Wellen oder Teilchen?

Wellen oder Teilchen?
Volkshochschule Rapperswil-Jona
25. September 2007
Arthur Ruh
Autor:
Dr. Arthur Ruh
Säntisweg 4
CH-8630 Rüti ZH
Switzerland
c Arthur Ruh 2007
Copyright °
Dieses Skript kann von der Webseite
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Jede andere Verwendung, insbesondere die Übersetzung in andere Sprachen, das Zurverfügungstellen auf anderen
Webseiten, die elektronische Verarbeitung und die Entnahme von Gra…ken und Textstellen in irgendeiner Form ist
ohne schriftliche Einwilligung des Autors nicht gestattet. Die Nutzung zu kommerziellen Zwecken ist untersagt.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
II
Vorwort
Dieses Skript ist eine erweiterte und leicht modi…zierte Fassung des Vortrags
„Wellen oder Teilchen?“,
den ich am 25. September 2007 an der Volkshochschule Rapperswil-Jona gehalten habe.
Das Skript soll interessierten Hörerinnen und Hörern die Möglichkeit geben, den einen oder anderen
Gedankengang nachträglich nochmals nachzuvollziehen.
Das Skript enthält einige Ergänzungen, insbesondere die Abschnitte über das Messproblem und
Schrödingers Katze, die Vereinheitlicheung der Physik und die Quantenkryptographie, die im Vortrag aus Zeitgründen nicht behandelt werden konnten. Andererseits fehlen die vielleicht spontanen
Bemerkungen im Vortrag, da dieser frei gehalten wurde, ohne dieses Skript zu verwenden. Ebenso
fehlen natürlich die Computer-Animationen, die im Vortrag gezeigt wurden.
Ferner enthält das Skript einige einfache physikalische Gleichungen. Leserinnen und Leser, die
nicht über die entsprechenden mathematischen Kenntnisse verfügen, können ohne weiteres über
diese Formelzeilen hinweglesen. Alles Wesentliche ist auch in Worten ausgedrückt.
Die wichtigsten mathematischen und physikalischen Begri¤e und Gesetze, die in diesem Skript
verwendet werden, sind im Anhang kurz und einfach erklärt.
Für das kritische Durchlesen des Skripts und seine wertvollen Hinweise, durch die der Text an
mehreren Stellen verständlicher wurde, bin ich Herrn Dr. Heinz Strübin zu grossem Dank verp‡ichtet. Ganz herzlich danke ich auch meiner Frau Katharina für ihre sorgfältige Überprüfung des
Textes und ihre Verbesserungsvorschläge. Für alle noch vorhandenen Fehler bin jedoch ich allein
verantwortlich.
Rüti ZH, September 2007
Arthur Ruh
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
III
Inhaltsverzeichnis
1 Die klassische Physik gegen Ende des 19. Jahrhunderts
1
1.1
Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1
Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.2
Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.3
Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.4
Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.5
Addition von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.6
Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Das Versagen der klassischen Physik
17
2.1
Spezi…sche Wärme fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2
Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3
Photoe¤ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Was ist Licht?
21
4 Atommodelle
23
4.1
Das Thomsonsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2
Das Rutherfordsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3
Das Bohrsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Materiewellen
26
5.1
De Broglies Wellenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2
Beugung von Elektronenstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Die Heisenbergsche Unschärferelation
32
7 Quantenmechanische Wellengleichungen
34
7.1
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A. Ruh
7.2
Wellen oder Teilchen?
IV
Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8 Tunnele¤ekt
37
8.1
Transmission einer Potentialbarriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.2
Kernfusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9 Verschränkte Zustände
47
9.1
Spinzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.2
Spukhafte Fernwirkungen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10 Das Messproblem und Schrödingers Katze
52
11 Anwendungen
54
12 Naturgesetze
56
12.1 Er…ndungen oder Entdeckungen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
12.2 Vereinheitlichung der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
13 Missverständnisse
60
A Anhang A
Bellsche Ungleichung
61
B Anhang B
Quantenkryptographie
65
B.1 Klassische Kryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.2 Polarisierte Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
B.3 Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.4 Das BB84-Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C Anhang C
Mathematische und physikalische Begri¤e und Gesetze
73
C.1 Alphateilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C.2 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C.3 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C.4 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
V
C.5 Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.6 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.7 Deuterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.8 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.9 Elektronvolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C.10 Elementarladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C.11 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
C.11.1 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C.11.2 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C.11.3 Elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C.11.4 Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C.11.5 Chemische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C.12 Energie(erhaltungs)satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C.13 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
C.14 Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
C.15 Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
C.16 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
C.17 Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
C.18 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.19 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.20 Impuls(erhaltungs)satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.21 Isotop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.22 Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.23 Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
C.24 Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
C.25 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.26 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.27 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.28 Neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
C.29 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
VI
C.30 Newtonsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
C.31 nichtrelativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.32 Nuklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.33 Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C.34 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C.35 Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.36 Proportionalität
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.37 Proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.38 Quantenchromodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.39 Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.40 Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.41 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.42 relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.43 Tritium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.44 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C.45 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C.46 Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C.47 Watt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
C.48 Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
C.49 Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
C.50 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
C.51 Zehnerpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Literatur
95
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
1
Im Jahr 1874 bestand der Student Max sein Abitur mit Auszeichnung im Alter von nur 16 Jahren. Er war musikalisch sehr begabt, er spielte Klavier, Orgel und Cello, nahm Gesangsunterricht
und komponierte Lieder und eine Operette. Er interessierte sich aber auch für Altphilologie und
Physik. Da er nicht recht wusste, was er nun studieren sollte, bat er seinen Musiklehrer und einen
Physikrofessor um Rat. Der Musiklehrer antwortete: „Wenn sie schon fragen, studieren sie etwas
anderes!“ Der Physikprofessor Philipp von Jolly riet ihm auch von einem Physikstudium ab mit
der Begründung: „In dieser Wissenschaft ist schon fast alles erforscht, und es gilt, nur noch einige
unbedeutende Lücken zu schliessen.“ Und wie es so geht, wenn junge Menschen ältere um Rat
fragen; sie machen dann doch, was sie wollen. Das ist ja auch – meistens – gut so. Jedenfalls
studierte Max trotzdem Physik.
1
Die klassische Physik gegen Ende des 19. Jahrhunderts
Wie weitgehend war denn die Physik gegen Ende des 19.Jahrhundert schon erforscht, und wie
unbedeutend waren die Lücken, die noch zu schliessen waren?
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts bestand die Physik im wesentlichen aus den folgenden Teilgebieten:
² Mechanik
² Thermodynamik
² Elektrodynamik
1.1
Mechanik
Die Mechanik kann in Statik, Kinematik und Dynamik unterteilt werden.
- In der Statik 1 werden die Addition und die Zerlegung von Kräften untersucht und die Bedingungen für das Gleichgewicht von Massenpunkten und Körpern formuliert.
- Die Kinematik 2 beschreibt Bewegungen von Massenpunkten und Körpern (ohne aber dabei
nach den wirkenden Kräften zu fragen).
- In der Dynamik
3
wird der Zusammenhang zwischen Kräften und Bewegungen studiert.
Die Bewegungsgesetze können auf drei Grundgesetze zurückgeführt werden, die I. Newton (1643–
1727) 1687 in seinem fundamentalen Werk „Philosophiae naturalis principia mathematica“ („Die
mathematischen Prinzipien der Naturlehre“) aufstellte.
Diese drei Grundgesetze der Dynamik werden Newtonsche Gesetze oder Newtonsche Axiome genannt.
Wie schon die Bezeichnung „Axiom“ ausdrückt, können diese Sätze nicht bewiesen werden, sondern
sie stellen eine konzentrierte Zusammenfassung der Erfahrung dar.
1
2
3
Das griechische Wort „statos“ bedeutet „gestellt“, „stehend“.
Das griechische Wort „kinēsis“ bedeutet „Bewegung“.
Das griechische Wort „dynamis“ bedeutet „Kraft“.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
2
Die sog. Newtonsche Mechanik baut im wesentlichen auf den drei Newtonschen Axiomen auf. Sie
hat den Vorteil grosser Anschaulichkeit, indem sie unmittelbar einsichtige Grössen, wie Kräfte und
Drehmomente, verwendet. Sie hat aber zwei grosse Nachteile.
- Wenn auf Grund des gegebenen Problems krummlinige Koordinaten statt kartesische Koordinaten verwendet
werden müssen oder wenn statt in einem Inertialsystem in einem beschleunigten Bezugssystem gerechnet
werden muss, sind die Bewegungsgleichungen entsprechend zu transformieren, d.h. die Bewegungsgleichungen
sind nicht forminvariant.
- Wenn die Bewegungen des Systems in irgendeiner Weise eingeschränkt sind, treten sog. Zwangsbedingungen auf,
die berücksichtigt werden müssen. Die dabei auftretenden Zwangskräfte sind in der Regel nicht bekannt und
müssen erst mühsam bestimmt werden. Das Lösen der Bewegungsgleichungen wird daher oft sehr schwierig.
Die Bemühungen, die Schwierigkeiten der Newtonschen Mechanik zu umgehen und die Mechanik
auf allgemeineren Prinzipien aufzubauen, die einen koordinatenunabhängigen Formalismus ergeben,
führten zur Lagrangeschen Mechanik (J.L. de Lagrange (1736–1813)) und zur Hamiltonschen
Mechanik (W.R. Hamilton (1805–1865)).
Diese beiden sehr abstrakten Formulierungen der Mechanik erweisen sich aber weit über die klassische Mechanik hinaus als tragfähig. Sie bilden das Fundament für die Quantentheorie und die
Quantenfeldtheorie.
1.2
Thermodynamik
Die beiden Begri¤e Thermodynamik 4 und Wärmelehre werden häu…g synonym verwendet, aber
vielfach wird auch zwischen den beiden Begri¤en unterschieden. Dabei beschreibt die Wärmelehre
alles, was mit Temperatur und Wärme zusammenhängt, während die Thermodynamik von wenigen
Axiomen, den Hauptsätzen der Thermodynamik, ausgeht und daraus eine streng mathematisch
orientierte Theorie aufbaut, die aber zum Beispiel über die Sto¤eigenschaften nichts aussagen kann.
In der Wärmelehre treten zwei neue physikalische Grössen auf, die in der Mechanik nicht de…niert
wurden: die Temperatur und die Wärme. Während die Wärme nichts anderes als eine spezielle
Form von Energie ist und somit durch die bereits in der Mechanik de…nierten Grössen ausgedrückt werden kann, ist die Temperatur eine Grösse, die nicht auf die in der Mechanik de…nierten
Basisgrössen Länge, Zeit und Masse zurückgeführt werden kann und daher als neue Basisgrösse
eingeführt werden muss.
Neben der sog. Phänomenologischen Thermodynamik, die von den Phänomenen, den beobachtbaren
Erscheinungen, ausgeht und Sto¤eigenschaften als empirisch gegebene Grössen hinnehmen muss,
gibt es die mikroskopische Betrachtungsweise, bei der davon ausgegangen wird, dass die Materie aus
Atomen und Molekülen besteht und dass somit die Sto¤eigenschaften mit Hilfe der mechanischen
Gesetze der Bewegungen dieser kleinsten Teilchen erklärt werden sollte. Da es natürlich völlig
ho¤nungslos ist, grössenordnungsmässig 1023 Teilchen einzeln beschreiben zu wollen, muss man sich
auf statistische Mittelwerte beschränken, die aber auch allein massgebend sind beim Vergleich mit
den makroskopisch messbaren physikalischen Grössen. Diese Betrachtungsweise wird Statistische
Mechanik genannt.
4
Das griechische Wort „thermos“ bedeutet „warm“, und das griechische Wort „dynamis“ bedeutet „Kraft“.
A. Ruh
1.3
1.3.1
Wellen oder Teilchen?
3
Elektrodynamik
Elektrizität
Bereits im Altertum wurde beobachtet, dass manche Sto¤e die Eigenschaft haben können, kleine
leichte Teilchen aus einer Entfernung von mehreren Zentimetern anzuziehen. Angeblich stellte
Thales von Milet (ca. 625 – ca. 545)5 fest, dass Bernstein6 , der mit einem wollenen Lappen
gerieben wurde, diese Eigenschaft aufweist. Aus dem griechischen Wort „electron“ für Bernstein
entstand schliesslich der Begri¤ „elektrisch“ für den eigenartigen Zustand des mit Wolle geriebenen
Bernsteins. Die gleiche Erscheinung wird auch bei Glas oder Hartgummi und bei vielen anderen
Sto¤en beobachtet. Körper in diesem Zustand werden als elektrisch geladen bezeichnet, oder es
wird gesagt, der Körper „trage eine elektrische Ladung“.
Zur genaueren Untersuchung dieser Erscheinungen werden zwei leichte Kügelchen an zwei Fäden
nebeneinander aufgehängt. Werden nun die beiden Kügelchen mit einem elektrisch geladenen
Glasstab berührt, so stossen sie sich gegenseitig ab. Anscheinend wird vom geladenen Glasstab
etwas auf die Kügelchen übertragen, das die Abstossung bewirkt. Dieses „Etwas“ wird elektrische
Ladung genannt.
Abbildung 1: Zwei gleiche Ladungen stossen sich ab
Das gleiche zeigt sich, wenn die Kügelchen mit einem geladenen Hartgummistab berührt werden.
Wird dagegen das eine mit einem geladenen Glasstab und das andere mit einem geladenen Hartgummistab berührt, so ziehen sich die beiden Kügelchen gegenseitig an. O¤enbar gibt es zwei
verschiedene Arten von elektrischen Ladungen. Diese beiden Arten wurden nach einem Vorschlag
von G.Chr. Lichtenberg (1742–1799) (willkürlich!) positiv und negativ genannt.
5
In der Literatur sind für Geburts- und Todesjahr von Thales ganz unterschiedliche Zahlen zu …nden. Für
Geburtsjahr: 640, 625 und 624 v.Chr. Für Todesjahr: 548, 547, 546 und 545 v.Chr.
6
Bernstein ist ein fossiles Harz von goldgelber bis rotbrauner Farbe. Eine in Kleinasien (Sardes) gefundene
goldhaltige Legierung wurde „electron“ genannt, und wegen seiner ähnlichen Farbe erhielt der Bernstein den gleichen
Namen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
4
Abbildung 2: Ungleichartige Ladungen ziehen sich an
Gleichartig geladene Körper stossen sich gegenseitig ab, ungleichartig geladene Körper ziehen sich
gegenseitig an.
Was die elektrischen Ladungen sind, wurde erst viel später, nämlich im 19. Jahrhundert, entdeckt.
Beim Reiben des Bernsteins mit einem Wolllappen werden nicht etwa Ladungen erzeugt, sondern
nur die positiven und die negativen Ladungen getrennt, die von Anfang an in den Materialien
vorhanden waren.
In der Mechanik wurde die Masse als eine fundamentale Eigenschaft der Materie beschrieben, die
sich durch die Schwere und die Trägheit manifestiert. Die Materie kann o¤enbar eine weitere
fundamentale Eigenschaft aufweisen, die elektrische Ladung.
Da anfänglich nicht bekannt war, welches die eigentlichen Ladungsträger sind, wurde willkürlich
festgelegt, dass mit Wolllappen geriebene Glasstäbe positiv geladen sind, während Bernstein, Hartgummi, Schwefel oder Siegellack beim Reiben mit Fell negativ geladen werden. Die erst hundert
Jahre später entdeckten Elektronen sind auf Grund dieser Festlegung negativ geladen. Da in einem elektrischen Leiter der elektrische Strom in der Regel von den Elektronen transportiert wird,
‡iesst der materielle Strom vom Minus- zum Plus-Pol. Die umgekehrte Festsetzung wäre somit
zweckmässiger gewesen, aber für eine entsprechende Änderung war es bereits zu spät.7
Die Kraftwirkung einer elektrischen Ladung kann als Maß für ihre Grösse dienen. Eine Ladung ist
doppelt so gross wie eine andere, wenn sie unter sonst gleichen Bedingungen eine doppelt so grosse
Kraft bewirkt. Ladungen können nach diesem Prinzip mit sog. Elektrometern gemessen werden.
Wird eine kleine positive Probeladung q in die Nähe einer annähernd punktförmigen positiven
Ladung Q gebracht, so wirkt auf sie eine Kraft, die von der Ladung Q weggerichtet ist. Die Grösse
dieser Kraft hängt ausser von der Ladung Q (und der Ladung q) vom Abstand ab. Je grösser
der Abstand ist, desto kleiner ist die Kraft (genauer: Die Kraft ist umgekehrt proportional zum
7
In der Elektrotechnik wird mit einer „technischen Stromrichtung“ gerechnet, die zum Elektronen‡uss entgegengesetzt gerichtet ist. Der „technische“ oder „rechnerische“ Strom ‡iesst also von plus nach minus.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
5
Quadrat des Abstandes.). Wird die gemessene Kraft mit dem Wert q der Probeladung dividiert, so
ergibt sich eine Grösse, die nur noch von der Ladung Q und vom Abstand der Probeladung abhängig
ist. Diese Grösse wird elektrische Feldstärke genannt. Sowohl Kräfte wie auch Feldstärken sind
Grössen, die durch einen Betrag und eine Richtung beschrieben werden. Es genügt nicht, zu sagen,
wie gross eine Kraft oder eine Feldstärke ist, es muss auch gesagt werden, in welche Richtung die
Kraft oder die Feldstärke zeigt. Grössen, die durch einen Betrag und eine Richtung gegeben sind,
können durch einen Pfeil dargestellt werden. Der Pfeil zeigt in die Richtung, in der die Kraft
oder die Feldstärke zeigt, und die Länge des Pfeils gibt den Betrag der Kraft oder der Feldstärke.
Physikalische Grössen, die durch einen Pfeil dargestellt werden können (und die bestimmte weitere
Bedingungen erfüllen), werden als Vektoren bezeichnet.
Die Probeladung kann an einen beliebigen Ort in der Umgebung der Ladung Q gebracht werden. In
jedem Punkt wird dadurch die elektrische Feldstärke bestimmt. Dies kann so beschrieben werden,
dass die Ladung Q in ihrer Umgebung ein elektrisches Feld erzeugt. Das Feld kann im Prinzip mit
Hilfe von Probeladungen bestimmt werden, es existiert aber unabhängig davon, ob Probeladungen
vorhanden sind oder nicht.
Abbildung 3: Elektrisches Feld
Bewegte elektrische Ladungen werden als „elektrischer Strom“ bezeichnet. Materialien, in denen
sich elektrische Ladungen (um mehr als molekulare Distanzen) verschieben können, in denen also
ein elektrischer Strom ‡iessen kann, werden elektrische Leiter genannt. Materialien, in denen kein
elektrischer Strom ‡iessen kann, werden als Nichtleiter oder Isolatoren bezeichnet. Elektrische
Ströme ‡iessen einerseits beim Ausgleich elektrischer Ladungen, die durch „Reibungselektrizität“
getrennt wurden. Andererseits gibt es aber auch Anordnungen, die dauernd einen elektrischen
Strom ‡iessen lassen. Solche Anordnungen werden „Stromquellen“ genannt.
1.3.2
Magnetismus
Auch der Magnetismus war bereits im Altertum bekannt. Angeblich wurde ebenfalls von Thales
von Milet entdeckt, dass bestimmte Steine aus der Gegend Magnesia8 aneinander „klebten“.
8
„Magnesia“ ist einerseits der Name einer gebirgigen Halbinsel in Ost-Thessalien (Nordgriechenland), und andererseits hatten zwei antike Städte in Kleinasien diesen Namen, nämlich Magnesia am Mäander und Magnesia am
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
6
Ein Stein mit dieser Eigenschaft wird als Magneteisenstein oder Magnetit bezeichnet und besteht
aus dem Eisenoxid Fe3 O4 . Mineralien, die diese Eigenschaft hatten, sich gegenseitig anzuziehen,
wurden „magnetisch“ genannt. Es zeigte sich, dass Eisenstücke, die mit Magnetit bestrichen
wurden, ebenfalls magnetisch wurden.
Im alten China soll der Magnetismus sogar bereits etwa 3000 Jahre v. Chr. bekannt gewesen sein. Die Angaben, seit
wann der Kompass verwendet wurde, sind widersprüchlich. Nach manchen Quellen waren „Südweiser“ seit 1100 v.
Chr. im Gebrauch, nach anderen im 3. Jahrhundert n. Chr. und nach wieder anderen erst im 12. Jahrhundert n.
Chr. Der „Südweiser“ ist nach den einen Quellen eine in einem Strohhalm steckende magnetisierte Nadel, die in
einer wassergefüllten Schale schwimmt. Nach anderen Quellen soll der chinesische Kaiser Huang-Ti einen Streitwagen
besessen haben, auf dem eine Figur mit dem ausgestreckten Arm stets nach Süden gewiesen habe. Dabei dürfte es sich
aber um eine Legende oder ein Missverständnis handeln. Bei einer solchen Anordnung wären die Störein‡üsse durch
Lagerreibungen, Schie‡age der Achse und vor allem durch Luftkräfte viel zu gross, um eine zuverlässige Ausrichtung
nach Süden zu erhalten. Wahrscheinlich beruhte diese Art von Südweisern auf einem anderen Prinzip. Die Chinesen
sollen nämlich über zweirädrige Wagen verfügt haben, mit Hilfe derer Distanzen gemessen werden konnten. Mit
einem mechanischen Zählwerk wurden die Radumdrehungen bestimmt. Zusätzlich bewirkte ein Di¤erentialgetriebe,
dass unabhängig von den Schwenkungen des Wagens eine Figur stets in die gleiche Richtung (also z.B. nach Süden)
zeigte. Die Verwechslung dieser mechanischen Südweiser mit den magnetischen Südweisern könnte auch die grosse
Diskrepanz in der Datierung erklären.
Der englische Arzt und Chemiker W. Gilbert (1544–1603) verfasste 1600 ein Buch über Magnete,
in dem er alles beschrieb und ordnete, was damals über Magnetismus bekannt war. Wodurch die
magnetischen Kräfte verursacht werden, wurde aber ebenfalls erst im 19. Jahrhundert entdeckt.
In ähnlicher Weise wie die elektrischen Kräfte durch elektrische Felder beschrieben werden können,
lassen sich die magnetischen Kräfte mit Hilfe von magnetischen Feldern darstellen9 .
1.3.3
Elektromagnetismus
Obschon Elektrizität und Magnetismus in mancher Hinsicht Ähnlichkeiten aufweisen, blieben diese
beiden Naturerscheinungen lange Zeit zwei grundverschiedene Phänomene, die keinerlei Beziehung
zueinander hatten. Erst 1820 fand H.Chr. Oersted (1777–1851) eine Wechselwirkung zwischen
elektrischen Strömen und Magneten. Er entdeckte, dass eine Magnetnadel durch einen stromdurch‡ossenen Draht aus ihrer Ruhelage abgelenkt wurde. Ein stromdurch‡ossener Leiter übt also
auf einen Magneten eine Kraft aus. Nach dem Reaktionsprinzip muss somit auch ein Magnet auf
einen stromführenden Leiter eine Kraft ausüben. Noch im gleichen Jahr entdeckte A.M. Ampère (1775–1836), dass zwischen stromdurch‡ossenen Drähten Kräfte wirken, und bestimmte die
Gesetzmässigkeiten dieser Kräfte.
1831 entdeckte M. Faraday (1791–1867) das Induktionsgesetz. Er stellte fest, dass zeitlich veränderliche Magnetfelder in geeigneten Leiteranordnungen einen elektrischen Strom erzeugen.
Durch diese Wechselwirkungen werden die beiden zunächst getrennten Phänomene Elektrizität
und Magnetismus zu einem beide umfassenden Bereich zusammengefasst. Dieser wird Elektromagnetismus genannt. J.C. Maxwell (1831–1879) gelang es in den Jahren 1861 bis 1864, alle
beobachteten Zusammenhänge in vier Gleichungen zusammenzufassen. Durch die Maxwellschen
Gleichungen wird das ganze Gebiet des Elektromagnetismus vollständig dargestellt.
Sypilos. In der Literatur …nden sich widersprüchliche Angaben darüber, an welchem Ort die Magnetsteine gefunden
wurden. Nach den einen Autoren war es auf der gebirgigen Halbinsel, nach anderen war es die Stadt am Fluss
Mäander.
9
Es gibt jedoch keine magnetischen Einzelladungen, d.h. bis jetzt wurden keine magnetischen Monopole gefunden.
A. Ruh
1.3.4
Wellen oder Teilchen?
7
Elektromagnetische Wellen
Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt, dass elektrische und magnetische Felder sich in Form von
elektromagnetischen Wellen ausbreiten können. Die Geschwindigkeit dieser Wellen (im Vakuum)
lässt sich aus den Maxwellschen Gleichungen berechnen. Es ergibt sich eine Geschwindigkeit, die
genau gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Die Vermutung lag daher nahe, dass Licht nichts anderes
ist als eine bestimmte Art elektromagnetischer Wellen.
In weitaus den meisten Fällen sind Wellen periodisch, d.h. nach jeweils einer Periode wiederholt
sich der Verlauf der Welle.
Besonders einfache periodische Funktionen sind die Sinus- und Kosinus-Funktionen, die sog. harmonischen Funktionen 10 (Abbildungen 4 und 5).
1
0
¡1
0
180±
360±
540±
720±
Abbildung 4: Sinusfunktion
1
0
¡1
0
180±
360±
540±
720±
Abbildung 5: Kosinusfunktion
Da unter sehr allgemeinen Voraussetzungen eine beliebige periodische Funktion stets als eine Summe von harmonischen Funktionen dargestellt werden kann, genügt es in der Regel, harmonische
Funktionen zu betrachten.
10
Das griechische Wort „armonia“ bedeutet „Verbindung“, „Klammer“, „Übereinkommen“, „Vertrag“, „Ebenmass“.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
8
Die Periode in der Zeit wird auch als Schwingungsdauer bezeichnet, während die räumliche Periode
Wellenlänge genannt wird (Abbildung 6).
Wellenlänge
Abbildung 6: Wellenlänge
Aus der zeitlichen Periode T ergibt sich die Anzahl Schwingungen pro Zeiteinheit durch die einfache
Beziehung:
º=
1
:
T
º wird auch Frequenz genannt. Die Einheit der Frequenz ist das Hertz (Hz). 1 Hz = 1 Schwingung
pro Sekunde.
Es ist leicht ersichtlich, dass die Multiplikation der Wellenlänge ¸ mit der Anzahl Schwingungen
pro Sekunde º die Wellengeschwindigkeit c ergibt:
¸¢ º = c:
c ist die Lichtgeschwindigkeit. Im Vakuum ist die Lichtgeschwindigkeit c = 299’792’458 ms¡1 .
Dieser Wert der Vakuumlichtgeschwindigkeit wurde 1983 zur De…nition des Meters festgelegt.
In Medien ist die Lichtgeschwindigkeit kleiner. In Luft ist sie um 0,03 % kleiner und in Glas 1,5
bis über 2,0 mal kleiner als im Vakuum.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
9
Abbildung 7 zeigt schematisch eine harmonische elektromagnetische Welle. Bei einer elektromagnetischen Welle, die sich im freien Raum oder in einem praktisch unbegrenzten11 Medium ausbreitet,
~ die magnetische Feldstärke H
~ und die Ausbreitungsrichtung ~n
stehen die elektrische Feldstärke E,
paarweise je senkrecht aufeinander.
