Vom Schwingkreis zum Cavity

Kapitel 11
Hohlraumresonatoren für
Teilchenbeschleuniger
Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - Februar 2007 –Version 2.0
Beschleunigungsstrecken im Linac und Kreisbeschleuniger
Beschleunigungresonator (Cavity)
Analogie zwischen Schwingkreis und Cavity
Kreiszylindrisches Cavity
Shunt Impedanz und Güte
2
Linearbeschleuniger und Kreisbeschleuniger
Linearbeschleuniger: Beschleunigung durch einmaliges
Durchlaufen durch (viele) Beschleunigungstrecken
Kreisbeschleuniger: Beschleunigung durch vielfaches
Durchlaufen durch (wenige) Beschleunigungstrecken
3
Analogie zwischen Cavity und Schwingkreis

E(t )

E(t )
C
L
R
Ein einfacher HF Beschleuniger
mit einem Plattenkondensator
(mit einer Öffnung für den
Strahl) und einer Spule
parallel zum Kondensator
würde funktionieren
L
R
4
Analogie zwischen Cavity und Schwingkreis
Schwingkreis mit Kondensator, Spule und
Widerstand.
Resonanzfrequenz : res 
Güte : Q  res  R  C 

E(t )
1
L C
C
L
R
res  L
Zeitkonstante der Dämpfung :   R  C
R
5
Für eine Frequenz von etwa 100 MHz, ein tpischer Wert für einen Beschleuniger
müssen die Induktivität der Spule und die Kapazität des Kondensators
sehr klein gewählt werden. Beispiel:
Kapazität eines Plattenkondensator mit einer Fläche von Ak  100cm 2 und einem
Plattenabstand von dk  1cm
Ak
Kapazität: Ck   0 
dk
Induktivität einer Spule mit einer Querschnittsfläche von As  100cm 2 , einer Länge
von ls  10cm und einer Windungszahl von Ns  10
2
 0  Ns  As
Induktivität : Ls 
ls
Ls  1.257  10
f0 
1
2

5
1
Ls  Ck
H
Ck  8.854  10
f0  15.088 MHz
 12
F
Vom Schwingkreis zum Cavity

E(t )

E(t )
C
C

B(t )
L

B(t )

E(t )
L
Die Felder im Cavity schwingen im TM010
Mode (kein longitudinales Magnetfeld). Es
gibt unendlich viele Schwingungsmoden,
aber nur wenige werden genutzt
(Berechnung aus Maxwellgleichungen,
Anwendung für Hohlleiter)
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Parameter eines zylindrischen Cavity

E(t )
2a
Ein zylindisches Cavity
mit der Länge g,
der Apertur 2*a
und dem Feld E(t)
z
g
8
Beschleunigung im zylindrischen Cavity

E(t )
2a
z
E(z)
E0
g
z
9
Kreiszylindrisches Cavity
Die Cavityparameter hängen vom Aufbau ab:
• Geometrie => Frequenz
• Material => Güte

E(t )
r0
z
Beispiel: „DORIS“ Cavity mit r0 = 0.231 m
Resonanzfrequenz: fr 
c
æ
ö
ç 2 
÷
2.40483
è
ø
r0
gc
8
fr  4.967  10 Hz
10
Feldstärke für den E010 Mode
r0  0.231

E(t )
r0
æ 2.40483  r ö
÷
r0
è
ø
Ez ( r)  J0 ç
z
æ 2.40483  r ö
÷
r0
è
ø
Hq ( r)  J1 ç
1
0.8
Ez ( r )
0.6
Hq ( r) 0.4
0.2
0
0
0.029 0.058 0.087
0.12
r
0.14
0.17
0.2
0.23
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Der Energiegewinn eines geladenen Teilchens ist
g/2
E  q   E z (z, t )  dz
g / 2
Das elektrische Feld als Funktion der Zeit ist
E z (t)  E 0  cos (  t  )
U0
g
Das Teilchen hat die (konstante) Geschwindigkeit v
e 0  U0 g / 2
 z
Damit gilt : E 
  cos(
)  dz

g
/
2
g
v
Durch Integration ergibt sich :
mit E 0 
E  e 0  U0 
sin(
 g
2v
 g
2v
)
Definition : Transit time factor Ttr 
Es gilt immer :
Ttr  1
sin(
 g
2v
 g
2v
)
Beispiel für „Transit Time Factor“
Annahme : Das Cavity hat eine Länge von g c  0.276m , die Frequenz ist
fc  500MHz und das Teilchen hat eine Geschwindigkeit b = v/c, mit b  1
(Lichtgeschwindigkeit)
æ 2  fc  gc ö
sin ç
÷
è 2b c ø
Dann ist mit Ttr 
2  f  g
c
c
2 b c
Transit time factor: Ttr  0.686
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Illustration für das elektrische Feld im Hohlraumresonator
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Supraleitende Hohlraumresonatoren für Tesla und
Röntgenlaser am DESY
Hohlraumresonator mit 9 Zellen
15
Normalleitende Hohlraumresonatoren für LEP
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Parameter für Cavities
Shuntimpedance (Definition für einen
Ringbeschleuniger) :
Güte : 38000
g/ 2
2
 E z ( z)  dz
R sh 
Für das DORIS Cavity :
g / 2
Pc
U0 2

2  Pc
mit Pc  Verlustleistung im Cavity
Q 0  38000
R sh  3.0  10 6 Ohm
PHF  50 kW
U0  548 kV
Güte :
Güte 
Q0 
Gespeicherte Energie
Energieverlust pro Zyklus
W
Pc  1


 W
Pc
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