Ubung 1 zur Experimentalphysik IV

Übung 1 zur Experimentalphysik IV
Michael Goerz
21. April 2005
Aufgabe 1
Je kleiner der Frequenzunterschied zwischen zwei Oszillatoren,
”
desto länger ist die zur Messung anzusetzende Zeit”
Für die Überlagerung von Wellen ist für den Fall, dass die beiden Frequenzen
dicht zusammenliegen, das Phänomen der Schwebung bekannt. Die Frequenz
der Schwebung (der Einhüllenden der Schwingung) wird dabei berechnet als
ωs =
∆ω
2
Das heißt also, dass je kleiner der Frequenzunterschied zwischen den beiden
Oszillatoren, desto kleiner auch die Frequenz der Schwebung und desto größer
damit die Wellenlänge, sodass für die Messung einer genügenden Anzahl von
Perioden eine entsprechend längere Zeit notwendig ist.
Aus der Wellenmechanik ist schon die allgemeine Unschärferelation bekannt.
∆t · ∆E ≥ 1/2
∆x · ∆k ≥ 1/2
(1)
(2)
Zudem gelten die quantenmechanischen Zusammenhänge
E = hν = h̄ω ⇔ ω = E/h̄
λ = h/p = h/mv ⇔ p = h̄k = h/2π · 2π/λ ⇔ k = p/h̄
(3)
(4)
Durch Einsetzen von Gleichung (3) in Gleichung (1) und Gleichung (4) in Gleichung (2) erhält man unmittelbar die Heisenbergsche Unschärferelation:
∆t · ∆E ≥ h̄/2
∆x · ∆p ≥ h̄/2
(5)
(6)
Aufgabe 2
Laut der Heisenbergschen Unschärferelation sind Ort und Impuls komplementäre
Variablen, d.h. eine genaue Kenntnis des Ortes führt zu einer Unschärfe im Impuls und umgekehrt. Weiß man für ein Teilchen im Doppelspaltexperiment nun,
durch welchen Spalt das Teilchen fliegt, ist der Ort exakt festgelegt (zumindest mit einer Genauigkeit in der Größenordnung der Spaltbreite). Der Impuls,
damit also die Richtung kann dann nicht mehr genau bestimmt werden und
das Interferenzmuster verschwindet. Die Impulsunschärfe kann erklärt werden
durch den detaillierten Messvorgang: Zur Messung wird das Teilchen mit einem Photon bestrahlt, welches jedoch quantenmechanisch selbst Impuls besitzt
und dem Teilchen damit einen Stoß versetzt der den Impuls des Teilchens dann
entsprechend verändert. Will man eine besonders genaue Messung des Ortes,
muss man Licht mit besonders kleiner Wellenlänge (Messung ist immer nur bis
zu der Genauigkeit etwa einer Wellenlänge möglich) verwenden, dass aber nach
1
E = h · ν eine große Energie und damit auch einen großen eigenen Impuls hat.
Zudem kann man sich verdeutlichen, dass in einer Welle ja der Ort per se schon
unscharf sein muss (eine Welle hat eine Ortsausdehnung und ist damit unscharf
in Bezug auf einen festen Punkt). Da nun aber die Interferenz auf dem Wellencharakter des Teilchen basiert, muss der Ort unscharf sein.
Feynmans Aussage
It is impossible to design an apparatus to determine which hole
”
the electron passes through, that will not at the same time disturb
the electrons enough to destroy the interference pattern”
ist zwar prinzipiell korrekt, Interferenz und Welcher-Weg-Information schließen sich gegenseitig aus, es müsste jedoch hervorgehoben werden, dass nur die
gleichzeitige Messung von genauem Weg und Interferenz nicht möglich ist. Das
besprochene Quantum-Eraser-Experiment illustriert, dass es durchaus möglich
ist, mit ein und demselben experimentellen Aufbau Welcher-Weg-Information
festzulegen und Interferenzmuster zu messen, allerdings nur zeitlich versetzt.
Im Experiment kann man zwischen beiden Manifestationen dann nach Belieben
umschalten.
Aufgabe 3
Komplementarität – die Heisenbergsche Unschärferelation ver”
allgemeinernder, von Niels Bohr geprägter Begriff zur Charakterisierung sich gegenseitig ausschließender, komplementärer physikalischer Größen in der Quantenphysik, z.B. Ort und Impuls oder Zeit
und Energie, die nicht im selben Experiment mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden können.“ 1
Es geht bei Bohrs Interpretation also um eine Erweiterung der rein formalen
Unschärferelation der Paare Zeit und Energie bzw. Ort und Wellenzahl allgemein auf die Erscheinung von Quantenobjekten als Welle oder Teilchen ( Welle”
Teilchen-Dualismus“). Es lassen sich also durchaus noch mehr gegensätzliche Begriffspaare finden (s.u.) Die Entscheidung, ob sich das Objekt als Welle oder als
Teilchen zeigt, wird dabei durch den Messvorgang festgelegt. Wie das QuantumEraser Experiment zeigt, ist diese Festlegung allerdings nicht unbedingt, wie oft
behauptet, irreversibel.