*
©
©
~n
~
E
~
H
Abbildung 7: Elektromagnetische Welle
Zu den elektromagnetischen Wellen gehören sowohl die längsten Radiowellen als auch extrem kurzwellige Gammastrahlen. Diese beiden Arten von elektromagnetischen Wellen verhalten sich grundverschieden, denn die physikalischen Eigenschaften einer elektromagnetischen Welle hängen stark
von ihrer Wellenlänge ab.
11
„Praktisch unbegrenzt“ bedeutet, dass die Abmessungen des Mediums gross sind verglichen mit der Wellenlänge,
im Gegensatz zur Situation der Fortp‡anzung von Wellen in einem sog. Hohlleiter oder in einem Lichtleiter.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
10
In Abbildung 8 ist das ganze Spektrum12 der elektromagnetischen Wellen dargestellt. Die Wellenlängen umfassen einen Bereich von mehr als 25 Zehnerpotenzen. Darin ist das sichtbare Licht ein
sehr schmales Band, das etwa einer „Oktave“ 13 entspricht.
Abbildung 8: Elektromagnetisches Spektrum
UV steht für ultraviolettes Licht, UKW für Ultrakurzwellen, KW für Kurzwellen, MW für Mittelwellen und LW für Langwellen.
Die Bereiche Gammastrahlen und Röntgenstrahlen überlappen sich. Die Unterscheidung bezieht
sich auf die Entstehung der Strahlung. Strahlen mit Wellenlängen zwischen 10¡12 bis 10¡10 m werden „Röntgenstrahlen“ genannt, wenn sie aus der Atomhülle stammen, dagegen „Gammastrahlen“,
wenn sie aus dem Atomkern stammen.
Der Bereich des sichtbaren Lichtes kann noch weiter unterteilt werden. In der Tabelle 1 sind
die Wellenlängenbereiche der verschiedenen Spektralfarben aufgeführt. Die Wellenlängen sind in
Nanometern (nm) angegeben. 1 nm = 10¡9 m.
Wellenlängenbereich
nm
380 : : : 435
435 : : : 465
465 : : : 485
485 : : : 565
565 : : : 590
590 : : : 630
630 : : : 780
Farbe
violett
blau
blaugrün
grün
gelb
orange
rot
Tabelle 1: Wellenlängenbereiche der Spektralfarben
12
Das lateinische Wort „spectrum“ bedeutet „Erscheinung“. Ein Spektrum ist die Verteilung einer physikalischen
Grösse als Funktion der Frequenz, der Energie, der Wellenlänge oder der Geschwindigkeit.
13
Das griechische und das lateinische Wort „octo“ bedeuten „acht“. Eine Oktave ist ein Tonintervall mit einem
Frequenzverhältnis von 1:2 und umfasst (in der diatonischen Tonleiter) acht Töne.
A. Ruh
1.3.5
Wellen oder Teilchen?
11
Addition von Wellen
Tre¤en zwei Wellen in einem Punkt zusammen, so überlagern sich die Wellen, d.h. zu jedem Zeitpunkt addieren sich die Momentanwerte der beiden Wellen. Falls die beiden Wellen in Phase sind,
d.h. wenn genau „Wellenberg“ mit „Wellenberg“ und „Wellental“ mit „Wellental“ zusammenfallen, ist die Amplitude der resultierenden Welle gleich der Summe der Amplituden der einzelnen
Wellen (Abbildung 9).
Abbildung 9: Addition von Wellen, Wellen in Phase
Wenn dagegen die Wellen gegeneinander phasenverschoben sind, ist die Amplitude der resultierenden Welle kleiner als die Summe der Amplituden der einzelnen Wellen (Abbildung 10).
Abbildung 10: Addition von Wellen, Phasenunterschied 90±
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
12
Falls die Phasenverschiebung gerade 180± beträgt, d.h. wenn genau Wellenberg auf Wellental tri¤t
und umgekehrt Wellental auf Wellenberg, ist die Amplitude der resultierenden Wellen gleich der
Di¤erenz der Amplituden der beiden Wellen. In dem Spezialfall, in dem beiden Wellen gleich grosse
Amplituden haben, ist die Di¤erenz gleich null, die Amplitude der resultierenden Welle ist gleich
null, und somit verschwindet die resultierende Welle (Abbildung 11). Das bedeutet, dass zwei
Wellen sich gegenseitig auslöschen können. Dieses Phänomen wird Interferenz genannt.
Abbildung 11: Addition von Wellen, Phasenunterschied 180±
A. Ruh
1.3.6
Wellen oder Teilchen?
13
Interferenz
Eine Wellenquelle, die Wellen isotrop14 abstrahlt, erzeugt Kugelwellen, d.h. die Orte gleicher Phase
sind Kugel‡ächen. Abbildung 12 zeigt schematisch gewissermassen eine Momentaufnahme von
Kugelwellen. Die weissen Kreise15 können als Wellenberge und die schwarzen Kreise als Wellentäler
interpretiert werden.
Abbildung 12: Kugelwelle
Wenn die Wellen von zwei Wellenzentren sich überlagern, entsteht ein etwas kompliziertes Bild
(Abbildung 13).
Abbildung 13: Interferenz von 2 Kugelwellen
14
Die griechische Vorsilbe „iso“ bedeutet „gleich“, und das griechische Wort „tropos“ bedeutet „Drehung“,
„Wendung“, „Richtung“. Isotrop wird ein Körper oder ein System genannt, wenn er bzw. es nach allen Richtungen
hin gleiche Eigenschaften aufweist.
15
Die Zeichnung ist natürlich nur zweidimensional. Die Darstellung kann als Schnitt durch die Wellen‡ächen
aufgefasst werden. Jede Kugel‡äche ergibt in der Schnittebene einen Kreis.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
14
Das Muster wird deutlicher, wenn die beiden Wellenzentren näher zusammengerückt werden (Abbildung 14).
Abbildung 14: Interferenz von 2 Kugelwellen für kleineren Abstand der Wellenzentren
Es wird erkennbar, dass es Stellen gibt, an denen die Wellenberge und Wellentäler beider Quellen
zusammenfallen, nämlich dort, wo in radialer Richtung gesehen, helle und dunkle Streifen aufeinanderfolgen. Andererseits gibt es Stellen, an denen stets ein Wellenberg der einen Quelle auf
ein Wellental der anderen Quelle tri¤t und umgekehrt. Das sind die strahlenförmig nach aussen
laufenden dunklen Streifen. An diesen Stellen löschen sich die beiden Wellen durch Interferenz
gegenseitig aus.
Ein solches Interferenzmuster kann nicht etwa dadurch erzeugt werden, dass zwei Glühlampen
nebeneinander gesetzt werden. Dafür gibt es mehrere Gründe. Die wichtigsten sind:
1. Der Abstand der beiden Glühwendel ist im Vergleich zur Wellenlänge des Lichtes so gross, dass das Interferenzmuster zu fein wird, d.h. die Maxima und Minima liegen sehr nahe nebeneinander.
2. Die Glühwendel haben im Vergleich zur Wellenlänge des Lichtes eine grosse Ausdehnung und können daher
nicht als punktförmige Wellenzentren betrachtet werden. Jeder Glühwendel wirkt wie eine grosse Zahl von
Wellenzentren, wodurch sich gewissermassen viele Interferenmuster überlagern und die Maxima und Minima
verschwinden.
3. Die Wellen, die von je zwei Atomen der beiden Glühwendel emittiert werden, haben zufällige Phasenverschiebungen, d.h. das Interferenzmuster, das von den Wellen zweier Atome erzeugt wird, sieht für jedes Paar von
Atomen wieder anders aus. Somit überlagern sich wieder viele Interferenzmuster und die Maxima und Minima
verschwinden.
Wenn ein sichtbares Interferenzmuster erzeugt werden soll, müssen o¤enbar folgende Bedingungen
erfüllt werden:
1. Die beiden Quellen müssen möglichst nahe nebeneinander liegen.
2. Die beiden Quellen müssen möglichst punktförmig (oder linienförmig) sein.
3. Die beiden Quellen müssen Wellen mit einer festen Phasenlage abstrahlen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
15
Dies kann folgendermassen erreicht werden. Mit einer Lichtquelle, die Licht von praktisch nur einer
Wellenlänge abstrahlt (z.B. eine Natriumdamp‡ampe oder noch besser ein Laser) wird eine sog.
Blende (d.h. eine undurchsichtige Platte) beleuchtet, die ein kleines Loch (oder einen schmalen
Spalt) aufweist (Abbildung 15).
Abbildung 15: Blende mit Loch
Das beleuchtete Loch wirkt wie ein punktförmiges Wellenzentrum, d.h. auf der andern Seite der
Blende gehen vom beleuchteten Loch Kugelwellen aus (Abbildung 16).
Abbildung 16: Das Loch wirkt wie ein Wellenzentrum.
Indem die Lichtquelle in relativ grosser Entfernung von der Blende aufgestellt wird, oder mit Hilfe
einer Linse kann erreicht werden, dass die Wellen, die auf die Blende tre¤en, praktisch eben sind,
d.h. die Wellen‡ächen sind Ebenen (oder Kugel‡ächen mit sehr grossem Radius).
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
16
Wird nun die Blende mit zwei sehr nahe nebeneinander liegenden Löchern (oder Spalten) versehen,
so wirken die beiden Ö¤nungen wie zwei Wellenzentren, die Wellen mit gleicher Wellenlänge und
gleicher Phase emittieren Abbildung 17).
Abbildung 17: Interferenz der von 2 Löchern ausgehenden Kugelwellen
Dadurch entsteht auf einem Schirm, auf dem die Wellen auftre¤en, ein deutlich sichtbares Interfrenzmuster. Abbildung 18 zeigt eine typische Intensitätsverteilung, die sich bei der Interferenz an
einem Doppelspalt ergibt.
Abbildung 18: Intensitätsverteilung
Die Beein‡ussung der Wellenausbreitung durch Hindernisse wird als Beugung bezeichnet.
Wenn eine Blende eine grössere Zahl von aequidistant angeordneten Ö¤nungen aufweist, wird von
einem Gitter gesprochen. Auch eine räumlich periodische Anordnung von Hindernissen wird als
Gitter bezeichnet. Bei der Beugung an Gittern treten stets Interferenzen auf.
A. Ruh
2
Wellen oder Teilchen?
17
Das Versagen der klassischen Physik
Die gegen Ende des 19. Jahrhunderts bekannte Physik konnte alle Naturerscheinungen befriedigend
erklären – mit ein paar ärgerlichen Ausnahmen, die von Prof. Jolly als „unbedeutende Lücken“
bezeichnet wurden.
Es waren vor allem drei Probleme, die sich hartnäckig weigerten, sich im Rahmen der klassischen
Physik verstehen zu lassen.
² Spezi…sche Wärme fester Körper
² Strahlungsgesetze
² Photoe¤ekt
Es zeigte sich, dass gewisse Grundgesetze der Physik radikal geändert werden mussten, damit diese
Probleme verstanden werden konnten.
2.1
Spezi…sche Wärme fester Körper
Aus der klassischen Statistischen Mechanik ergibt sich für die spezi…sche Wärme fester Körper ein
konstanter Wert, der temperaturunabhängig ist. Die spezi…sche Wärme (oder spezi…sche Wärmekapazität) eines Sto¤es ist die Wärme, die einem Kilogramm des Sto¤es zugeführt werden muss,
damit sich seine Temperatur um ein Grad (Celsius) erhöht. Es zeigte sich aber, dass in Wirklichkeit
die spezi…sche Wärme fester Körper temperaturabhängig ist. Sie nimmt mit abnehmender Temperatur ab und geht gegen Null, wenn die Temperatur gegen den absoluten Nullpunkt (¡273:15± C)
geht (Abbildung 19). Dies konnte erst im Rahmen der Quantenmechanik verstanden werden.
Abbildung 19: Spezi…sche Wärme fester Körper
2.2
Strahlungsgesetze
Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt, dass eine beschleunigt bewegte Ladung elektromagnetische Wellen abstrahlt. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts war zwar die Atomstruktur noch unbe-
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
18
kannt, aber es war bereits bekannt, dass die Atome elektrische Ladungen enthalten. Als einfaches
Modell der Lichtemission diente daher die Vorstellung, dass in den Atomen elektrische Ladungen
Schwingungen ausführen und dadurch elektromagnetische Wellen abstrahlen. Aus den Rechnungen
ergab sich, dass die Strahlungsintensität mit zunehmender Frequenz (oder mit abnehmender Wellenlänge) unbegrenzt zunehmen sollte. Daraus folgte, dass jeder Körper blau oder violett leuchten
müsste und dass er noch mehr Intensität in Form von ultraviolettem Licht und Röntgenstrahlen
emittieren müsste. Die gesamte abgestrahlte Leistung wäre unendlich gross. Abbildung 20 zeigt den
theoretischen Intensitätsverlauf und die tatsächlich gemessene Strahlungsintensität der sog. Temperaturstrahlung als Funktion der Wellenlänge. Der dem Bereich des sichtbaren Lichts entsprechende
Teil der Intensitätsverteilung ist schwarz markiert.
Abbildung 20: Temperaturstrahlung
Die unerklärliche Diskrepanz zwischen den theoretischen und empirischen Werten wurde als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet.
Der am Anfang erwähnte Student Max, der trotz der Warnung von Prof. Jolly Physik studiert hatte,
war inzwischen selbst Professor für Physik in Berlin. Sein Name war Max Planck (1858–1947). Er
versuchte das Rätsel der Temperaturstrahlung zu lösen, und ausgerechnet er, der eine Wissenschaft
studiert hatte, „in der schon alles erforscht war“ löste damit eine Revolution der Physik aus. Er
nahm an, dass die Atome nur Energiezustände annehmen können, die ganzzahlige Vielfache von
hº sind, wobei º die Frequenz der schwingenden Ladung bedeutet. Die dadurch eingeführte neue
Konstante h wurde später Plancksche Konstante oder Plancksches Wirkungsquantum genannt. Ihr
Wert ist:
h = 0:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 6626 Js :
Mit Hilfe von Zehnerpotenzen kann das viel übersichtlicher und kompakter geschrieben werden:
h = 6:626 ¢ 10¡34 Js :
Js bedeutet Joule mal Sekunde, und Joule ist die Einheit für die Energie.
Da in sehr vielen Gleichungen der Quantentheorie der Ausdruck h=(2¼) auftritt, wurde die Abkürzung ~ = h=(2 ¼) eingeführt (sprich: „h quer“).
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
19
Planck fand sein Postulat diskreter Energiezustände unbefriedigend, da es im Rahmen der klassischen Physik unverständlich blieb, aber er sah keine andere Möglichkeit, den Widerspruch zwischen
den experimentellen und den bisherigen theoretischen Werten aus der Welt zu scha¤en. Seine kühne Annahme wurde jedoch dadurch gerechtfertigt, dass er damit ein neues Strahlungsgesetz, das
Plancksche Strahlungsgesetz, erhielt, das nun ausgezeichnet mit den gemessenen Werten übereinstimmte.
2.3
Photoe¤ekt
In einer Versuchsanordnung be…ndet sich eine kleine Glühlampe in einem bestimmten Abstand von
einer Photozelle. Die Photozelle ist über einen Verstärker an ein Messinstrument angeschlossen,
das den in der Photozelle ‡iessenden Strom anzeigt (Abbildung 21).
Abbildung 21: Lampe und Photozelle
Die Zeit, die nach dem Einschalten der Lampe verstreichen muss, bis bei einer kontiniuerlichen
Emission und Absorption des Lichtes ein Atom der Photozellenkathode genügend Energie gesammelt hat, dass ein Elektron emittiert werden kann, lässt sich leicht berechnen. Je nach Versuchsbedingungen ergeben sich Werte in der Grössenordnung von 100 Sekunden (Abbildung 22).
Abbildung 22: Durch die beleuchtete Photozelle ‡iesst ein Photostrom.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
20
Experimentell wird jedoch keine messbare Verzögerung gefunden. Unmittelbar nach dem Einschalten wird ein Photostrom gemessen. Um diese Tatsache zu erklären, kam A. Einstein (1879–1955)
1905 im wesentlichen zu folgender Schlussfolgerung:
„Monochromatische Strahlung von geringer Dichte verhält sich so, wie wenn sie aus
voneinander unabhängigen Energiepaketen von der Grösse hº bestünde.“
Diese Energiepakete werden Lichtquanten16 oder Photonen17 genannt.
Die Annahme, dass Licht aus Energiequanten der Grösse hº besteht, erklärt auch das Phänomen,
dass nahezu beliebig intensives rotes Licht18 keinen Photostrom produziert, während auch sehr
schwaches blaues Licht Elektronen aus der Photokathode auslöst.
Rotes Licht hat eine relativ grosse Wellenlänge (s. Tabelle 1) und somit eine relativ niedrige Frequenz º. Die Energie hº der Photonen des roten Lichts ist daher zu klein, um Elektronen aus den
Atomen der Photokathode freizusetzen. Blaues, violettes oder gar ultraviolettes Licht hat dagegen
eine wesentlich kleinere Wellenlänge, also eine höhere Frequenz, und seine Photonen haben deshalb
genügend Energie, um Elektronen aus der Photokathode freizusetzen.
Es drängt sich an dieser Stelle auch die Frage auf, was beobachtet würde, wenn die Emission und
Absorption des Lichtes nicht quantisiert wären.
Wenn die Versuchsanordnung so ist, dass die Atome der Photokathode nach 100 Sekunden genügend
Energie aufgenommen haben, um ein Elektron zu emittieren, was passiert dann, falls die Lampe
nach 99 Sekunden abgeschaltet wird? Bleibt die bereits aufgenommene Energie gespeichert?
Wenn nein, wohin geht die Energie?
Wenn ja, müsste bereits 1 Sekunde nach dem Wiedereinschalten der Lampe ein Photostrom ‡iessen.
Wie lange bleibt die Energie gespeichert? 1 Minute, 1 Stunde, 1 Tag, 1 Monat oder 1 Jahr? Wenn
ein Physiker19 eine Photozelle aus dem Geräteschrank nimmt, hängt ihr Verhalten davon ab, was
der Kollege am Tag zuvor damit gemacht hat? Das Verhalten der Atome und damit das Verhalten
der Materie wäre von ihrer Vorgeschichte abhängig. Die Physik einer solchen Welt wäre wohl sehr
eigenartig, und es stellt sich sogar die Frage, ob in einer solchen Welt überhaupt Leben möglich
wäre.
16
Das lateinische Wort „quantum“ bedeutet u.a. „soviel“.
Die griechischen Wörter „phos“ und „photos“ bedeuten „Licht“.
18
Natürlich darf die Lichtintensität nicht zu gross sein, da sonst die Photokathode so stark erhitzt wird, dass sie
schliesslich durch Thermoemission Elektronen emittiert.
19
Selbstverständlich sind hier und im folgenden immer sowohl männliche als auch weibliche Personen gemeint.
Sprachliche Schwerfälligkeiten wie „ein Physiker oder eine Physikerin“ und sprachliche Ungeheuerlichkeiten wie
„PhysikerIn“ werden hier vermieden.
17
A. Ruh
3
Wellen oder Teilchen?
21
Was ist Licht?
Einerseits lassen sich mit Licht Interferenzexperimente durchführen, was beweist, dass Licht Welleneigenschaften hat.
Andererseits wird Licht in Form von „Paketen“ emittiert und absorbiert, was heisst, dass Licht
sich wie ein Strom von Teilchen verhält.
Besteht Licht nun aus Wellen oder Teilchen?
Die Antwort ist: Weder noch!
Man darf nicht erwarten, dass die Begri¤e, die sich in unserer alltäglichen Umwelt entwickelt haben,
auch im Mikrokosmos angewendet werden können.
Im Makrokosmos, in der Welt der alltäglichen Dinge, gibt es Wasserwellen, Kieselsteine und Kugellagerkugeln. Im Mikrokosmos, in der Welt der Atome und Teilchen, gibt es Quanten. Quanten
verhalten sich nicht wie Wasserwellen, nicht wie Kieselsteine und nicht wie Kugellagerkugeln. Es
gibt in der Welt der alltäglichen Dinge eben nichts, das sich verhält wie Quanten. Deshalb beschreiben die Modellbilder „Wellen“ und „Teilchen“ immer nur einen Teilaspekt der Realität der
Quanten. Quanten sind weder Wellen noch Teilchen. Sie verhalten sich lediglich unter bestimmten
Bedingungen annähernd wie Wellen und unter andern Bedingungen annähernd wie Teilchen.
Wenn nun nochmals die Frage gestellt wird „Was ist denn Licht nun eigentlich?“, dann kann
die Antwort gegeben werden: „Licht ist das, was der Formalismus der Quantenelektrodynamik
beschreibt.“
Der Formalismus der Quantenelektrodynamik ist sehr mathematisch und abstrakt, also weitgehend unanschaulich, aber er beschreibt alle Vorgänge bei der Lichtemission, Lichtausbreitung und
Lichtabsorption vollständig und korrekt. Die Quantenelektrodynamik ist die beste und genaueste
Theorie, die es zur Zeit gibt. In der Quantenelektrodynamik gibt es Grössen, für die die theoretischen und experimentellen Werte auf zehn Dezimalstellen übereinstimmen.
In vielen populären Darstellungen der Quantenmechanik und leider sogar in manchen Lehrbüchern
ist die Rede von der „Dualität“. Es wird etwa gesagt, Licht habe sowohl Wellen- als auch TeilchenEigenschaften. In Wirklichkeit gibt es keine Dualität, jedenfalls nicht in diesem Sinn. Es gibt
nicht zwei verschiedene einander widersprechende Beschreibungen des Lichtes, es gibt nur die eine
Beschreibung durch die Quantenelektrodynamik. Erst wenn versucht wird, das Verhalten von
Licht durch anschauliche Bilder („Wellen“, „Teilchen“) zu beschreiben, kommt es zur Dualität, zu
Beschreibungen, die einander zu widersprechen scheinen.
Häu…g wird auch der Begri¤ „Photon“ missverständlich umschrieben. Photonen sind keine punktförmigen Teilchen, die sich durch den Raum fortbewegen. Diese Vorstellung führt zu zahllosen
Schwierigkeiten und Widersprüchen.
Photonen sind die Quanten, um die die Energie des elektromagnetischen Wellenfeldes vergrössert
oder verkleinert werden kann.
Vielleicht kann das durch ein Gleichnis etwas veranschaulicht werden.
Die kleinste Währungseinheit in der Schweiz ist das Fünfrappenstück. Es können also nur Beträge
ein- oder ausgezahlt werden, die ganzzahlige Vielfache von Fr. 0.05 sind. Wenn eine Person einer
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
22
anderen den Betrag von Fr. 99.95 überweisen will, so kann sie im Prinzip am Postschalter 1999 Fünfrappenstücke einzahlen – auf die Gefahr hin, sich die Sympathie der Schalterbeamtin endgültig zu
verscherzen. Der Empfänger oder die Empfängerin könnte sich – wiederum guter Wille jener Schalterbeamtin (und genügender Vorrat von Münzen) vorausgesetzt – 1999 Fünfrappenstücke auszahlen
lassen. Bei diesem Überweisungsvorgang werden aber ganz bestimmt nicht 1999 Fünfrappenstücke
von der einen Poststelle zu der anderen transportiert. Es werden zwar Fünfrappenstücke (Photonen) einbezahlt (absorbiert) und Fünfrappenstücke (Photonen) ausbezahlt (emittiert), aber es
wandern keine Fünfrappenstücke (Photonen als punktförmige Teilchen) von der einen Poststelle
(Atom) zu der anderen Poststelle (Atom).
A. Ruh
4
Wellen oder Teilchen?
23
Atommodelle
4.1
Das Thomsonsche Atommodell
Als J.J. Thomson 1897 bei Experimenten mit Gasentladungen entdeckte, dass in den Atomen
kleine negativ geladene Teilchen, die später Elektronen genannt wurden, enthalten sind, kam er zur
Vorstellung, dass ein Atom aus einer positiv geladenen „Wolke“ besteht, in der sich die negativ
geladenen Elektronen umherbewegen (Thomsonsches Atommodell).
Die Mitarbeiter von E. Rutherford (1871–1937), H. Geiger (1882–1945) und E. Marsden
(1889–1970), führten 1909 Streuexperimente mit Alphateilchen durch. Sie beschossen eine dünne
Goldfolie mit Alphateilchen und beobachteten unter verschiedenen Winkeln diejenigen Alphateilchen, die durch Kollision mit den Goldatomen zur Seite abgelenkt wurden. Rutherford schlug
vor, sie sollten auch einmal bei Streuwinkeln von mehr als 90± beobachten, d.h. Alphateilchen, die
nach „rückwärts“ gestreut würden. Ganz wider Erwarten wurden tatsächlich auch bei so grossen
Streuwinkeln Alphateilchen beobachtet. Rutherford beschrieb sein Erstaunen folgendermassen:
„It was almost as incredible as if you …red a 15-inch shell at a piece of tissue paper and
it came back and hit you.“ 20
4.2
Das Rutherfordsche Atommodell
Rutherford konnte diesen E¤ekt nur verstehen, indem er annahm, dass nahezu die ganze Masse des
Atoms in einem kleinen positiv geladenen Kern konzentriert war. Im Rutherfordschen Atommodell
besteht also das Atom aus einem kleinen positiv geladenen Kern21 , in dem praktisch die ganze
Masse des Atoms konzentriert ist, und den Elektronen, die den Kern umkreisen.
Abbildung 23 zeigt eine übliche Darstellung dieses Atommodells. Dazu sind einige Bemerkungen
angebracht.
1. Das Bild ist überhaupt nicht maßstäblich. In einer maßstäblichen Darstellung eines Wassersto¤atoms, in der der Atomkern einen Durchmesser von 2.5 cm hätte, würde das Atom einen
Durchmesser von 945 m aufweisen.
2. Der Kern und die Elektronen sind keine Kugeln mit scharf de…nierter Ober‡äche. Es sind
Objekte, die – wie schon erwähnt – sich eben nicht verhalten wie kleine Kugellagerkugeln.
3. Selbstverständlich sind der Kern und die Elektronen auch nicht farbig. Die Farben wurden
entsprechend den Konventionen der Elektrotechnik gewählt (positiver Pol rot und negativer
Pol blau).
4. Sowohl der Kern als auch die Elektronen wären im normalen Sinn gar nicht sichtbar. Es
gibt zwar eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon des sichtbaren Lichts an einem
Elektron gestreut wird, aber diese aus ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkte Lichtwelle
liefert kein „Bild“ des Elektrons.
20
Es war fast so unglaublich, wie wenn man eine 15-Zoll-Granate auf ein Stück Seidenpapier geschossen hätte und
sie wäre zurückgekommen und hätte einen getro¤en.
21
Erst mehr als zwanzig Jahre später wurde dann entdeckt, dass der Kern aus (positiv geladenen) Protonen und
(elektrisch neutralen) Neutronen besteht.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
24
Abbildung 23: Rutherfordsches Atommodell
So schön das einem Planetensystem gleichende Rutherfordsche Atommodell auf den ersten Blick
auch aussehen mag, seine Eigenschaften stimmen mit denen der wirklichen Atome überhaupt nicht
überein (Tabelle 2).
Modell
Bahnen mit beliebigen
Radien möglich
Elektronen auf Kreisbahnen
strahlen elektromagnetische
Wellen ab
Lebensdauer des Atoms:
0.01 Mikrosekunden
Variable Frequenz
Wirklichkeit
Chemische Elemente haben
konstante charakteristische
Eigenschaften
Atome sind stabil
Spektrallinien
Tabelle 2: Rutherfordsches Atommodell und Wirklichkeit
Wie die Planeten in einem Planetensystem, könnten sich die Elektronen auf Kreis- oder Ellipsenbahnen mit beliebigen Radien bewegen. Damit wäre es aber unverständlich, warum die chemischen
Elemente charakteristische und unveränderliche Eigenschaften haben, da diese Eigenschaften doch
auf die Struktur ihrer Atome zurückzuführen sind.
Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt, dass eine beschleunigt bewegte elektrische Ladung elektromagnetische Wellen abstrahlt. Elektronen, die auf Kreis- oder Ellipsenbahnen um einen Atomkern umlaufen, bewegen sich beschleunigt und müssten demzufolge ständig elektromagnetische Wellen abstrahlen. Sie würden dadurch Energie verlieren und deshalb auf einer Spiralbahn schliesslich
in den Kern stürzen. Die Atome hätten eine Lebensdauer in der Grössenordnung von 0.01 Mikrosekunden. In Wirklichkeit sind die Atome stabil22 .
22
Es gibt Atome, die radioaktiv sind. Dabei handelt es sich aber um eine Instabilität des Atomkerns, die nichts
zu tun hat mit der hier diskutierten Instabilität der Elektronenbahnen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
25
Tatsächlich kommt es ja vor, dass Atome Energie in Form von elektromagnetischen Wellen abstrahlen. Dabei werden aber Wellen mit ganz bestimmten Frequenzen emittiert, d.h. einzelne Atome
emittieren das Licht in Form von scharfen Spektrallinien. Nach dem Rutherfordschen Atommodell
würde aber die Frequenz der Strahlung während der Emission ständig variieren.
4.3
Das Bohrsche Atommodell
Um diese Widersprüche zu beseitigen, stellte N. Bohr (1885–1962) 1911 die folgenden Postulate
auf:
1. Es gibt bestimmte erlaubte Bahnen, auf denen ein Elektron umlaufen kann, ohne elektromagnetische Wellen abzustrahlen. Die erlaubten Bahnen erfüllen die Bedingung:
mvr = n
h
:
2¼
2. Wenn ein Elektron von einer Bahn mit höherer Energie auf eine Bahn mit niedrigerer Energie
übergeht, wird die Energiedi¤erenz als elektromagnetische Welle abgestrahlt. Es gilt die
Beziehung:
¢E = h º :
m und v sind die Masse und die Geschwindigkeit des Elektrons, das auf der Kreisbahn mit Radius
r umläuft. n ist eine positive ganze Zahl (n = 1, 2, 3, : : :). ¢E ist die Energiedi¤erenz, und º ist
die Frequenz der abgestrahlten elektromagnetischen Welle.
Die Bohrschen Postulate ergeben zwar eine gute Übereinstimmung der theoretischen Werte (der
Wellenlängen der Spektrallinien des Wassersto¤s) mit den gemessenen Werten, aber sie bleiben im
Rahmen der klassischen Physik völlig unverständlich.
Also ist auch das Bohrsche Atommodell noch kein befriedigendes Modell.
Der Übergang von einem erlaubten Zustand in einen anderen wurde als Quantensprung bezeichnet.
Dieses Wort wurde in die Alltagssprache übernommen, wobei es eigentlich stets falsch verwendet wird, indem damit ein grosser Fortschritt gemeint wird. In Wirklichkeit ist in der Physik der
„Quantensprung“ gemessen in der Energieeinheit des Alltags (Joule) natürlich immer eine sehr kleine Änderung. Sogar verglichen mit der Energieeinheit der Atom- und Teilchenphysik (Elektronvolt)
kann ein Quantensprung unter Umständen eine sehr kleine Grösse sein, da die Energiedi¤erenzen
¢E zwischen den Bahnen mit höherer Energie sehr klein sind.
A. Ruh
5
5.1
Wellen oder Teilchen?
26
Materiewellen
De Broglies Wellenhypothese
Da Licht, das sich in vielen Experimenten als ein Wellenphänomen manifestiert, in einem gewissen
Sinn sich auch wie ein Teilchenstrom verhält, stellte L. de Broglie (1892–1987) 1924 die kühne
Hypothese auf, Materieteilchen könnten sich auch wie Wellen verhalten. Für Photonen gilt die
Gleichung
º=
E
:
h
Aus der Theorie der Elektrodynamik folgt die Beziehung
E = pc;
wobei E die Energie und p den Impuls der elektromagnetischen Welle bedeuten. Zusammen mit
¸=
c
º
ergibt sich schliesslich:
¸=
h
:
p
De Broglie nahm an, dass diese Beziehung nicht nur für Photonen, sondern auch für Elektronen
(und generell für Materieteilchen) gilt.
Bei makroskopischen Körpern wird diese Welleneigenschaft nicht wahrgenommen. Beispielsweise ist für ein Revolvergeschoss mit einer Masse von 10 g und einer Geschwindigkeit von 400 ms¡1 die Wellenlänge von der Grössenordnung
10¡34 m, also 1019 mal kleiner als der Durchmesser eines Wassersto¤atomkerns. Dagegen ergibt sich für ein Elektron, das eine Beschleunigungsspannung von 300 Volt durchlaufen hat, eine Wellenlänge von 0; 7 ¢ 10¡10 m. Diese
Wellenlänge ist gerade in der gleichen Grössenordnung wie die Atomabstände in einem Kristallgitter.
Aus der Hypothese, dass Elektronen Welleneigenschaften haben, ergibt sich zwanglos das Bohrsche Postulat der erlaubten Elektronenbahnen. Damit eine „Elektronenbahn“ stabil ist, muss ihr
Umfang ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein:
2¼ r = n ¢ ¸:
Daraus folgt
r=n
¸
2¼
und mit
¸=
h
h
=
p
mv
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
27
ergibt sich schliesslich
mvr = n
h
;
2¼
also gerade das 1. Bohrsche Postulat.
5.2
Beugung von Elektronenstrahlen
Auf Grund der Hypothese von de Broglie vermutete W.M. Elsasser (1904–1991) 1925, dass
Elektronenwellen ähnlich wie Röntgenstrahlen an Kristallgittern gebeugt werden. M. von Laue
(1879–1960) hatte bereits 1912 gezeigt, dass Röntgenstrahlen an einem Kristall gebeugt werden,
womit einerseits die Wellennatur der Röntgenstrahlen und andererseits die Gitterstruktur der Kristalle bewiesen wurde. Die minimale Wellenlänge der Röntgenstrahlen folgt aus der Beziehung
hº = eU ;
wobei U die Beschleunigungsspannung der Röntgenröhre bedeutet. Daraus ergibt sich
¸=
c
hc
=
:
º
eU
Für U = 20 kV wird
¸ = 0; 6 ¢ 10¡10 m :
Die Wellenlängen der Elektronenstrahlen liegen also tatsächlich in der gleichen Grössenordnung wie
die der Röntgenstrahlen.
C.J. Davisson (1881–1958) und L.H. Germer (1896–1971) sowie G.P. Thomson (1892–1975)
wiesen 1927 die Beugung von Elektronenstrahlen nach. In den folgenden Jahren gelangen auch
Beugungsversuche mit Strahlen von Heliumatomen, Wassersto¤molekülen und Neutronen.
Da die Wellenlänge von Elektronenwellen mindestens 103 mal kleiner ist als diejenige von Lichtwellen, scheint es auf den ersten Blick nur möglich zu sein, Beugung von Elektronenwellen an Kristallgittern zu beobachten, nicht aber an künstlich hergestellten Feinspalten. Während Jahrzehnten
wurden Doppelspalt-Experimente mit Elektronen als „Gedankenexperimente“ 23 beschrieben.
1961 gelang es jedoch C. Jönson mit Hilfe einer sehr ra¢nierten Anordnung, Beugung von Elektronenwellen an künstlich hergestellten feinen Spalten zu erzeugen.
Bei den Gedankenexperimenten der Beugung von Elektronenwellen an einem Doppelspalt spielte
die spezielle Situation eine grosse Rolle, bei der die Elektronenquelle so schwach eingestellt ist, dass
zu einem gegebenen Zeitpunkt sich höchstens ein einziges Elektron in der Apparatur be…ndet. Die
technische Realisation dieses Experiments gelang P.C. Merli et al.24 1974 und A. Tonomura
et al. 1989.
23
Als „Gedankenexperiment“ wird ein Experiment bezeichnet, das zwar technisch nicht durchführbar ist, aber
das grundsätzlich möglich ist, weil es keinem physikalischen Gesetz widerspricht.
24
Die Abkürzung „et al.“ hat mehrere Bedeutungen. In diesem Zusammenhang steht sie für „et alii“, was
„und andere“ bedeutet. Die Abkürzung wird vor allem bei bibliographischen Angaben verwendet, wenn nicht alle
beteiligten Autoren genannt werden.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
28
Dieses Experiment wurde im Jahr 2002 in einer Umfrage der Zeitschrift „Physics World“ als „Das
schönste Experiment aller Zeiten“ gewählt.
Ein Strahl von Licht (oder Teilchen) fällt auf eine Blende mit zwei eng benachbarten parallelen
Spalten. Hinter der Blende ist in einiger Entfernung die Beobachtungsebene angebracht, die aus
einer Fotoplatte oder aus einem Fluoreszenzschirm besteht. Die Anordnung ist in Abbildung 24
schematisch dargestellt.
-
Doppelspalt
Beobachtungsebene
Abbildung 24: Doppelspaltexperiment
Für einen parallelen Strahl idealer klassischer Teilchen ergäbe sich in der Beobachtungsebene die
in Abbildung 25 gezeigte Intensitätsverteilung25 .
Abbildung 25: Doppelspalt: Ideale klassische Teilchen
25
In den Abbildungen 25 bis 30 ist jeweils in der oberen Bildhälfte die Schwärzung der Fotoplatte (oder die
Leuchtintensität des Fluoreszenzschirms) dargestellt und in der unteren Bildhälfte die Intensität als Funktion des
Ortes aufgetragen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
29
In Wirklichkeit liefern sowohl ein Lichtstrahl als auch ein Strahl materieller Teilchen das in Abbildung 26 wiedergegebene Interferenzmuster, das sich nur durch die Beugung einer Welle verstehen
lässt.
Abbildung 26: Beugung am Doppelspalt
Ein Doppelspaltexperiment kann auch mit einer so stark reduzierten Strahlintensität durchgeführt
werden, dass während der Laufzeit der Teilchen sich jeweils nur ein einziges Photon oder Elektron
in der Apparatur aufhält. Dabei zeigt sich, dass ein einzelnes Photon oder Elektron auf dem
Beobachtungsschirm nicht etwa ein entsprechend schwaches Interferenzmuster, sondern immer nur
einen scharf lokalisierten Bildpunkt erzeugt. Die Verteilung dieser Punkte ergibt jedoch wieder
genau das gleiche Interferenzmuster wie beim Experiment mit grosser Strahlintensität (s. Abbildung
27).
Abbildung 27: Beugung einzelner Teilchen am Doppelspalt
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
30
Die Interferenzerscheinungen kommen also nicht etwa durch die Wechselwirkung einer grossen Zahl
von Photonen oder Elektronen untereinander zustande, sondern jedes einzelne Photon oder Elektron „interferiert mit sich selbst“. Das durch die Wellenausbreitung bestimmte Interferenzmuster
gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auftre¤en des Teilchens an einem bestimmten Ort auf
dem Schirm.
Wenn ein einzelnes Photon oder Elektron beim Auftre¤en auf dem Schirm stets scharf lokalisiert
ist, kann es doch wohl nicht durch beide Spaltö¤nungen gegangen sein. Wenn also das einzelne
Teilchen entweder durch die linke oder durch die rechte Ö¤nung gegangen ist, sollte das Muster sich
nicht ändern, wenn eine der beiden Ö¤nungen geschlossen wird. Lediglich die Intensität sollte halb
so gross werden. Tatsächlich verschwindet jedoch das Interferenzmuster, sobald eine der beiden
Spaltö¤nungen geschlossen wird (Abbildungen 28 und 29).
Abbildung 28: Rechter Spalt geschlossen
Abbildung 29: Linker Spalt geschlossen
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
31
Was geschieht, wenn zwar nicht eine Spaltö¤nung abgedeckt wird, aber versucht wird, festzustellen,
durch welche Ö¤nung das Teilchen gelaufen ist?
Es stellt sich heraus, dass durch jede Art von Versuch, die Position des Teilchens beim Durchgang
durch die beiden Spaltö¤nungen zu bestimmen, das Interferenzmuster zerstört wird. Es entsteht
eine Verteilung, die gleich aussieht wie diejenige, die erhalten wird, wenn zuerst während der ersten
Hälfte des Versuchs die linke Spaltö¤nung und dann während der zweiten Hälfte des Versuchs
die rechte Spaltö¤nung verschlossen wird. Die beiden Verteilungen, die sich für je eine Ö¤nung
ergeben, überlagern sich ohne Interferenz und es entsteht eine Verteilung, wie sie in Abbildung 30
wiedergegeben ist.
Abbildung 30: Messung der Teilchen in einer Spaltö¤nung
Dies wird als Komplementarität bezeichnet: Entweder wird der Versuch so gestaltet, dass eine
Welle unbeein‡usst durch beide Spaltö¤nungen laufen kann. Dann entsteht auf dem Schirm wie
zu erwarten ein Interferenzmuster. Oder der Versuch wird so modi…ziert, dass festgestellt werden
kann, durch welche Spaltö¤nung das Teilchen gelaufen ist. Dann entsteht eine Intensitätverteilung, die, wie von klassischen Teilchen zu erwarten ist, keinerlei Interferenzen aufweist. Mit andern
Worten: Wird das Experiment so angelegt, dass Welleneigenschaften nachgewiesen werden können,
verschwindet der Teilchencharakter. Wird das Experiment dagegen so gemacht, dass Teilcheneigenschaften gemessen werden können, verschwindet der Wellencharakter.
A. Ruh
6
Wellen oder Teilchen?
32
Die Heisenbergsche Unschärferelation
Ein Teilchen der Masse m, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, hat den Impuls p = m v.
Nach der Beziehung von de Broglie entspricht diesem Teilchen eine Welle mit der Wellenlänge
¸=
h
:
p
Eine Sinuswelle mit einer wohlbestimmten Wellenlänge ¸ ist „unendlich lang“, d.h. sie hat weder
einen Anfang noch ein Ende. Das Teilchen, das dieser Welle entspricht, hat daher keinen bestimmten Ort.
Jede reale Welle hat jedoch einen Anfang und ein Ende; es wird von einem „Wellenpaket“ gesprochen. Mathematisch lässt sich ein Wellenpaket dadurch erzeugen, dass zum Beispiel eine grosse
Anzahl Sinuswellen mit unterschiedlichen Wellenlängen überlagert wird. Je mehr Wellen mit verschiedenen Wellenlängen überlagert werden, umso schmaler und konzentrierter wird das Wellenpaket und umso genauer ist der Ort des Teilchens bestimmt. Da also ein Wellenpaket aus einer
Überlagerung von Wellen mit verschiedenen Wellenlängen besteht, hat es auf Grund der Beziehung
p=
h
¸
keinen scharf de…nierten Impuls.
W. Heisenberg (1901–1976) fand 1927 einen Zusammenhang zwischen der Unbestimmtheit ¢p
des Impulses und der Unbestimmtheit ¢x des Ortes:
¢p ¢ ¢x ¸
h
:
4¼
Diese Beziehung wird als Heisenbergsche Unschärferelation oder Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation bezeichnet.
Mit p ist der Impuls26 in Richtung der x-Achse gemeint. Je genauer der Ort des Teilchens in der
x-Richtung bestimmt ist, umso ungenauer ist sein Impuls in der x-Richtung bestimmt. Für die
Bestimmtheit des Impulses senkrecht zur x-Richtung gibt es jedoch keine Einschränkung durch
die Ortsbestimmung in der x-Richtung. Es gibt jedoch entsprechende Beziehungen für die y- und
z-Richtung.
Häu…g wird die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation missverstanden, indem gemeint wird, sie
mache eine nur Aussage über messtechnische Beschränkungen: Je genauer der Ort x gemessen
werde, umso ungenauer könne gleichzeitig der Impuls p in der Richtung x gemessen werden. Es ist
jedoch nicht nur eine Beschränkung der Messgenauigkeit, sondern eine Eigenschaft der Wellenpakete.
Ein Wellenpaket der „Breite“ ¢x hat eine Impulsverteilung mit einer „Breite“ ¢p, und für diese
beiden Breiten27 gilt die Unschärfebeziehung.
26
27
Genauer: die Impulskomponente.
Der vage Begri¤ „Breite“ lässt sich natürlich mathematisch exakt und unmissverständlich de…nieren.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
33
In der klassischen Mechanik hat ein Teilchen einen wohlde…nierten Ort und einen wohlbestimmten Impuls. Dagegen haben Quantenteilchen, wie Elektronen, Protonen, Neutronen usw. niemals
zugleich einen genau bestimmten Ort und einen genau bestimmten Impuls.
Die Bilder des Rutherfordschen und des Bohrschen Atommodells, in dem punktförmige Elektronen
auf bestimmten Bahnen um den Atomkernen laufen, sind also völlig falsch und irreführend.
Auch das Bild einer di¤usen Elektronenwolke, die den (ebenfalls di¤usen!) Atomkern umgibt, beschreibt das Atom nicht viel befriedigender. Es ist hier die Grenze der Anschaulichkeit erreicht. Die
präzisen Aussagen der mathematischen Formulierungen der Quantenthorie lassen sich nicht korrekt
durch anschauliche Bilder darstellen. Jeder Versuch einer bildlichen Darstellung oder Vorstellung
führt dazu, dass nur ein Teilaspekt der Wirklichkeit richtig wiedergegeben wird.
A. Ruh
7
Wellen oder Teilchen?
34
Quantenmechanische Wellengleichungen
Es werden hier kurz die Schrödinger-Gleichung und die Dirac-Gleichung wiedergegeben, ohne dass
diese Gleichungen näher erklärt werden. Die „Bilder“ dieser mathematischen Formeln sollen gewissermassen als „Ersatz“ für die nichtexistenten anschaulichen Bilder der Atome dienen und einen
ersten Eindruck von der Komplexität des Formalismus vermitteln.
7.1
Schrödinger-Gleichung
E. Schrödinger (1887–1967) fand 1926 eine Gleichung, die das Verhalten der Elektronenwellen
beschreibt:
¡
~2
@ª
¢ª + V ª = i ~
:
2m
@t
Das Symbol ¢ bedeutet hier nicht eine Unschärfe wie in der Heisenbergschen Unschärferelation,
sondern ist eine „Abkürzung“. Es ist
¢ª =
@ 2ª @2ª @ 2ª
+
+
:
@x2
@y 2
@x2
V ist die potentielle Energie28 , und ª ist die sog. Wellenfunktion. Durch sie wird der Zustand des
Elektrons beschrieben.
Schrödinger zeigte noch im gleichen Jahr, dass seine Gleichung und die 1925 von W. Heisenberg,
M. Born (1982–1970) und E.P. Jordan (1902–1980) entwickelte Matrizenmechanik nur zwei
verschiedene Formulierungen desselben allgemeinen mathematischen Zusammenhangs sind.
Die Schrödinger-Gleichung und ihre Verallgemeinerungen gelten nur unter zwei einschränkenden
Voraussetzungen. Erstens muss die Zahl der Teilchen konstant bleiben, d.h. Prozesse, bei denen Teilchen erzeugt oder vernichtet werden, können nicht beschrieben werden. Zweitens gilt die
Schrödinger-Gleichung nur für nichtrelativistische Teilchen.
Während alle Physiker sich einig sind, wie physikalische Messgrössen in konkreten Problemen mit
Hilfe der Schrödinger-Gleichung berechnet werden, wird über gewisse Interpretationsprobleme der
Wellenfunktion seit über 80 Jahren immer noch diskutiert.
Es gibt über 10 verschiedene Interpretationen der Wellenfunktion ª. Weitgehend akzeptiert, aber
immer noch mit gewissen Problemen behaftet, ist die sog. Kopenhager Interpretation, die 1926 von
Born gegeben wurde:
28
Es kommt leider häu…g vor, dass für ein und dieselbe physikalische Grösse je nach Zusammenhang verschiedene Symbole verwendet werden. In der Schrödinger-Gleichung wird üblicherweise V für die potentielle Energie
geschrieben, in der klassischen Mechanik dagegen wird meist die Bezeichnung Epot verwendet.
Noch unangenehmer ist jedoch, dass oft auch ein und dasselbe Symbol zwei verschiedene Bedeutungen haben
kann. Es gibt so viele physikalische Grössen, dass sich das nicht immer vermeiden lässt, obwohl nicht nur die
lateinischen, sondern auch noch zusätzlich die griechischen Buchstaben verwendet werden. Meist wird jedoch aus
dem Zusammenhang klar, welche Bedeutung das Symbol an der betre¤enden Stelle hat. Zum Beispiel steht in der
Schrödinger-Gleichung V für die potentielle Energie, während im untenstehenden Ausdruck jª(x; y; z; t)j2 dV das
Symbol V das Volumen bedeutet.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
35
jª(x; y; z; t)j2 dV ist die Wahrscheinlichkeit, das durch die Wellenfunktion ª beschriebene Teilchen
zur Zeit t am Ort (x; y; z) im Volumenelement dV anzutre¤en.
Die Schrödinger-Gleichung ermöglicht es (wenigstens im Prinzip) die Wellenfunktion ª zu berechnen. Damit wird die Wahrscheinlichkeit gegeben, das Teilchen zu einer bestimmten Zeit an einem
bestimmten Ort anzutre¤en, z.B. bei der Beugung an einem Doppelspalt. In dem Augenblick, da
der Ort des Teilchens gemessen wird (indem z.B. der Fluoreszenzschirm hinter der Spaltblende in
einem bestimmten Punkt au‡euchtet), verändert sich die Wellenfunktion abrupt; sie ist jetzt überall
gleich null ausser in dem Punkt, wo das Teilchen gefunden wurde (wo der Fluoreszenzschirm aufgeleuchtet hat). Dieser sog. Kollaps der Wellenfunktion wird nicht durch die Schrödinger-Gleichung
gegeben und konnte bis jetzt nicht hinreichend erklärt werden.
7.2
Dirac-Gleichung
P. Dirac (1902–1984) fand 1927 eine Wellengleichung, die den Bedingungen der Relativitätstheorie
genügt29 :
(i ° ¹ @¹ ¡ q ° ¹ A¹ ¡ m) Ã = 0 :
Auf den ersten Blick sieht die Dirac-Gleichung vielleicht sogar einfacher aus als die SchrödingerGleichung. In Wirklichkeit ist sie jedoch eine sehr kompakte Zusammenfassung der vier folgenden
Gleichungen:
µ
¶
1 @Ã1 @Ã4
@Ã4 @Ã3
i~
+
¡i
+
¡ q (A0 Ã1 + A1 Ã4 + iA2 Ã4 + A3 Ã3 ) ¡ mc2 = 0
c @t
@x1
@x2
@x3
µ
¶
1 @Ã2 @Ã3
@Ã3 @Ã4
i~
+
+i
¡
¡ q (A0 Ã2 + A1 Ã3 + iA2 Ã3 ¡ A3 Ã4 ) ¡ mc2 = 0
c @t
@x1
@x2
@x3
µ
¶
1 @Ã3 @Ã2
@Ã2 @Ã1
i~ ¡
¡
+i
¡
¡ q (¡A0 Ã3 ¡ A1 Ã2 + iA2 Ã2 ¡ A3 Ã1 ) ¡ mc2 = 0
c @t
@x1
@x2
@x3
µ
¶
1 @Ã4 @Ã1
@Ã1 @Ã2
i~ ¡
¡
¡i
+
¡ q (¡A0 Ã4 ¡ A1 Ã1 ¡ iA2 Ã1 + A3 Ã2 ) ¡ mc2 = 0
c @t
@x1
@x2
@x3
Aus der Dirac-Gleichung ergeben sich zwei Folgerungen.
Einerseits zeigen die Gleichungen, dass die Elektronen einen zusätzlichen inneren Freiheitsgrad
haben. Dieser ist nichts anderes als der Spin, der 1925 entdeckt wurde. Der Spin ist ein Drehimpuls,
den die Elektronen unabhängig von ihrer Bewegung haben. Er ist eine Grösse, die für klassische
Teilchen nicht erklärt werden kann. Die anschauliche Vorstellung, dass das Elektron sich um eine
Achse dreht, ist völlig falsch und führt zu Widersprüchen.
Der Spin ist im wesentlichen eine Welleneigenschaft. Wird der Drehimpuls einer Elektronenwelle berechnet, so ergeben
sich zwei mathematische Ausdrücke, wobei der eine dem Drehimpuls der „Bahnbewegung“ und der andere dem Spin
entspricht. Die in manchen Texten zu …ndende Feststellung, der Spin sei eine quantenmechanische Eigenschaft,
die klassich nicht erklärt werden könne, ist daher etwas irreführend. Der Spin ist primär eine Eigenschaft der
Elektronenwelle; ob diese klassisch oder quantenmechanisch interpretiert wird, ist von sekundärer Bedeutung.
Andererseits ergibt die Dirac-Gleichung zusätzliche Lösungen, die ein Teilchen mit positiver Ladung beschreiben. Zunächst glaubte man, dass dieses Teilchen das Proton sei. Es wurde jedoch
29
D.h. die Dirac-Gleichung ist lorentzinvariant.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
36
bald erkannt, dass auf Grund der Dirac-Gleichung das positive Teilchen die gleiche Masse wie das
negative haben muss.
Während mehrerer Jahre waren die Physiker durch dieses Resultat der Dirac-Gleichung stark irritiert. Im Mai 1931 hatte Dirac den Mut, den Schluss zu ziehen, es könnte bisher unbeobachtete
Teilchen geben, die die gleiche Masse wie die Elektronen, aber entgegengesetzte Ladung haben.
Im folgenden Jahr wurden von C. Anderson (1905–1991) genau solche Teilchen entdeckt: die
Positronen. Positronen sind die Antiteilchen der Elektronen.
Die Dirac-Gleichung und ihre Interpretation ist eine der grössten Leistungen der theoretischen
Physik. Dirac versuchte ledigleich eine relativistische Wellengleichung aufzustellen. Die Gleichung,
die er fand, lieferte aber von selbst eine korrekte Beschreibung von Teilchen mit Spin 12 und die
Vorhersage der Existenz von Antiteilchen.
A. Ruh
8
Wellen oder Teilchen?
37
Tunnele¤ekt
8.1
Transmission einer Potentialbarriere
Ein besonders verblü¤endes quantenmechanisches Phänomen ist der sog. Tunnele¤ekt.
Eine kleine Kugel bewege sich mit einer gewissen Geschwindigkeit gegen einen kleinen Hügel, der
an seiner höchsten Stelle eine Vertiefung hat. Ein Beispiel einer solchen Situation ist eine der
besonders per…den Bahnen einer Minigolf-Anlage. Abbildung 31 zeigt einen radialen Querschnitt
durch den Hügel30 .
Abbildung 31: Kugel vor einem Hügel
Eine Kugel der Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, hat die kinetische Energie31
Ekin =
m v2
:
2
Um einen Körper der Masse m im Schwerefeld der Erde um die Höhe h zu heben, muss Arbeit
geleistet werden. Diese Arbeit wird im Körper32 gespeichert als potentielle Energie:
Epot = m g h :
Dabei ist g = 9:81 ms¡2 die sog. Erdbeschleunigung
33 .
Diese potentielle Energie kann grundsätzlich wieder in nutzbringende Arbeit umgesetzt werden,
wenn der Körper wieder auf das ursprüngliche Niveau abgesenkt wird.
