Zusammenfassung Physik I

Physik I Zusammenfassung
D-ITET
WS 04/05 und SS 05
01.09.2005
von Stefan Scheidegger
1. Mechanik
1.1 Kinematik
Geschwindigkeit: v =
∆s
=s
∆t
t1
v ( t ) bekannt: s ( t1 ) = s0 + ∫ v ( t ) dt
t0
∆v
Beschleunigung: a =
=v=s
∆t
a ( t ) bekannt:
t1
v ( t1 ) = v0 + ∫ a ( t ) dt
t0
konstante Geschwindigkeit: v = v 0 , s = s 0 + v0 ( t − t 0 ) , s = v0 ⋅ t
konstante Beschleunigung: a = a 0 , v ( t ) = v 0 + a ( t − t 0 ) , v = a 0 ⋅ t , v = 2 ⋅ a 0 ⋅ s ,
v2
1
1
2
2
,
s ( t ) = s0 + v0 ( t − t 0 ) + a 0 ⋅ ( t − t 0 ) , s = ⋅ a 0 ⋅ t , s =
2 ⋅ a0
2
2
freier Fall: a = −g
freier Fall:
tf =
v0 + v02 + 2 ⋅ g ⋅ h
g
, vf = − v02 + 2 ⋅ g ⋅ h
⎛ x (t)⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3-dimensional: r ( t ) = ⎜ y ( t ) ⎟ , v = ⎜ y ⎟ , a = ⎜ y ⎟
⎜z⎟
⎜z⎟
⎜ z(t) ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
v2
⋅ enormal
R
Newton-Axiome: 1. Trägheitsgesetz (Körper behält Richtung und Geschwindigkeit, solange
d
keine äusseren Kräfte angreifen.) 2. Aktionsgesetz: F = ( m ⋅ v ) Kraft =
dt
zeitliche Änderung des Impulses. ( F = a ⋅ m , p = m ⋅ v ) 3. actio = reactio
Normal- und Tangentialkomponenten:
r und v tangential zur Bahnkurve, a normal =
F12 = − F21
Rotation: ω = ϕ , α = ω = ϕ
(
)
d
ω× R zeigt zum Zentrum Æ
dt
Zentripetalbeschleunigung
v2
konstante Winkelgeschwindigkeit: a = ω2 ⋅ R =
( a = ω⋅ v , v = ω⋅ R )
R
1.2 Kraft und Arbeit
kg ⋅ m
d
Kraft:
[ F] = N = 2 , F = ( m ⋅ v ) , m konstant: F = m ⋅ a = p
s
dt
F = c ⋅s
Federkraft:
Hangabtrieb: FH = FG ⋅ sin ( α ) , FN = FG ⋅ cos ( α ) , ( FReibung = FN ⋅µ )
Gleichförmige Kreisbewegung:
v = ω× r , a = ω× v =
1 / 21
t
2
dp
p = m ⋅ v (2. Newton: F =
), p = ∫ F ( t ) dt
dt
t1
Impuls:
dp
dt
= 0 , 2. keine Äusseren Kräfte:
Impulserhaltungssatz: keine Kräfte (bzw. nur innere): ∆p = 0 , sonst Fäussere =
Dynamik von mehreren Massenpunkten: 1.
∑ p = konst.