We can design instruments to demonstrate a quantum partic”
le’s wave-like properties or its particle-like properties, but we cannot
demonstrate both simultaneously.
[. . . ]
Bohr argued that although the wave picture and the particle picture
are mutually exclusive, they are not contradictory, but complementary.“ 2
Beispiele für komplementäre Variablen, Beobachtungen und Begriffe sind:
• Ort und Impuls
• Ort und Wellenzahl
• Zeit und Frequenz
• Welcher-Weg-Information und Interferenzbild
• Welle und Teilchen
• Funktion und Fouriertransformierte
1 Lexikon
2 Jim
der Physik, Dritter Band (Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999)
Baggott: The Meaning of Quantum Theory (Oxford University Press, Oxford, 1992)
Aufgabe 4
a) Im Experiment trifft der Laser auf den Kristall, in dem (mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit) durch parametric-down-conversion zwei Photonen ( Reflec”
ted Idler“ und Reflected Signal“) erzeugt werden, die unter einem Winkel aus”
treten. Der Laser und beide austretenden Photonenstrahlen werden nach identischer optischer Wegstrecke gespiegelt (an 3 Spiegeln ΦS für das Signal, ΦI für
den Idler und ΦP für den Laser, daher auch Reflected“), der Laser tritt wie”
der in den Kristall ein und erzeugt wiederum zwei Photonen ( Direct Signal“
”
und Direct Idler“). Resultierend überlagern sich der direkte und der reflek”
tierte Signal- bzw. Idler-Strahl ununterscheidbar. Die Photonen beider Strahlen
werden durch einen Detektor aufgenommen.
Wie schon gesagt, sorgt der gleiche optische Weg bei der Spiegelung des Lasers
und des Signal- bzw. Idler-Strahls dafür, dass sich die Photonen ohne Phasenverschiebung überlagern. Betrachtet man nun einen Strahl für sich alleine (z.B. das
Signal), lässt sich der Mechanismus zur Erzeugung und Messung der Interferenz
leicht erklären. Durch das Verstellen des Spiegels ΦS lässt sich der optische Weg
des Photons verlängern (gegenüber dem Weg des Lasers), sodass zwischen dem
Reflected Signal und dem rückgespiegelten Laser ein Phasenunterschied besteht.
Da jedoch der rückgespiegelte Laser dann das Direct Signal erzeugt, überträgt
sich der Phasenunterschied auch auf diesen Strahl. Resultierend erhält man also
eine Überlagerung zwischen Direct und Reflected Signal mit einer Phasenverschiebung. Treten die Photonen nun als Welle in Erscheinung (und das tun sie
im Grundzustand des Experiments), ergibt sich eine Interferenz am Detektor,
bei der sich Direct und Reflected Signal Photonen gegenseitig auslöschen oder
verstärken. Es ist dabei egal, welcher der drei Spiegel verschoben wird. Aufgrund der quantenmechanischen Paareigenschaft von Signal und Idler überträgt
sich die Phaseninformation von einem Photon auf das andere. Wird der Spiegel ΦP verschoben, ergibt sich sowieso ein Phasenunterschied beider Photonen
zum Laser. Eine Markierung der Photonen zur Gewinnung der Welcher-WegInformation lässt sich nun durch ein λ/4-Plättchen realisieren, das in den Weg
des Reflected Signal (oder Idler) gestellt wird und die Polarisation des Photons um 90◦ dreht. Die Messung der Welcher-Weg-Information geschieht im
Zusammenspiel des markierten mit dem zweiten, unmarkierten Photon. Durch
einen Polarisationsfilter werden die beispielsweise die markierten Direct Signal
Photonen entfernt. Aufgrund der Symmetrie des Aufbaus, in Bezug auf Signal
und Idler, lässt sich dann auch für den Idler entscheiden, ob das ankommende Photon ein direkt oder reflektiert ist. An beiden Detektoren sollten direkte
bzw reflektierte Photonen gleichzeitig ankommen. Misst nun der Detektor ein
ankommendes Idler-Photon, aber kein Signal-Photon, so muss es sich um ein
reflektiertes Photon gehandelt haben. Werden Idler und Signal gleichzeitig gemessen, so muss es sich in diesem Beispiel um ein direktes Photon gehandelt
haben. Aufgrund der Unterscheidbarkeit beider Photonen tritt in diesem Experiment keine Interferenz mehr auf.
b) Um die Welcher-Weg-Information wieder auszuradieren“ muss man die um
”
zueinander 90◦ unterschiedlich polarisierten direkten und reflektierte Photonen
ununterscheidbar machen. Dies geschieht durch einen weiteren Polarisationsfilter, der zu beiden Polarisationsebenen in einem Winkel von 45◦ steht. Sowohl
direkte als auch indirekte Photonen werden entweder absorbiert oder 45◦ umpolarisiert und sind damit wieder ununterscheidbar. Die Interferenz wird wieder
sichtbar.