30
Beim „Zielhügel“ der Minigolf-Anlage ist das Loch natürlich nicht so tief und die Kante des Lochs ist etwas
abgerundet
31
Diese einfache Beziehung gilt nur für nichtrelativistische Geschwindigkeiten, d.h. wenn v klein ist im Vergleich
zur Lichtgeschwindigkeit.
32
Genauer: im System Erde + Körper.
33
Die einfache Beziehung gilt nur, wenn h klein ist im Vergleich zum Erdradius, d.h. wenn die Abnahme der
Erdanziehung mit zunehmendem Abstand des Körpers von der Erde nicht berücksichtigt werden muss.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
38
Das wird in Speicherkraftwerken ausgenützt. Durch elektrische Energie wird mit Hilfe von Pumpen
Wasser vom Tal in einen höher gelegenen Speichersee hochgepumpt. Dabei wird die zugeführte
elektrische Energie in potentielle Energie des Wassers umgewandelt. Bei Bedarf wird das Wasser
durch eine Druckleitung wieder ins Tal hinunter auf eine Turbine geleitet. Dabei wird die potentielle
Energie des Wassers zunächst in kinetische Energie des Wassers, in der Turbine in mechanische
Arbeit und im Generator wieder in elektrische Energie umgewandelt.
In einem reibungsfreien abgeschlossenen System 34 , d.h. in einem System, das weder Energie nach
aussen abgibt noch von aussen aufnimmt und in dem keine Reibung auftritt, gilt der Energieerhaltungssatz:
Epot + Ekin = konstant :
Natürlich tritt bei den meisten realen Systemen Reibung auf, aber in vielen Fällen kann diese in
erster Näherung vernachlässigt werden. Ein Planetensystem ist ein schönes Beispiel eines nahezu
reibungsfreien Systems.
Im Folgenden wird bei der Kugel, die den Hügel hochrollt, die Reibung vernachlässigt.
Wenn die Kugel hochrollt, nimmt die kinetische Energie ab und die potentielle Energie zu, d.h. mit
zunehmender Höhe nimmt die Geschwindigkeit der Kugel immer mehr ab (Abbildung 32).
Abbildung 32: Die Geschwindigkeit der Kugel nimmt beim Hochrollen ab.
34
Es werden hier nur rein mechanische Systeme betrachtet, d.h. Umwandlungen von oder zu chemischer, elektrischer oder thermischer Energie sind ausgeschlossen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
39
Schliesslich – wenn die anfängliche kinetische Energie der Kugel vollständig in potentielle Energie
umgewandelt ist – kommt die Kugel zum Stillstand (Abbildung 33).
Abbildung 33: Die Kugel kommt zum Stillstand.
Darauf rollt sie – zum grossen Ärger des Minigolf-Spielers – wieder hinunter, wobei potentielle
Energie in kinetische Energie zurückverwandelt wird (Abbildung 34).
Abbildung 34: Die Kugel rollt wieder hinunter.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
40
Da ein einfacher Zusammenhang zwischen Höhe h und potentieller Energie Epot besteht, kann in
der Figur auch direkt eine Energieskala eingzeichnet werden (Abbildung 35).
Abbildung 35: Potentielle und kinetische Energie
Wenn nun die Kugel den höchsten Punkt des Hügels erreichen und in die Vertiefung fallen soll, mit
andern Worten, wenn die Kugel die Potentialbarriere überwinden soll, dann muss ihre anfängliche
kinetische Energie mindestens so gross sein, wie die potentielle Energie im höchsten Punkt der
Potentialbarriere (Abbildung 36).
Abbildung 36: Kinetische Energie genügend gross zur Überwindung der Potentialbarriere
In der klassischen Mechanik kann ganz generell ein Körper eine Potentialbarriere nur dann überwinden, wenn seine anfängliche kinetische Energie mindestens so gross ist wie seine potentielle Energie
im höchsten Punkt der Potentialbarriere35 .
35
Die Höhe h ist nur relativ zu einem Bezugspunkt de…niert. Sie kann relativ zur Tischplatte, zum Fussboden,
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
41
Für ein Quantenteilchen besteht dagegen eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass es eine Potentialbarriere auch dann überwinden kann, wenn seine Energie kleiner ist als die maximale Energie der
Barriere. Dieses Phänomen wird Tunnele¤ekt genannt (Abbildung 37).
Abbildung 37: Tunnele¤ekt
Im Prinzip ist der Tunnele¤ekt auch für makroskopische Körper möglich, aber die Wahrscheinlichkeit dafür ist so ungeheuerlich klein, dass das Wort „unmöglich“ durchaus zutre¤end ist.
Aus der Quantenmechanik folgt also, dass für ein Teilchen, das nach den Gesetzen der klassischen
Mechanik eine Potentialbarriere nicht überwinden kann, trotzdem eine gewisse Wahrscheinlichkeit
besteht, die Barriere zu durchdringen. Andererseits folgt aber auch, dass ein Quantenteilchen, das
nach klassischer Mechanik eine Potentialbarriere überwinden kann, eine gewisse Wahrscheinlichkeit
hat, von der Barriere re‡ektiert zu werden. Dieser Sachverhalt ist in Tabelle 3 dargestellt.
Klassische Mechanik
Kinetische Energie kleiner
als potentielle Energie
Kinetische Energie grösser
als potentielle Energie
Quantenmechanik
Kinetische Energie kleiner
als potentielle Energie
Kinetische Energie grösser
als potentielle Energie
Re‡exion
Transmission
Re‡exion
Transmission
100
0
0
100
%
%
%
%
Re‡exion
Transmission
Re‡exion
Transmission
<100
>0
>0
<100
%
%
%
%
Tabelle 3: Transmission einer Potentialbarriere
zur Meereshöhe oder zu irgendeinem anderen Niveau gemessen werden. Entsprechend ist die potentielle Energie nur
bis auf eine additive Konstante de…niert. Bei den hier verwendeten Formulierungen (z.B. „anfängliche kinetische
Energie“) wurde vorausgesetzt, dass der Körper „am Anfang“ die Höhe h = 0 und die potentielle Energie Epot = 0
hat.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
42
Der Tunnele¤ekt spielt eine Rolle in folgenden Beispielen von Phänomenen und Anwendungen:
- Alpha-Zerfall
- Spontane Kernspaltung
- Tunneldiode
- Rastertunnelmikroskop
- Feldemission
- Kernfusion
Hier soll nur das Beispiel der Kernfusion etwas näher betrachtet werden.
8.2
Kernfusion
Es gibt zwei Möglichkeiten, in technischem Maßstab Kernenergie freizusetzen. Erstens durch Fission (Kernspaltung), d.h. durch Spaltung schwerer Kerne in zwei Teile, und zweitens durch Kernfusion (Kernverschmelzung), d.h. durch „Verschmelzung“ zweier leichter Kerne zu einem schwereren
Kern.
Es gibt eine ganze Reihe möglicher Fusionsreaktionen. Unter den Reaktionen, die für eine Energieproduktion in Frage kommen, sind die wichtigsten in Tabelle 4 aufgeführt.
D
D
D
D
6 Li
+
+
+
+
+
D
3 He
D
T
D
¡!
¡!
¡!
¡!
¡!
3 He
4 He
T
4 He
4 He
+
+
+
+
+
n
p
p
n
4 He
+
+
+
+
+
3,27
18,3
4,04
17,6
22,4
MeV
MeV
MeV
MeV
MeV
Tabelle 4: Fusionsreaktionen
Dabei wurden die Symbole D für Deuterium (2 H), T für Tritium (3 H), p für das Proton und n
für das Neutron verwendet. eV steht für Elektronvolt, eine Energieeinheit, die im Bereich Atom-,
Kern- und Teilchenphysik zweckmässig ist (1 MeV = 106 eV).
Da die Atomkerne positiv geladen sind und sich gegenseitig abstossen, müssen sie eine genügend
grosse kinetische Energie haben, damit sie die elektrische Potentialbarriere, die Coulomb-Barriere,
überwinden können und sich so nahe kommen, dass die Kernreaktion statt…nden kann.
Alle in Tabelle 4 aufgeführten Reaktionen können kontrolliert im Labor durchgeführt werden, indem mit Hilfe eines Beschleunigers die entsprechenden Teilchen gegeneinander geschossen werden.
Dabei ist jedoch stets der Energieaufwand für den Betrieb des Beschleunigers um Grössenordnungen
höher als die Energieproduktion durch die ausgelösten Fusionsreaktionen. Erstens ist der „Wirkungsgrad“ eines Beschleunigers sehr klein, d.h. höchstens etwa 10 Prozent der vom Beschleuniger
verbrauchten Energie …ndet sich in der Energie des Partikelstrahls wieder. Zweitens führt immer
nur ein verschwindend kleiner Bruchteil (10¡6 : : : 10¡2 ) der Partikel eines Strahls zu Kernreaktionen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
43
Der einzige Weg zu einer positiven Energiebilanz scheint über thermonukleare Reaktionen zu führen.
Bei einer thermonuklearen Reaktion be…nden sich die Ausgangssto¤e auf einer so hohen Temperatur, dass die kinetische Energie der Wärmebewegung der Teilchen ausreicht, um die CoulombBarriere zu überwinden.
Die erforderliche Temperatur kann mit Hilfe einer Fissionsbombe erzeugt werden3 6 . Damit ergibt sich jedoch nicht
eine kontrollierte Fusionsreaktion sondern die Explosion einer „Wassersto¤bombe“.
Ein thermonukleares Plasma kann selbstverständlich nicht von materiellen Wänden eingeschlossen werden. Erstens
gibt es kein Material, das Temperaturen von 50 Millionen Kelvin standhalten würde, und zweitens würde das Plasma durch den Kontakt mit der Wand sofort so stark abgekühlt, dass die Fusion erlöschen würde. Es gibt drei
Möglichkeiten, das Plasma einzuschliessen: Gravitationseinschluss, magnetischer Einschluss und Trägheitseinschluss.
Die Fusion in Sternen beruht auf dem Gravitationseinschluss. Das Fusionsplasma wird durch die Schwerkraft zusammengehalten. Für die künstliche kontrollierte Kernfusion kommt der Gravitationseinschluss o¤ensichtlich nicht
in Frage.
Beim magnetischen Einschluss wird das Plasma durch eine geeignete Magnetfeldanordnung zusammengehalten. Die
einfachste Feldanordnung ist die „magnetische Flasche“. Dabei handelt es sich um eine zylindersymmetrische Feldverteilung, die gegen die Enden eine zunehmende Feldstärke aufweist. Eine solche Anordnung wird auch Spiegelmaschine
genannt. Der Feldgradient bewirkt eine rücktreibende Kraft auf die Teilchen, die unter einem nicht zu kleinen Winkel
zur Feldachse gegen das Ende der Flasche laufen. Teilchen, deren Flugbahn einen genügend kleinen Winkel zur Achse
einschliesst, können aus der Flasche entweichen.
Bessere Resultate ergeben sich mit einer geschlossenen toroidalen3 7 Feldanordnung. Eine solche Feldkon…guration
weisen die Maschinen vom Stellerator- 3 8 und Tokamak 3 9 -Typ auf.
Ein Plasma in einem torusförmigen Magnetfeld mit konzentrischen kreisförmigen Feldlinien ist nicht stabil. Zur
Stabilisierung des Plasmas müssen die Feldlinien schraubenförmig verdreht sein, d.h. der toroidalen Feldkomponente
muss eine poloidale40 Feldkomponente überlagert werden.
Beim Tokamak wird eine poloidale Feldkomponente durch einen Strom im Plasma erzeugt. Dieser Strom wird
durch ein stetig anwachsendes Magnetfeld induziert. Das Plasma ist gewissermassen die Sekundärwicklung eines
Transformators. Da das Magnetfeld nur eine begrenzte Zeit anwachsen kann und dann wieder zurückgesetzt werden
muss, kann der Tokamak nicht kontinuierlich betrieben werden, es sei denn, der Plasmastrom kann auf andere Weise
aufrechterhalten werden. Es sind Anzeichen dafür vorhanden, dass ein selbsterhaltender Plasmastrom möglich ist.
Der Plasmastrom bewirkt eine erste Aufheizung des Plasmas.
Beim Stellerator wird die poloidale Feldkomponente durch kompliziert verformte Feldspulen erzeugt. Der Stellerator
hat zwar den Vorteil, dass er ohne weiteres einen kontinuierlichen Betrieb erlaubt, aber den Nachteil, dass sehr
aufwendige Magnetspulen benötigt werden.
Die Aufheizung des Plasmas erfolgt (ausser durch den Plasmastrom beim Tokamak) durch Einstrahlen von Hochfrequenz oder Einschiessen von Neutralteilchen-Strahlen. Es müssen dabei Leistungen in der Grössenordnung von
100 MW zugeführt werden.
Beim Trägheitseinschluss werden möglichst viele Laser-, Elektronen- oder Ionen-Strahlen von allen Seiten auf eine
kleine Hohlkugel konzentriert, die mit ‡üssigem DT-Gemisch gefüllt ist. Die Kugel wird als Pellet 4 1 bezeichnet.
Sie hat einen Durchmesser von einigen Millimetern. Die auftre¤enden Strahlen heizen die äussersten Schichten der
Hohlkugel so stark auf, dass diese verdampfen und radial wegströmen. Dadurch entstehen grosse radial gegen innen
gerichtete Schubkräfte, die das DT-Gemisch so stark komprimieren und aufheizen, dass im Zentrum Fusionsreaktionen
einsetzen. Die durch die Trägheitskräfte verzögerte Expansion des so erzeugten Plasmas bestimmt die Einschlusszeit
36
Das ist nicht ganz so einfach, wie es in manchen populären Darstellungen beschrieben wird. Es genügt nicht, eine
Fissionsbombe mit Fusionsbrennsto¤ zu umgeben. Das ist, wie wenn mit Hilfe von Schiessbaumwolle Kohlenstücke
entzündet werden sollten. Wenn die Schiessbaumwolle entzündet wird, ‡iegen die Kohlenstücke nach allen Richtungen
auseinander, ohne jedoch Feuer zu fangen.
37
Das lateinische Wort „torus“ bedeutet u.a. „Wulst“.
38
Das lateinische Wort „stella“ bedeutet „Stern“.
39
Das Wort „Tokamak“ stammt aus dem Russischen und ist eine Zusammenziehung von „ringförmige magnetische
Kammer“.
40
Das griechische Wort „polos“ bedeutet „Pol“, „Himmelsgewölbe“.
41
Das englische Wort „pellet“ bedeutet „Kügelchen“, „Schrotkugel“, „pille“.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
44
und damit die Menge der durch Fusion freigesetzten Energie.
Die Fusionsreaktion, die sich in absehbarer Zeit technisch am ehesten realisieren lässt, ist die DTReaktion (Abbildungen 38 bis 40).
Abbildung 38: D + T
Abbildung 39: 5 He
Atomkerne bestehen aus Nukleonen, den Protonen und den Neutronen. Da die Protonen wegen
ihrer positiven elektrischen Ladung sich gegenseitig abstossen, müssen auf die Nukleonen zusätzliche
Kräfte wirken, die anziehend sind, damit die Atomkerne überhaupt stabil sind. Diese Kräfte werden
Kernkräfte genannt. Sie haben eine nur sehr kurze Reichweite.
Wenn ein Deuterium-Kern mit einem Tritium-Kern „verschmelzen“ soll, muss er erst die CoulombBarriere der elektrostatischen Abstossung überwinden. Erst wenn die beiden Kerne sich genügend
nahe gekommen sind, wirken die Kernkräfte und es kommt zur Fusion. Mit abnehmendem Abstand der beiden Kerne nimmt die potentielle Energie stark zu, aber wenn der kritische Abstand
unterschritten wird, fällt die Energie steil ab und wird sogar negativ. Die Energieskala wurde dabei
wieder so gewählt, dass die potentielle Energie für grosse Abstände der beiden Kerne gleich null ist
(Abbildung 41).
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
45
Abbildung 40: 4 He + n
Abbildung 41: Potentialbarriere für die DT-Reaktion
Bei der Fusion des Deuterium-Kerns mit dem Tritium-Kern entsteht ein Helium-Kern:
2H
+ 3 H = 5 He .
Bei grossem Abstand der beiden Kerne 2 H und 3 H ist – wie gesagt – die potentielle Energie gleich
null, und für den Kern 5 He ist sie negativ. Da somit die potentielle Energie im Anfangszustand
grösser ist als im Endzustand, wird bei der Fusion Energie freigesetzt. Der 5 He-Kern zerfällt deshalb
sofort in einen 4 He-Kern und ein Neutron:
5 He
! 4 He + n .
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
46
Der 4 He-Kern und das Neutron haben grosse kinetische Energien, zusammen 17,6 MeV (vgl. Tabelle 4).
Die Höhe der Coulomb-Barriere beträgt rund 400 keV. Nach der klassischen Mechanik müsste also die mittlere kinetische Energie der Deuterium- und Tritium-Kerne je rund 200 keV betragen,
damit die Coulomb-Barriere überwunden werden könnte. Dies entspräche einer Temperatur von
2400 Millionen Grad. Dank des quantenmechanischen Tunnele¤ekts ist jedoch schon bei 100 Millionen Grad die Transmissionswahrscheinlichkeit der Coulomb-Barriere so gross, dass pro Zeiteinheit
hinreichend viele Fusionsreaktionen statt…nden.
Selbstverständlich sind auch 100 Millionen Grad noch eine sehr hohe Temperatur, aber diese Temperatur konnte bei den bisherigen Fusionsexperimenten immerhin bereits erreicht und sogar überschritten werden, während eine Temperatur von 2400 Millionen Grad in absehbarer Zeit technisch
nicht erreichbar sein wird.
A. Ruh
9
9.1
Wellen oder Teilchen?
47
Verschränkte Zustände
Spinzustände
Während der Drehimpuls makroskopischer Körper beliebige Werte haben kann, ist der Drehimpuls
von Quantenobjekten quantisiert, d.h. der Drehimpuls kann nur ganz bestimmte Werte annehmen.
Der Spin des Elektrons ist 12 ~. Das bedeutet, dass bezüglich einer beliebig gewählten Bezugsrichtung
entweder der Drehimpuls + 21 ~ (Abbildung 42 a) oder ¡ 21 ~ (Abbildung 42 b) gemessen wird42 . Da
quantenmechanische Drehimpulse in der Regel in Einheiten von ~ gemessen werden, wird häu…g
auch einfach gesagt, der Spin des Elektrons sei 12 .
Bezugsrichtung
6
6
?
a
b
Abbildung 42: Spinrichtungen
Wird als Bezugsrichtung zum Beispiel die z-Achse eines xyz- Koordinatensystems gewählt, so kann
also das Elektron entweder den Spin + 12 oder den Spin ¡ 12 in dieser Richtung haben. Bei einer
Messung treten nur diese beiden Spineinstellungen auf. Diese werden gelegentlich auch durch die
Symbole " und # dargestellt43 .
Be…ndet sich ein Elektron im Zustand ", so wird also für den Drehimpuls in der z-Richtung der
Wert + 12 gemessen. Wenn das Elektron nicht gestört wird (d.h. wenn keine Kräfte auf das Elektron
wirken) und die Messung in der z-Richtung wiederholt wird, so wird wieder der Wert + 12 gemessen.
Wird dagegen die zweite Messung in einer zur z-Achse senkrechten Richtung, also zum Beispiel in
der x- oder y-Richtung durchgeführt, so wird mit 50 % Wahrscheinlichkeit + 12 und mit ebenfalls
50 % Wahrscheinlichkeit ¡ 21 gemessen, oder wieder in der symbolischen Schreibweise ausgedrückt,
die Wahrscheinlichkeit, dass à und dass ! gemessen wird, ist gleich gross.
Es gilt hier wieder eine Unbestimmtheitsrelation. Es ist unmöglich, dass das Elektron gleichzeitig
einen bestimmten Drehimpulswert in zwei zueinander senkrecht stehenden Richtungen hat. Wird
der Spin in der z-Richtung bestimmt, so sind die Spins44 in der x- und in der y-Richtung völlig
unbestimmt. Wird dagegen der Spin in der x-Richtung bestimmt, so sind die Spins in der y- und
in der z-Richtung unbestimmt.
42
Elektronen haben auf Grund ihres Spins auch ein magnetisches Moment, d.h. wie eine Kompassnadel richten
sie sich in einem Magnetfeld parallel zur Feldrichtung aus. Mit Hilfe dieses E¤ekts lässt sich die Spinrichtung eines
Elektrons bestimmen. Durch die Richtung des Magnetfeldes wird die Bezugsrichtung festgelegt.
43
In der Fachliteratur wird die symbolische Schreibweise j "> und j #> verwendet.
44
Korrekter wäre: die Spinkomponenten in der x- und in der y-Richtung . . .
A. Ruh
9.2
Wellen oder Teilchen?
48
Spukhafte Fernwirkungen?
Obwohl Einstein zu den Pionieren der Entwicklung der Quantenmechanik gehörte, wollte er Zeit
seines Lebens die Unbestimmtheiten der Quantenmechanik nicht akzeptieren. Er war der Meinung, die Quantenmechanik sei eine unvollständige Beschreibung der Wirklichkeit, es könnte noch
verborgene Parameter geben, durch die die Vorgänge, über die die Quantenmechanik nur Wahrscheinlichkeitsaussagen machen kann, streng determiniert sind.
Berühmt ist sein Ausspruch „Gott würfelt nicht!“ Als er dieses Argument einmal zu oft wiederholte, entgegnete ihm
Bohr: „Aber es kann doch nicht unsere Aufgabe sein, Gott vorzuschreiben, wie Er die Welt regieren soll!“ Während der 5. und 6. Solvay-Konferenz (1927 und 1930) erfand Einstein immer wieder neue Gedankenexperimente, um
Widersprüche in der Quantenmechanik nachzuweisen, und regelmässig wurden seine Argumente von Bohr widerlegt.
P. Ehrenfest (1880–1933) stellte dazu fest: „Er [Einstein] verhielt sich nun exakt gegen Bohr wie die Verteidiger
der absoluten Gleichzeitigkeit sich gegen ihn [Einstein] verhalten haben.“ Als Einstein ein scheinbar unschlagbares Argument vorbrachte, wurde dieses von Bohr ironischerweise ausgerechnet mit Hilfe von Einsteins Allgemeiner
Relativitätstheorie widerlegt.
Zusammen mit B. Podolsky (1896–1966) und N. Rosen (1909–1995) beschrieb Einstein 1935
ein Gedankenexperiment, das als EPR-Paradoxon berühmt wurde. Einstein, Podolsky und Rosen
glaubten beweisen zu können, dass die Quantenmechanik unvollständig sei. Eine ihrer dabei als
selbstverständlich vorausgesetzten Annahmen war, dass zwei Teilchen, die weit voneinander entfernt sind, sich nicht gegenseitig beein‡ussen können. Einstein fand, es könne keine „spukhaften
Fernwirkungen“ geben.
Während nahezu 30 Jahren blieb das EPR-Paradoxon Gegenstand von Kontroversen von mehr
philosophischer Natur. 1964 zeigte J. Bell (1928–1990), dass die Streitfrage, ob die Quantenmechanik vollständig ist oder ob es verborgene lokale Parameter gibt, durch Experimente entschieden
werden kann. Er bewies, dass aus der Annahme der Existenz von verborgenen lokalen Parametern
eine Ungleichung folgt, die durch bestimmte quantenmechanische Zustände verletzt wird.
Die ersten derartigen Experimente wurden 1972 durchgeführt, und in den folgenden Jahren wurden
diese immer mehr verfeinert und verbessert. Alle diese Experimente ergaben eine ausgezeichnete
Übereinstimmung mit den Aussagen der Quantenmechanik und verletzten die Bellsche Ungleichung,
was bedeutet, dass eine Erklärung mit verborgenen lokalen Parametern zu Widersprüchen führt45 .
Die Experimente zeigen deutlich, dass es tatsächlich solche „spukhafte Fernwirkungen“ gibt, an
deren Existenz Einstein nicht glauben wollte.
Im Folgenden wird ein Experiment in stark vereinfachter Form beschrieben. Es entspricht weder
genau dem EPR-Gedankenexperiment noch den tatsächlich durchgeführten Experimenten und ist
nicht ausreichend, um die Bellsche Ungleichung zu verletzen, aber es dürfte in dieser vereinfachten
Form leichter verständlich sein, und es stellt trotzdem das Wesentliche richtig dar. Ein Experiment, das die Verletzung der Bellschen Ungleichung zeigt, ist in idealisierter Form in Anhang A
beschrieben.
Bei der ursprünglichen Version des EPR-Experimentes ging es um die Messung von Ort und Impuls. Zwei gleiche
Teilchen werden in entgegengesetzter Richtung mit gleichem Impulsbetrag emittiert. Wenn nun beim Teilchen A der
Impuls p
~ gemessen wird, muss das Teilchen B den Impuls ¡~
p haben. Wird statt dessen der Ort des Teilchens A
gemssen, so wird dadurch auch der Ort des Teilchens B bestimmt. Einstein, Podolsky und Rosen setzten voraus, dass
eine physikalische Grösse, deren Wert mit Sicherheit vor einer Messung vorhersagbar ist, einer physikalischen Realität
entspricht. Ferner betrachteten sie es als selbstverständlich, dass eine Messung am Teilchen A das Teilchen B nicht
beein‡ussen kann. Somit hätte das Teilchen B im Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation zugleich einen
45
Zwar bieten die unvermeidlichen messtechnischen Unvollkommenheiten der bisherigen Experimente noch die
Möglichkeit von Auswegen („locality loophole“ und „detection loophole“), mit denen die klassische Betrachtungsweise
vor diesen Widersprüchen gerettet werden könnte, aber diese Argumentationen sind so künstlich, dass sie kaum noch
ernst genommen werden können. Zur Zeit gibt es noch keine Experimente, die beide „Schlup‡öcher“ schliessen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
49
scharf bestimmten Ort und einen scharf bestimmten Impuls.
D. Bohm (1917–1992) diskutierte 1952 die Variante, bei der die Spinrichtungen von zwei Spin- 21 -Teilchen gemessen
werden, und 1957 wurden von Bohm und Y. Aharonov (*1932) Experimente mit zwei Photonen vorgeschlagen, die
viel später dann tatsächlich durchgeführt wurden.
Eine Quelle emittiere zwei Teilchen mit Spin 12 , die sich in einem Zustand be…nden, dessen totaler
Spin gleich null ist. Das bedeutet, dass bei jeder Messung die beiden Teilchen entgegengesetzten
Spin aufweisen und zwar gleichgültig, in welcher Richtung der Spin gemessen wird (Abbildung 43).
6
¡
µ
¡ ¡
¡ ¡
ª ¡
¡
¡
¾
?
XXX
y
X
XXX XX
XXX
z
Abbildung 43: Zwei Spin- 21 -Teilchen im Spin-0-Zustand
Wenn nun die beiden Teilchen in entgegengesetzter Richtung auseinanderlaufen und auf die Teilchen
keine Kräfte wirken, so bleibt diese Korrelation der Spinrichtungen erhalten. Solche Zustände
werden verschränkte Zustände genannt (Abbildung 44).
z
©
©© y
©
x
©©
6
A
Quelle
x
?
B
Abbildung 44: Verschränkter Zustand, Messung in z-Richtung
Für das Folgende wird die nachstehende Schreibweise verwendet:
Spin in z-Richtung = + 21 :
"
Spin in z-Richtung = ¡ 12 :
#
Spin in y-Richtung = + 12 :
!
