˆ3 = 2 Sˆ j Lˆ j , Lˆ 3 = 2i h Sˆ 2 Lˆ1 − Sˆ1Lˆ 2 ≠ 0
2
3
2
3
Also:
Die 2 (2 l + 1) Produktzustände lmm S = lm ms
sind Eigenzustände zu
Lˆ2 , Lˆ 3 , Sˆ 2 , Sˆ 3 aber nicht zu
Ĵ 2 , da
Jˆ 2 , Lˆ 3 ≠ 0 bzw. Jˆ 2 , Sˆ3 ≠ 0
[
]
[
]
Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu
Ĵ 2 , Ĵ 3 , Lˆ2 , Sˆ 2 .
Dies muss möglich sein, da
[Jˆ
]
, Lˆ 2 =  Lˆ2 + Sˆ 2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Lˆ 2  = 0


 Jˆ 2 , Sˆ 2  =  Lˆ 2 + Sˆ 2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ , Sˆ 2  = 0

 

Jˆ 3 , Lˆ 2 =  Lˆ 3 + Sˆ 3 , Lˆ 2  = 0


 Jˆ , Sˆ 2  =  Lˆ + Sˆ , Sˆ 2  = 0
3
 3
  3

[
2
]
Die Eigenwertgleichungen lauten:
Jˆ 2 jm j ls = h 2 ( j ( j + 1)) jm j ls
Jˆ 3 jm j ls = hm j jm j ls
Lˆ2 jm j ls = h 2 ( l (l + 1) jm j ls
Sˆ 2 jm j ls = h 2 ( s ( s + 1) jm j ls
Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einsczhub eines Projektors
auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue eigenzustand
alten Zustandes
jm j ls =
jm j ls bezüglich des
lmsm s entwickelt werden:
∑
lmsm s lmsm s jm j ls
m
mS = m j − m
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten basis summiert, die sich von der neuen
basis unterscheiden ( das heißt: Nur dieser Teil der basis wird transformiert) !
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die
Koordinaten der neuen basis in der alten Basis
Clebsh- Gordan- Koeffizienten !
lmsm s jm j ls
Dabei gilt:
s=
1
2
ms =
j =l +
1
2
j =l −
1
2
Wobei:
1
2
m j = m + mS
j =l ±
m = −l ,...,+l
1 1
mS = − ,+
2 2
1
2
ms = −
1
1
2
1
1 2

l + mj + 
2

 2l + 1 




1 2

l−mj + 
2

 2l + 1 




1
1 2

l−mj + 
2
−
 2l + 1 




1
1 2

l + mj + 
2

 2l + 1 




5. Näherungsmethoden
5.1 Zeitabhängige Störungsrechnung (Dirac)
Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes
Hˆ Ψ
t
= ih
∂
Ψ
∂t
Ψ t aus der Schrödingergelichung
t
berechnet werden, wobei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1 ( t )
durch den ungetsörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen
Parameters ε
linear entwickelt werden kann:
Hˆ 1 ( t ) = εVˆ ( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
Die Eigenzustzände und Eigenwerte von Ho seien bekannt:
Hˆ 0 n = En n
( ungestörte Problem)
Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollstänmdigkeit des Basissystems:
n´ n = δ n´n
∑
n n = 1 Annahme: diskretes Spektrum
n
Ψ
Die Entwicklung von
∑
n n Ψ
n
t
t
nach den Eigenzustädbnen des ungestörten Systems liefert:
= ∑ c n (t) n
n
n Ψ
t
:= c n ( t )
Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand
Ψ
t =0
n0
= n0
Damit:
n n0 := c n ( 0) = δ nn0
∑
n n Ψ
Die Zeitentwicklung unter dem Einfluß der STörung lautet ( Einsetzen von n
n Ψ
t
= ∑ c n (t) n
n
t
in die
:= c n ( t )
Schrödingergleichung: :
Hˆ Ψ
t
= ih
∂
Ψ
∂t
t
(
)
(
)
d
⇒ ∑ c n (t ) Hˆ n = i h∑
cn (t ) n = ∑ c n (t ) Hˆ 0 + Hˆ 1 (t ) n = ∑ c n (t ) E n + Hˆ 1 (t ) n
dt
n
n
n
n
Charakteristisch für diese entwicelten probleme ist das AUftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man
beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert wird):
ih ∑
n
(
)
(t ) n ) = ∑ c (t ) E δ
(
)
d
1
1
c n ( t ) m n = ∑ c n (t ) m Hˆ 0 + Hˆ (t ) n = ∑ cn (t ) m En + Hˆ (t ) n
dt
n
n
(
= ∑ c n ( t ) m En n + m Hˆ 1
n
n
n
n mn
+ ∑ c n ( t ) m Hˆ 1 ( t ) n
n
d
d
c n (t ) m n = c m (t ) Em + ∑ cn (t ) m Hˆ 1 (t ) n = i h c m (t )
dt
dt
n
⇒ ih ∑
n
Hilfreich ist die Definition eines
c n (t ) :=
 E t
− i n 
e  h g
n (t )
mit Hilfe des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:
e
 E t 
− i n 
 h 
Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:
ih
d
c m (t ) = cm (t ) E m + ∑ c n (t ) m Hˆ 1 (t ) n
dt
n
mit
 E mt 

h 
ih
−i
d
ih c m (t ) = c m ( t ) Em + e 
dt
d
g (t )
dt m
Setzt man dies ein, so folgt:
c m (t ) Em
 E t
− i m 
+ e  h  ih
d
g (t ) = cm ( t ) E m + ∑ c n (t ) m Hˆ 1 (t ) n
dt m
n
 Emt 

h 
i
d
⇒ i h g m (t ) = e 
dt
∑
cn (t ) m Hˆ 1 (t ) n
n
und wegen
c n (t ) :=
also:
 E t
− i n 
e  h g
n (t )
 ( Em − En )t 

h

i
d
ih g m ( t ) = ∑ e 
dt
n
m Hˆ 1 (t ) n g n (t )
Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:
Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines ε :
Hˆ 1 ( t ) = εVˆ ( dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein !)
Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von
was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:
g n (t ) = g n (0) (t ) + εg n (1) (t ) + ε 2 g n ( 2) ( t ) + ...
Da aber die Differenzialgleichung für unsere g m (t )
m Hˆ 1 (t ) n polynomial in ε fallen,
 ( Em − En )t 