∑F
innere
1
( m1 r1 + m 2 r2 + ... + m N rN ) , M = m1 + m 2 + ... + m N
M
Summe der äusseren Kräfte: Fa = m tot ⋅ a s , Fa = 0 ⇔ a s = 0
rs =
Massenmittelpunkt:
Arbeit:
(
)
s2
s2
s1
s1
dW = F ⋅ ds = F ⋅ ds ⋅ cos F, ds , W12 = ∫ dW = ∫ F ⋅ ds
Hubarbeit:
F = m⋅g , W = m⋅g⋅h , (s = h )
⎛
h ⎞
Hangabtrieb: F = m ⋅ g ⋅ sin ( α ) , W = m ⋅ g ⋅ h , ⎜ s =
⎟
⎜
sin ( α ) ⎟⎠
⎝
F = µ ⋅ FN = µ ⋅ m ⋅ g , W = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ s
Reibung:
⎛
v2 − v2 ⎞
1
m v 22 − v12 , ⎜ s = 2 1 ⎟
2⋅a ⎠
2
⎝
1
Verformung (Feder): Frück = −c ⋅ x , W = c x 22 − x12 , ( s = x 2 − x1 )
2
⎛1 1⎞
m⋅M r
Hubarbeit gegen Gravitation: FG = −γ G ⋅ 2 ⋅ , W = γ G ⋅ M ⋅ m ⋅ ⎜ − ⎟ , s = ( r2 − r1 )
r
r
⎝ r1 r2 ⎠
Beschleunigung:
F = m⋅a , W =
(
)
(
)
Kraftfelder F ( r ) : konservativ, falls die Arbeit nicht vom Weg abhängt Æ
Bemerkungen:
∫ Fds = 0
1. F nur konservativ, falls rotF = 0 , ∇F = 0 ,
⎛
⎞
⎛ d d d ⎞
⎜ ∇ = ⎜ , , ⎟ , rotF = ∇ × F ⎟ , 2. nicht jedes F ( r ) ist konstant. 3. Falls
⎝ dx dy dz ⎠
⎝
⎠
F ( t ) ≠ konst. ist das Feld nicht konstant. 4. Im Allgemeinen ist ein ∇ -
abhängiges F nicht konstant. 5. Falls rotF = 0 , nennt man F wirbelfrei.
Energieerhaltung: E kin ( r1 ) + E pot ( r1 ) = E kin ( r2 ) + E pot ( r2 )
Stösse: elastisch ( E kin bleibt erhalten) und unelastisch)
∑p
i
= konst.
⎛
⎞
( m − m 2 ) v1 + 2 ⋅ m 2 v 2 ′
Elastischer Stoss: m1v1 + m 2 v 2 = m1v1′ + m 2 v 2′ , ⎜ v1′ = 1
, v 2 ana log ⎟
m1 + m 2
⎝
⎠
m v + m2 v2
Unelastischer: v′ = 1 1
m1 + m 2
(
schiefer, zentraler Stoss: v1x′ = v1x , v1y′ =
v 2x′ = v 2x , v 2y′ =
m1 − m 2 ) ⋅ v1y + 2 ⋅ m 2 ⋅ v2 y
m1 + m 2
2 ⋅ m1 ⋅ v1y + ( m 2 − m1 ) ⋅ v2y
m1 + m2
Leistung: P = W = F ⋅ v
2 / 21
,
Druck: p =
dF
N
kg
, [ p] = 2 =
= Pa = 10 −5 bar
dA
m
m ⋅ s2
1.3 Drehbewegung
Winkelgeschwindigkeit ω : v = ω× r
Drehimpuls L : L = r × p , ( p = m ⋅ v ) , L = J ⋅ ω (entspricht Impuls p)
Drehmoment M : M = r × F , M = J ⋅ α , M = L , [ M ] = N ⋅ m = J (entspricht Kraft F)