Spin in y-Richtung = ¡ 12 :
Ã
Ferner wird das Teilchen, das der Beobachter A misst, als Teilchen A bezeichnet und entsprechend
das Teilchen beim Beobachter B als Teilchen B.
Nun werde zunächst einmal die Annahme gemacht, jedes der beiden Teilchen sei in einem wohlde…nierten Spinzustand.
Für die Situation, in der das Teilchen A im Zustand " und somit das Teilchen B im Zustand # ist,
ergeben sich im wesentlichen verschiedene 4 Fälle, wenn angenommen wird, dass die Beobachter
nur entweder in der z- oder in der y-Richtung messen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
50
1. Fall
A misst in z-Richtung und erhält + 12 . B misst ebenfalls in z-Richtung und erhält ¡ 21 .
2. Fall
A misst in z-Richtung und erhält + 12 . B misst in y-Richtung und erhält mit je 50 % Wahrscheinlichkeit + 12 oder ¡ 21 .
3. Fall
A misst in y-Richtung und erhält mit je 50 % Wahrscheinlichkeit + 12 oder ¡ 21 . B misst in z-Richtung
und erhält ¡ 21 .
4. Fall
A misst in y-Richtung und erhält mit je 50 % Wahrscheinlichkeit + 12 oder ¡ 12 . B misst ebenfalls
in y-Richtung und erhält mit je 50 % Wahrscheinlichkeit + 21 oder ¡ 12 , und zwar völlig unabhängig
davon, was A misst.
Die Fälle für die Situationen A# und B", A! und BÃ oder AÃ und B! sind nicht wesentlich
anders, sondern ergeben sich aus den betrachteten Fällen durch Vorzeichenwechsel oder Umbezeichnung der Richtungen.
Im vierten hier betrachteten Fall wären die Messresultate der beiden Beobachter also unkorreliert,
obwohl die Beobachter in der gleichen Richtung gemessen haben.
In Wirklichkeit ist es aber nicht so.
Falls die beiden Beobachter in der gleichen Richtung messen, erhalten sie stets entgegengesetzte
Messwerte. Wenn A + 12 misst, erhält B ¡ 12 und umgekehrt.
Es tritt also tatsächlich gewissermassen eine „spukhafte Fernwirkung“ auf. Sobald der Beobachter
A beschliesst, den Spin seines Teilchens in der z-Richtung zu messen und dabei zum Beispiel den
Wert + 12 erhält, ist es sicher, dass der Beobachter B bei der Messung in der z-Richtung den Wert
¡ 21 erhalten wird. Wenn jedoch A beschliesst, in der y-Richtung zu messen und dabei zum Beispiel
+ 21 misst, ist es ebenso sicher, dass B in der y-Richtung den Wert ¡ 21 erhalten wird (Abbildung
45).
z
*
©©
©
A
©
©© y
©
©©
x
Quelle
©
©©
¼
B
Abbildung 45: Verschränkter Zustand, Messung in y-Richtung
x
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
51
Auch für eine beliebige andere Wahl der Messrichtung in der yz-Ebene sind die von A und B
gemessenen Spinrichtungen stets entgegengesetzt, sofern nur A und B die gleiche Messrichtung
gewählt haben.
Die Annahme, dass die beiden Teilchen sich schon vor der Messung in einem bestimmten Zustand
mit de…nierter Spinrichtung be…nden, ist also im Widerspruch zu den empirischen Tatsachen. Es
kann lediglich gesagt werden, dass die beiden Teilchen sich zusammen in einem Zustand be…nden,
in dem der Gesamtspin gleich null ist. Es ist, als ob die beiden Teilchen ein (bis zur ersten Messung)
untrennbares System wären, das im Prinzip beliebig gross werden kann. Wenn die beiden Teilchen
mit nahezu Lichtgeschwindigkeit völlig ungestört auseinanderlaufen würden, bildeten sie nach einem Jahr ein System mit einer Länge von nahezu zwei Lichtjahren. Trotzdem wären die beiden
Messungen der zwei Lichtjahre voneinander entfernten Beobachter immer noch streng korreliert.
Falls die Beobachter parallele Messrichtungen gewählt haben, erhalten sie stets entgegengesetzte
Spinrichtungen.
Die Tatsache, dass zwei Teilchen in einem verschränkten Zustand ein einziges, unter Umständen
riesenlanges Gebilde darstellen, das instantan als Ganzes auf einen Ein‡uss an einem seiner Enden
reagiert, lässt sich zwar zur Kenntnis nehmen, ist aber nur schwer vorstellbar. Verschränkte Zustände sind ein besonders eindrucksvolles Beispiel für die Unanschaulichkeit der Quantenmechanik.
Mit diesem E¤ekt lässt sich jedoch keine Information übertragen. Da A zwar die Messrichtung
wählen kann, aber nicht beein‡ussen kann, ob er dann + 12 oder ¡ 12 misst, ist das Messresultat von
B völlig zufällig, gleichgültig, ob er in der gleichen Richtung wie A misst oder nicht. Dass seine
Messwerte streng mit den Messwerten von A korreliert sind, wenn er in der gleichen Richtung wie A
misst, kann er erst feststellen, wenn er seine Messprotokolle mit denjenigen von A vergleicht. Dazu
braucht er aber eine ganz konventionelle Informationsübertragung. Im vorhin erwähnten Beispiel
würde diese Informationsübermittlung somit mindestens zwei Jahre dauern.
Die an sich verzögerungsfreie Korrelation kann also nicht zur überlichtschnellen Signalübertragung
verwendet werden.
A. Ruh
10
Wellen oder Teilchen?
52
Das Messproblem und Schrödingers Katze
Wie bereits in Abschenitt 7.1 erwähnt, sind sich zwar alle Physiker einig, wie physikalische Messgrössen in konkreten Problemen mit Hilfe der quantenmechanischen Zustandsgleichungen berechnet
werden, aber über gewisse Interpretationsprobleme der Wellenfunktion wird immer noch diskutiert.
Im Zentrum der Diskussion steht das sog. Messproblem.
Quantenmechanische Systeme können sich in Überlagerungszuständen be…nden. Als anschauliches
Beispiel soll ein Teilchen mit Spin 21 betrachtet werden. Es werde in einen Zustand gebracht, in dem
der Spin in y-Richtung gleich + 12 sei. Dann ist der Spin in z-Richtung unbestimmt, d.h. bei einer
Messung des Spins in z-Richtung wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % der Wert + 12 und
mit gleich grosser Wahrscheinlichkeit der Wert ¡ 21 gemessen. In der Theorie wird dieser Zusatnd
als eine „Überlagerung“ der Zustände " und # dargestellt:
1
ª = p (j "> +j #>) :
2
Wenn nun aber angenommen wird, dass die Quantenmechanik generell gültig ist, dann gehorchen
auch die Atome des Messgerätes und damit ebenso das ganze Messgerät den Gesetzen der Quantenmechanik. Somit müsste das Messgerät, das ein Teilchen im oben de…nierten Überlagerungszustand
ª misst, sich ebenfalls in einer Art „Mischzustand“ be…nden, in dem die Anzeige in irgendeiner
„verschwommenen“ Weise zugleich auf „Spin aufwärts“ und „Spin abwärts“ steht. So etwas wird
aber natürlich nie beobachtet. Bei einem (richtig funktionierenden) Messgerät zeigt der Zeiger in
eine wohlde…nierte Richtung und/oder es brennt entweder die rote oder die grüne Signallampe.
Das Messproblem besteht darin, dass das Messgerät eigentlich den Gesetzen der Quantenmechanik
gehorchen sollte, aber dass es sich stets so verhält, als ob es den Gesetzen der klassischen Mechanik
gehorchen würde.
Schrödinger veranschaulichte das Messproblem durch ein Gedankenexperiment, das unter dem Namen Schrödingers Katze berühmt geworden ist. Das Originalzitat von Schrödinger46 lautet:
Man kann auch ganz burleske Fälle konstruieren. Eine Katze wird in eine Stahlkammer
gesperrt, zusammen mit folgender Höllenmaschine (die man gegen den direkten Zugri¤ der Katze sichern muss): in einem Geigerschen Zählrohr be…ndet sich eine winzige
Menge radioaktiver Substanz, so wenig, dass im Laufe einer Stunde vielleicht eines von
den Atomen zerfällt, ebenso wahrscheinlich aber auch keines; geschieht es, so spricht
das Zählrohr an und betätigt über ein Relais ein Hämmerchen, das ein Kölbchen mit
Blausäure zertrümmert. Hat man dieses ganze System eine Stunde lang sich selbst
überlassen, so wird man sich sagen, dass die Katze noch lebt, wenn inzwischen kein
Atom zerfallen ist. Der erste Atomzerfall würde sie vergiftet haben. Die Psi-Funktion
des ganzen Systems würde das so zum Ausdruck bringen, dass in ihr die lebende und
die tote Katze (s.v.v.) zu gleichen Teilen gemischt oder verschmiert sind. Das Typische
an solchen Fällen ist, dass eine ursprünglich auf den Atombereich beschränkte Unbestimmtheit sich in grobsinnliche Unbestimmtheit umsetzt, die sich dann durch direkte
Beobachtung entscheiden lässt. Das hindert uns, in so naiver Weise ein „verwaschenes
Modell“ als Abbild der Wirklichkeit gelten zu lassen...
Erwin Schrödinger, Naturwissenschaften 23, 807, 823, 844 (1935).
46
Anscheinend hatte Schrödinger Katzen nicht besonders gern, sonst hätte er nicht einmal als Gedankenexperiment
sich so etwas Hässliches ausgedacht.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
53
„s.v.v.“steht für lateinisch „sit venia verbo“, was bedeutet: „wenn es erlaubt ist, zu sagen“.
Obwohl das Messproblem für alle praktischen Probleme keine Rolle spielt, wird seit über 70 Jahren
nach seiner Lösung gesucht. Seit einigen Jahren zeichnet sich ein Lösungsansatz47 ab, der vielversprechend ist. Es wird davon ausgegangen, dass ein makroskopisches Objekt ständig in Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht. Diese Wechselwirkung zerstört die Überlagerungszustände und
zwar umso schneller, je grösser das Objekt ist. Rechnungen zeigen, dass diese „Zerfallszeit“ für ein
Obekt der Grösse einer Katze kleiner als 10¡26 Sekunden ist. Selbst in einem Ultrahochvakuum
(in dem aber die arme Katze ohnehin eindeutig tot wäre!) wäre diese Zeit noch kürzer als 10¡12 s.
Makroskopische Überlagerungszustände sind also einfach viel zu kurzlebig, als dass sie beobachtet
werden könnten.
47
Für „physikalisch eingeweihte“ Leserinnen und Leser: Dekohärenz (englisch: decoherence).
A. Ruh
11
Wellen oder Teilchen?
54
Anwendungen
Die Frage nach Anwendungen der Quantenmechanik kann auf verschiedene Weisen verstanden und
beantwortet werden.
Falls danach gefragt wird, für welche physikalischen Phänomene die Quantenmechanik zur Erklärung verwendet werden muss, ist die Antwort: „Für nahezu alle.“ Natürlich gibt es auch physikalische Vorgänge, zu deren Erklärung die klassische Physik ausreichend ist. Zum Beispiel kann
die Planetenbewegung mit der klassischen Mechanik beschrieben werden. Hingegen ist bereits die
Existenz stabiler Atome nur auf Grund der Quantenmechanik verständlich. Die Festkörperphysik,
die Kernphysik und die Teilchenphysik beruhen wesentlich auf der Quantenmechanik.
Von den vielen technischen Anwendungen sollen nur einige Beispiele erwähnt werden: Laser, Halbleiterelektronik (u.a. Computer, Fernsehgeräte, Radios), Atomuhr, Elektronenmikroskop, Kernspintomographie.
Von besonderem Interesse sind jedoch diejenigen Anwendungen, bei denen direkt die spezi…schen
quantenmechanischen Eigenschaften von Teilchenzuständen eine Rolle spielen. Quantencomputer
und Quantenkryptographie sind zwei solche Anwendungsbereiche, die in schneller Entwicklung begri¤en sind.
Ein Quantencomputer ist ein Computer, der die Gesetze der Quantenmechanik ausnützt, um gewisse Rechenoperationen e¢zienter durchzuführen als konventionelle Computer. Er arbeitet mit
Quantenbits (abgekürzt: Qubits), die nicht nur die Zustände 0 und 1 annehmen können, sondern
auch beliebige Überlagerungen dieser Zustände. Obwohl Quantencomputer mit einer geringen Zahl
von Qubits bereits realisiert wurden, liegen praktisch verwendbare Quantencomputer noch in weiter
Ferne, und die in den Medien gelegentlich verbreitete Euphorie muss etwas gedämpft werden. Der
französische Physiker S. Haroche drückte das folgendermassen aus: „Die Entwicklung eines funktionierenden Quantencomputers ist keineswegs eine Frage von wenigen Jahren. Dies zu behaupten,
heisst, mit grösster Mühe das erste Stockwerk eines Kartenhauses zustande zu bringen und dann
zu verkünden, die nächsten 15’000 Stockwerke seien eine blosse Formalität.“
Kryptographie 48 ist die Kunst, eine Nachricht so zu verschlüsseln, dass sie für unbefugte Personen
unverständlich ist. Die ersten Ansätze zur Kryptographie lassen sich bis 1900 v.Chr. zurückverfolgen. Während urpsrünglich die Kryptographie vor allem für das Militär von Bedeutung war, spielt
sie heute auch im elektronischen Datenverkehr, insbesondere im elektronischen Zahlungsverkehr
eine immer wichtigere Rolle.
Jede Nachricht, sei es ein Text-, Bild- oder Ton-Dokument, lässt sich durch eine Bitfolge49 darstellen. Dies wird sozusagen täglich durch jeden PC demonstriert, der Text-, Bild- und Audio-Dateien
verarbeitet und speichert, obwohl seine elektronischen Schaltelemente und Speicher nur zwei Zustände haben und daher nur die Zi¤ern 0 und 1 darstellen können.
Eine Bitfolge kann nun mit Hilfe von polarisierten Photonen sicher übertragen werden. Die Sicherheit der Übermittlung beruht darauf, dass der Polarisationszustand eines Photons im allgemeinen
nicht gemessen werden kann, ohne diesen zu verändern.
Wenn ein Unbefugter die Übermittlung der Bitfolge irgendwie abfangen würde, ohne sie an den re48
Das griechische Wort „kryptein“ bedeutet „verbergen“, „verstecken“, „verhüllen“, „verheimlichen“, und das
griechische Wort „graphein“, steht für „(ein)ritzen“, „zeichnen“, „malen“, „(auf)schreiben“.
49
Das Bit ist die kleinste Informationseinheit in einem Computersystem. Ein Bit kann nur zwei Werte, 0 und 1,
annehmen. Eine Bitfolge ist eine Aneinanderreihung von Nullen und Einsen.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
55
gulären Empfänger weiterzuleiten, würde er dadurch sofort seine Anwesenheit verraten, da Sender
und Empfänger über einen nicht notwendigerweise gesicherten Nachrichtenkanal (z.B. über Telefon) vereinbaren können, dass jetzt eine Bitfolge mit einer bestimmten Anzahl Bits übermittelt
werden wird. Damit die Tätigkeit des Spions unbemerkt bleibt, muss er die abgefangenen Bits
unverändert wieder weiterleiten. Genau das ist aber auf Grund der quantenmechanischen Gesetze
nicht möglich. Dadurch, dass der Spion die Polarisation eines Photons misst, verändert er (in 50 %
der Fälle) dessen Polarisationszustand in irreversibler Weise. Wenn Sender und Empfänger nach
der Übermittlung der Bitfolge eine gewisse Stichprobe der Bits vergleichen (wieder über eine nicht
notwendigerweise sichere Verbindung) und dabei Abweichungen feststellen, müssen sie annehmen,
dass die Übermittlung „abgehört“ wurde, und müssen es mit einer neuen Übertragung versuchen.
Da das „Abhören“ an sich nicht verhindert, sondern nur bemerkt werden kann, wird nicht die
Nachricht selbst, sondern zunächst nur eine rein zufällige Bitfolge, die keinerlei nützliche Information enthält, übermittelt. Sobald eine einwandfreie und „unbelauschte“ Übermittlung einer Bitfolge
geglückt ist, wird diese als Schlüssel verwendet, mit der die Nachricht verschlüsselt und wieder
entschlüsselt wird50 . Die so verschlüsselte Nachricht kann dann über einen nicht notwendigerweise
sicheren Nachrichtenkanal übermittelt werden.
Ein Quantenschlüssel wurde 2006 erfolgreich zwischen La Palma und Teneri¤a mit Hilfe von optischen Teleskopen über eine Distanz von 144 km durch die Luft mit 12.8 Bit pro Sekunde übertragen,
und im März 2007 wurde ein Quantenschlüssel durch ein 148.7 km langes Glasfaserkabel übermittelt. Mit Glasfaserkabeln wurden Übertragungsraten von bis zu 165 Bit pro Sekunde erreicht. Im
Vergleich zu den in der Nachrichtentechnik üblichen Übertragungsraten sind diese Raten natürlich
sehr niedrig, aber im Hinblick auf die Komplexität des Verfahrens sind sie doch beachtlich.
50
Wenn der Schlüssel aus einer rein zufälligen Folge von Nullen und Einsen besteht, mindestens so lang wie die
Nachricht ist und nur einmal verwendet wird (one-time pad), kann die Verschlüsselung nicht gebrochen werden, was
C. Shannon (1916–2001) 1949 bewiesen hat.
A. Ruh
12
12.1
Wellen oder Teilchen?
56
Naturgesetze
Er…ndungen oder Entdeckungen?
Über die Frage, was Naturgesetze sind und ob sie erfunden oder entdeckt werden, ist viel diskutiert
und geschrieben worden.
Manche Philosophen und Wissenschaftstheoretiker vertreten die Meinung, dass die Naturgesetze
Konstruktionen der Wissenschaftler sind, d.h. dass die Wissenschaftler diese Gesetze er…nden.
Der Verfasser meint jedoch (vermutlich zusammen mit vielen anderen Physikern), dass die Physiker
nur etwas entdecken, was unabhängig von ihnen existiert.
Diese Ansicht drängt sich vor allem bei den Erhaltungssätzen auf.
Wenn zum Beispiel der Energieerhaltungssatz „erfunden“ wurde, dann doch wohl deswegen, weil
entdeckt wurde, dass in der Natur Energie weder entsteht noch vernichtet wird51 .
Bei den Gesetzen, die durch kompliziertere Gleichungen ausgedrückt werden, ist die Antwort vielleicht etwas weniger eindeutig. Die meisten, wenn nicht alle, physikalischen Gesetze sind nur
Approximationen, deren Gültigkeitsbereich sich irgendwann als beschränkt erwies oder erweisen
wird.
So wurde zum Beispiel das Newtonsche Gravitationsgesetz zu einer Näherung der Allgemeinen
Relativitätstheorie, die für kleine Geschwindigkeiten (verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit) und
nicht zu starke Gravitationsfelder (wie z.B. in der Nähe eines schwarzen Lochs) gültig ist. Bereits
gibt es deutliche Anzeichen dafür, dass auch die Allgemeine Relativitätstheorie nur ein Spezialfall
einer noch allgemeineren, aber noch weitgehend unbekannten Theorie ist.
In gleicher Weise ist die Schrödinger-Gleichung nur für nichtrelativistische Teilchen gültig und kann
als Näherung der relativistisch richtigen Dirac-Gleichung betrachtet werden, die vielleicht wiederum
durch eine noch allgemeinere Gleichung ersetzt werden wird.
All diese Gleichungen beschreiben trotz ihrer Beschränkungen jedoch Strukturen, die anscheinend
in der Natur irgendwie verwirklicht sind. Die Planeten bewegten sich gemäss den Newtonschen Gesetzen oder genauer gemäss der Allgemeinen Relativitätstheorie längst bevor Newton oder Einstein
„ihre“ Theorien „erfanden“.
Besonders das Beispiel der Dirac-Gleichung zeigt sehr schön, warum viele Physiker überzeugt sind,
dass physikalische Gesetze entdeckt und nicht erfunden werden. Wenn Dirac seine Gleichung nur
erfunden hätte, wäre es kaum eizusehen, warum diese Gleichung, die nur den Zweck hatte, das
Elektron relativistisch richtig zu beschreiben, zugleich den Elektronenspin und die Positronen richtig
beschreibt.
Auch die Tatsache, dass die für die klassische Mechanik hergeleiteten Formulierungen von Lagrange und Hamilton sich auch in der Quantenmechanik und in der Quantenfeldtheorie als geeignet
erwiesen haben, liesse sich ebenfalls kaum erklären, wenn diese Beziehungen nur erfunden worden
wären zum Zweck, die klassische Mechanik zu beschreiben.
51
Bei relativistischen Prozessen muss auf Grund der Beziehung E = mc2 die Masse in der Energiebilanz mitberücksichtigt werden.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
57
Natürlich gibt es in der Physik auch spezielle Beziehungen, die gewissermassen ad hoc erfunden
wurden, um ein bestimmtes Phänomen zu beschreiben. Jedoch bei allen fundamentalen Gesetzmässigkeiten, bei denen sich Folgerungen ergaben, die gar nicht erwartet worden waren und die sich
trotzdem bestätigten, lässt sich der Eindruck schwer vermeiden, dass da etwas gefunden wurde, das
eine in der Natur enthaltene Struktur beschreibt.
12.2
Vereinheitlichung der Physik
Im Laufe der Entwicklung der Physik zeigte sich immer wieder, dass Phänome, die scheinbar nichts
miteinander zu tun hatten, im Rahmen weiterentwickelter Theorien auf eine gemeinsame Grundlage
zurückgeführt werden konnten.
Himmlische und irdische Vorgänge schienen grundsätzlich völlig verschieden zu sein, bis Newton
1687 entdeckte, dass sowohl irdische Körper als auch Himmelskörper genau den gleichen Bewegungsgesetzen der Mechanik gehorchen.
Elektrizität und Magnetismus waren Phänomene, zwischen denen es keinen Zusammenhang zu
geben schien, bis Oersted, Ampère und Faraday zwischen 1820 und 1831 die Wechselwirkungen
zwischen elektrischen Strömen und Magnetfeldern entdeckten und Maxwell die Theorie des Elektromagnetismus aufstellte. Diese Theorie erklärte auch die Gesetze der Lichtausbreitung, womit
auch die Optik zu einem Teilbereich der Theorie des Elektromagnetismus wurde.
Der Elektromagnetismus und die schwache Wechselwirkung, die sich zum Beispiel beim Beta-Zerfall
manifestiert, waren ebenfalls Phänomene, die nichts gemeinsam zu haben schienen, bis S.L. Glashow (*1932), A. Salam (*1926) und S. Weinberg (*1933) 1967 entdeckten, dass diese beiden
Wechselwirkungen nur zwei verschiedene Apsekte der gleichen fundamentalen Wechselwirkung sind,
die dann den (etwas phantasielosen) Namen elektroschwache Wechselwirkung erhielt.
Es existieren verschiedene theoretische Ansätze zur Vereinigung der starken und der elektroschwachen Wechselwirkung, aber zur Zeit ist keiner davon allgemein anerkannt, und da die theroretischen
Voraussagen sich auf bis jetzt unerreichbare Bereiche der Teilchenenergie beziehen, gibt es auch
noch keine experimentelle Bestätigung.
Eine Sonderstellung unter den Wechselwirkungen nimmt die Gravitation ein. Sie wird durch die
Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben. Diese liefert Erklärungen für E¤ekte, die im Rahmen
der Newtonschen Gravitationstheorie unverständlich blieben. Während über 40 Jahren scheiterte
jedoch jeder Versuch, die Allgemeine Relativitätstheorie mit der Quantenmechanik zu vereinen; es
gelang nicht, eine Quantenfeldtheorie der gravitativen Wechselwirkung zu entwicklen.
In den Jahren 1968 bis 1970 versuchten einige Physiker, die starke Wechselwirkung zu erklären,
indem sie statt punktförmiger Teilchen Strings 52 betrachteten. Dieser anfänglich vielversprechende
Ansatz führte aber bald auf unüberwindbare Schwierigkeiten, und die String-Theorie geriet bald
wieder praktisch in Vergessenheit. J. Schwarz (*1941) war jedoch überzeugt, dass die Schönheit
der mathematischen Struktur der Stringtheorie auf eine tiefere Wahrheit hinweise. Zusammen mit
J. Scherk (*1946) entdeckte er 1974, dass sich aus der Stringtheorie eine Quantentheorie der
Gravitation ergibt.
Diese Erkenntnis erregte zunächst wenig Aufsehen unter den Physikern, zumal sich auch in dieser Theorie Anomalien zeigten. Als 1984 M.B. Green (*1946) und Schwarz zeigten, dass diese
Anomalien behoben werden konnten, lösten sie damit die erste Stringrevolution aus. In den drei
52
Das englische Wort „string“ bedeutet „Faden“ oder „Saite“.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
58
Jahren 1984 bis 1986 wurden über tausend Forschungsarbeiten zur Stringtheorie publiziert.
Eher ernüchternd war, dass in den folgenden Jahren fünf verschiedene Stringtheorien gefunden
wurden. 1995 zeigte jedoch E. Witten (*1951) in einem aufsehenerregenden Vortrag, dass diese
fünf Theorien nur verschiedene Aspekte einer einzigen fundamentalen Theorie, der M-Theorie, sind.
Dies war die zweite Stringrevolution.
Witten erklärte nicht, wie er auf die Bezeichnung „M-Theorie“ gekommen war. Er sagte dazu nur:
„M stands for Magic, Mystery or Membrane, according to taste.“
Der Begri¤ „string“ sollte vielleicht nicht zu konkret aufgefasst werden. Während der Übergang
von „Punkten“ zu „Saiten“ als eher willkürlich, unmotiviert und etwas gar mechanistisch empfunden werden kann, erscheint die in den fundamentalen Gleichungen vorgenommene mathematische
Verallgemeinerung von null- zu ein- oder mehrdimensionalen Objekten elegant und überzeugend,
zumal dadurch plötzlich eine ganze Reihe seit langem anstehender Probleme gelöst werden können.
M. Green drückte das folgendermassen aus: „In dem Augenblick, in dem Sie sich mit der Stringtheorie befassen und feststellen, dass sich fast alle grossen Entdeckungen, die während der letzten hundert Jahre in der Physik gemacht wurden, aus einem einfachen Ausgangspunkt ergeben – und das
auf so elegante Weise –, da wird Ihnen klar, dass diese unglaublich zwingende Theorie eine Klasse
für sich ist.“
Leider ist die String-, bzw. M-Theorie mathematisch äusserst anspruchsvoll. Die Allgemeine Relativitätstheorie53 , die oft als schwierig angesehen wird, ist verglichen damit geradezu einfach.
Entsprechend diesem extrem hohen mathematischen Schwierigkeitsgrad steht die String-/M-Theorie
erst ganz am Anfang. Von der Aufstellung der Bohrschen Postulate 1911 bis zur Vollendung der
Quantenelektrodynamik durch R. Feynman (1918–1988), J. Schwinger (1918–1994), S. Tomonaga (1906–1979) und F. Dyson (*1923) 1948 dauerte es 37 Jahre. Angesichts der unvergleichlich
grösseren mathematischen Komplexität der neuen Theorie kann es noch viele Jahrzehnte dauern,
bis sie vollendet wird. Die String-Experten meinen, dass es vielleicht sogar ein Jahrhundert oder
noch länger dauern könnte, bis diese Theorie vollständig verstanden wird.