h

i
d
ih g m ( t ) = ∑ e 
dt
n
m Hˆ 1 (t ) n g n (t )
ebenso beidseitig entwickelt werden kann:
(
)
d
(0)
(1)
(2)
ih
g m (t ) + ε g m ( t ) + ε 2 g m ( t ) + ... =
dt
∑
 ( E m − E n )t 
i

h

e
n
und dies für beliebige ε gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der ordnung
werden und es folgt: k = 0 :
ih
(
(0)
(1 )
m Hˆ 1 ( t ) n g n ( t ) + ε g n (t ) + ε 2 g
ε k durchgeführt
d
g m ( 0) (t ) = 0
dt
⇒ g m (0 ) (t ) = const =! = δ mn0
Exakte Lösung für
c m (0) (t ) =
ε = 0:
E
−i m t
e h δ
mn0
Für k=1
 (E m − En )t 

h

i
d
(1)
ih g m (t ) = ∑ e 
dt
n
m Vˆ n g n (0 )
ε k = ε 1 bereits beidseitig gekürzt.
( 0)
Wir wissen: g m ( t ) = const =! = δ mn
0
Dabei wurde
Somit:
 (E m − En )t 

h

i
d
(1)
ih g m (t ) = ∑ e 
dt
n
also:
 (Em − E n 0 )t 

h

i
d
ih g m (1) (t ) = e 
dt
m Vˆ n g n (0 )
m Vˆ n0
g n (1) (0) = 0 kann formal integriert werden:
 (Em − E n 0 )τ 
i

1 t
(1)
h
 m Vˆ n
g m ( t ) = ∫ dτ e 
0
ih 0
und mit der ANfangsbedingung
Übergangswahrsheinlichkeit
Per Definition die Wahrsheinlichkeit zur Zeit t den Zustand
2
m Ψ
2
t
=
∑
n´
c n´ (t ) n n´
2
= cn (t ) = g n (t )
2
n zu finden, wenn zu t=0 der Zustand n0 vorliegt.
Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschindende Ordnung betrachtet:
g n (t ) = g n (o ) = δ nn 0 = 1 für n=n0
und
g n (t ) = εg n (1) für n ≠ n0 :
Zeitunabhängige STörung:
g n (1) (t ) = −
gn
(1)
Ω :=
Vˆ = const . :
 (E n − E n 0 )τ 
i

t
h

dτ e 
0
i
h∫
2
(t ) = n Vˆ n0
( En − E n0 )
 ( En − E n 0 )t 
i

h

e
n Vˆ n0 = − n Vˆ n0
−1
E n − En 0
  −i ( En −E n 0 )t    i ( En −E n 0 )t  
h
h
 − 1
 − 1
2
e
 e 



 := n Vˆ n0
E
−
E
E
−
E
n
n0
n
n0






( e(
2

− iΩt )

h
2
⇒ g n (1) (t ) = n Vˆ n0
4 sin 2
Ω2 h
2
2(1 − cos Ωt )
2
( En − En 0 )
Die Größe Ω :=
h
Ω h
2 2
Ω
t
2 := D (E − E )
t
n
n0
2
⇒ g n (1) (t ) = n Vˆ n0
2
= n Vˆ n0
2
4 sin 2
Ω
t
2
Ω2 h 2
Dt ( En − En 0 )
heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von
Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt ( grafisch):
2
t
Dt (0) =  
h
lim
( D ( 0) ) = ∞
t→∞ t
∞
∞
∫−∞ Dt ( E) = ∫−∞
∞
∫−∞
dξ
⇒∫
∞
−∞
Also:
)(
sin 2 ξ
ξ2
 Et 
4 sin 2  
2
 2h  = 2t ∞ dξ sin ξ
dE
h ∫−∞
E2
ξ2
=π
Dt ( E ) =
2π
t
h
)
− 1 e (iΩt ) − 1 


Ω 2h2
n0 auf n :
2π
tδ t ( E)
h
lim
2π
Dt ( E) =
t δ ( E)
t→∞
h
Dt ( E) =:
Grafisch
2π
n Hˆ 1 n0
t
h
Für t → ∞ Energieerhaltung: En − E n = 0
0
⇒ m Ψ
Für
2
2
= g n (t ) =
t < ∞ hat Dt ( E ) =:
2
⋅ t ⋅ δ t ( E n − E n0 )
2π
4πh
t δ t ( E ) die Breite ∆E ≅
h
t
Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:
∆Et ≅ 4πh
Übergangswahrscheinlichkeit pro zeiteinheit ( von
Wnn 0 =
d
n Ψ
dt
2
t
=
2π
n Hˆ 1 n0
h
2
n0 auf n ):
δ t ( E n − E n0 )
Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der STörungstheorie 1. ordnung.
Dabei gilt:
δt → δ
für t → ∞
Harmonische zeitabhängige Störung
Hˆ 1 (t ) = Fˆ e −iωt + Fˆ + e iωt hermitesch !
Es folgt:
 ( En − E n 0 − hω )τ 

h

 ( En − E n 0 + hω )τ 
i

t
i
h
 n Fˆ + n
n Fˆ n0 − ∫ dτ e 
0
0
h
  i (E n − En 0 −hω )t −1 
  i (E n −E n 0 +hω )t −1 
h
h
 e 
 
 e 
 


+
⇒ g n ( t ) = n Fˆ n0 
 − n Fˆ n0 

 En − E n0 − hω 
 E n − E n0 + hω 




SOmit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von n0 auf n :
i
i t
g n (t ) = − ∫ dτ e
h 0
nΨ
+
2
t
= gn
2π
n Fˆ + n0
h
2
2π
n Fˆ n 0
h
=
2
2
t δ ( E n − E n0 − h ω )
t δ ( En − En 0 + hω ) + n Fˆ n0 * n Fˆ +
  −i (En − En 0 −hω )t    i (E n −En 0 +hω )t  
h
h
 e 
 − 1  e 
 − 1


n0 


 E n − E n0 − h ω   E n − E n 0 + h ω 



  −i (E n −E n 0 +hω )t 
  i ( En −E n 0 −hω )t 

h
h
 e 





− 1  e
− 1 
+ n Fˆ + n0 * n Fˆ n0 


 E n − E n0 + h ω   E n − E n0 − h ω 



( E − E n 0 ± hω )
Ω ± := Ω ± ω = n
h
2
2
2π
2
⇒ n Ψ t = gn =
n Fˆ n0 tδ ( E n − En 0 − hω )
h
−
+
 e (−iΩ t ) − 1 e (iΩ t ) − 1 
2
2π
+
+
ˆ
ˆ
ˆ
+
n F n0 t δ ( E n − E n 0 + hω ) + n F n0 * n F n0 

