Humboldt-Universität zu Berlin Bereich Stochastik und

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 4
SS 2010
Prof. Dr. Dirk Becherer
Prof. Dr. Thorsten Dickhaus, Michael Stauch,
Joscha Diehl, Nicolas Perkowski
Übungen zur Stochastik 1
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Sei Ω = [0, ∞), versehen mit der Borelschen σ-Algebra und die Funktionen X : Ω → R sowie f : Ω → R
gegeben durch
ω 1/β
X(ω) =
, f (ω) = e−ω , α, β > 0.
α
Zeigen Sie, dass f eine Dichte auf Ω ist. Sei P das Maß, dass durch die Dichte f definiert ist. Zeigen
Sie, dass X eine Zufallsvariable ist und berechnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von X
unter P.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Ein Pfeifenraucher hat in jeder seiner beiden Jackentaschen stets jeweils eine Streichholzschachtel.
Jedes Mal, wenn er ein Streichholz benötigt, nimmt er es unabhängig von seinem vorherigen Verhalten
mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus einer der beiden Taschen. Seien in jeder Schachtel zu Beginn N
Streichhölzer. Berechnen Sie die Verteilung der übrig gebliebenen Streichhölzer, nachdem er feststellt,
dass die erste Schachtel leer ist.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Im Abstand a > 0 über einer Geraden befindet sich eine Glühbirne. Diese strahle gleichmäßig in alle
Richtungen, welche die Geraden irgendwann treffen. Sei X der Auftreffpunkt eines Lichtstrahls auf
der Geraden. Stellen Sie ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmodell auf. Zeigen Sie, dass X auf R die
Verteilungsdichte
a
f (x) =
π(a2 + x2 )
besitzt. Die zugehörige Verteilung heißt Cauchy-Verteilung zum Parameter a.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Es sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R2 , B(R2 ). Zeigen Sie folgenden Eigenschaften der zugehörigen Verteilungsfunktion F (x, y) := P((−∞, x] × (−∞, y]) :
a) Durch die Angabe von F ist P eindeutig bestimmt.
b) Es gilt für alle a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 :
F (b1 , b2 ) + F (a1 , a2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) = P((a1 , b1 ] × (a2 , b2 ]) ≥ 0.
(k)
c) Für eine Folge x(k) ⊂ R2 mit xi
↓ xi für k → ∞ und i = 1, 2 gilt: F (x(k) ) ↓ F (x).
d) limk→∞ F (k, k) = 1, limk→−∞ F (k, k) = 0.
Bemerkung: Wie im eindimensionalen Fall kann man umgekehrt zeigen, dass jede Funktion F mit den
Eigenschaften (b)-(d) ein zugehöriges Wahrscheinlichkeitsmaß P auf B(R2 ) erzeugt.
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Seien U1 und U2 zwei unabhängige Zufallsvariablen, die auf dem Intervall (0, 1) gleichverteilt sind.
Wir definieren
p
X1 := R cos θ = −2 ln U1 cos(2πU2 ),
p
X2 := R sin θ = −2 ln U1 sin(2πU2 ).
Zeigen Sie, dass X1 und X2 zwei unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, d.h.
die gemeinsame Dichte von X1 und X2 ist das Produkt der Einzeldichten. Wie lassen sich daraus
normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern µ ∈ R und σ > 0 erzeugen?
Bemerkung: Dies ist eine Möglichkeit, normalverteilte Zufallsvariablen zu simulieren.
Aufgabe 6 (Zusatz 3 Punkte)
Eine Mann, die sein Leben mit dem Werfen einer (un)fairen Münze verbringt (neben Schlafen und
Essen) spielt mit Ihnen. Bei seiner Münze sei die Wahrscheinlichkeit für Kopf p ∈ (0, 1). Sie wissen
nichts von der Münze, setzen stets auf Kopf und Sie zahlen, wenn Sie verlieren, einen Euro an ihn,
er an Sie einen Euro, wenn Sie richtig tippen. Nehmen wir an, Sie haben ein Budget von A Euro, ihr
Mitspieler eines von B Euro, wobei A, B ∈ N. Sie spielen solange (sie haben Zeit), bis einer von Ihnen
kein Geld mehr hat. Wie wahrscheinlich ist es, dass er pleite ist, bevor Sie kein Geld mehr haben?
(Hinweis: Betrachten Sie eine geeignete Irrfahrt und den Fall p = 12 . Definieren Sie eine geeignete
Stoppzeit (vgl. Blatt 3)).
Abgabe: Dienstag, 18.05.2010
(Bitte jeder einzeln abgeben und die Übungsgruppe sowie Matrikelnummer deutlich mit angeben.)