Abbidlung 12.2 zeigt eine schematische Darstellung der Entwicklung der Physik.
53
Es wird unterschieden zwischen Spezieller und Allgemeiner Relativitätstheorie. Obwohl zwar schon die Spezielle
Relativitätstheorie gewisse begri-iche Schwierigkeiten bietet, ist ihre Mathematik elementar. Für das Verständnis
der Allgemeinen Relativitätstheorie sind dagegen Kenntnisse der Riemannschen Geometrie und der Tensorrechnung
erforderlich.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
Abbildung 46:
Vereinheitlichung der Physik
WW = Wechselwirkung
EM = elektromagnetische
QED = Quantenelektrodynamik
QCD = Quantenchromodynamik
59
A. Ruh
13
Wellen oder Teilchen?
60
Missverständnisse
Von den vielen möglichen grundsätzlichen Missverständnissen, die bei der Vermittlung und beim
Studium der Quantenmechanik häu…g auftreten, sollen hier nur zwei markante Beispiele kurz diskutiert werden.
Wie erwähnt, wird über verschiedene mögliche Interpretationen der Quantenmechanik immer noch
diskutiert. Leider werden von Autoren populärwissenschaftlicher Texte gerne die exzentrischsten
Interpretationen so vermittelt, als wären sie die allgemein anerkannte Standardmeinung.
Eine besonders ausgefallene Interpretation behauptet, ein quantenmechanischer Zustand oder Vorgang werde durch das Bewusstsein eines Beobachters beein‡usst. Diese Deutung ist nur sinnvoll,
wenn die Wellenfunktion keine reale Grösse ist, sondern nur die Kenntnis des Beobachters beschreibt. Die Idee, dass – wie es manchmal geschildert wird – das Bewusstsein des Beobachters
tatsächlich das quantenmechanische System selbst beein‡usst, führt jedoch sehr schnell zu absurden
Widersprüchen. Das Quantensystem wird natürlich nicht durch das Bewusstsein des Beobachters,
sondern bereits durch die Messapparatur des Experimentators beein‡usst. Durch die Wechselwirkung des Elektrons mit den Atomen der Fotoplatte kollabiert die (als real betrachtete) Wellenfunktion des Elektrons und der Ort des Elektrons wird durch die Schwärzung der Fotoplatte bestimmt.
Ob der Beobachter die Fotoplatte nachher anschaut oder nicht und wann er sie anschaut (ein Jahr
später?!), kann keinen Ein‡uss auf den Zustand des Elektrons haben.
Gelegentlich wird auch versucht, gewisse esoterische Lehren durch die verblü¤enden Ergebnisse der
Quantenmechanik zu begründen. So wird etwa aus der Korrelation verschränkter Zustände der
Schluss gezogen: „Im Universum ist alles mit allem verbunden“. In Wirklichkeit entstehen verschränkte Zustände nur unter ganz speziellen Bedingungen, und durch jede äussere Störung werden
allenfalls vorhandene Korrelationen sofort zerstört. Die Annahme, dass das, was ein Physiker in
der Andromeda-Galaxie in seinem Experiment mit einem Photon anstellt, kein einziges Photon
hier bei uns beein‡usst, ist nach wie vor gerechtfertigt.
Before I came here I was confused about this subject.
Having listened to your lecture I am still confused.
But on a higher level. 54
Enrico Fermi
54
Bevor ich hieher kam, hat mich dieses Thema verwirrt. Nachdem ich Ihren Vortrag gehört habe, bin ich immer
noch verwirrt. Aber auf einem höheren Niveau. E. Fermi (1901–1954)
A. Ruh
A
Wellen oder Teilchen?
61
Anhang A
Bellsche Ungleichung
Die wesentliche Aussage der Bellschen Ungleichung kann auch ohne den mathematischen Formalismus an Hand eines idealisiert dargestellten Experiments erklärt werden55 .
Die Experimentier-Einrichtung besteht aus drei Teilen: einer „Quelle“ Q und zwei gleichen Apparaten56 A und B (Abbildung 47). Die Apparate haben einen Schalter mit drei Schaltstellungen 1, 2
und 3 und eine rote und eine grüne Lampe. An der Quelle be…ndet sich eine Taste. Jedesmal, wenn
auf die Taste gedrückt wird, leuchtet bei beiden Apparaten je eine Lampe auf. Zwischen der Quelle
und den beiden Apparaten besteht keinerlei Verbindung in Form von Kabeln oder dergleichen, und
die beiden Apparate sind gleich weit von der Quelle entfernt, wobei die Entfernung mehrere Meter
betragen kann.
Abbildung 47: Apparatur für Bell-Experiment
Abbildung 48: Bell-Experiment
Dass beim Drücken der Taste stets bei beiden Apparaten eine Lampe au‡euchtet, obwohl keine
Verbindung zwischen der Quelle und den Apparaten besteht, kann nur so erklärt werden, dass von
55
Dieser Abschnitt folgt einer Darstellung von N.D. Mermin „Is the moon there, when nobody looks? Reality and
the quantum theory“, Physics Today, April 1985, p. 38.
56
In der Abbildung sehen die beiden Apparate nicht genau gleich aus. Das ist aber nur durch die Darstellung
bedingt. In Wirklickeit könnten zwei genau gleiche Apparate verwendet werden. Der Apparat rechts könnte genau
gleich sein wie der Apparat links, er müsste lediglich um 180± herumgeschwenkt werden, dass er ebenfalls gegen die
Quelle gerichtet ist. Dann wäre aber in der Abbildung nur seine Rückseite und nicht seine Frontplatte sichtbar.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
62
der Quelle gleichzeitig „Etwas“, das im Folgenden „Teilchen“genannt wird, zu beiden Apparaten
gesandt wird (Abbildung 48). Diese Hypothese kann leicht getestet werden. Wird vor dem Drücken
der Taste eine Metallplatte zwischen die Quelle und einem der Apparate gebracht, so leuchtet am
betre¤enden Apparat keine Lampe auf.
Bei der Durchführung des Experiments wird nun bei beiden Apparaten der Schalter völlig zufällig
auf 1, 2 oder 3 eingestellt. Dann wird auf die Taste gedrückt und protokolliert, welche Lampen
au‡euchten. Im Folgenden steht R für „rote Lampe leuchtet“ und G für „grüne Lampe leuchtet“.
Bei der Auswertung einer langen Messreihe ergibt sich folgendes Resultat:
Schalterstellungen
gleich
verschieden
Farbe der Lampen
gleich, nur RR und GG
alle Kombinationen RR, GG, RG und GR
mit gleicher Häu…gkeit
Wenn also zufällig beide Schalter in der gleichen Stellung stehen (11, 22 oder 33), leuchten stets
die Lampen mit gleicher Farbe auf (RR oder GG), wobei aber die Farbe in keiner Weise mit der
Nummer der Schalterstellung korreliert ist.
Wenn dagegen die Schalter verschieden eingestellt sind (12, 13, 21, 23, 31, 32), ist die Farbe der
au‡euchtenden Lampen völlig zufällig, d.h. die Farbkombinationen RR, GG, RG, GR treten gleich
häu…g auf.
Wie kann es zu diesem Verhalten kommen? Dass stets die Lampen mit gleicher Farbe au‡euchten,
wenn die Schalter in gleicher Stellung stehen, wäre leicht erklärbar, wenn es eine Verbindung zwischen den beiden Apparaten A und B gäbe. Nach Voraussetzung ist das aber ausgeschlossen. Eine
Programmierung, die dafür sorgt, dass stets die Lampen gleicher Farbe au‡euchten, ist ebenfalls
nicht möglich, da bei unterschiedlicher Schalterstellung die Farbe der au‡euchtenden Lampen völlig
zufällig ist.
Für eine klassische Erklärung bleibt nur die Möglichkeit, dass die von der Quelle emittierten Teilchen eine Eigenschaft haben, die eine Information an die beiden Apparate übermittelt. Es wäre
denkbar, dass es zum Beispiel eine Teilchensorte gibt mit der Eigenschaft RRG. Diese Teilchen
bewirken, dass für die Schalterstellungen 1 und 2 beim Apparat die rote Lampe au‡euchtet und
für die Schalterstellung 3 die grüne.
Abbildung 49: Teilchen mit der Eigenschaft RRG
Für Teilchen der Sorte GRG wären die Lampenfarben grün für Schalterstellung 1, rot für 2 und
grün für 3.
Wird nun noch vorausgesetzt, dass die Quelle immer zwei Teilchen der gleichen Sorte emittiert
(Abbildung 49), so ist verständlich, dass bei gleicher Schalterstellung stets die Lampen mit gleicher
Farbe au‡euchten, bei verschiedener Schalterstellung dagegen keine Korrelation der Farben auftritt.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
63
Für ein Teilchen der Sorte RRG ergeben sich folgende Möglichkeiten:
Schalterstellungen
A
B
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Farbe der Lampen
A
B
R
R
R
R
R
R
G
G
G
R
R
G
R
R
G
R
R
G
gleiche Farbe
x
x
x
x
x
In 5 von 9 Fällen, also in 55.5% der Fälle, leuchten die Lampen mit gleicher Farbe auf.
Es ist leicht ersichtlich, dass alle anderen Teilchensorten, für die zwei Farben gleich sind, also
RGR, GRR, GGR, GRG und RGG, die gleiche Häu…gkeit für gleiche Lampenfarben ergeben. Die
Teilchensorten RRR und GGG liefern dagegen in 100 % der Fälle gleiche Lampenfarben.
Daraus ergibt sich nun die Bellsche Ungleichung: Unter den beschriebenen Voraussetzungen sollten
in mindestens 55.5 % der einzelnen Experimente die Lampen mit gleicher Farbe au‡euchten. Wenn
das Experiment durchgeführt wird, leuchten jedoch genau in 50 % der Fälle die Lampen mit gleicher
Farbe auf.
Das Experiment liesse sich konkret mit einer Quelle durchführen, die zwei Spin- 21 -Teilchen oder
zwei Photonen emittiert, die sich in einem Zustand mit Gesamtspin 0 be…nden. Den verschiedenen
Schalterstellungen entsprechen dabei verschiedene Messrichtungen des Spins oder der Polarisation,
und die beiden Lampen signalisieren, ob die Spinkomponente + 12 oder ¡ 21 , bzw. ob vertikale oder
horizontale Polarisation gemessen wurde57 .
Nach der Quantenmechanik sind jedoch die beiden Teilchen vor der Messung nicht in einem bestimmten Zustand mit de…niertem Spin oder de…nierter Polarisationsrichtung, sondern lediglich
das Gesamtsystem der beiden Teilchen ist in einem bestimmten Zustand mit totalem Drehimpuls
gleich null. Aus der Theorie ergibt sich dabei das Resultat, dass in genau 50 Prozent der Fälle die
Lampen mit gleicher Farbe au‡euchten müssen.
Aus technischen Gründen wurden bisher die meisten Experimente nicht mit Spin- 12 -Teilchen, sondern mit Photonen durchgeführt58 .
57
Im konkreten Fall der Spinmessung dürften die beiden Apparate nicht – wie vorausgesetzt – wirklich genau
gleich sein, sondern beim einen Apparat müssten die Anschlüsse der roten und der grünen Lampe vertauscht sein,
damit bei beiden Apparaten die gleiche Lampe au‡euchtet, wenn der eine Apparat + 21 und dementsprechend der
andere ¡ 21 misst.
58
Es gibt im wesentlichen zwei Möglichkeiten, verschränkte Photonenpaare zu erzeugen. Bei der ersten Methode
wird ein Kaskadenübergang von einem Atomzustand mit Spin 0 über einen Zustand mit Spin 1 zu einem Atomzustand
mit Spin 0 verwendet. Dabei werden zwei Photonen emittiert, deren Gesamtspin gleich null ist. Die Polarisation dieser beiden Photonen ist stets parallel. Die zweite Methode verwendet die sog. parametrische Fluoreszenz (parametric
down-conversion). In einem nichtlinearen optischen Kristall enstehen aus einem einfallenden Photon zwei Photonen,
die zusammen die gleiche Energie und den gleichen Impuls haben, wie das einfallende Photon. Die Polarisationsrichtungen dieser beiden Photonen stehen stets senkrecht aufeinander.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
64
Bei manchen Experimenten erfolgte die Wahl der Messrichtung durch einen schnellen Zufallsgenerator, nachdem die Teilchen bereits die Quelle verlassen hatten59 , und die beiden Messapparate A
und B waren so weit voneinander entfernt, dass auf keine irgendwie denkbare Weise eine Information über die Messrichtung des einen Apparates zum anderen übertragen werden konnte. Damit
wurde das „Lokalitätsschlup‡och“ (locality loophole) geschlossen.
Bei Experimenten mit Photonen ergibt sich das Problem, dass ein Photonendetektor eine relativ
kleine Ansprechwahrscheinlichkeit hat, d.h. dass nur ein Teil der Photonen überhaupt gemessen
wird. Es wäre denkbar, dass die nicht nachgewiesenen Photonen nicht die gleichen Eigenschaften
haben wie die nachgewiesenen. Das ist das sog. „Detektorschlup‡och“ (detection loophole). Wie
Bell zu Recht bemerkte, fällt es jedoch sehr schwer zu glauben, dass die Quantenmechanik so
schön stimmt für nicht perfekte experimentelle Anordnungen und versagt, sobald die Experimente
genügend verbessert werden. Zudem konnte durch ein Experiment mit Ionen anstelle von Photonen
das Detektorschlup‡och tatsächlich geschlossen werden.
Die Resultate der bisher ausgeführten und ständig verbesserten und verfeinerten Experimente waren
alle in perfekter Übereinstimmung mit den Ergebnissen der Quantenmechanik und verletzten die
Bellsche Ungleichung.
Die von Einstein vertretene klassische Annahme, dass die verschränkten Teilchen (schon vor der
Messung) eine bestimmte individuelle Eigenschaft haben, ist somit nahezu mit Sicherheit widerlegt.
59
Die Wahl der Richtung der Polarisationsmessung kann auf drei Arten erfolgen: 1. Die Messapparatur wird
gedreht. 2. Die Photonen werden zu zwei verschiedenen Messapparaturen mit unterschiedlicher Messrichtung umgelenkt. 3. Die Polarisationsrichtung des Photons wird gedreht. Da die Wahl der Messrichtung innert Bruchteilen
von Mikrosekunden erfolgen soll, kommt eine mechanische Drehung der Messapparatur o¤ensichtlich nicht in Frage.
Die Methode 2 verlangt einen erheblichen apparativen Aufwand, da doppelt so viele Analysatoren, Detektoren und
Verstärker benötigt werden. Bei der 3. Methode wird anstelle der Messapparatur die Polarisationsrichtung des Photons gedreht. Dies kann mit einem sog. elektro-optischen Modulator bewirkt werden. Bestimmte nichtlineare optische
Kristalle haben die Eigenschaft, dass sie beim Anlegen einer elektrischen Spannung die Polarisationsrichtung eines
Photons drehen, das den Kristall durchläuft.
A. Ruh
B
B.1
Wellen oder Teilchen?
65
Anhang B
Quantenkryptographie
Klassische Kryptographie
Die einfachsten und ältesteten Verfahren der Kryptographie sind die Transposition und die Substitution. Bei der Transposition werden die Buchstaben in bestimmter Weise umgestellt, während bei
der Substitution jeder Buchstabe durch einen anderen oder durch ein Symbol ersetzt wird.
Bei der Caesar-Verschlüsselung (nach J. Caesar (100–44 v.Chr.)) wird jeder Buchstabe durch
einen ersetzt, der im Alphabet drei Stellen weiter hinten steht. A ¡! D, B ¡! E, C ¡! F usw.
Diese einfache Verschlüsselung wurde bereits im 9. Jahrhundert von arabischen Gelehrten mit Hilfe
der Häu…gkeitsanalyse geknackt. Dabei wird die Tatsache verwendet, dass die Buchstaben in einer
bestimmten Sprache mit unterschiedlicher Häu…gkeit auftreten. In der deutschen Sprache tritt der
Buchstabe „E“ am häu…gsten auf, gefolgt vom Buchstaben „N“. Falls in einem Geheimtext, der
durch eine Substitution aus einem längeren deutschen Klartext erzeugt wurde, der Buchstabe „J“
am häu…gsten auftritt, kann davon ausgegangen werden, dass die Substitution E ¡! J verwendet
wurde. Falls der Geheimtext durch eine einfache Verschiebung der Buchstaben erzeugt wurde, ist
damit der Code bereits geknackt. Falls eine andere Art von Substitution verwendet wurde, müssen
weitere Buchstaben identi…ziert werden. Die nächsthäu…gen nach „E“ und „N“ sind „I“ und „S“.
Wenn diese gefunden sind, können bereits kurze Wörter erraten werden, womit neue Buchstaben,
z.B. „D“, identi…ziert werden können.
Weitaus sicherer als diese monoalphabetische Substitution ist die polyalphabetische Substitution. Die
Vigenère-Verschlüsselung (nach B. de Vigenère (1523–1596)) verwendet nicht nur ein Geheimtextalphabet, sondern 26 Alphabete, die in einer Tabelle angeordnet werden (Tabelle 5). Mit Hilfe
der Buchstaben eines Schlüssels wird bestimmt, welche Zeile der Tabelle verwendet wird.
Das Verfahren kann am einfachsten mit Hilfe eines Beispiels erklärt werden. Der Klartext „plutonium ist spaltbar“ soll verschlüsselt werden. Als Schlüssel diene „nielsbohr“. Der Schlüsseltext
wird unter den Klartext geschrieben. Da er zu kurz ist, wird er wiederholt (Tabelle 6).
Unter dem ersten Buchstaben des Klartexts steht der Buchstabe „n“, also wird in der VigenèreTabelle die Zeile verwendet, die mit „n“ beginnt. Senkrecht unter dem Buchstaben „p“ in der
ersten Zeile wird in der mit „n“ beginnenden Zeile der Buchstabe „c“ gefunden. Somit wird der
Buchstabe „p“ des Klartextes durch den Buchstaben „c“ ersetzt. Für die Verschlüsselung des
zweiten Buchstabens wird die mit „i“ beginnende Zeile verwendet und aus „l“ wird „t“ für den
Geheimtext (Tabelle 7).
Als Geheimtext ergibt sich schliesslich:
ctyegowbdvaxdhbzasnz
Der Empfänger entschlüsselt die Nachricht, indem er den Schlüsseltext unter den Geheimtext
schreibt und jeweils den Buchstaben des Geheimtextes in der durch den Buchstaben des Schlüssels gegebenen Zeile aufsucht und senkrecht darüber in der obersten Zeile den Buchstaben des
Klartextes …ndet.
Eine polyalphabetische Verschlüsselung ist deshalb viel sicherer als eine monoalphabetische, weil
die Zuordnung der Buchstaben des Klartextes und des Geheimtextes nicht fest ist, sondern im
Text ständig ändert. Zum Beispiel wird das erste „p“ im Klartext durch „c“ ersetzt, das zweite
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
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y
z
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
a
b
c
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g
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b
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w
x
y
z
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
66
s
t
u
v
w
x
y
z
a
b
c
d
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f
g
h
i
j
k
l
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q
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u
v
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h
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q
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v
w
x
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b
c
d
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i
j
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x
y
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a
b
c
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a
b
c
d
e
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g
h
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j
k
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v
x
y
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a
b
c
d
e
f
g
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j
k
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m
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p
q
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t
u
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w
y
z
a
b
c
d
e
f
g
h
i
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k
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m
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p
q
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s
t
u
v
w
x
z
a
b
c
d
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f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
Tabelle 5: Vigenère-Tabelle
p
n
l
i
u
e
t
l
o
s
n
b
i
o
u
h
m
r
i
n
s
i
t
e
s
l
p
s
a
b
l
o
t
h
b
r
a
n
r
i
Tabelle 6: Klartext und Schlüssel
p
n
c
l
i
t
u
e
y
t
l
e
o
s
g
n
b
o
i
o
w
u
h
b
m
r
d
i
n
v
s
i
a
t
e
x
s
l
d
p
s
h
a
b
b
l
o
z
t
h
a
b
r
s
a
n
n
r
i
z
Tabelle 7: Klartext, Schlüssel und Geheimtext
hingegen durch „h“. Ebenso bedeutet auch ein Buchstabe im Geheimtext nicht immer den gleichen
Buchstaben im Klartext. Das erste „b“ im Geheimtext steht für „u“, das zweite dagegen für „a“.
Erstaunlicherweise lässt sich jedoch auch eine solche polyalphabetische Verschlüsselung dechi¤rieren, und zwar umso leichter, je kürzer der Schlüsseltext ist. Eine wirkliche Sicherheit bietet nur ein
Schlüsseltext, der mindestens so lang ist wie der Klartext und der nie wiederholt wird. Für jede
neue Nachricht muss daher auch ein neuer Schlüsseltext verwendet werden. Damit stellt sich das
Problem der sicheren Übermittlung des Schlüssels. Dies ist eines der Hauptprobleme der Kryptographie.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
67
Es war daher ein grosser Fortschritt, als 1975 W. Diffie und M. Hellman die Idee für ein
Verfahren publizierten, bei dem kein geheimer Schlüssel übermittelt werden muss. R. Rivest, A.
Shamir und L. Adleman entwickelten daraus 1977 das RSA-Verfahren. Es gehört zu den sog.
Public Key-Verschlüsselungen.
Der potentielle Empfänger einer Nachricht gibt einen Schlüssel ö¤entlich bekannt. Jeder, der diesem
Empfänger eine geheime Nachricht zustellen will, verschlüsselt seine Mitteilung mit diesem Schlüssel
und sendet sie dann an den Empfänger. Obwohl der Schlüssel bekannt ist, kann niemand, der diese
Nachricht au¤ängt, sie entschlüsseln. Nur der Empfänger besitzt einen geheimen Schlüssel (den er
aber bei sich behält und den er nicht übermitteln muss), mit dem er die Nachricht entschlüsseln
kann. Das Verfahren60 beruht auf „one way“-Funktionen. Das sind Funktionen, die in der einen
Richtung (Verschlüsselung) leicht, aber in der anderen Richtung (Entschlüsselung) nur sehr schwer
zu berechnen sind. Wenn die Entschlüsselung selbst bei Verwendung von Supercomputern tausend
oder mehr Jahre beanspruchen würde, kann die Verschlüsselung als hinreichend sicher betrachtet
werden. Das Problem ist jedoch, dass irgendwann ein neuer Algorithmus entdeckt werden könnte,
mit dessen Hilfe sich die notwendige Rechenzeit drastisch reduzieren liesse. Ein weiterer Nachteil
der Public Key-Verschlüsselung besteht darin, dass eine geheime Nachricht an mehrere Empfänger
für jeden Empfänger mit seinem individuellen ö¤entlichen Schlüssel separat verschlüsselt werden
muss.
Das Interesse an einer sicheren Übermittlung eines geheimen Schlüssels ist daher nach wie vor
gross. Eine Möglichkeit einer sicheren Schlüssel-Übermittlung ergibt sich aus den Gesetzmässigkeiten quantenmechanischer Zustände. Dazu können zum Beispiel polarisierte Photonen verwendet
werden. Die Sicherheit der Übermittlung beruht darauf, dass der Zustand eines Photons im allgemeinen nicht gemessen werden kann, ohne diesen zu verändern. Dadurch wird erkennbar, ob ein
Unbefugter die Nachricht abgefangen und dann weitergeleitet hat.
B.2
Polarisierte Photonen
Eine elektromagnetische Welle, bei der der elektrische Feldvektor in einer festen Ebene schwingt
(vgl. Abbildung 7), wird linear polarisiert genannt. Das Licht einer normalen Lichtquelle ist in
der Regel unpolarisiert, d.h. es ist eine Überlagerung von einzelnen Wellen, die unterschiedliche
Polarisationsrichtungen haben.
Mit Hilfe eines Polarisations…lters kann linear polarisiertes Licht mit beliebig gewählter Polarisationsrichtung erzeugt werden. Mit geeigneten Polarisationsanalysatoren kann die Polarisationsrichtung bestimmt werden. Auf die technischen Einzelheiten wird hier nicht näher eingegangen.
60
Eine detaillierte Beschreibung des Verfahrens ist in [7] und [8] zu …nden (s. Literaturverzeichnis).
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
68
Zwischen Sender und Empfänger werde vereinbart, dass der Sender zwischen vier Polarisationsrichtungen wählen kann, nämlich vertikal, horizontal, diagonal nach rechts und diagonal nach links
(Abbildung 50).
¡
¡
@
@
Abbildung 50: Polarisationsrichtungen
Der Empfänger stellt seinen Analysator entweder vertikal/horizontal oder diagonal ein (Abbildung 51).
@¡
¡@
Abbildung 51: Analysatorrichtungen
Je nach Einstellungen des Polarisators und des Analysators misst der Empfänger verschiedene
Polarisationsrichtungen (Abbildung 52).
Sender
wählt
¡
¡
Empfänger
wählt
Empfänger
misst
@
¡
¡
@
¡
¡
oder
@
@
@
¡
¡
@
¡
¡
oder
@
@
@
¡
¡
@
¡
¡
oder
¡
¡
@
@
@
@
@
¡
¡
@
@
@
oder
Abbildung 52: Polarisationsmessungen
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
69
Falls der Empfänger die (eine) Analysatorrichtung parallel zur Polarisationsrichtung des Empfängers gewählt hat, misst er die richtige Polarisation. Falls die Analysatorrichtung jedoch um 45±
verdreht ist zur Polarisationsrichtung, misst er mit 50 % Wahrscheinlichkeit die eine oder die andere
(falsche) Polarisationsrichtung.
Mit Hilfe der Polarisationsrichtungen können nun die Bits 0 und 1 übermittelt werden. Dazu wird
beispielsweise die folgende Konvention vereinbart:
B.3
oder
¡
¡
=1
oder
@
@
=0
Dualzahlen
Jede Nachricht, sei es ein Text-, Bild- oder Ton-Dokument, lässt sich durch eine Bitfolge darstellen. Dies wird sozusagen täglich durch jeden PC demonstriert, der Text-, Bild- und Audio-Dateien
verarbeitet und speichert, obwohl seine elektronischen Schaltelemente und Speicher nur zwei Zustände haben und daher nur die Zi¤ern 0 und 1 darstellen können. Die Buchstaben des Alphabets
(und eine Anzahl Sonderzeichen) lassen sich zum Beispiel durch den ASCII-Code61 beschreiben. In
Tabelle 8 sind einige Zeilen dieser Code-Tabelle wiedergegeben.
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
d
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Tabelle 8: ASCII-Code
Das Rechnen mit Dualzahlen ist sehr einfach:
0+0=0
61
0+1=1
1 + 1 = 10
10 + 1 = 11
Abkürzung für: „American Standard Code for Information Interchange“
11 + 1 = 100
usw.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
70
Damit wird die Verschlüsselung von Bitfolgen besonders einfach. Der Klartext und der Schlüsseltext
werden einfach bitweise addiert, wobei der Stellenübertrag jeweils weggelassen wird, d.h.
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0.
Klartext
Schlüssel
Geheimtext
1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0
1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
Wie leicht nachgerechnet werden kann, ergibt sich genauso einfach aus dem Geheimtext wieder der
Klartext, indem der Schlüssel wiederum bitweise zum Geheimtextaddiert wird.
Klartext
Schlüssel
Geheimtext
Schlüssel
Klartext
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
Wenn der Schlüssel aus einer rein zufälligen Folge von Nullen und Einsen besteht, mindestens so
lang wie die Nachricht ist und nur einmal verwendet wird (one-time pad), kann die Verschlüsselung
nicht gebrochen werden, was C. Shannon (1916–2001) 1949 bewiesen hat.