h
h 2 Ω+ Ω −


(
(
)(
)(
)
)
 e (−i Ω t ) − 1 e (i Ω t ) − 1 
+
ˆ
ˆ
+ n F n0 * n F n0 

h 2 Ω +Ω −


n Fˆ n * n Fˆ + n := Ae −i γ
0
+
−
0
n Fˆ + n0 * n Fˆ n0 := Ae i γ
⇒ nΨ
2
t
2π
+
n Fˆ + n0
h
(
2
= gn
2
=
2π
n Fˆ n0
h
2
tδ ( E n − En 0 − hω )
t δ ( En − En 0 + hω ) + Ae
)(
)
 e (−iΩ t ) − 1 e (iΩ t ) − 1 
+ Ae 


h 2 Ω+ Ω −

iγ
+
−
−i γ
(
)(
)
−
+
 e (−i Ω t ) − 1 e (i Ω t ) − 1 



h 2 Ω + Ω−

Weiter gilt
(
)(
)
(
)(
)
 e(−iΩ− t ) − 1 e (iΩ+ t ) − 1 
 (−iΩ+ t ) − 1 e(i Ω−t ) − 1 
4A
iγ  e
Ae 
 + Ae 
 = 2 + − cos (ωt − γ )[cos (ω t ) − cos (Ωt )]
2 + −
2 + −

h Ω Ω


h Ω Ω
 h Ω Ω
Für ω ≠ 0 , Ω ≠ 0 sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für t → ∞ sind diese jedoch vernachlässigbar gegen
− iγ
Terme ~ tδ ( E n − En 0 ± hω ) = t δ (hΩ ± )
Somit folgt für t → ∞ :
n Ψ
2
t
= gn
2
=
2π
n Fˆ n 0
h
2
t δ (E n − E n 0 − h ω ) +
2π
n Fˆ + n 0
h
2
tδ ( E n − E n 0 + hω )
Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen
n0 und n pro
zeiteinheit, durch ABleitung anch der Zeit erhalten:
W nn0 =
2π
n Fˆ n 0
h
2
δ ( E n − En 0 − hω ) +
2π
n 0 Fˆ n
h
2
δ ( E n − E n 0 + hω )
Die Terme lassen sich identifizieren:
2π
n Fˆ n 0
h
2
δ ( E n − E n 0 − hω ) steht für die ABsorption eines Quants der Enrgie h ω bei gleichzeitiger
n0 auf n , was einem Energiesprung von E n − E n 0 entspricht.
ANregung des Übergangs von
Das QUant wird also von Niveau
2π
n 0 Fˆ n
h
2
n0 auf n gehievt
δ (E n − E n 0 ü + h ω ) steht für die Emission eines Quants der Energie h ω bei gleichzeitiger
n auf n0 , was einer Energieabgabe von E n 0 − E n entspricht.
Anregung des Übergangs von
Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau
n0 auf das Niveau n herunter.
Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild
Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein ( Siehe oben, S. 63)
Im Wechselwirkungsbild gilt:
1
Hˆ W (t ) =
i ˆ 
 i ˆ 
 H 0t 
 − H 0t 
1
h
H
ˆ e h 
e
S
Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit Ĥ 0 gewonnen, während die Zustände
mit
Hˆ W 1 (t ) evolutionieren:
ih
d
Ψ
dt
W
= Hˆ W 1 (t ) Ψ
W
Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:
Ψ
W
(t) = Ψ
Ψ
W
( t = 0) = n 0
Für kleine
W
( t = 0) −
(
i t
1
dτ Hˆ W (τ ) Ψ
∫
0
h
Hˆ W 1 liefert eine Iteration:
W
(τ )
)
Ψ
(t) = Ψ
W
(t = 0) −
W
(
i t
1
dτ Hˆ W (τ ) Ψ
∫
0
h
)
i t


1
(
τ
)
≈
1
−
dτ Hˆ W (τ )  n0

∫
W
0
 h

i ˆ0
i
 i t
Hτ
− Hˆ 0τ 
i t


1
1 h

n
ˆ
h
ˆ
Ψ W ( t ) ≈ 1 − ∫ dτ H W (τ )  n 0 = 1 − ∫ dτ e
HS e
 h 0
 0
 h 0



Mit
Ψ
i
− Hˆ 0 t
e h
(t ) =
S
Ψ
(t)
W
i
− Hˆ 0t 
≈ e h 1−


i
i
Hˆ τ
− Hˆ τ
i t
h
ˆ S 1e h
d
τ
e
H
h ∫0
0
0

n
 0

und
i
− Hˆ 0t 
e h 1−


i
h
t
∫0
i ˆ0
Hτ
dτ e h
Hˆ S
i ˆ0
1 −h H τ
e

 := U ( t ,0) Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild


Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:
c n ( t ) = n Ψ = n U (t ,0) n0 = n
i
− En t 
δ
h
e
⇒ cn (t ) =
δ nn0 = g n


i
− Hˆ 0t
h
e
i ˆ0
i
 i t
Hτ
− Hˆ 0τ 
1 h
1 −
n
h
ˆ
dτ e
HS e
 h ∫0
 0


Enτ
− E n 0τ 
i t
1

− ∫ dτ e h
n Hˆ S n 0 e h

0
h

i
nn0
i
(0)
i
i
Enτ
− En 0τ
i t
1
(1)
− ∫ dτ e h
n Hˆ S n0 e h
= εg n
0
h
i
i
i
i
− E nt 
Enτ
− En 0τ 
− En t
t
i
1


c n (t) = e h
δ −
dτ e h
n Hˆ S n0 e h
= e h g n (t)
 nn0 h ∫0



In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113 !
5.2 Induzierte Emission und ABsorption von Lichtquanten in ATomen
Ein Elektron im kugelsymmetrischen Coulomb- Potenzial V( r) eines Atomrumpfes hat den ungestörten
Hamiltonian:
pˆ 2
Hˆ 0 =
+ V (r)
2m
Es soll untersucht werden, wie sich dieses Elektron unter dem Einfluss einer elektromagnetischen Welle mit
A (r , t ) = A0 cos( k r − ωt ) verhält.
ω = c k und es gilt Coulomb- Eichung:
∇ ⋅ A (r , t ) = 0
So wird:
E (r , t ) = −
∂
A ( r , t ) = −ωA0 sin( k r − ωt )
∂t
− ωA0 := E 0
B (r , t ) = ∇ × A( r , t ) = −k × A0 sin( k r − ωt )
ANalog zu S. 92 haben wir den Hamiltonoperator:
e
Hˆ = Hˆ 0 − A ⋅ pˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
m
e
e i k r ˆ −iωt
e −ik r ˆ i ωt
Hˆ 1 := − cos( k r − ωt ) A0 pˆ = −
e A0 p e
−
e
A0 pe
m
2m
2m
e ik r ˆ
−
e A0 p := Fˆ
2m
e −ik r ˆ
−
e
A0 p := Fˆ +
2m
ˆ
H 1 = Fˆ e −iω t + Fˆ + e iω t
Gemäß S. 116 haben wir die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ( differenziation der
Übergangswahrscheinlichkeit):
W nn0 =
2π
n Fˆ n0
h
W nn0 =
2π  e  
ik r