Massenträgheitsmoment J: J = m ⋅ r 2 , J = ∑ mi ⋅ ri2 = ∫ r 2 dm , [ J ] = kg ⋅ m 2 (entspricht Masse
i
M
m)
dL
= M , keine äusseren Kräfte ( M = 0 ): L = konst. (Drehimpulserhaltung)
dt
1
1
Mechanik starrer Körper: E rot
m ⋅ v 2 = J ⋅ ω2
kin =
2
2
Massenträgheitsmomente von Körpern: dJ = r 2 ⋅ dm , r Abstand von der Achse
Arbeit: dW = M ⋅ dϕ
1
1
Trägheitsmomente: dünner Stab: J s = ⋅ m ⋅ l2 , ⊥ l , Quader: J s = ⋅ m ⋅ a 2 + b 2 , c ,
12
12
2
2
⎛r
h ⎞
1
Zylinder: J s = ⋅ m ⋅ r 2 , h , J s = m ⋅ ⎜ + ⎟ , ⊥ h , Hohlzylinder:
2
⎝ 4 12 ⎠
Dynamik:
(
(
)
)
1
2
⋅ m ⋅ r12 + r22 , h , Kugel (voll): J s = ⋅ m ⋅ r 2 , Kugel (hohl):
2
5
2
Js ≈ ⋅ m ⋅ r 2
3
1
Kinetische Energie: E rot = ⋅ J ⋅ ω2
2
Leistung: P = W = m ⋅ ω
Js =
1.4 Weiteres
Schubkraft: FSchub = v rel ⋅
dm
dt
Zentripetalkraft: a z = −ω2 ⋅ R = −
Erdrotation: Fg = Fz am Äquator
v2
, Fz = m ⋅ ω2 ⋅ r
R
M
, ( m ⋅ g ⋅ cos ϑ = FG )
L ⋅ cos ϑ
F
F
kg
1
1
=
Seilwelle: vs =
, E tot = ⋅ m ⋅ ω2 ⋅ A 2 = ∫ ⋅ m′ ⋅ vs2 ( x ) dx Æ
, [ m′] =
Aρ
m′
m
2
2
Präzession: ωP =
1
dE dE dx
dE 1
=
⋅
= E′ ⋅ vs , ω =
= ⋅ρ ⋅ v̂ 2 ,
⋅ m′ ⋅ vs2 , p =
2
dt dx dt
dV 2
2
E
1
E
F
du
, clong =
,
I = ω⋅ c = ⋅ c ⋅ρ ⋅ vˆ 2 = 0 , longitudinal:
= E⋅
2
2Z
ρm0
A
dx
E′tot =
3 / 21
Z = ρm0 ⋅ clong = E ⋅ρm0 , transversal:
G
F
du
,
= G ⋅ , c trans =
ρm0
A
dx
Z = ρm0 ⋅ c trans = G ⋅ρm0
Michelson: dϕ = 2π
∆l
∆Z
∆Z
n = 2π opt
= 2π
λn
λ0
λ0
Satz von Steiner: J P = JS + rP2 ⋅ m
2. Schwingungen und Wellen
2.1 Schwingung
1
Frequenz: f = , [ f ] = s −1 = Hz
T
Auslenkung: y ( t ) = y ( t + T )
(
Weg-Zeit-Gleichung: x ( t ) = A ⋅ cos ( ω⋅ t + ϕ ) = Re A ⋅ ei( ω⋅t +ϕ)
)
(
)
)
Beschleunigungs-Zeit-Gleichung: x ( t ) = − A ⋅ ω ⋅ cos ( ω⋅ t + ϕ ) = Re ( −ω ⋅ A ⋅ e (
)
Geschwindigkeits-Zeit-Gleichung: x ( t ) = − A ⋅ ω⋅ sin ( ω⋅ t + ϕ ) = Re i ⋅ ω⋅ A ⋅ ei( ω⋅t +ϕ)
2
2
i ω⋅ t +ϕ
2⋅π
, vˆ = ω0 ⋅ yˆ , aˆ = ω02 ⋅ yˆ ,
T
λj
c
f j = j⋅
= j ⋅ f1 , Seillänge: L = j ⋅
2
2⋅L
c
c
offene Pfeife: f j = j ⋅
