Cavity Quanten Elektrodynamik

Cavity Quanten Elektrodynamik
Fabian Etzold
Seminar zum Fortgeschrittenenpraktikum, WS 07/08
Johannes-Gutenberg-Universität Mainz
Betreuer: S. Kuhr
10.12.2007
1 Einführung
Cavity Quanten Elektrodynamik beschreibt auf fundamentalste Weise die Wechselwirkung zwischen Licht und Atom. Es wird hierbei die Wechselwirkung zwischen einzelnen
Photonen in einer Cavity und einem Atom als Zwei-Niveau-System betrachtet, die auch
als Spin und als Oszillator aufgefasst werden können.
2 Theoretische Grundlagen
Die Licht-Atom-Wechselwirkung wird zunächst im semiklassischen Bild durch die optischen Bloch Gleichungen beschrieben. Durch die Dynamik des Blochvektors auf der
Blochkugel entsteht die Analogie der Besetzung des Zwei-Niveau-Systems zum Spin.
Wird nun zusätzlich das Lichtfeld in der Cavity quantisiert, so lässt sich das Feld als
Oszillator beschreiben. Die Kopplung von Lichtfeld und Atom ist durch den Hamiltonoperator Hac = −i~ Ω20 [aσ+ − a† σ− ] gegeben[1], wobei die a und a† die Vernichter und
Erzeuger von Photonen sind und σ± atomare Anregungen erzeugen und vernichten.
Die vollständige Beschreibung des gekoppelten Systems erfolgt im Jaynes-CummingsModell. Der Jaynes-Cummings-Hamiltonian setzt sich aus den Hamiltonoperatoren des
Lichtfelds in der Cavity, des Zwei-Niveau-Systems und der Kopplung zusammen. Die
Eigenzustände des ungekoppelten Systems sind die Produktzustände |e, ni bzw. |g, ni,
wobei e der angeregte Zustand ist und n die Anzahl der Photonen in der Cavity angibt, mit den Eigenenergien ~( ω2eg + nωc ) bzw. ~( −ω2eg + nωc )[1]. In Abbildung 1 erkennt
man, dass bei Resonanz, ∆ = 0, diese Zustände entartet sind. Durch die Kopplung wird
1
die Entartung aufgehoben und man erhält für die Eigenzustände des Jayens-CummingsHamiltonoperator, welche auch dressed states“ genannt werden[1]:
”
Θn
Θn
|e, ni + i sin
|g, n + 1i
(1)
|+, ni = cos
2
2
Θn
Θn
|−, ni = sin
|e, ni − i cos
|g, n + 1i
(2)
2
2
Hierbei ist tan Θn =
Ωn
∆n
der Mischungswinkel und ∆ die Verstimmung.
(a) Eigenzustände des ungekoppelten
Systems
(b) Eigenzustände
des
JaynesCummings-Hamiltonoperators
aufgetragen gegen die Verstimmung[1]
Abbildung 1: Wirkung des Kopplungshamiltonoperators auf die Eigenzustände
Ein Atom, dass im Zustand e durch die leere Cavity fliegt, wechselwirkt mit dieser, indem das Atom durch Emission eines Photons in den Grundzustand g übergeht. Dieses
Photon ist nun in der Cavity gefangen und kann wiederum mit dem Atom interagieren,
indem es absorbiert wird und das Atom zurück in den angeregten Zustand gelangt. Die
Zeitentwicklung des Zustandes lautet |Ψ̃(t)i = cos Ω20 t |e,0i + sin Ω20 t |g,1i[1]. Es erfolgt ein
kohärenter Energieaustausch zwischen den beiden ungekoppelten Zuständen. Das sind
die Vakuum-Rabioszillationen.
