Zusatzheft Elektrotechnik 1-48.indd

Trigonometrie
5
Darstellung sinusförmiger Wechselstromgrößen
Eine in der Wechselstromtechnik häufig verwendete und einfache Darstellung sinusförmiger
Wechselspannungen und -ströme ist das Zeigerdiagramm. In einem Zeigerdiagramm wird eine
harmonische Schwingung (Sinusschwingung) durch einen rotierenden Zeiger in der komplexen
Ebene dargestellt, dessen Länge der Amplitude entspricht. Die Drehzahl je Sekunde des
umlaufenden Zeigers ist gleich der Frequenz des Wechselstroms bzw. der Wechselspannung.
Damit vollzieht man einen Übergang von einer Funktion der Zeit auf eine Funktion des Winkels.
Der zeitliche Verlauf der Schwingung kann durch Projektion der rotierenden Zeigerspitze auf die
imaginäre Achse (Sinusfunktion) oder reelle Achse (Kosinusfunktion) gewonnen werden.
Der Effektivwert Ueff einer Wechselspannung ist der Wert, den eine Gleichspannung erreichen
muss, damit an einem Ohm’schen Verbraucher (zB Heizung) die gleiche Leistung wie bei der
Wechselspannung erzeugt wird.
û
bzw. û = U · 2 mit û ... Spitzenwert (Amplitude)
U = ___
eff
eff
2
Z5.1 Stelle die sinusförmige Wechselspannung grafisch dar. Kennzeichne den Effektivwert in
der Zeichnung.
Ueff = 30 V, = 60°, f = 50 Hz
Lösung:
u(t) = û · sin (t + )
û
⇒ û = U · 2 = 30 V · 2 42,4 V
U = ___
eff
eff
2
= 2f = 2 · 50 Hz = 100 s–1
__
= 60° = 3
2 V · sin 100 s–1 · t + __
u(t) = 30 · 3
(
40
30
20
10
-0,005
-10
-20
-30
-40
)
u
V
t
s
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
23
Zusatzheft Elektrotechnik 1-48.indd 23
04.05.2011 20:36:29 Uhr
Trigonometrie
Z5.2 Zwei sinusförmige Wechselspannungsquellen werden in
Serie geschaltet.
1) Stelle das Zeigerdiagramm dar.
2) Ermittle u(t) aus dem Zeigerdiagramm.
3) Stelle den Verlauf der gegebenen Spannungen und den
der Gesamtspannung an den Klemmen grafisch dar.
U1eff = 30 V 1 = 70° f1 = 50 Hz
U2eff = 20 V 2 = 10° f2 = 50 Hz
U1eff
R
Ueff
U2eff
Lösung:
1) û = 2 · Ueff
û1 = 2 · 30 V = 42,4 V
û2 = 2 · 20 V = 28,3 V
2) = 60°
U1
U
u2 = u12 + u22 – 2 · u1 · u2 · cos (120°)
u = 61,6 V
u1
u
______
= _______
⇒ = 46,6° = 0,814 rad
U1
sin (120°)
1
U2
sin ( – 2)
u(t) = 61,6 V · sin (100 s–1t – 0,814)
2
3)
60
50
40
30
20
10
-0,005
-10
-20
-30
-40
-50
-60
u
V
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
t
s
0,035
24
Zusatzheft Elektrotechnik 1-48.indd 24
04.05.2011 20:36:29 Uhr
Trigonometrie
Z5.3 Stelle die sinusförmige Wechselspannung grafisch dar. Kennzeichne den Effektivwert in
der Zeichnung.
a) Ueff = 230 V, = 30°, f = 60 Hz
b) Ueff = 120 V, = –30°, f = 60 Hz
Z5.4 Zwei sinusförmige Wechselspannungsquellen werden in
Serie geschaltet.
1) Stelle das Zeigerdiagramm dar.
2) Ermittle u(t) aus dem Zeigerdiagramm.
3) Stelle den Verlauf der gegebenen Spannungen und den
der Gesamtspannung an den Klemmen grafisch dar.
U1eff = 30 V 1 = 60°
f1 = 50 Hz
U2eff = 20 V 2 = –40° f2 = 50 Hz
U1eff
Z5.5 Stelle den Gesamtstrom I grafisch dar, wenn die Teilströme I1
und I2 gegeben sind.
I1eff = 2 A
f1 = 50 Hz 1 = 20°
I2eff = 1,5 A
f2 = 50 Hz 2 = 40°
R
Ueff
U2eff
I
L1
L2
I1
I2
Z5.6 Stelle den Gesamtstrom I grafisch dar, wenn I2 dem Strom I1 um 30° nacheilt und doppelt
so groß ist. Beide Ströme schwingen mit der gleichen Frequenz von f = 50 Hz.
I1eff = 40 mA 1 = 20°
Z5.7 Berechne den
Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung
aus dem dargestellten
Zeigerdiagramm eines
Parallelschwingkreises.
IC = 150 mA, IL = 40 mA,
I = 200 mA
I
U
IC
U
IR
IC
IL
IR
L
C
R
IL
Lösung:
I C – IL
sin = ____
I
110 mA
⇒ = 33,36...° 33,4°
sin = _____
200 mA
Der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung beträgt rund 33,4°
25
Zusatzheft Elektrotechnik 1-48.indd 25
04.05.2011 20:36:29 Uhr
Trigonometrie
Z5.8 Berechne den Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung aus dem
dargestellten Zeigerdiagramm eines Serienschwingkreises.
UC = 20 V,
I
U = 45 V
UR
R
U
UC
I
U
UC
C
UR
Z5.9 Berechne den Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung aus dem
dargestellten Zeigerdiagramm eines Parallelschwingkreises.
I
IL = 20 mA,
U
IL
IC = 30 mA,
I = 34 mA
U
I
IL
L
IC
C
R
IC
Z5.10 Berechne den Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung aus dem
dargestellten Zeigerdiagramm eines Serienschwingkreises.
I
UC = 30 V,
I
UC
UL = 33 V,
U = 22 V
U
UC
U
UL
UL
Z5.11 Berechne den Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung aus dem
dargestellten Zeigerdiagramm eines Serienschwingkreises.
I
UC = 1 V,
U
C
UL = 2 V,
UL
UL
U = 1,8 V
U
U
UC
C
L
R
L
C
R
I
Z5.12 Berechne die Phasenverschiebungswinkel und K zwischen Strom und Spannung aus
dem dargestellten Zeigerdiagramm.
R1
I
U1 = 3 V,
UL
U
U1
LL
UR = 1,4 V,
UK UL
UL = 2 V,
U
UK
K
UK = 2,3 V,
UC
U1
UR
RL
U = 4,7 V
26
Zusatzheft Elektrotechnik 1-48.indd 26
04.05.2011 20:36:29 Uhr