, gedackte Pfeife: f j = ( 2 j − 1) ⋅
2⋅L
4⋅L
f
T
Temperatur-Unterschied: 1 = 1
f2
T2
harmonische Schwingung: y ( t ) = yˆ ⋅ cos ( ω0 t ) , ω0 = 2 ⋅ π ⋅ f =
Eulersche Formel: r ⋅ e (
i ω0 t +ϕ0 )
= r ( cos ( ω0 t + ϕ0 ) + i ⋅ sin ( ω0 t + ϕ0 ) )
c
c
y = 0 , ω02 = , Lösungsansatz: y ( t ) = yˆ ⋅ cos ( ω0 t ) ,
m
m
( F = a ⋅ m ⇒ −c ⋅ y = m ⋅ y )
Feder-Masse-Schwingsystem: y +
1
1
2
⋅ c ⋅ y ( t ) = ⋅ c ⋅ yˆ 2 ⋅ cos 2 ( ω0 ⋅ t + ϕ0 ) ,
2
2
1
1
1
2
E kin = ⋅ m ⋅ v ( t ) = ⋅ m ⋅ yˆ ⋅ ω02 ⋅ sin 2 ( ω0 ⋅ t + ϕ0 ) = ⋅ c ⋅ yˆ ⋅ sin 2 ( ω0 ⋅ t + ϕ0 ) ,
2
2
2
1
1
1
c = m ⋅ ω02 , E tot = ⋅ c ⋅ yˆ 2 = ⋅ m ⋅ ω02 ⋅ yˆ 2 = ⋅ m ⋅ v̂ 2
2
2
2
d
Bewegungsgleichung ableiten aus Energieerhaltung: E ges = 0
dt
c
g
g
g
⎛
⎞
Pendel:
β + ⋅ sin ( β ) = 0 ⎜ ⇔ y + ⋅ y = 0 ⎟ , Approximation: β + ⋅β = 0 mit ω02 = Æ
m
l
l
l
⎝
⎠
Energie: E pot =
(
)
ω0 =
(
l
g
Æ T0 = 2π
, F = a ⋅ m ⇒ −m ⋅ g ⋅β = m ⋅ l ⋅β
g
l
4 / 21
)
Physisches Pendel: β +
m⋅g⋅r
m⋅g⋅r
⋅β = 0 , ω02 =
, M = J A ⋅ α ⇒ −m ⋅ g ⋅ r ⋅β = J A ⋅β
JA
JA
(
)
Viskose Reibung: FReib = −b ⋅ v , Luftreibung: FReib = d ⋅ v 2
Federkraft: FF = −c ⋅ y
b
c
b
c
, Abklingkoeffizient: δ =
,
y + y = 0 , ω0 =
m
2⋅m
m
m
δ
Dämpfungsgrad: D =
, Verlustfaktor: d = 2D ,
ω0
gedämpfte Schwingung: y +
m ⋅ ω0
1
m⋅c
=
=
,Æ
2D
b
b
Differentialgleichung: y + 2 ⋅ D ⋅ ω0 ⋅ y + ω02 ⋅ y = 0
Güte/Qualitätsfaktor: Q =
Schwingfall:
δ
ω0 , D < 1 , R > 0 : y ( t ) = yˆ 0 ⋅ e −δt ⋅ cos ( ωd t + ϕ0 ) ,
ωd =
c
b2
−
= ω02 − δ 2 , ωd = ω0 ⋅ 1 − D 2
2
m 4⋅m
(
Kriechfall:
ω0 < δ , D > 1 , R < 0 : y ( t ) = A1 ⋅ e
Grenzfall:
ω0 = δ , D = 1 , R = 0 : x ( t ) = ( A1 + A 2 ⋅ t ) ⋅ e −δt
δ2 −ω02 ⋅ t
+ A2 ⋅ e
− δ2 −ω02 ⋅t
)⋅e
−δt
⎛
g⎞
gedämpfte Frequenz: ω = ω02 − γ 2 für γ < ω0 , ⎜⎜ ω0 =
⎟ , Zeitkonstante der Dämpfung:
l ⎟⎠
⎝
−1
1
für γ > ω0
s = für γ < ω0 , γ − γ 2 − ω02
γ
Erzwungene Schwingung: FFed + FR + FE = m ⋅ a , FR : Resonator, FE : Erreger,
)
(
y + 2 ⋅ D ⋅ ω0 ⋅ y + ω02 ⋅ y =
F̂E
⋅ cos ( ωE ⋅ t ) Æ
m
F̂E
ŷ =
(ω
m⋅
