beschleunigung eines autos

BESCHLEUNIGUNG EINES AUTOS
ab Ende der 12. Schulstufe
Ein Sportwagen beschleunigt aus dem Stand [Weg in Metern mit s(0)=0, Geschwindigkeit v(0)=0] mit der abnehmenden Beschleunigung: a(t) = 5 – 0,25 t + 0,003125 t2
(t...Sekunden nach dem Start). Diese Formel gilt bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit, dann ist a(t) = 0 (Weg in Metern, Zeit in Sekunden).
a) Wie lange beschleunigt das Auto?
b) Leite eine Formel für die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t) daraus ab.
c) Berechne die Höchstgeschwindigkeit des Autos (in m/s und km/h)
d) Leite eine Formel für die Weg-Zeit-Funktion s(t) daraus ab.
e) Berechne die Weglänge bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit.
Möglicher Lösungsweg
a) a(t)=0=5-0,25t+0,003125t²
t = 40s
b) v(t) = ∫a(t)dt
v(t) = 5t – 1/8 t² + (0,003125/3) t³ + v0, aus v(0) = 0 → v0 = 0
c) vmax = v(40) = 66,67 m/s = 240 km/h
d) s(t) = ∫v(t)dt = 2,5 t² - (1/24) t³ + (1/3840) t4 + s0, aus s(0) = 0 → s0 = 0
e) s(40) = 2000 m
keine Hilfsmittel erlaubt
Beschleunigung eines Autos
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
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Klassifikation
Wesentliche Bereiche der Handlungsdimension
a)
H2
•
b)
c)
d)
e)
H1
•
elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhaltsbereichen planen und
durchführen
ein für die Problemstellung geeignetes mathematisches Modell verwenden oder
entwickeln
Wesentliche Bereiche der Inhaltsdimension
a)
b)
c)
d)
e)
I1
I3
•
•
Variable, Terme, Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Grundidee; verschiedene
Deutungen des bestimmten Integrals (z.B. Flächeninhalt, Volumen, naturwissenschaftliche Deutungen)
Wesentliche Bereiche der Komplexitätsdimension
a)
b)
c)
d)
e)
K2
•
Herstellen von Verbindungen
Nachhaltigkeitserwartung
a)
b)
c)
d)
e)
N2
•
eher verfügbar: Einzelne Begriffe, Definitionen oder Formeln müssen nachgelesen
werden.
Technologieeinfluss
Für das Lösen dieser Aufgabe ist regelmäßiger Technologieeinsatz im Unterricht
Beschleunigung eines Autos
erforderlich.
vorteilhaft.
neutral.
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