  n e A0 pˆ n0
h  2m  
2
2
δ (E n − E n 0 − h ω ) +
2
2π
n 0 Fˆ n
h
2
δ ( E n − E n0 + h ω )
δ (E n − E n0 − h ω ) + n 0 e −ik r A0 pˆ n
2

δ (E n − E n0 + hω )

Dipolnäherung:
Annahme: Die Wellenlänge ( einige tausend ANgström) ist deutlich größer als der ATomdurchmesser ( einige
ANgström)
->
k r << 1
e mi kr = 1 + O( kr )
[
]
ˆ , rˆ =
AUßerdem: H
0
h pˆ
und e rˆ = Operator des elektrischen Dipolmoments
i m
Damit wird das Matrixelement des Störoperators
e
i em
i
n e ikr A0 pˆ n 0 ≅ −
A0 n Hˆ 0rˆ − rˆHˆ 0 n0 = − ( E n − En 0 ) A0 n rˆ n 0
m
h 2m
2h
E
A0 = − 0
ω
ˆ
e n r n 0 := d nn0
−
Mit den elektrischen Dipol- Matrixelementen e n rˆ n0 := d nn 0
Die Übergangswahrscheinlichkeit pro zeiteinheit ergibt sich gemäß
W nn0 =
2π ( E n − En0 ) 2
E 0 ⋅ d nn0
h
4 (hω )2
(
)2 {δ ( En − E n0 − hω) + δ ( E n − E n0 + hω)}
Kontinuierliches Einstrahlungsspektrum:
(
∞
E (r , t ) = ∫ dω E 0 (ω ) sin kr − ωt
0
⇒ W nn0 =
)
π
∞
2
d (hω )(E 0 (ω ) ⋅ d nn0 ) {δ ( E n − En0 − hω ) + δ (E n − E n0 + hω )}
∫
2 0
2h
Dabei liefert
δ ( E n − E n 0 − hω ) einen Beitrag für E n > E n 0 ( Absorption) und
2
δ ( E n − E n 0 + hω ) einen Beitrag für E n < E n 0 als induzierte Emission. Die Wahrscheinlichkeit ist ~ E 0 (ω )
also proportional zur Energiedichte der elektromagnetischen Welle.
Die AUsführung der Integration liefert:
W nn0 =
π
∞
2
∫ d (hω )(E0 (ω ) ⋅ d nn0 ) {δ ( E n − E n0 − hω ) + δ (E n − E n0 + hω )}
2h 2 0
π   ( En − E n0
⇒ W nn0 = 2  E 0 
h
2 h  
d nn0 = e n rˆ n0
) 