2
0
− ω2E
) + (2 ⋅ D ⋅ ω
2
0
F̂E
ŷ =
c⋅
(
1 − η2
)
2
+ ( 2 ⋅ D ⋅ η)
Überlagerung von Schwingungen:
Frequenzart
Bew. parallel
gleiche Freq. Schwingungen gleicher Freq,
versch. Amplituden/Phasen
versch. Freq. Schwebungen, Fourier-Synthese
2
⋅ ωE )
, η=
2
ωE m
,
= ω0 Æ
ω0 c
, ( η = 1) , D ≈ 0 Ægrosse Amplitude
Bew. senkrecht
versch. Ellipsen
ganzzahlige Frequenzverhältnisse
Lissajous-Figuren
Überlagerung gleiche Frequenz und Ausrichtung: yˆ neu = yˆ 12 + yˆ 22 + 2yˆ 1 yˆ 2 cos ( ϕ01 − ϕ02 ) ,
tan ( ϕ0neu ) =
yˆ 1 sin ϕ01 + yˆ 2 sin ϕ02
yˆ 1 cos ϕ01 + yˆ 2 cos ϕ02
5 / 21
⎛ ω − ω2
Frequenzen ω1 und ω2 verschieden: y1 + y 2 = 2 ⋅ yˆ ⋅ cos ⎜ 1
⎝ 2
⎛
⎛ α +β ⎞
⎛ α −β ⎞⎞
⎜ cos α + cos β = 2 ⋅ cos ⎜
⎟ cos ⎜
⎟⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
Schwebung falls ω1 ≈ ω2 , ∆ω = ω1 − ω2
⎞
⎛ ω + ω2
t ⎟ ⋅ cos ⎜ 1
⎠
⎝ 2
⎞
t⎟ ,
⎠
ω1 , ω2 : y ( t ) = 2 ⋅ yˆ ⋅ cos ( π ⋅ f schweb ⋅ t ) ⋅ cos ( ωneu t ) ,
f1 + f 2
2
Überlagerung von harmonischen Schwingungen mit ganzzahligen Frequenzverhältnissen:
Fourier-Analyse, -Synthese. Periodische Funktion:
∞
a
y R ( t ) = 0 + ∑ ( a k ⋅ cos ( k ⋅ ω⋅ t ) + b k ⋅ sin ( k ⋅ ω⋅ t ) ) , a k , b k Fourier-Koeffizienten
2 k =1
Gekoppelte Schwingsysteme: −c ⋅ y1 − c12 ( y1 − y 2 ) = m ⋅ y1 , −c ⋅ y 2 − c12 ( y 2 − y1 ) = m ⋅ y ,
f schweb = f 2 − f1 , f neu =
d2
c
y + y 2 ) + ( y1 + y 2 ) = 0 , Subtraktion:
2 ( 1
dt
m
2
d
c + 2 ⋅ c12
c
y − y2 ) +
( y1 − y 2 ) = 0 , Funktionalschwingungen ω1 = ,
2 ( 1
dt
m
m
ω
ω
m
c + 2 ⋅ c12
, ω2 =
, f2 = 2
f1 = 1 , T1 = 2 ⋅ π ⋅
2π
2π
c
m
Addition:
allgemein: N gekoppelte Schwingsysteme Æ N Grundschwingungen mit N Frequenzen. Falls
das System in einer Grundschwingung ist, bleibt es darin.
c
f2 −f2
Kopplungsstärke: Kopplungsgrad k ≡ 12 , k ≡ 22 12
c + c12
f 2 + f1
2.2 Wellen
ω⎞
⎛ c
Ausbreitungsgeschwindigkeit: c = λ ⋅ f ⎜ = 0 = ⎟
⎝ n k⎠
2π
Wellenzahl: k =
λ
Harmonische Wellen: math. Zusammenhang zwischen Auslenkung y, Ort x und Zeit t.