Der Schlüssel kann nun mit Hilfe von polarisierten Photonen sicher übertragen werden. Es gibt zwei
Klassen der quantenmechanischen Schlüsselübertragung: Einteilchen- und Zweiteilchensysteme.
Zweiteilchensysteme verwenden Paare von Photonen, die sich in einem verschränkten Zustand
be…nden. Im folgenden wird nur ein Einteilchensystem beschrieben, das von C. Bennett und G.
Brassard 1984 vorgeschlagen wurde und nun als BB84-Protokoll bekannt ist.
B.4
Das BB84-Protokoll
Der Sender wählt eine rein zufällige Folge von Einstellungen seiner Polarisationsapparatur (Basis).
Sodann wählt er eine ebenfalls rein zufällige Bitfolge. Dadurch wird die Polarisation der Photonen
bestimmt, die er dem Empfänger übermittelt (Abbildung 53).
Sender
Basis
Bitfolge
@
¡
¡
@
1
Polarisation ¡
¡
0
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
1
0
¡
¡
@
@
@
¡
¡
@
0
1
¡
¡
1
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
0
1
@
@
¡
¡
@
¡
¡
@
1
1
Abbildung 53: Polarisation der gesendeten Photonen
0
1
¡
¡
1
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
71
Der Empfänger wählt als seine Basis eine ebenfalls rein zufällige Folge von Einstellungen seiner
Analysatorapparatur. Die dadurch von ihm gemessene Folge von Polarisationen und die so erhaltene
Bitfolge sind in Abbildung 54 wiedergegeben.
Sender
Basis
Bitfolge
@
¡
¡
@
1
0
Polarisation ¡
¡
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
1
0
¡
¡
@
@
@
¡
¡
@
0
1
1
¡
¡
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
0
1
@
@
¡
¡
@
¡
¡
@
1
1
0
1
1
¡
¡
Empfänger
Basis
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
@
¡
¡
@
Messung
¡
¡
¡
¡
@
@
@
@
@
@
@
@
¡
¡
Bitfolge
1
0
1
0
0
0
0
Auswahl
p
p
p
p
1
0
p
1
p
1
0
p
1
1
p
Abbildung 54: Auswahl des Schlüssels
Nachdem die Übermittlung der vom Sender gewählten Bitfolge abgeschlossen ist, vergleichen Sender
und Empfänger ihre zufällig gewählten Basiseinstellungen. Für diesen Vergleich ist kein abhörsicherer Kanal erforderlich, er kann über eine gewöhnliche Telefonverbindung erfolgen.
Bei den Übertragungen, bei denen Sender und Empfänger zufällig die gleiche Basiseinstellung
gewählt haben, stimmen auch die Bits von Sender und Empfänger überein. Diese Bitfolge wird von
Sender und Empfänger ausgewählt (Abbildung 54, Zeile „Auswahl“) und dient ihnen als Schlüssel
für die Übermittlung des Geheimtextes. Die ersten Bits des so erzeugten Schlüssels sind also:
10100101.
Was passiert nun, wenn ein „Lauscher“ 62 (der berüchtigte sog. „man in the middle“) versucht, die
für die Übermittlung der Bitfolge gesendeten Photonen abzufangen? Damit die Aktivität des Spions
unbemerkt bleibt und Sender und Empfänger nicht gewarnt werden, dass ihre Schlüsselübertragung
nicht sicher ist, muss der Spion jedes Photon, das er abfängt und misst, unverändert zum Empfänger weiterleiten. Genau das ist aber auf Grund der quantenmechanischen Gesetzmässigkeiten
unmöglich.
62
Da es sich nicht um akustische, sondern um optische Signale handelt, ist „Lauscher“ o¤enbar nicht ganz das
passende Wort. Aber „Zuschauer“ oder gar „Seher“ passt natürlich ebensowenig. Es scheint kein geeignetes Wort
zu geben. Der „zuschauende Lauscher“ (??!) wird im Folgenden als „Spion“ bezeichnet.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
72
Abbildung 55 zeigt an einem Beispiel, was die Aktivität des Spions bewirkt.
Basis des Senders
Bit
1
Polarisation
Basis des Spions
@
¡
¡
@
Messung des Spions
¡
¡
oder
@
@
Basis des Empfängers
Messung des Empfängers
Bit
Fehler
oder
1
oder
0
p
Abbildung 55: Aktivität eines Spions
In 50 % der Fälle, in denen Sender und Empfänger (zufällig) die gleiche Basis gewählt haben, wird
der Spion die falsche wählen. Im gezeigten Beispiel hat er statt mit der vertikal/horizontalen Einstellung mit der diagonalen Einstellung gemessen und dementsprechend die Polarisation diagonal
nach rechts oder diagonal nach links erhalten. Wenn er nun das abgefangene Photon mit dieser
Polarisation weitersendet, misst der Empfänger mit je 50 % Wahrscheinlichkeit vertikale oder horizontale Polarisation. Ohne Störung hätte er mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit vertikale
Polarisation gemessen. In der Hälfte dieser Fälle wird also die Polarisation beim Empfänger verfälscht. Wenn Sender und Empfänger einen gewissen Bruchteil ihrer ausgewählten Bitfolge direkt
vergleichen und dabei feststellen, dass die Fehlerrate einen bestimmten Grenzwert überschreitet,
können sie daraus schliessen, dass ihre Übertragung „abgehört“ wurde.
Bei der Realisierung dieses Konzepts der Schlüsselübertragung treten noch zwei Probleme auf.
Im Prinzip dürfte für die Übermittlung eines Bits nur ein einzelnes Photon verwendet werden.
Wenn für ein Bit ein Lichtimpuls von mehreren Photonen im gleichen Polarisationszustand gesendet
wird, könnte der Spion eines davon „stehlen“, seinen Polarisationszustand messen und es nicht
weitersenden, ohne dass der Empfänger das bemerken würde. Es wurde jedoch ein Verfahren
entwickelt, mit dem ein solcher Lauschangri¤ mit grosser Sicherheit bemerkt werden kann. Seit
kurzem gibt es auch brauchbare Lichtquellen, die einzelne Photonen emittieren. Allerdings sind
solche Lichtquellen noch nicht kommerziell erhältlich.
Die hier vorausgesetzte perfekte Korrelation zwischen gesendeten und empfangenen Bits bei paralleler Basis wird in der Praxis durch verschiedene E¤ekte gestört. Ein Winkelfehler bei der Ausrichtung der Polarisatoren bewirkt zum Beispiel, dass mit einer nichtverschwindenden Wahrscheinlichkeit eine horizontale Polarisation gemessen wird, wenn eine vertikal gesendet wurde. Auch kann
sich unter Umständen die Polarisation eines Photons auf seinem Weg durch die Lichtleiterfaser
verändern. Solche Fehler können durch klassische Fehlerkorrektur-Algorithmen korrigiert werden.
A. Ruh
C
Wellen oder Teilchen?
73
Anhang C
Mathematische und physikalische Begri¤e und Gesetze
Dieser Anhang kann selbstverständlich weder ein Mathematik- noch ein Physik- Lehrbuch ersetzen.
Es sollen lediglich die wichtigsten mathematischen und physikalischen Begri¤e und Gesetze, die in
diesem Skript verwendet werden, möglichst kurz und einfach erklärt werden. Auf Beweise und
Herleitungen und auch auf mathematische Strenge wird verzichtet.
Die Erklärungen sollten hinreichend sein, dass die Gedankengänge im Manuskript nachvollzogen
werden können. Falls jedoch die eine oder andere knappe Erklärung die Leserin oder den Leser
veranlasst, sich anhand eines Lehrbuches genauer zu informieren, hat sie ihren Zweck ebenfalls
erfüllt.
C.1
Alphateilchen
Alphateilchen sind nichts anderes als die Kerne der Atome von Helium63 . Sie bestehen aus zwei
Protonen und zwei Neutronen.
C.2
Amplitude
Der Maximalwert einer sich periodisch ändernden physikalischen Grösse wird Amplitude genannt.
Abbildung 56 zeigt die Amplitude einer Sinusschwingung oder Sinuswelle.
Abbildung 56: Amplitude einer Sinusschwingung oder Sinuswelle
C.3
Approximation
Eine Approximation
63
64
ist eine (An-)Näherung.
Gemeint ist 4 He. Natürliches Helium besteht zu 99.999863 % aus 4 He und zu 0.000137 % aus 3 He. Die
Atomkerne von 4 He bestehen aus zwei Protonen und zwei Neutronen, die Atomkerne von 3 He aus zwei Protonen und
einem Neutron.
64
Das lateinische Wort „proximitās“ bedeutet „Nähe“ „Nachbarschaft“.
A. Ruh
C.4
Wellen oder Teilchen?
74
Arbeit
Wird der Angri¤spunkt einer Kraft F~ um eine kleine Strecke d~s verschoben (Abbildung 57), so ist
die dabei geleistete Arbeit de…niert als
dW = F ds cos ® :
*
©
© F
~
©
©
©
©
©©
©
©
©©
©
©.......
©®
..
..
©
..
©
. -
d~s
Abbildung 57: De…nition der Arbeit
Das d bei d~s bedeutet, dass nur eine sehr kleine Verschiebung betrachtet wird. Dementsprechend
ist auch die geleistete Arbeit dW sehr klein, was wieder durch das d in dW ausgedrückt wird. Eine
grössere Verschiebung kann aus vielen kleinen Schritten d~s zusmmengesetzt werden. Dabei können
sowohl die Richtungen von d~s und F~ als auch der Betrag F bei jedem kleinen Schritt d~s sich ändern.
Die totale Arbeit ist dann die Summe der kleinen Beiträge dW , was durch die Beziehung
W =
Z
F cos ® ds
R
ausgedrückt wird. Das Symbol bedeutet „Integral“, was vereinfacht gesagt nichts anderes ist als
eine Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Summanden.
cos steht für Kosinus. Der Verlauf der Kosinusfunktion ist in Abbildung 5 wiedergegeben.
Für eine geradlinige Verschiebung einer konstanten Kraft, die parallel ist zur Verschiebungsrichtung,
ist ® = 0 und cos ® = 1, und es ergibt sich die einfache Beziehung
W = F s;
was in Worten manchmal als „Arbeit ist gleich Kraft mal Weg“ ausgedrückt wird. Diese einfache
Regel gilt aber nur unter den oben genannten Voraussetzungen.
~ senkrecht steht zur Verschiebungsrichtung d~s, ist ® = 90± und cos ® = 0 und soWenn die Kraft F
mit dW = 0. Wird also der Angri¤spunkt einer Kraft senkrecht zur Richtung der Kraft verschoben,
so leistet die Kraft keine Arbeit.
Die Einheit der Arbeit ist das Joule. 1 J = 1 Nm .
A. Ruh
C.5
Wellen oder Teilchen?
75
Axiom
Ein Axiom 65 ist ein (willkürlich) festgelegter Grundsatz einer Theorie, der mit den Mitteln der
Theorie nicht bewiesen werden kann.
C.6
Beschleunigung
Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit:
a=
¢v
:
¢t
Die so de…nierte Beschleunigung a ist die mittlere Beschleunigung während des Zeitintervalls ¢t.
Für die momentante Beschleunigung ergibt sich (vgl. Abschnitt „Geschwindigkeit“):
a=
dv
:
dt
Die Einheit der Beschleunigung ist m/s2 .
Im allgemeinen Fall ist die Beschleunigung als Vektor darzustellen (vgl. Abschnitt „Geschwindigkeit“):
~a =
C.7
d~v
:
dt
Deuterium
Deuterium, auch schwerer Wassersto¤ genannt, ist das Wassersto¤-Isotop 2 H. Der Kern eines
Deuteriumatoms besteht aus einem Proton und einem Neutron.
C.8
Drehimpuls
Der Drehimpuls einer (punktförmigen) Masse m bezüglich einer Achse ist de…niert als
L = mvr:
Dabei ist v die Geschwindigkeit der Masse, und r ist ihr Abstand von der Achse.
Ein ausgedehnter Körper kann als aus vielen kleinen Massenelementen zusammengesetzt gedacht
werden. Wenn er sich um eine Achse dreht, ist sein gesamter Drehimpuls gleich der Summe der
Drehimpulse der vielen kleinen Massenelemente:
L = m1 v1 r1 + m2 v2 r2 + m3 v3 r3 + : : : + mn vn rn :
65
Das griechische Wort „axioma“ bedeutet u.a. „Forderung“.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
76
Für jedes Massenelement wird seine Masse mit seiner Geschwindigkeit und seinem Abstand von
der Achse multipliziert. Sodann werden die Beiträge aller n Massenelemente aufaddiert.
Mit Hilfe des Summationssymbols § lässt sich eine solche Summe kompakter und klarer schreiben:
L=
n
X
mi vi ri :
i=1
C.9
Elektronvolt
Wenn ein Teilchen mit einer Elementarladung, z.B. ein Proton oder ein Elektron, eine Spannungsdi¤erenz von 1 Volt durchläuft, gewinnt es eine Energie von 1 Elektronvolt (eV) (Abbildung 58).
Abbildung 58: De…nition des Elektronvolt
Die Umrechnung in die Energieeinheit Joule ist:
1 eV = 1:602 ¢ 10¡19 J :
C.10
Elementarladung
Die Elementarladung e ist die kleinste in der Natur frei vorkommende elektrische Ladungsmenge. Sie
beträgt 1:602¢10¡19 C. C ist das Symbol für Coulomb, die Einheit für die elektrische Ladungsmenge.
1 C = 1 As. A ist das Symbol für Ampere, die Einheit der elektrischen Stromstärke.
Das Elektron trägt eine negative und das Proton eine positive Elementarladung. Quarks tragen
drittelzahlige Ladungen (§ e/3 oder § 2e/3), aber sie treten nur in Systemen aus zwei oder drei
Quarks auf, die ganzzahlige Ladungen haben.
C.11
Energie
Obwohl „Energie“ ein Begri¤ ist, der im Alltag häu…g verwendet wird, lässt sich der physikalische
Begri¤ Energie nur schwer in wenigen Worten richtig und genügend allgemein de…nieren, zumal es
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
77
eine grosse Zahl von verschiedenen Energieformen gibt. Eine einfache (aber nicht in allen Fällen
zutre¤ende) De…nition lautet: Energie ist Arbeitsvermögen.
Die Einheit der Energie ist das Joule (vgl. Arbeit).
C.11.1
Kinetische Energie
Wenn ein Körper aus dem Stillstand auf eine bestimmte Geschwindigkeit gebracht werden soll,
muss er beschleunigt werden. Dazu ist eine Kraft erforderlich. Da die Kraft, die den Körper
beschleunigen soll, sich mit dem Körper mitbewegen muss, verschiebt sich ihr Angi¤spunkt (mit
zunehmender Geschwindigkeit). Somit (s. Abschnitt C.4) wird Arbeit geleistet. Diese Arbeit ist
gewissermassen im bewegten Körper gespeichert, er hat eine kinetische Energie.
Ein Körper der Masse m, der sich mit der Geschwindigkeit v (die viel kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit c) bewegt, hat die kinetische Energie
Ekin =
m v2
:
2
Im Prinzip könnte diese Energie wieder in nutzbringende Arbeit umgewandelt werden, wenn der
Körper abgebremst wird. Dies ist bei einer geradlinigen Bewegung nicht ganz einfach. Bei einer Drehbewegung wird dies aber tatsächlich ausgenützt, nämlich bei Schwungrädern. Mit einem
Elektromotor kann ein Schwungrad auf eine hohe Drehzahl gebracht werden. Dabei wird dem
Motor elektrische Energie zugeführt, und er leistet mechanische Arbeit, die durch das Schwungrad
in kinetische Energie umgesetzt wird. Das Schwungrad kann diese Arbeit zurückliefern, indem es
zum Beispiel einen elektrischen Generator antreibt. Dadurch wird es wieder abgebremst, wobei es
Arbeit leistet, die im Generator in elektrische Energie umgewandelt wird.
C.11.2
Potentielle Energie
Potentielle Energie ist eine Energie, die von der Lage des Körpers oder des Systems im Raum
abhängt.
Soll zum Beispiel ein Körper im Schwerefeld der Erde gehoben werden, so muss dafür Arbeit
geleistet werden. Am Körper muss eine nach oben gerichtete Kraft F angreifen, die (mindestens)
gleich gross ist wie sein Gewicht G. Währenddem der Körper auf die Höhe h gehoben wird,
verschiebt sich der Angri¤spunkt in der Richtung der Kraft um die Strecke s = h. Somit wird die
Arbeit W = F ¢ s = G ¢ h geleistet. Diese Arbeit ist in die potentielle Energie
Epot = G ¢ h
umgewandelt worden. Diese einfache Beziehung gilt nur für Hubhöhen h, die nicht so gross sind,
dass das Gewicht G sich ändert.
Potentielle Energie tritt nicht nur im Schwerefeld der Erde, sondern generell in allen Kraftfeldern
auf, insbesondere zum Beispiel in einem elektrischen Feld.
Von potentieller Energie wird auch gesprochen, wenn eine Feder gespannt wird. Zum Spannen
der Feder muss Arbeit aufgewendet werden. Die gespannte Feder enthält potentielle Energie, die
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
78
wieder in Arbeit umgesetzt werden kann. Dies wird zum Beispiel bei Federmotoren in Spielzeugen
und bei mechanischen Uhren ausgenützt.
C.11.3
Elektrische Energie
Elektrische Energie ist (vereinfacht ausgedrückt) gleich Spannung mal Strom mal Zeit.
Ein elektrischer Generator wandelt mechanische Arbeit in elektrische Energie um, und ein Elektromotor verwandelt elektrische Energie in mechanische Arbeit.
C.11.4
Innere Energie
Wird ein schnell bewegtes Fahrzeug zum Stillstand abgebremst, so wird die kinetische Energie in
Reibungsarbeit umgesetzt. Die Kräfte zwischen Bremsscheiben und Bremsklötzen leisten Arbeit.
Dabei werden diese erwärmt, d.h. die Temperatur der Bremsscheiben und der Bremsklötze (und
auch der Umgebung) steigt an und ihre innere Energie nimmt zu. Statt von „innerer Energie“ wird
gelegentlich von „innerer Wärme“ oder von „Wärmeenergie“ gesprochen, was aber irreführend ist
und vermieden werden sollte.
C.11.5
Chemische Energie
Die potentielle Energie in den elektrischen Feldern der Atome und Moleküle manifestiert sich bei
chemischen Reaktionen als chemische Energie. Bei einer Verbrennung wird die chemische Energie
des Brennsto¤es freigesetzt, und in einem Akkumulator wird beim Laden die zugeführte elektrische
Energie als chemische Energie gespeichert, und bei der Entladung wird chemische Energie wieder
in elektrische Energie umgewandelt.
C.12
Energie(erhaltungs)satz
Ein System, das mit seiner Umgebung weder Materie noch Energie austauscht, wird abgeschlossen
genannt.
In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Energien konstant.
Vielleicht tönt der Energiesatz zusammen mit der De…nition des „abgeschlossenen Systems“ beinahe wie eine Tautologie. Die Aussage des Energiesatzes ist jedoch keineswegs selbstverständlich. Es gibt nämlich physikalische Grössen,
die in einem abgeschlossenen System keineswegs konstant bleiben (z.B. die Entropie).
Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energieformen umgewandelt
werden. Streng genommen gibt es also auch keine „Energieverluste“. Wenn zum Beispiel von
„Energieverlusten“ infolge von Reibung gesprochen wird, ist damit gemeint, dass ein Teil der
zugeführten Arbeit oder Energie durch Reibungsarbeit in innere Energie umgewandelt wird. Die
innere Energie eines Körpers kann aber nur sehr beschränkt oder gar nicht in nutzbringende Arbeit
verwandelt werden. Aus dem heissen Dampf in einem thermischen Kraftwerk lässt sich Arbeit und
daraus elektrische Energie gewinnen (aber nur mit einem Wirkungsgrad von 30 bis 40 %), aber
mit den durch das Bremsen heiss gewordenen Felgen und Bremsklötzen eines Fahrrades lässt sich
dieses nicht mehr in Bewegung setzen, obwohl dies auf Grund des Energieerhaltungssatzes nicht
ausgeschlossen ist.
A. Ruh
C.13
Wellen oder Teilchen?
79
Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion ist die Funktion (vgl. Abschnitt „Funktion“)
y = ax :
Die Konstante a ist die sogenannte Basis. Sie muss grösser als null sein (a > 0), x hingegen ist
beliebig. Im Spezialfall a = 1 wird die Funktion zu einer Konstanten: y = 1.
Die Exponentialfunktion zur Basis a = e = 2:718281828459045 : : : hat in der Physik eine besonders
grosse Bedeutung.
y = ex
wird als „natürliche Exponentialfunktion“ oder kurz als „e-Funktion“ bezeichnet. Ihre besondere
Bedeutung beruht auf ihrer Eigenschaft, dass die Zunahme der Funktion gleich dem Funktionswert
ist, d.h. es gilt
dy
= y:
dx
Der Funktionswert y nimmt umso schneller zu, je grösser der Funktionswert schon ist.
C.14
Feld
Ein Feld ist eine physikalische Grösse, die in einem Raumbereich in jedem Punkt als Funktion des
Ortes de…niert ist.
Falls diese Grösse durch eine einizige Zahl bestimmt ist, wird von einem Skalarfeld gesprochen
(Beispiel: Wenn in einem gewissen Raumbereich in jedem Punkt die Temperatur gegeben ist, kann
von einem Temepraturfeld gesprochen werden.).
Falls dagegen die Grösse durch einen Vektor beschrieben wird, handelt es sich um ein Vektorfeld
(Beispiele: In einer Strömung ist die Strömungsgeschwindigkeit ein Vektor, der eine Funktion des
Ortes ist. Die Strömung bildet ein Vektorfeld. Elektrische und magnetische Felder sind ebenfalls
Vektorfelder.).
C.15
Funktion
Eine Funktion
y = f(x)
ist eine „Vorschrift“, mit der jedem Wert der Variablen x ein Wert der Variablen y zugeordnet
wird.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
80
Einfache Beispiele von Funktionen:
y
y
y
y
y
C.16
=
=
=
=
=
x+3
2x
3x¡5
x2
4 x3 + 2:3 x2 ¡ 6:4 x + 5:2
Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeiteinheit:
v=
¢s
:
¢t
Wird ein endliches Zeitintervall ¢t gewählt (z.B. 1 Sekunde, 1 Minute oder 1 Stunde), so ist v
die mittlere Geschwindigkeit während dieses Zeitintervalls. Die momentane Geschwindigkeit ergibt
sich, wenn das Zeitintervall ¢t „unendlich klein“ gemacht wird. Die mathematische Operation,
die erlaubt, ¢t gegen null gehen zu lassen und dabei den sogenannten Grenzwert von ¢s=¢t zu
berechnen, heisst Di¤erenzieren. Im Grenzfall ¢t ! 0 wird statt
v=
¢s
¢t
v=
ds
dt
dann
geschrieben. Im Internationalen Einheitensystem ist die Einheit der Gschwindigkeit m/s.
Im allgemeinen Fall müssen sowohl der Ort als auch die Geschwindigkeit durch einen Vektor dargestellt werden. Dann ist
~v =
C.17
d~r
:
dt
Gewicht
Das Gewicht oder die Gewichtskraft eines Körpers ist die Kraft, mit welcher der Körper von der
Erde66 angezogen wird.
Die Maßeinheit für das Gewicht ist das Newton (N). Im Alltag wird das Gewicht eines Körpers
meist fälschlicherweise in Kilogramm ausgedrückt.
Im Gegensatz zur Masse ist das Gewicht eines Körpers ortsabhängig. Das Gewicht eines Körpers
ist auf einem hohen Berg kleiner als auf Meereshöhe und wegen der Abplattung der Erde an den
66
oder von dem Planeten oder Satelliten, auf dem sich der Körper be…ndet
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
81
Polen grösser als am Äquator. Ein Körper mit einer Masse von 1 kg wiegt fast überall in der
Schweiz 9.81 N. Auf dem Mond dagegen hat ein Körper mit einer Masse von 1 kg nur noch ein
Gewicht von 1.62 N.
Infolge der Erddrehung wird das tatsächlich gemessene Gewicht eines Körpers noch zusätzlich etwas
beein‡usst. Einen weiteren noch kleineren Ein‡uss haben Mond und Sonne durch die Gezeitenwirkung.
C.18
i
i ist die imaginäre Einheit. Sie ist de…niert durch
i2 = ¡1
C.19
Impuls
Der Impuls eines Körpers ist de…niert als p~ = m ~v .
C.20
Impuls(erhaltungs)satz
Der Gesamtimpuls eines Systems von Körpern, auf das keine äusseren Kräfte wirken, bleibt konstant.
C.21
Isotop
Isotope sind Nuklide, deren Kerne gleich viele Protonen, aber unterschiedlich viele Neutronen enthalten. Sie haben die gleiche Ordnungszahl Z, aber unterschiedliche Massenzahlen A.
C.22
Joule
1
James Prescott Joule (1818–1889): englischer Physiker.
2
Joule: Einheit für Arbeit und Energie. Wird ein Gewicht von 1 Newton auf eine Höhe von 1 Meter
gehoben, so wird eine Arbeit von 1 Joule (J) geleistet.
1 J = 1 Nm .
C.23
Koordinatensystem
Der Ort eines Punktes im Raum kann mit Hilfe eines Koordinatensystems festgelegt werden. Unter
den verschiedenen möglichen Koordinatensystemen wird das kartesische Koordinatensystem beson-
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
82
ders häu…g verwendet. Im dreidimensionalen Raum besteht ein kartesisches Koordinatensystem aus
drei paarweise zueinander senkrecht stehenden Geraden, den Koordinatenachsen, die üblicherweise
mit x, y und z bezeichnet werden. Der Ort eines Punktes P kann dann durch seine Koordinaten
x, y und z gegeben werden (Abbildung 59). Die Werte der Koordinaten können auch negativ sein.
Beispielsweise würde ein negativer Wert von z bedeuten, dass sich der Punkt P „unterhalb“ der
xy-Ebene be…ndet.
z
uP
z
y
¡
x ¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
y
x
Abbildung 59: Kartesisches Koordinatensystem
C.24
Ladungen
Ladung ist die Eigenschaft eines physikalischen Objekts, mit einem Feld in Wechselwirkung zu
treten.
Eine elektrische Ladung (vgl. Abschnitt 1.3.1) erzeugt ein elektrisches Feld (und wenn sie bewegt
ist, auch ein magnetisches Feld), und durch ein elektromagnetisches Feld wird eine Kraft auf eine
Ladung bewirkt.
Analog erzeugt eine Masse ein Gravitationsfeld, und durch ein Gravitationsfeld wird eine Kraft auf
eine Masse bewirkt. Masse kann daher als gravitative Ladung aufgefasst werden.
Entsprechend gibt es eine schwache Ladung, die zur schwachen Wechselwirkung gehört.
Bei der starken Wechselwirkung gibt es drei verschiedene Ladungen, die als Farbladungen bezeichnet
werden. Diese werden „rot“, „grün“ und „blau“ genannt, wobei diese Farben natürlich rein gar
nichts mit den sichtbaren Farben von Objekten zu tun haben. Wegen dieser Namensgebung wird
die Quantenfeldtheorie der starken Wechselwirkung Quantenchromodynamik genannt.
A. Ruh
C.25
Wellen oder Teilchen?