⋅
d
nn
0




2
Bemerkungen
1)
2)
SPontane Emission kann in der semiklasischen Theorie ( Atom wird quantenmechanisch beschrieben, das
Strahlfeld jedoch klassisch) nicht beschrieben werden ! Hierzu ist die Quantisierung des Strahlungsfeldes nötig (
QUantenfeldtheorie).
Die AUswahlregeln für erlaubte elektrische Dipolübergänge sind durch das Dipolmatrixelement
d nn0 = e n rˆ n0 gegeben. Für e n rˆ n 0 = 0 können erlaubte Multipolübergänge ( magnetischer Dipol,
elektrischer Quadrupol etc...) durch die Entwicklung von e
±ik r
in höherer Ordnung berechnet werden.
Diskussion der Dipolmatrixelemente:
Wir begeben uns wieder in den Ortsraum der Kugelkoordinatendarstellung:
Die ungestörte Wellenfunktion:
u nl (r ) m
Yl (ϑ , ϕ ) ~ Pl m (cos ϑ )e imϕ
r
n = n´l´m´
Ψnlm ( r ) =
n 0 = nlm
Kugelkoordinaten
u nl ( r ) m
Yl (ϑ ,ϕ ) ~ Pl m (cos ϑ )e imϕ
r
x1 = r sin ϑ cos ϕ
Ψnlm ( r ) =
x2 = r sin ϑ sin ϕ
x3 = r cos ϑ
betrachte
ξ = x1 + ix 2 = r sin ϑe iϕ
ξ * = x1 − ix 2 = r sin ϑe −iϕ
Einsetzen liefert:
Ψnlm ( r ) =
u nl (r ) m
Yl (ϑ , ϕ ) ~ Pl m (cos ϑ )eimϕ
r
π
2π
n´l´m´ ξˆ nlm ~ ∫ dϑ sin 2 (ϑ )Pl´ m´ (cos ϑ )Pl m (cos ϑ ) ∫ dϕei (m −m´+1)ϕ
0
2π
∫0
0
dϕei (m− m´+1)ϕ ~ δ m´,m +1
π
⇒ n´l´m´ ξˆ nlm ~ ∫ dϑ sin 2 (ϑ )Pl ´m +1 (cos ϑ ) Pl m (cos ϑ )
0
π
∫0 dϑ sin (ϑ )Pl ´
2
m +1
(cos ϑ ) Pl m (cos ϑ ) ~ δ l´,l ±1
⇒ n´l´m´ ξˆ nlm ~ δ m´,m+1δ l ´,l ±1
Analog kann man ausrechnen:
ˆ
n´l´m´ ξ * nlm ~ δ m´,m −1δ l ´,l ±1
n´l´m´ xˆ 3 nlm ~ δ m´m δ l´,l ±1
Also gewinnen wir die AUswahlregeln für Dipol- erlaubte Übergänge:
∆l = ±1
∆m = 0,±1
5.3 Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung ( schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichug:
Ĥ Ψ = E Ψ
berechnet werden, wobei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
durch den ungetsörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen
Parameters ε
linear entwickelt werden kann:
Hˆ 1 = εVˆ ( dabei ist die Störung zeitunabhängig sein !)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
(0 )
Hˆ 0 n = En n
Für kleine
ε
sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von
Ĥ entwickeln lassen:
Ek = E k ( 0) + εEk (1) + ε 2 Ek ( 2) + ...
Ψk = Ψk (0 ) + ε Ψk (1) + ε 2 Ψk ( 2) + ...
Also:
(Hˆ 0 + εVˆ )( Ψk ( 0)
) (
)(
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
ε f vergleichen:
f=0
(0 )
(0 )
(0 )
Hˆ 0 Ψ k
= E k Ψk
ungestörtes Problem
f=1
(Hˆ
− Ek
( 0)
0
− Ek
( 0)
0
)( Ψ ) = (E
(1)
k
(1)
k
)
(0 )
− Vˆ Ψk
1. Näherung
f=2
(Hˆ
)Ψ
(2 )
k
(
= Ek
(1)
)
(1)
(2 )
(0 )
− Vˆ Ψk
+ E k Ψk
... -> Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte undEigenzustände kann erfolgen....
AUs f=0:
Ψk
(0 )
= k
AUs f=1: STörungsrechnung erster Ordnung möglich:
:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
(Hˆ
0
− Ek
( 0)
)( Ψ ) = (E
(1)
k
)
+ ε Ψk (1) + ε 2 Ψk (2) + .. = Ek (0 ) + εE k (1) + ε 2 E k ( 2) + .. Ψk (0 ) + ε Ψk (1) + ..
(1)
k
)
Ψk
(1)
= ∑ n n Ψk
(0 )
− Vˆ Ψk
ein:
n
(1)
und setzen dies in
(Hˆ
∑
)
n
(Hˆ
− Ek
0
(
)n
)
− Ek ( 0) n n Ψ k (1) = Ek (1) − Vˆ k
0
( 0)
) n = (E
(0 )
− Ek
n
( 0)
Skalarprodukt mit l → l n = δ ln "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und
seines zugehörigen Zustandes ) heraus:
(E
(0 )
l
− Ek
(0 )
)l
Ψk
(1)
(
= Ek
(1)
)
− Vˆ δ lk − l Vˆ k
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
Ek
(1)
= k Vˆ k
und für l ≠ k ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
l Ψk
(1)
k Ψk
=
(1)
l Vˆ k
E k (0 ) − E l (0 )
wird durch Normierung festgelegt:
(
)
1 =! = Ψk Ψk = Ψ k (0) Ψk (0) + ε Ψ k (0) Ψk (1) + Ψk (1) Ψk ( 0) + ε 2 (....
Ψk
( 0)
Ψk
(0 )
=1
^Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
(Ψ
( 0)
k
Ψk
(1)
+ Ψk
(1)
Ψk
(0 )
)= 0
(.... = 0
usw.. für jede Klammer hinter einer zusammengefassten Abhängigkeit
fester Ordnung von ε :
ALso für die erste Ordnung:
Ψk ( 0) Ψ k (1) = − Ψk (1) Ψk ( 0)
k Ψ k (1) = − Ψk (1) k ≡ − k Ψ k (1)
*
Fazit:
k Ψk
(1)
= iγ mit γ ∈ R
Wegen
e iεγ ≈ 1 + i εγ + O (ε 2 ) ändert der Term ~ γ die Phase von Ψk relativ zu k
in der Entwicklung
Ψ k = k (1 + iεγ ) + ε ∑ n n Ψk
(1)
+ O (ε 2 ) .
n≠ k
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
k Ψk = 1
⇒γ =0
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
Ψk
(1)
=
∑
n
n ≠k
Voraussetzung: E k
n Vˆ k
E k (0 ) − E n (0 )
(0 )
≠ E n (0) (keine Entartung)
5.4 Zeitunabhängige STörungsrechnung bei Entartung
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichug:
Ĥ Ψ = E Ψ
berechnet werden, wobei
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
durch den ungetsörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen
Parameters ε
linear entwickelt werden kann:
Hˆ 1 = εVˆ ( dabei ist die Störung zeitunabhängig sein !)
Wenn wir nun annehmen, dass zurEnergie
E n (0 ) mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir
das Problem anpassen:
Das ungestörte Problem schreibt sich dann:
(0 )
Hˆ 0 n,α = En n,α
Durch
α = 1,..., s
Hˆ 1 = εVˆ wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:
Hˆ Ψk = Ek Ψk
Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung
Ψk = Ψk ( 0) + ε Ψk (1) + ε 2 Ψk (2 ) + ...
ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes
Ψk (0) = ∑ cα k , α möglich:
α
Ψk ( 0) im ungestörten Eigenraum so, dass für
Wähle nun
Das Einsetzen in die Entwicklung der ordnung
lim
ε→0
Ψk = Ψk
( 0)
( eindeutig bestimmt).
ε f liefert:
f=1
(Hˆ
0
− Ek
(0 )
)( Ψ )= (E
(1)
k
(1)
k
− Vˆ
)∑ c
α
α
k , α 1. Näherung
Das Skalarprodukt mit Skalarprodukt mit k , β → k , β k , α = δ αβ "projiziert" wieder die Korrektur des
jeweils entarteten Terms der Nummer
(
k , β (Hˆ
)
)Ψ
β heraus:
(
k , β Hˆ ( 0) − E k (0) Ψk (1) = ∑ cα k , β k ,α E k (1) − k , β Vˆ k ,α
( 0)
− Ek
(0 )
α
(1)
k
)
=0
k , β k ,α = δ βα
k , β Vˆ k ,α := Vˆβα
Somit folgt:
(
)
0 = ∑ Vˆβα − E k (1)δ βα cα
α
Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix Vˆβα :
(
)
(
)
(1)
(1)
0 = ∑ Vˆβα − E k δ βα cα = Vˆ − E k 1 c
α
c ∈C s
Vˆ ∈ C s × C s
Die Gleichung heißt auch " Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares
Gleichungssystem.
Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen
STörungen.
(
Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante det Vˆ − E k
(
Säkulardeterminante, verschwindet, also det Vˆ − E k
(1)
Vˆ11 − Ek
Vˆ
21
...
Vˆ
Vˆ12
Vˆ22 − Ek (1)
...
Vˆ1s
...
...
...
...
...
(1)
)
(1)
)
1 , die sogenannte
1 = 0 also:
=0
(1)
... Vˆss − Ek
Für den Fall V̂ hermitesch folgt Vˆβα = Vˆαβ *
s1
...
Dann existieren reelle Eigenwerte E k
(1)
und die Eigenvektoren zu E k
(1)
≠ E l (1) sind orthogonal !
Bemerkung: Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden !
Beispiel: 2 entartete Zustände
Säkulardeterminante
Vˆ11 − Ek (1)
Vˆ
21
Vˆ12
(E ) − (Vˆ
(1) 2
k
Vˆ12Vˆ21 =
⇒ Ek
(1)
(1)
Vˆ22 − Ek
11 + V 22
2
Vˆ12
=
ˆ
=0
)Ek (1) + (Vˆ11Vˆ22 − Vˆ12Vˆ21 ) = 0
(
) (Vˆ11 − Vˆ22 )2 + 4 Vˆ12 2 
1 ˆ
ˆ
 V11 + V22 ±
2