2π
Wellengleichung: y ( x, t ) = yˆ ⋅ cos ( ω⋅ t ∓ k ⋅ x + ϕ0 ) , k =
Wellenzahl, – : Welle läuft nach
λ
rechts, + : Welle läuft nach links (negative x-Richtung)
Ortsbild zur Zeit t = t 0 : y ( x, t = t 0 ) = yˆ ⋅ cos ( k ⋅ x + ϕ1 ) , ϕ1 = ϕ0 + ω⋅ t 0
Zeitliche Entwicklung am Ort x = x 0 : y ( x = x 0 , t ) = yˆ ⋅ cos ( ω⋅ t + ϕ2 ) , ϕ2 = ϕ0 − x ⋅ t
Mechanische Welle: dV ⋅ρ = dm , ρ : Massendichte
kg
, kinetische Energie:
m3
1
1
ρ ⋅ dV ⋅ vˆ 2 = ρ ⋅ dV ⋅ yˆ 2 ⋅ ω2
2
2
E
σ
∆l
dF
Longitudinalwelle: E = , ε = , σ =
, c=
, ρ : Dichte
ρ
ε
l
dA
dE =
6 / 21
Energie
= Energiedichte
Volumen
dE 1
Energiedichte: w =
= ρ ⋅ yˆ 2 ⋅ ω2
dV 2
Energiestromdichte, Intensität: S = w ⋅ c (Energie pro Zeit und Fläche)
1
speziell mechanisch: S = ρ ⋅ yˆ 2 ⋅ ω2 ⋅ c
2
1
1
Elektromagnetische Wellen: w = E ⋅ D + H ⋅ B = ε r ⋅ ε 0 ⋅ E + µ r ⋅µ 0 ⋅ H , c:
2
2
Lichtgeschwindigkeit
d2 y
F d2 y
Wellengleichung: 2 =
, y = y ( x, t )
⋅
dt
A ⋅ρ dx 2
Überlagerung von Wellen: konstruktive, destruktive Interferenz; Gangunterschied;
Phasenunterschied
Stehende Wellen: beachte die Randbedingungen (Knoten, Bäuche)
f
⎛ v ⎞
⎛ v ⎞
Dopplereffekt: Q |← B : f B = f Q ⎜ 1 + B ⎟ , Q | B →: f B = f Q ⎜ 1 − B ⎟ , Q →| B : f B = Q ,
v
c ⎠
c ⎠
⎝
⎝
1− Q
c
fQ
c + vB
c − vB
, Q →|← B : f B = f Q
, ← Q | B →: f B = f Q
,
← Q | B : fB =
vQ
c − vQ
c + vQ
1+
c
c + v rel
c + vB
c − vB
, Q →| B →: f B = f Q
, Licht: f B = f Q ⋅
← Q |← B : f B = f Q
c − v rel
c + vQ
c − vQ
Energietransport:
(
)
(
)
c ⎛ 1 ⎞
=⎜
⎟ , M a : Machzahl
vQ ⎝ M a ⎠
Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenzen: Addition
ω + ω2
k + k2
ω − ω2
, k= 1
, ∆ω = 1
,
y = 2 ⋅ yˆ ⋅ cos ( ω⋅ t − k ⋅ x ) cos ( ∆ω⋅ t − ∆k ⋅ x ) , ω = 1
2
2
2
k − k2
∆k = 1
2
dx ∆ω ω1 − ω2
ω ω + ω2
=
=
, Gruppengeschwindigkeit: cgr =
Phasengeschwindigkeit: c = = 1
dt ∆k k1 − k 2
k k1 + k 2
Überschallknall: halber Öffnungswinkel des Kegels: sin α =
3. Optik
Snellius: n1 ⋅ sin α1 = n 2 ⋅ sin α 2
n
Totalreflexion: sin α tot = 2
n1
c
Brechungsindex: n = vac , ( c = λ ⋅ f )
c
d 1
d
Gangunterschied: 1 + = # Wellenberg auf d1, 2 ⋅ n = # Wellenberg auf d2,
λ
λ 2
⎛d 1⎞ d
∆ = ⎜ 1 + ⎟ − 2 ⋅ n , konstruktive Interferenz: ∆ = n ⋅ λ , ϕ = n ⋅ 2 ⋅ π ,
⎝ λ 2⎠ λ
7 / 21
(Gangunterschied ∆ =
ϕ = ( 2n + 1) π
λ
ϕ
⋅ λ ), destruktive Interferenz: ∆ = ( 2n + 1) ⋅ ,
2
2
Interferenz an dünnen Schichten (ev. Beugung am Keil): ∆ = 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε −
Einfallswinkel, konstruktiv: ∆ = m ⋅ λ , destruktiv: ∆ = ( 2 ⋅ m + 1) ⋅
λ
, ε:
2
λ
, Helligkeit:
2
1⎞
⎛
2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε = ⎜ m + ⎟ λ , Dunkelheit: 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε = ( m + 1) λ , m = 0,1,...
