Grundlagen der Physik II im SS2007

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Grundlagen der Physik II im SS2007 - Übungsblatt 2
Prof. Dr. O. Marti
Dr. U. Wiedwald
21. Mai 2007
für die Übungen vom 23.04.07 bis 26.04.07
Aufgaben
13. Aufgabe Stellen Sie sich vor, dass man einen Schacht vom Nord- zum Südpol mit Länge
L = 12740 km graben könnte. Sie stehen davor und springen hinein, weil ein
hungriger Eisbär naht. Allerdings haben Sie die Rechnung ohne den Eisbär gemacht. Der wartet nämlich, bis Sie wieder am Einsprungsloch erscheinen. Nach
welcher Zeit kann der Eisbär Sie mit seinen Pranken umarmen?
14. Aufgabe Ein homogener Stab der Masse m mit einem quadratischen Querschnitt mit der
Seitenlänge a und der Länge l besitze zwei Aufhängepunkte im Abstand l/4 und
4l/5 von einem Ende aus gemessen.
(a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment für die beiden Aufhängepunkte.
(b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer für die beiden Aufhängepunkte.
(c) Berechnen Sie die Schwingungsdauern für einen Stab mit den Maßen a =
1cm und l = 100cm. Was lernen Sie aus dem Ergebnis?
15. Aufgabe Die partikuläre Lösung einer Schwingungsdifferentialgleichung eines getriebenen harmonischen Oszillators bei der Frequenz ω = 20π 1s sei
µ
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xp (t) = 3mm · cos t · 20π
s
Aus der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist bekannt, dass die
Resonanzfrequenz ω0 = 30π 1s und die Zeitkonstante für die Amplitude τ = 1s
ist. Der Oszillator wird aus der Position x(0) = 1mm und ẋ(0) = 0 gestartet.
(a) Bestimmen Sie die Güte des Systems. Um welchen Fall handelt es sich?
(b) Geben Sie die Lösung der homogenen Gleichung mit der notwendigen Anzahl freier Parameter an.
(c) Geben Sie die Lösung des Problems für t > 0 an, das die Anfangsbedingungen erfüllt.
16. Aufgabe Ein Feder-Masse-System mit der Federkonstanten k und der Masse m0 werde
mit einer periodischen Kraft F (t) = F0 cos(ωt) auf die Masse zum Schwingen
gebracht. Die Bewegung der Masse werde durch eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung FD = −bv = −bẋ gebremst. Zur Zeit t = 0 sei die Masse in
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Ruhe und die Feder in ihrer Gleichgewichtslage.
(a) Geben Sie die Differentialgleichung der Bewegung an.
(b) Lösen Sie die homogene Differentialgleichung.
(c) Lösen Sie die inhomogene Gleichung.
(d) Verwenden Sie die Anfangsbedingungen um die Gesamtlösung zu berechnen.
(e) Sei ω0 die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung. Skizzieren Sie die
Gesamtlösung für 3ω = 2ω0 .
17. Aufgabe Welche Periodendauern T haben die aus dünnen Stäben der Masse m und der
Länge l zusammengesetzten Pendel (a) bis (d)?
Abbildung 1: Skizze zu Aufgabe 5