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
E = E ( 0) + εE k
Dabei gibt
(1)
= E (0 ) +
(
) (Vˆ11 − Vˆ22 )2 + 4 Vˆ12 2 
ε ˆ
ˆ
 V11 + V22 ±
2
(Vˆ11 − Vˆ22 )2 + 4 Vˆ12 2 die Energieaufspaltung an.

E ist , wie angegeben die gesamte Energie in 1. STörungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in
ε , also linear zur Störung:
5.5 Stark Effekt im H- Atom
Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei
in einem homogenen äußeren elektrischen Feld E .
Für den Hamiltonian gilt:
pˆ 2
e2
ˆ
H=
−
− eE rˆ
2m 4πε 0 rˆ
− eE rˆ = Hˆ (1)
pˆ 2
e2
−
= Hˆ (0)
2m 4πε 0 rˆ
Sei das elektrische Feld parallel zur z- Achse:
− eE xˆ3 = Hˆ (1)
Eigenwerte und - zustände von Ĥ
( 0)
:
(0 )
Hˆ (0) n, l , m = E n n, l , m
E n (0 ) = − R H
1
n2
Die Energie ist im Bahndrehimpuls insgesamt n
2
n −1
= ∑ ( 2l + 1) entartet. ( zu jedem n gibt es n-1 mögliche
l =0
verschiedene Bahndrehimpulszustände, die jeweils 2l+1 mögliche Einstellungen bezüglich der z- Achse einnehmen
können ( magnetsiche Quantenzahl m). Mit dem SPin ist die Entartung sogar 2n
2
n−1
= ∑ 2( 2l + 1) - fach. Dies ist
l =0
leicht zu verstehen: Durch den Spin wird der bestehende Hilbertraum um einen zusätzlichen zweidimensionalen
Hilberetraum erweitert. Dadurch können alle vorherigen Zustände noch einen Spinzustand aus dem neuen
Hilbertraum mit beinhalten ohne dass sie ihre Eigenschaft, Eigenzustände zu sein, verlieren können.
Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also !
Beispiel: n=2 (4fache Entartung)
mögliche Zustände:
2,0,0 , 2,1,−1 , 2,1,0 , 2,1,+1
r nlm =
u nl ( r ) m
Yl (ϑ, ϕ )
r
Keine Knotenlinie
Y0 0 =
1
4π
Eine Knotenlinie
0
Y1 =
Y1
±1
=m
3
cos ϑ
4π
3
sin ϑe ± i ϕ
8π
r
u 20 (r )
=
r
u 21 ( r )
=
r
2
3
(2a0 ) 2

r  − 2 a0
1 −
e
2
a
0


−
1
re
3
2a0 2 a0
3(
)
a0 =
Mit dem Bohr- Radius
r
2a0
h 2 4πε 0
me 2
Matrixelemente des elektischen Dipolmoments
dˆ = exˆ3 mit n´l´m´ xˆ 3 nlm ~ δ l´,l ±1δ mm´
Vergleiche Seite 121:
n=n´=2
l´=0, m´=0
l=0, m=0
0
l=1, m=1
0
l=1, m=0
l´=1, m´=1
l´=1, m´=0
0
0
0
l´=1, m´=-1
0
0
*
d13
1
0
0
0
0
2
3
0
0
4
d13
Der STöroperator:
Hˆ (1) = − E dˆ
Wir haben also mit
d13 das einzige nichtverschwindende Matrixelement:
d13 = 200 exˆ 3 210
xˆ3 = r cos ϑ
α
l = 1, m=-1
0
d13 = 200 exˆ 3 210
= e∫
∞
0
r
3
d rr
2
2
3
(2a0 ) 2
r
−

π
r  −2 a0
1
1
3
2a0 2π
1 −
e
r
re
d
ϕ
dϑ sin ϑ
cos ϑ
cos ϑ
∫
∫
3
0
0
4π
4π
 2a 0 
3 (2 a0 ) 2 a0
r
u 20 ( r )
=
r

r  − 2a0
1 −
e
2
a
0


2
3
(2a 0 ) 2
u 21 ( r )
=
r
−
1
3
2 a0 2 a0
3(
)
re
r
2a0
1
= Y0 0
4π
3
cosϑ = Y10
4π
2π
∫0
π
dϕ ∫ dϑ sin ϑ
⇒ d13
0
1
3
1
cos ϑ
cosϑ =
4π
4π
3
e ∞ 3 2
= 200 exˆ 3 210 =
d rr
3 ∫0
r
2
3
(2a 0 ) 2
r
−

r  − 2a0
1
2 a0
1 −
e
r
re
= −3ea0
3
2
a

0
3 (2a0 ) 2 a 0
omit existiert ein Erwartungswert des Dipolmomentes
d13 = 200 exˆ 3 210 = −3ea0
Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- AToms, welches Konsequenz der l- Entartung ist !
Die charakteristische Größenordnung dieses Dipolmoments ist a 0 , also die AUsdehnung der Wellenfunktion !
STörungsrechnung: Aufspaltung des Energieniveaus n=2 im elektrischen Feld
E:
∑ (− E dαβ − Eδ αβ )cα
4
Säkulargleichung:
=0
α =1
Säkulardeterminante:
−E
0
− E d13
0
0
−E
0
0
− E d13
0
−E
0
0
0
2
= 0 = E 2  E 2 − E d13 