83
Leistung
Leistung ist Arbeit oder Energie pro Zeiteinheit.
Die Einheit der Leistung ist das Watt. 1 Watt ist 1 Joule pro Sekunde.
1 W = 1 J/s .
Dementsprechend sind Wattsekunden (Ws), Wattstunden (Wh) und Kilowattstunden (kWh) Energie-Einheiten.
1 Ws = 1 J
1 kWh = 3.6¢106 J
Hingegen ist die Grösse „Watt/Stunde“, die im Zusammenhang mit Energie oder Leistung leider
nicht allzu selten angetro¤en werden kann, völliger Blödsinn. W/h würde an sich eine Zunahme
(oder Abnahme) der Leistung pro Stunde bedeuten, aber das ist jeweils nicht gemeint, sondern die
Einheiten Watt und Wattstunden sind nicht verstanden worden.
C.26
Masse
Die Masse m eines Körpers ist eine fundamentale Eigenschaft des Körpers. Zunächst kann unterschieden werden zwischen träger und schwerer Masse.
Die träge Masse eines Körpers ist ein Maß für seine „Trägheit“ gegenüber einer Änderung seines
Bewegungszustandes. Je grösser die träge Masse, desto grösser ist die Kraft, die für eine bestimmte
Änderung der Geschwindigkeit erforderlich ist.
Die schwere Masse eines Körpers ist ein Maß für die Kraft, mit der ein Körper von einem anderen
Körper (z.B. von der Erde) angezogen wird. Je grösser die schwere Masse eines Körpers ist, desto
grösser ist sein Gewicht.
Da es sich herausgestellt hat, dass schwere und träge Masse stets streng proportional sind, kann
der Proportionalitätsfaktor gleich eins gesetzt werden, und es muss zwischen schwerer und träger
Masse nicht unterschieden werden. Es wird daher meist nur von Masse gesprochen. Dank der
Proportionalität zwischen schwerer und träger Masse lassen sich Massen durch Wägen bestimmen.
Ferner bildet die strenge Proportionalität zwischen schwerer und träger Masse die Grundlage der
Allgemeinen Relativitätstheorie.
Die Maßeinheit für die Masse ist das Kilogramm (kg).
Im Gegensatz zum Gewicht ist die Masse eines Körpers ortsunabhängig. Ein Körper, der auf der
Erde eine Masse von 1 kg aufweist, hat auch auf dem Mond eine Masse von 1 kg.
C.27
Multiplikation
In der Mathematik, in den Naturwissenschaften und in der Technik wird die Multiplikation von
zwei Zahlen oder Symbolen mit einem Punkt ausgedrückt:
3 ¢ 5 = 15 ;
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
84
oder allgemein:
a¢b:
Das Malzeichen £ bedeutet in der Mathematik eine allgemeinere Operation als die gewöhnliche
Multiplikation.
Da als Symbole für mathematische oder physikalische Grössen in der Regel nur einzelne Buchstaben
verwendet werden, kann ohne Gefahr von Missverständnissen bei der Multiplikation von Symbolen
der Multiplikationspunkt auch weggelassen werden:
a ¢ b = ab;
was bei der Multiplikation von zwei Zahlen natürlich nicht möglich ist:
3 ¢ 5 6= 3 5 :
Jedoch ist 3 a eindeutig:
3a = 3 ¢ a:
C.28
Neutron
Das Neutron ist ein elektrisch neutrales Teilchen, dessen Masse um 1.3 Promille grösser ist als die
Masse eines Protons (s. Abschnitt C.37). Es ist wie das Proton ein Kernbaustein. Alle Atomkerne
ausser dem Kern des normalen Wassersto¤s (1H) enthalten Neutronen.
C.29
Newton
1
Sir Isaac Newton (1643 - 1727): englischer Physiker, Mathematiker und Astronom.
2
Newton: Einheit der Kraft. 1 Newton (N) ist die Kraft, die einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung
von 1 m/s2 erteilt:
1 N = 1 kgms¡2 .
C.30
Newtonsche Gesetze
1. Newtonsches Gesetz
Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung,
wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.
Das erste Newtonsche Gesetz wird auch als „Trägheitsgesetz“ bezeichnet.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
85
2. Newtonsches Gesetz
Die Änderung der Bewegung [eines Körpers] ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional
und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
Dies kann auch kurz so ausgedrückt werden:
Die momentane zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der einwirkenden Kraft.
Das entspricht der folgenden Beziehung:
p
~ = d~
F
:
dt
~ die Kraft und p~ der Impuls. In der klassischen Mechanik ist die Masse m konstant und
Dabei ist F
die Newtonsche Gleichung kann auch so geschrieben werden:
~ = m d~v = m~a :
F
dt
Das zweite Newtonsche Gesetz wird auch als „dynamisches Grundgesetz“ oder als „Aktionsprinzip“
bezeichnet.
3. Newtonsches Gesetz
Die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
Dieses Gesetz kann durch die folgende Beziehung ausgedrückt werden:
~BA = ¡ F
~AB :
F
~AB die Kraft, mit der der Körper A auf den Körper B wirkt, und F~BA ist die Kraft, mit
Dabei ist F
der der Körper B auf den Körper A wirkt.
Das dritte Newtonsche Gesetz wird auch als „Wechselwirkungsgesetz“ oder „Reaktionsprinzip“
bezeichnet. Häu…g wird dafür auch die Formulierung in lateinischer Sprache verwendet:
„actio = reactio“ .
C.31
nichtrelativistisch
Von nichtrelativistisch wird gesprochen, wenn beim betrachteten Vorgang oder Zustand die Geschwindigkeit der Teilchen so klein ist verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit, dass die Gleichungen
der Newtonschen Mechanik eine hinreichend genaue Näherung liefern.
C.32
Nuklid
Ein Nuklid ist eine Atomkernart mit einer bestimmten Ordnungszahl Z und einer bestimmten Massenzahl A. Ein Nuklid wird durch das Symbaol A
Z X dargestellt, wobei X für das chemische Symbol
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
steht. Beispiele: 11 H für Wassersto¤, 21 H für schweren Wassersto¤ (Deuterium),
und 235
92 U für das Uranisotop, das in Kernreaktoren als „Brennsto¤“ dient.
C.33
86
16 O
8
für Sauersto¤
Plasma
In der Physik wird unter Plasma ein (eventuell vollständig) ionisiertes Gas verstanden. Ein ioniersiertes Gas besteht aus positiven Ionen, freien Elektronen und (bei unvollständiger Ionisation)
aus neutralen Teilchen. Ein Ion ist ein elektrisch geladenes Teilchen, das aus einem Atom oder
Molekül durch Hinzufügen (negatives Ion) oder Entfernen (positives Ion) von einem oder mehreren
Elektronen entsteht.
C.34
Potenzen
Die Multiplikation einer Zahl a mit sich selbst wird abgekürzt geschrieben als a2 :
a ¢ a = a a = a2 :
a2 wird als „a Quadrat“, „a im Quadrat“ oder seltener „a hoch zwei“ ausgesprochen.
Entsprechend wird geschrieben:
aaa
aaaa
aaaaa
=
=
=
a3
a4
a5 usw.
a3 wird als „a hoch 3“ ausgesprochen. Die hochgestellte Zahl wird als „Exponent“ bezeichnet.
an ist die n-te Potenz von a.
O¤ensichtlich gilt z.B.:
a2 ¢ a3 = a5 = a2+3 :
Diese Regel gilt ganz allgemein:
am ¢ an = am+n :
Ferner ist
a5
= a2 ;
a3
oder, allgemein:
am
= am¡n :
an
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
87
Damit diese Rechenregeln uneingeschränkt gelten, sind folgende Festlegungen sinnvoll:
a¡n =
1
an
und
a0 = 1 :
Es ist auch leicht einzusehen, dass
(am )n = am¢n
gilt.
Zweckmässigerweise wird noch
a1=n =
p
n
a
de…niert (s. Abschnitt „Wurzeln“). Dann können auch gebrochene Zahlen als Exponenten verwendet werden.
C.35
Produkt
Das Resultat einer Multiplikation wird Produkt genannt. Auch der Ausdruck a ¢ b wird als Produkt
bezeichnet.
C.36
Proportionalität
Wenn zwischen zwei Variablen x und y die Beziehung y = a ¢ x gilt, wobei a eine Konstante ist,
sind y und x zueinander proportional. a ist die Proportionalitätskonstante.
Wenn y = a=x gilt, sind y und x zueinander umgekehrt proportional.
Beispiele:
~p = m~v . Der Impuls p~ ist proportional zu ~v .
Ekin =
p=
m v2
. Die kinetische Energie ist proportional zu v2 .
2
h
. Der Impuls ist umgekehrt proportional zu ¸.
¸
C.37
Proton
Ein Proton ist der Kern des (normalen) Wassersto¤atoms. Das Proton trägt eine positive Elementarladung und hat eine 1836mal grössere Masse als das Elektron.
C.38
Quantenchromodynamik
Die Quantenchromodynamik ist die Quantenfeldtheorie der starken Wechselwirkung (s. Abschnitt
Ladungen).
A. Ruh
C.39
Wellen oder Teilchen?
88
Quantenelektrodynamik
Die Quantenelektrodynamik ist die Quantenfeldtheorie der elektromagnetischen Wechselwirkung.
C.40
Quantenfeldtheorie
Die Quantenfeldtheorie ist die relativistische Theorie der Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen. In der Quantenfeldtheorie sind nicht nur (wie in der Quantenmechanik) die Zustände
der Teilchen, sondern auch die Felder der Wechselwirkungen quantisiert67 . Die Quantenfeldtheorie
beschreibt auch die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen und Quanten (z.B. die Emission und
Absorption von Lichtquanten).
C.41
Quantenmechanik
Die Quantenmechanik ist die nichtrelativistische Theorie kleinster Teilchen wie Elektronen, Protonen, Atome, Moleküle usw.
C.42
relativistisch
Von relativistisch wird gesprochen, wenn beim betrachteten Vorgang oder Zustand die Geschwindigkeit der Teilchen nicht klein ist verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit, so dass die Gleichungen
der Newtonschen Mechanik nicht genau genug sind und mit den Gleichungen der Relativitätstheorie
gerechnet werden muss.
C.43
Tritium
Tritium ist das Wassersto¤-Isotop 31 H. Der Kern des Tritiumatoms besteht aus einem Proton und
zwei Neutronen.
C.44
Variable
Die Ober‡äche A einer Kugel mit dem Radius r wird mit Hilfe der Formel
A = 4 ¼ r2
berechnet. Dabei sind 4 und ¼ = 3:1415926 : : : Konstanten, d.h. diese Zahlen sind für alle Kugeln gleich. Der Radius r und die Ober‡äche A sind dagegen Variablen, d.h. r und A haben für
verschiedene Kugeln verschiedene Zahlenwerte.
67
Zum Beispiel ergeben sich durch die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes die Photonen.
A. Ruh
C.45
Wellen oder Teilchen?
89
Vektoren
Vektoren sind – vereinfacht gesagt – mathematische Objekte, die (im dreidimensionalen Raum)
durch einen Betrag (d.h. eine positive Zahl) und eine Richtung im Raum charakterisiert werden
können und bestimmte Rechenregeln und gewisse Transformationsbedingungen beim Übergang von
einem zu einem anderen Koordiantensystem erfüllen. Nicht alle Grössen, denen ein Betrag und eine
Richtung zugeordnet werden können, sind Vektoren. Als Symbol für einen Vektor wird häu…g ein
Buchstabe mit einem darübergestellten Pfeil verwendet: ~a.
Viele Grössen in der Physik lassen sich durch Vektoren darstellen. Beispiele sind: Geschwindigkeit,
Beschleunigung, Kraft, Impuls und elektrische, magnetische oder gravitative Feldstärke.
Statt durch seinen Betrag a = j~aj und die Richtungswinkel # und ' kann der Vektor ~a auch durch
seine Komponenten ax ; ay ; az gegeben werden:
(1)
~a = (ax ; ay ; az ) :
Die Komponenten eines Vektors sind seine Projektionen auf die Koordinatenachsen. Wird der
Vektor parallel zu sich selbst mit seinem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung verschoben,
können die Komponenten ax ; ay ; az leicht abgelesen werden (Abbildung 60).
z
~a
#¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
7
¶¶
az
¶
¶
Q
¡
¡
Q
'
¡
Q
ax ¡
Q
¡
¡
Q
¡
¡
Q
Q
¡
¡
QQ¡
¡
ay
¡
¡
¡
¡
x
Abbildung 60: Komponenten eines Vektors
y
A. Ruh
C.46
Wellen oder Teilchen?
90
Wärme
Werden zwei Körper verschiedener Temperatur miteinander in Berührung gebracht, so kühlt sich
der wärmere Körper ab, während sich der kältere erwärmt, und ohne äussere Einwirkung kommt
der Vorgang dann zum Stillstand, wenn die beiden Körper die gleiche Temperatur aufweisen.
Diese Erfahrung wurde früher dadurch erklärt, dass vom wärmeren zum kälteren Körper ein unsichtbarer und unwägbarer Wärmesto¤, das Caloricum, übergeht. Diese Vorstellung hielt sich bis
in die Mitte des 19. Jahrhunderts, obwohl schon etwa hundert Jahre vorher der Gedanke auftauchte, „Wärme“ könnte etwas mit der Bewegung der kleinsten Sto¤teilchen zu tun haben, und gegen
Ende des 18. Jahrhunderts die Argumente sich häuften, die gegen den Sto¤charakter der Wärme
sprachen.
B. Thompson, später Graf Rumford, (1753–1814) entdeckte 1798 beim Bohren von Kanonenrohren, dass mit einem
stumpfen Bohrer unbegrenzt viel Wärme produziert werden konnte. Es entstand Wärme so lange, wie der Bohrer
von den Pferden angetrieben wurde. Somit konnte die Wärme wohl kaum bereits vorher als Sto¤ im Eisen enthalten
sein.
1799 brachte H. Davy (1778–1829) zwei Eisstücke durch Reiben zum Schmelzen. Auch dieses Experiment liess sich
mit der Vorstellung eines Wärmesto¤s kaum erklären.
Dass die Produktion von Wärme durch Reibungsarbeit keine e¢ziente Heizmethode ist, war natürlich schon Rumford
völlig klar. Er schrieb: “But no circumstances can be imagined in which this method of procuring heat would not be
disadvantageous; for more heat might be obtained by using the fodder necessary for the support of a horse as fuel.”
Im kleinen Massstab ist jedoch die Erwärmung durch Reibung durchaus von Bedeutung. Die wohl älteste Methode der
Entfachung von Feuer beruht darauf, dass zwei Hölzer aneinander gerieben werden, indem mit Hilfe einer Bogensehne,
die um einen Hartholzstab gewickelt ist, dieser in einem weicheren Holz schnell hin und her gedreht wird. Auch die
moderneren Methoden der Feuererzeugung beruhen immer noch auf Reibungsarbeit. Bei Streichhölzern wird der Kopf
durch die Reibungswärme auf die Temperatur gebracht, bei der die chemische Reaktion einsetzt. Bei Feuerzeugen
werden durch Reibung winzige glühende Partikel von „Cereisen“ (50 % Eisen und 50 % Cer) weggeschleudert und
entzünden das Gas oder den Benzindampf.
Erst 1842 stellte der Arzt J.R. Mayer (1814–1878) die Behauptung auf, dass Arbeit in Wärme
umgewandelt werden kann und dass dabei die Energie erhalten bleibt. Er bestimmte als erster das
mechanische Wärmeäquivalent 68 , d.h. den Umrechnungsfaktor von den mechanischen Arbeitseinheiten in die Wärmeeinheit Kalorie 69 .
Die Kalorie war die Einheit für kalorimetrische Messungen, bei denen Wärmemengen miteinander
verglichen wurden. Die Kalorie wurde folgendermassen de…niert:
Die Kalorie ist die Wärmemenge, die erforderlich ist, um 1 g Wasser bei normalem Atmosphärendruck von 14,5 auf 15,5± C zu erwärmen.
Neben dieser De…nition der sog. 15± -Kalorie gibt es eine Reihe von weiteren Kalorie-De…nitionen,
die aber nur um etwa 1 Promille voneinander abweichen.
Für die vor der Einführung der SI-Einheiten70 meistens verwendete Internationale Tafelkalorie
gilt die Umrechnung:
71
1 kcal = 4186; 8 J :
68
„äquivalent“ ist auf die lateinischen Wörter „aequus“ = „gleich“ und „valens“ = „stark seiend“ zurückzuführen.
Das lateinische Wort „calor“ bedeutet „Wärme“.
70
SI = Système International d’Unités, Internationales Einheitensystem. Das SI ist das 1960 von der 11. Generalkonferenz für Mass und Gewicht festgelegte Einheitensystem.
71
von Dampftafel (Tabellen der Wasserdampf-Zustände).
69
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
91
Obschon heute auch der Nährwert von Nahrungsmitteln in Kilojoule ausgedrückt wird, wird in diesem Zusammenhang
häu…g noch der Begri¤ „Kalorie“ verwendet. Dabei ist mit „Kalorie“ aber stets Kilokalorie (also 1 kcal = 1000 cal)
gemeint! Das ist noch auf die Zeit zurückzuführen, als zwischen „kleinen“ (cal) und „grossen“ (Cal) Kalorien
unterschieden wurde, eine Bezeichnungsweise und Notation, die natürlich besonders häu…g zu Missverständnissen
und Verwechslungen Anlass gab. Eine grosse Kalorie entsprach 1000 kleinen Kalorien (1 Cal = 1000 cal). Bei
Nährwerten waren dann immer die „grossen Kalorien“ gemeint.
Leider wurden die Arbeiten von Mayer kaum beachtet. Erst als in den Jahren 1843 bis 1850 J.P.
Joule (1818–1889) in vielen verschiedenartigen Experimenten das mechanische Wärmeäquivalent
genau bestimmte und H. von Helmholtz (1821–1894) 1847 den Energiesatz in allgemeiner Form
unter Berücksichtigung aller Energieformen aufstellte, setzten sich die neuen Erkenntnisse durch.
Bis in die Mitte des 18. Jahrhundert wurde zwischen den Begri¤en „Wärme“ und „Temperatur“
oft nicht klar unterschieden, eine Verwirrung, die sich bis heute in manchen Redewendungen des alltäglichen Sprachgebrauchs widerspiegelt. Leider wird der Begri¤ „Wärme“ auch heute noch (und
nicht nur im alltäglichen Sprachgebrauch) häu…g in missverständlicher Weise verwendet. Zwar
wird „Wärme“ nicht mehr mit „Temperatur“ verwechselt, aber gelegentlich im Sinn von „innerer Energie“ gebraucht, was unbedingt vermieden werden sollte. Auch die irreführenden Begri¤e
„Wärmeinhalt“ und „innere Wärme“ sollten nicht verwendet werden.
Es ist möglich, den Begri¤ Wärme streng axiomatisch zu de…nieren, so dass Missverständnisse
ausgeschlossen werden. Dieser Weg ist jedoch aufwendig und etwas anspruchsvoll. Eine etwas
vereinfachte, aber widerspruchsfreie De…nition der Wärme lautet folgendermassen:
Wärme ist Energie, die aufgrund einer Temperaturdi¤erenz übertragen wird. Die Wärme ‡iesst
stets von der höheren zur tieferen Temperatur.
Somit ist Wärme keine Zustandsgrösse, sondern eine Prozessgrösse. Genausowenig, wie gesagt
werden kann, ein System in einem bestimmten Zustand enthalte Arbeit, kann von einem System
gesagt werden, es enthalte in einem bestimmten Zustand Wärme. Ein System kann in einem Prozess
Arbeit abgeben, oder es kann ihm in einem Prozess Arbeit zugeführt werden. Genauso kann ein
System in einem Prozess Wärme abgeben, oder es kann ihm in einem Prozess Wärme zugeführt
werden.
C.47
Watt
Watt (W) ist die Einheit für die Leistung. 1 Watt ist 1 Joule pro Sekunde.
1 W = 1 J/s
C.48
Wechselwirkung
Der Begri¤ Wechselwirkung hat in der Physik zwei Bedeutungen.
Im weiten Sinn bedeutet Wechselwirkung jede Wirkung von Systemen, Teilchen oder Felder aufeinander. Da auf Grund des Reaktionsprinzips die Wirkung immer gegenseitig ist, wird von Wechselwirkung gesprochen.
Im engeren Sinn wird unter Wechselwirkung eine der vier Grundkräfte der Physik verstanden.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
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Die vier fundamentalen Wechselwirkungen sind:
- starke Wechselwirkung (Kernkräfte)
- elektromagnetische Wechselwirkung
- schwache Wechselwirkung (z.B. Beta-Zerfall)
- Gravitation (Schwerkraft)
C.49
Wirkung
Die Wirkung ist eine physikalische Grösse, die die Dimension Energie mal Zeit hat. Sie hat somit
die Einheit J¢s. Die Wirkung spielt in der abstrakten Formulierung der Mechanik und in der
Quantenfeldtheorie eine wesentliche Rolle.
C.50
Wurzeln
Die Quadratwurzel (oder kurz „Wurzel“)
a ergibt. Wenn also
p
a bedeutet diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert
p
a = b;
dann gilt:
b2 = a :
Es ist z.B.
p
4 = 2;
p
9 = 3;
p
16 = 4
usw.
Eine Wurzel lässt sich auch berechnen, wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist. Es ist z.B.:
p
2 = 1:41421356 : : :
und
p
3 = 1:73205080 : : : :
p
p
2 und 3 sind Beispiele von sogenannten irrationalen Zahlen. Sie sind keine ganze Zahlen und
können auch nicht als Brüche von ganzen Zahlen geschrieben werden. Der Dezimalbruch einer
irrationalen Zahl ist „unendlich“ und nicht periodisch, d.h. die Folge der Zi¤ern hinter dem Dezimalpunkt bricht nie ab und die Zi¤ern sind nicht eine Gruppe von Zi¤ern, die sich immer wiederholt
(wie z.B. bei 1=7 = 0:142857142857142857 : : :).
p
Analog ist die dritte Wurzel 3 a de…niert durch:
p
3
a=b
Zum Beispiel ist
werden:
p
n
a=b
b3 = a :
p
3
64 = 4, weil 43 = 4 ¢ 4 ¢ 4 = 64. Genauso kann auch die n-te Wurzel de…niert
bn = a :
A. Ruh
C.51
Wellen oder Teilchen?
93
Zehnerpotenzen
Sehr grosse und sehr kleine Zahlen sind unhandlich zu schreiben und schwierig auszusprechen
und es ist mühsam, damit zu rechnen, wenn sie ausgeschrieben werden. Zum Beispiel ist die
Strahlungsleistung der Sonne
L = 3870 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 Watt ;
also 387 Quadrillionen Watt. Wenn dies jemandem übermittelt werden soll, ist noch fraglich, ob
der Empfänger dieser Information überhaupt weiss, was eine „Quadrillion“ ist. Wenn die Zahl
geschrieben oder gelesen werden soll, müssen die Nullen (oder zumindest die Dreiergruppen der
Nullen) jedesmal gezählt werden. Zudem beansprucht die geschriebene Zahl unsinnig viel Platz.
Zehnerpotenzen sind eine Schreibweise, die das Schreiben und Lesen solcher Zahlen und vor allem
auch das Rechnen damit sehr erleichtert. Die folgende Tabelle erklärt sich gewissermassen selber.
101
102
103
104
105
106
107
108
=
=
=
=
=
=
=
=
10
100
1’000
10’000
100’000
1’000’000
10’000’000
100’000’000
Die hinter der Zehn hochgestellte Zahl gibt o¤enbar einfach die Zahl der Nullen, die hinter der Eins
zu schreiben sind.
Der mittlere Radius der Erdbahn beträgt rund 150 Millionen km. Mit Zehnerpotenzen lässt sich
diese Entfernung folgendermassen schreiben:
150 ¢ 106 km oder
1:5 ¢ 100 ¢ 106 km = 1:5 ¢ 108 km .
Der Punkt in etwa halber Höhe der Zeile ist ein Multiplikationszeichen. Die Zahl in der ersten Zeile
bedeutet also 150 mal 1 Millionen. Das ist natürlich gleichviel, wie das, was in der zweiten Zeile
steht, nämlich 1.5 mal 100 Millionen oder eben 1.5 mal 108 .
Völlig analog werden negative Zehnerpotenzen verwendet:
10¡1
10¡2
10¡3
10¡4
10¡5
10¡6
=
=
=
=
=
=
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.000’01
0.000’001
Die Regel ist hier o¤enbar genauso einfach: Die hinter der Zehn hochgestellte negative Zahl zeigt,
wieviele Nullen zu schreiben sind. Dabei muss die Null vor dem Dezimalpunkt mitgezählt werden.
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
94
Die folgenden Beispiele zeigen, wie einfach Zehnerpotenzen miteinander multpliziert werden können:
101 ¢ 101 = 101+1 = 102
101 ¢ 102 = 101+2 = 103
102 ¢ 103 = 102+3 = 105
106 ¢ 10¡2 = 106¡2 = 104
103 ¢ 10¡5 = 103¡5 = 10¡2
Die hinter der Zehn hochgestellten Zahlen werden „Exponenten“ genannt. Wie leicht ersichtlich,
werden zwei Zehnerpotenzen miteinander multipliziert, indem die Exponenten einfach addiert werden.
Genauso einfach wird die Division:
106 =104 = 106¡4 = 102
105 =102 = 105¡2 = 103
103 =106 = 103¡6 = 10¡3
102 =10¡5 = 102¡(¡5) = 102+5 = 107
Bei der Division werden die Exponenten voneinander subtrahiert.
Das Rechnen wird durch die Potenzschreibweise o¤enbar viel einfacher.
Da z.B. 100=100 = 1 und andererseits 102 =102 = 102¡2 = 100 ist, wurde konsequenterweise de…niert:
100 = 1 :
Die Strahlungsleistung der Sonne lässt sich nun viel kürzer und übersichtlicher schreiben als
L = 387 ¢ 1024 Watt
oder
L = 3:87 ¢ 1026 Watt :
A. Ruh
Wellen oder Teilchen?
Literatur
[A]
Quantenmechanik
[1] Audretsch, Jürgen
Verschränkte Welt. Faszination der Quanten
Wiley-VCH, Weinheim 2002.
[2] Herbert, Nick
Quantenrealität
Birkhäuser, Basel, Boston 1987.
[3] Hey, Tony; Walters, Patrick
Quantenuniversum. Die Welt der Wellen und Teilchen
Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford 1998.
[4] Rae, Alastair
Quantum Physics: Illusion or Reality?
Cambridge University Press, Cambridge 1986.
[5] Scarani, Valerio
Physik in Quanten
Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, München 2007.
[6] Squires, Euan
The Mystery of the Quantum World
Adam Hilger, Bristol, Boston 1988.
[B]
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[7] Kippenhahn, Rudolf
Verschlüsselte Botschaften
Geheimschrift, Enigma und Chipkarte
Rowohlt Verlag, Reinbek bei Hamburg 1997.
[8] Singh, Simon
Geheime Botschaften
Die Kunst der Verschlüsselung
von der Antike bis in die Zeiten des Internet
Deutscher Taschenbuch Verlag, München 2004.
[C]
Moderne Physik
[9] Greene, Brian
Der Sto¤, aus dem der Kosmos ist
Siedler, Wolf Jobst, Verlag GmbH, Berlin 2004.
[10] Greene, Brian
Das elegante Universum
Berliner Taschenbuch Verlag, Berlin 2002.
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