Es existieren zwei Klassen von CQED Experimenten. Zum einen werden Experimenten mit Alkaliatomen im Grundzustand in optischen Cavities durchgeführt und zum
anderen verwendet man Rydbergatome in Mikrowellencavities. Hier wird hauptsächlich
auf Experimente mit Mirkowellencavities eingegangen. Um Experimente in der CQED
durchzuführen, muss die starke Kopplung erreicht werden. Es ist dazu notwendig, dass
die Lebensdauern von Atom und Photon und die Wechselwirkungszeit größer sind als die
inverse Rabifrequenz. Dieses Strong Coupling Regime“ kann experimentell am Vakuum”
Rabi-Splitting nachgewiesen werden[1]. Dazu wird ein Atom in einer Cavity mit einem
Laser angeregt und die Transmission gemessen. Ohne Atom in der Cavity beobachtet
man maximale Transmission bei der Resonanzfrequenz der Cavity. Durch das Atom
2
findet jedoch eine Wechselwirkung mit dem Lichtfeld statt und die Eigenzustände des
Jaynes-Cummings-Hamiltonian werden angeregt. Man sieht nun also zwei Peaks in der
Transmission, wenn man diese gegen die Laserfrequenz aufträgt. Dort, wo vorher ein
Maximum war, ist nun keine Transmission mehr zu beobachten. Anschaulich kann dies
auch durch eine Änderung des Brechungsindexes erklärt werden, die durch das Atom in
der Cavity verursacht wird.
Um das Strong Coupling Regime zu erreichen, werden im Experiment zirkuläre Rydbergatome verwendet. Es handelt sich hierbei um Atome sehr großer Hauptquantenzahl n
mit maximalen Nebenquantenzahlen l und m. Die Rydbergatome zeichnen sich durch
ihre großen Lebensdauern aus, T ∝ n5 , und durch ihr großes Dipolmoment. Außerdem
sind durch die Auswahlregeln die Übergänge eindeutig festgelegt, so dass sich aus den
Zuständen n und n − 1 Zwei-Niveau-Systeme erzeugen lassen.
3 Experimente
3.1 Quantenphasengatter
Das Quantenphasengatter ist ein elementares logisches zwei Qubit Gatter. Es arbeitet
mit einem Rydbergatom mit Zuständen i,g, und e und einem 0,1-Photonenfeld. Durch
das Phasengatter wird genau dann eine Phase erzeugt, wenn ein Photon in der Cavity
ist und sich das Atom im Zustand g befindet. In allen anderen Konfigurationen ändert
sich der Eingangszustand nicht. Es gilt also[2]:
|i,0i → |i,0i
|i,1i → |i,1i
|g,0i → |g,0i
(3)
(4)
(5)
|g,1i → eiΦ |g,1i
(6)
(7)
(a) Aufbau des Experiments[2]
(b) Zustände der Qubits
Abbildung 2: Das Quantenphasengatter
3
In Abbildung 2 ist der Aufbau des Versuchs gezeigt. Man sieht einen Ofen (O), eine Präparationszone für die Rydbergatome (B), eine Cavity mit zwei Ramseypulsen (C,R1 ,R2 )
und einen zustandsselektiven Detektor (D). Der Pfeil deutet den Atomstrahl an. Die
Abbildung rechts zeigt die beteiligten Niveaus. Die Zustände i und g sind resonant mit
den Ramseypulsen, der Übergang g nach e ist resonant mit der Cavity. Die Cavity koppelt also nur e und g und lässt i vollkommen unverändert. Dies ist notwendig, damit die
Transformationsvorschrift (7) eingehalten wird.
Die erzeugte Phase soll in diesem Experiment π betragen[2]. Dazu wird die Wechselwirkungszeit so eingestellt, dass in der Cavity ein 2π-Puls wirkt. Durch den 2π-Puls bleibt
der Zustand |g,1i unverändert, allerdings erhält er eine Phase von eiπ = −1, da eine
4π-Symmetrie vorliegt. Es ergibt sich also |g,1i → −|g,1i. Gelangt das Atom nicht im
Zustand |g,1i in die Cavity, so bleibt der Zustand unverändert, da bei einem Atom in i
die Cavity nicht resonant mit dem atomaren Übergang ist bzw. beim Zustand |g,0i kein
Lichtfeld zur Kopplung vorhanden ist.
Zur Überprüfung des Gatters wird die Ramseyspektroskopie verwendet. Dazu wird eine
Superposition √12 (|ii + |gi in die Cavity geschickt. Diese Superposition wird durch einen
π
-Puls bei R1 erreicht. Anschließend folgt die Wechselwirkung mit dem Lichtfeld in der
2
Cavity und dann ein weiterer π2 -Puls. Immer dann, wenn in der Cavity ein Photon vorhanden ist, erfährt der Zustand g aus der Superposition eine Phasenverschiebung um π,
was einer Drehung des Blochvektors um die z-Achse um π entspricht. Trägt man nun
nach dem zweiten Ramseypuls die Besetzungswahrscheinlichkeit für g gegen die relative
Frequenz auf, so erhält man zwei Kurven welche um π-Phasenverschoben sind (Abbildung 3). Die eine Kurve zeigt den Verlauf ohne Photon in der Cavity, die andere mit
einem Photon. Das Gatter erzeugt also eine Phasenverschiebung um π.