0
−E
(
)
⇒ E = 0 als zweifach entartetes Niveau und E = ± E d13 = m 3e E a0
S
Der Stark- Effekt ist also proportional zur eingetsrahlten feldstärke. Man spricht deshalb auch vom linearen StarkEffekt.
Daneben gibt es noch den quadratischen Stark- Effekt in allgemeinen kugelsymmetrischen Potenzialen V ≠
1
, also
r
ohne l - Entartung. Also existiert in diesem Fall gar kein permanentes Dipolmoment und Störungsrechnung2.
Ordnung wird nötig.
Ausgehend vom Niveau E 2
( 0)
( 4- fach entartet) erhalten wir das folgende Bild:
5.6 Homöopolare chemische Bindung des Wasserstoffmoleküls
Hier haben wir eine Anwendung der entarteten Störungsrechnung auf ein Zwei- Teilchen- Problem. Dies wurde 1927
durchgeführt von heitler und London:
Das Potenzial der ATomkerne, wenn diese als fest angenommen werden ist:
Dabei bezeichnen a und b die festen ATomkerne und 1,2 die bewegten Elektronen
Der kernabstand R ist ein fester Parameter
Ungestörtes System ( ohne SPin):
2 nicht wechselwirkende H- ATome:
Hˆ a1 a
1
= Ea a
1
Hˆ b2 b
2
= Eb b
2
Elektron 1 am Kern a
Elektron 2 am Kern b
mit den Hamilton- Operatoren
pˆ 1 2
e2
Hˆ a1 =
−
2m 4πε0 ra1
2
pˆ
e2
Hˆ b2 = 2 −
2 m 4πε0 rb 2
ra1 = r1 − R a
rb 2 = r2 − Rb
Eigenzustände von Hˆ α
Ψα = a
1
Ψβ = a
2
b
b
(0 )
= Hˆ a1 + Hˆ b 2 bzw. Hˆ β ( 0) = Hˆ a 2 + Hˆ b1 zu E ( 0) = E a + E b :
2
1
Man spricht in diesem Fall von Austauschentartung der Energie E
(0 )
Die Entartung ist in diesem Fall zweifach. Zu beiden Varianten gehört die Energie E
Hˆ α ,β Ψα , β = E (0) Ψα , β
Eine Störung dieses Systems sind nun alle denkbaren weiteren Wechselwirkungen:
e2
Hˆ α (1) = −
4πε 0
 1
1
1
1


r + r − r − R
b1
12
 a2

Genau genommen haben wir dann den Hamiltonian
Hˆ α ,β = Hˆ α , β (0) + Hˆ α ,β (1) kurz : Hˆ = Hˆ (0) + Hˆ (1)
Die Störungsrechnung 1. Ordnung liefert
E ≈ E (0) + E (1)
Ψ ≈ Ψ ( 0) + Ψ (1)
mit
Ψ ( 0) = cα Ψα + c β Ψβ = cα a
1
b
2
+ cβ a
2
b
1
(0 )
:
Bemerkung:
Da sich a und b auf verschiedene Koordinaten beziehen , sind Ψα und Ψβ nicht orthogonal ( Nur für R ->
unendlich !, also Trennung der Kerne).
Ψα Ψβ = 1 a b
a b
12
= TT * ≠ 0
2
mit dem Überlapp- Integral
T :=1 a b
1
= ∫ Ψa * ( r1 ) Ψb * ( r1 ) d 3 r1
⇒ T = ∫ d 3r1 R *nl (ra1 )Yl m* (ϑa ,ϕ a ) Rn´l ´ ( rb1 )Yl´ m´ (ϑb , ϕ b )
Daher erhält man aus der STörungsentwicklung
(Hˆ
(0 )
α, β
)(
− E (0) Ψ (1)
) = (E
)(
− Hˆ (1) cα Ψα + c β Ψ β
(1)
dann die Säkulargleichung, wenn man mit
(
Ψα , β multipliziert:
(
)
0 = Hˆ (1)α ,α − E (1) cα + Hˆ (1)α ,β − E (1) T
(
0 = Hˆ (1) βα − E (1) T
2
)c + (Hˆ
(1)
α
ββ
)
2
)
)c
β
− E (1) c β
Mit
Hˆ (1)α ,α = Ψα Hˆ (1) Ψα =1 a
2
b Hˆ (1) b
2
a
1
2
2
⇒ Hˆ (1)α ,α = ∫ d 3r1 ∫ d 3 r2 Ψa (r1 ) Ψb ( r2 ) Hˆ (1) =Hˆ (1) ββ
Dies sieht man an der Möglichkeit, die Elektronen 1<->2 in
Ĥ (1) zu tauschen.
Hˆ (1)α ,α = Hˆ (1) ββ =: D sogenannte "direkt Coulombenergie" ( klassische Energie einer Ladungsverteilung)
Weiter:
Hˆ (1)αβ = Ψα Hˆ (1) Ψ β =1 a
2
b Hˆ (1) a
2
b
1
⇒ Hˆ (1)αβ = ∫ d 3r1 ∫ d 3r2 Ψa (r1 ) * Ψb ( r1 ) Ψb ( r2 ) * Ψa ( r2 ) Hˆ (1) =Hˆ (1) βα =: A
A als sogenannte "Austauschenergie" ( nichtklassisch).
Säkulardeterminante:
D − E (1)
A − E (1) | T | 2
A − E (1) | T |2
D − E (1)
(D − E ) − (A − E
(1) 2
(1)
| T |2
)
2
=0
2
(
)
(
)
= 0 = E (1) 1− | T | 4 − 2 E (1) D − | T | 2 + D 2 − A 2
Damit kann die Energieaufspaltung angegeben werden und es erfolgt:
E (1) =
D±A
1± | T | 2
Die Energieaufspaltung hier steht für die AUfhebung der Austauschentartung.
Ein wesentliches Grundverständnis hierbei ist, dass Zustände von natur aus immer unendlich oft entartet sind. Man
kann das Niveau jedoch so weit einschränken ( kein Spin, kein 2. ATom, etc...), dass es nur einen Eigenzustand im
gegebenen, beschränkten Hilbertraum gibt, der Eigenzustand zum Energieeigenwert ist. Jede zusätzliche Störung von
außen kann unterschiedlich auf unterschiedliche Eigenschaftenm der Elektronen wirken und demnach zu einem
Energieniveau verschiedene Zustände zu lassen, die dann aber mit der äußeren Wechselwirkung auch leicht
verschobene Energieniveaus bilden können.
Dadurch bekommt ein bisschen ein Biöld davon, wie durch die AUfhebung der Entartung quasi neue Energieniveaus
geschaffen werden.
Für die Gesamtenergie des Niveaus gilt dann:
E± ≈ E (0 ) + E (1) = E a + Eb +
D± A
1± | T |2
Die zugehörigen Eigenzustände sind zwei der Art, ein zwischen a b symmetrisierter und entsprechend der
antisymmetrisierte Zustand:
Ψ±
a
a
(0 )
1
2
b
b
=
(
1
2 1± | T |2
2
= Ψα
1
= Ψβ
)
( a 1 b 2 ± a 2 b 1)
Wie man sieht, hängt E ± parametrisch vom Kernabstand R ab:
Man wähle a , b als Grundzustand der H- ATome.
Es ergibt sich für E + bzw. E − der folgende Verlauf der Energie:
Das Energieniveau E − (R ) wirkt dabei abst0ßend , während E + ( R ) ein attraktives Minimum besitzt. Es kommt
zur homöopolaren Bindung ( kovalent), einer sogenannte (AUSTAUSCHBINDUNG), denn die Grundlage für die
Existenz dieses Niveaus ist die Austauschentartung, die aufgehoben wird.
Die Bindung an sich ist nur quantenmechanisch zu verstehen, wie aber ja auch schon der gebundene Zustand eines
Elektrons am Kern.
Berücksichtigung des SPin
Der gesamte 2- Elektronenzustand
Ψ = Ort Spin muss antisymmetrisch sein bei Permutation von Spin und Bahn, da die Elektronen Fermionen
sind.
das heißt, es muss einer der beiden Produktbildenden Zustände Ort , Spin antisymmetrisch sein und der andere
symmetrisch.
2 Möglichkeiten:
1)
der Spin- Anteil ist symmetrisch und der Bahn ANteil antisymmetrisch:
S = s1 + s 2 =
m s = 0 ,± 1
1 1
+ =1
ein Triplett- Zustand also !
2 2
Merke: Multiplett- Zustände sind multi- fach entartet in dem Sinn, dass die charakterisierenden Eigenschaften der
Wellenfunktion gegeben sind und daraus die bestehende Entartung multi- fach ist.
Das bedeutet. Bei Spin und Bahndrehimpuls ist das n. Energieniveau ein 2n²- plett, wenn keine Wechselwirkung mit
äußeren Feldern stattfindet. ( In Wahrheit sind jedoch auch diese Zustände nicht mehr vollständig entartet, da schon
das magnetische Moment des Elektronenspins mit dem des Bahndrehimpuls wechselwirkt und die Entartung
teilweise aufhebt.
Im Fall 1) wäre nun der Bahn- Anteil antisymmetrisch:
Ψ−
( 0)
2)
der Spin- ANteil ist antisymmetrisch und der Bahn- ANteil symmetrisch:
, E − . Dieser Potenzialverlauf ist jedoch grundsätzlich abstoßend. Es kann nicht zur Bindung kommen. Das
Orbital ist antibindend.
S = s1 + s 2 =
ms = 0
1 1
− =0
Die beiden Spins stehen also antiparallel und der Zustand ist bindend. Es kommt zur
2 2
Bindung.
Denn: Der Bahn- ANteil ist symmetrisch:
Ψ+
(0 )
, E+
Die AUfenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen zwischen den Kernen ist erhöht.
5.7 Variationsverfahren
Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil
und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Hˆ Ψk = Ek Ψk
Ψn Ψk = δ nk bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:
Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:
E0 ≤ E1 ≤ E 2 ≤ E3 .....
Dann gilt für einen beliebigen Zustand
Ψ , im Allgemeinen kein Eigenzustand:
Ψ Hˆ Ψ = ∑ Ψ Hˆ Ψn Ψn Ψ = ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ
n
n
En ≥ E0
⇒ ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ ≥ E0 ∑ Ψ Ψn Ψn Ψ = E0 Ψ Ψ
n
n
Wodurch uns die Ungleichung geben ist:
∑
E n Ψ Ψn Ψn Ψ
n
Ψ Ψ
≥ E0
Also:
Ψ Hˆ Ψ
≥ E0 als Extremal- Prinzip
Ψ Ψ
Näherung für den Grundzustand:
Ψ mit verschiedenen Parametern, also Ψ ( r ,α , β ,...) .
1)
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion
2)
Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
Ψ Hˆ Ψ
3) Variiere dann die Parameter, bis
= E minimal wird:
Ψ Ψ
∂
∂
E=
E = ... =!= 0
∂α
∂β
⇒ α 0 , β 0 ,...
Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie
E0 ≈ E(α 0 , β 0 ,....) .
Die Parameter in der testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den grundzustands- Eigenzustand
Ψ0 ≈ Ψ( r , α 0 , β 0 ,...)
Bemerkung
E0 ≈ E(α 0 , β 0 ,....) ist ebsser als die Näherung Ψ0 ≈ Ψ( r , α 0 , β 0 ,...) in folgendem Sinn:
Ψ (r ,α 0 , β 0 ,...) = Ψ0 + λϕ
Wobei die genäherte Funktion Ψ ( r ,α 0 , β 0 ,...) die exakte Ψ0 um den Term λϕ verfehle:
Die Näherung von
Mit
ϕ Ψ0 = 0 Für kleine λ gilt, da E bei E0 ein Minimum hat:
E (α 0 , β 0 ,....) = E0 + λ2 A + ...
Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.
Näherung für angeregte Zustände:
E0 ≈ E(α 0 , β 0 ,....) und Ψ0 ≈ Ψ( r , α 0 , β 0 ,...) sind also näherungsweise bekannt.
Nun wähle man eine Testfunktion
Ψ ( r ,α , β ,...) mit Ψ( r , α , β ,...) Ψ0 = 0 . Dies muss natürlich für beliebige
Belegung der Parameter gelten !
Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis
Dann hat man eine Näherung
Ψ Hˆ Ψ
= E minimal wird.
Ψ Ψ
E1 ≈ E und Ψ1 ≈ Ψ( r ,α 1 , β1 ,...)
Beweis:
Ψ Hˆ Ψ = ∑ Ψ Hˆ Ψn Ψn Ψ =
n
Ψ Ψn = 0, für
∞
∑
n =0
E n Ψ Ψn Ψn Ψ
n=0
∞
⇒ Ψ Hˆ Ψ = ∑ E n Ψ Ψn Ψn Ψ
n=1
⇒ E n ≥ E1
∞
∞
n=1
n =1
⇒ ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ ≥ E1 ∑ Ψ Ψn Ψn Ψ
∞
∞
⇒ ∑ En Ψ Ψn Ψn Ψ ≥ E1 Ψ Ψ ⇒ E1 ≤
n=1
⇒ E1 ≤
∑
n=1
E n Ψ Ψn Ψn Ψ
Ψ Ψ
Ψ Hˆ Ψ
Ψ Ψ
Weitere Näherungsmethoden
-
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)
sogenannte "quasiklassische Näherung":
Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.
Fließbach, S. 155 ff.