(a) Drehung
des
Ramseypulse[3]
Blochvektors
durch
(b) Besetzung des Grundzustandes
[2]
Abbildung 3: Überprüfung des Gatters
Beim Quanten-Phasen-Gatter liegt resonante Wechselwirkung vor. Die Phasenverschiebung wird durch Rabi-Oszialltion verursacht.
4
3.2 Zerstörungsfreier Nachweis von Photonen
Der experimentelle Aufbau für den zerstörungsfreien Nachweis von Photonen ist nahezu
identisch mit dem Aufbau des Gatters. Der wichtige Unterschied liegt allerdings darin,
dass die Cavity gegenüber dem atomaren Übergang von g nach e verstimmt ist[4]. Es
sind daher keine direkten Übergänge mehr möglich, sondern es liegt dispersive Wechselwirkung vor.
Um nun ein Photon zerstörungsfrei nachzuweisen, wird eine Superposition der Zustände g und e in die Cavity geschickt, die mittels dem ersten Ramseypuls erzeugt wird.
In der Cavity bewirkt die Verstimmung nun den sogenannten Light Shift (siehe Abbildung 4)[4]. Dieser erhöht die Energie des Zustandes e und erniedrigt die Energie von
g. Integriert
man diese Energieverschiebung über die Zeit, so erhält man eine Phase
R
Φ = (∆Ee − ∆Eg )dt, die sich zwischen e und g aufsammelt.
Abbildung 4: Light shift in der Cavity[5]
Über die Flugzeit wird nun die Phase so eingestellt, dass das Atom nach dem zweiten
Ramseypuls im Grundzustand gefunden wird, wenn kein Photon in der Cavity vorhanden
war bzw. im angeregten Zustand gefunden wird, wenn ein Photon in der Cavity war. Die
Wahrscheinlichkeit, mehr als ein Photon in der Cavity zu finden, ist vernachlässigbar[4],
so dass man weiß, dass immer wenn das Atom im angeregten Zustand detektiert wird,
ein Photon in der Cavity vorhanden ist. Schickt man nun also Atome in die Cavity und
misst, in welchem Zustand sie sich nach Verlassen der Apparatur befinden, so erhält man
folgendes Ergebnis:
5
Abbildung 5: Quantensprünge des Lichtes[4]
Man erkennt in Abbildung 5, dass eine Sekunde lang fast alle Atome im Grundzustand
detektiert werden. Es ist also in diesem Zeitraum kein Photon in der Cavity vorhanden. Dann werden für eine halbe Sekunde hauptsächlich Atome im angeregten Zustand
registriert. Dies ist durch die Entstehung eines thermischen Photons zu verstehen, wodurch der Light shift hervorgerufen wird und eine Phasenverschiebung entsteht. Nach
1,5 Sekunden hat das Photon die Cavity verlassen. In der Abbildung sieht man also
Quantensprünge des Lichts.
Um CQED-Experimente im Strong Coupling Regime durchzuführen, benötigt man Atome mit langen Lebensdauern und guter Polarisierbarkeit, Cavities mit sehr hohen Güten
und im Mikrowellenbreich sehr niedrige Temperaturen, da ansonsten zu viele thermische
Photonen die Messungen unmöglich machen würden. Auch für die Cavities werden niedrige Temperaturen benötigt, da sie aus supraleitenden Spiegeln bestehen. Es gibt zwei
Arten der Wechselwirkung, die resonante und die dispersive, welche auf verschiedene
Weise Phasenverschiebungen erzeugen. In der CQED geht es also um sehr gut kontrollierte Quantensysteme, an denen die Licht-Atom-Wechselwirkung an einzelnen Atomen
und Photonen beobachtet werden kann.
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Literatur
[1] S. Haroche, J. Raimond, Exploring the Quantum, Oxford University Press, 2006
[2] A. Rauschenbeutel et al., Coherent Operation of a Tunable Quantum Phase Gate
in Cavity QED, Phys. Rev. Lett. 83(24)
[3] I. Bloch: Atomphysik Skript
[4] S. Gleyzes et al., Quantum jumps of light recording the birth and death of a photon
in a cavity, Nature 446, 297 (2007)
[5] S. Kuhr
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