2⎠
⎝
# Beugungsmaxima = m max + 1
dn 2
Beugung am Keil: destruktiv: ∆ = 2 ⋅ d ⋅ n 2 − sin 2 ε = m ⋅ λ , m = 1, 2,... ,
= ⋅ tan Φ , Φ :
dx λ
dn
: dunkle Streifen pro Meter
Keilwinkel,
dx
1⎞
⎛
Radien der Kreise: hell: rm = ⎜ m + ⎟ ⋅ λ ⋅ R , dunkel: rm = m ⋅ λ ⋅ R
2⎠
⎝
λ b
Beugung am Spalt: d = x ⋅ sin α , Auslöschung: = ⋅ sin α , n ⋅ λ = b ⋅ sin α ,
2 2
π
b
⎛
⎞
sin 2 ⎜ sin α ⎟
⎝ λ
⎠ , I: Intensität , 1. Minimum wo λ = b ⋅ sin α ,
Iα = I0 ⋅
2
⎛ πb
⎞
⎜ sin α ⎟
⎝ λ
⎠
1⎞ λ
λ
⎛
Minima: sin α m = ± m ⋅ , Maxima: ± ⎜ m + ⎟ ⋅ , m = 1, 2,...
2⎠ b
b
⎝
Frauenhofer’sche Beugung: Beugung am Spalt mit Lichtquelle und Beobachtungspunkt im
Unendlichen. (Alle Formeln wie oben.)
λ
Beugung am Doppelspalt: sin α m = m ⋅ , b: Spaltöffnung, Gangunterschied: ∆ = d ⋅ sin Θ , d:
b
Spaltabstand, Θ : Winkel von der Mitte zwischen den Spalten gegenüber der
∆
Mittelsenkrechten, Phasendifferenz: Φ = 2 ⋅ π ⋅ , Maxima: Φ = 2 ⋅ π⋅ n , Minima:
λ
1⎞
⎛
Φ = 2⋅π⋅⎜ n + ⎟
2⎠
⎝
λ
Fresnel-Bedingung: sin α ≥ 1.22 ⋅ (Auflösungsvermögen), b: Blendendurchmesser, α :
b
halber Öffnungswinkel
8 / 21
λ
d
Beugung am Gitter: Gangunterschiede versch. Spaltenintensitäten ∆ = g ⋅ sin α ,
⎛ 2π ⎞
Phasenunterschied ϕ = ⎜ ⎟ ⋅ g ⋅ sin α , Intensität bei Winkel α :
⎝ λ ⎠
⎛ π⋅b
⎞
⎛ π⋅g
⎞
⋅ sin α ⎟ sin 2 ⎜ p ⋅
⋅ sin α ⎟
sin 2 ⎜
λ
⎝ λ
⎠⋅
⎝
⎠
Iα = I0 ⋅
2
⎛ π⋅g
⎞
⎛ π⋅b
⎞
p 2 ⋅ sin 2 ⎜
sin α ⎟
⋅ sin α ⎟
⎜
⎝ λ
⎠
⎝ λ
⎠
Beugung an der Lochblende: 1. Minimum bei sin α1 = 1.22 ⋅
⎛ p⋅ϕ ⎞
sin ⎜
⎟
2 ⎠
Summation der Teilwellen E: E α = E ⋅ ⎝
, p: Anzahl Spalten, Intensität ≈ E 2 ,
⎛ϕ⎞
sin ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛ π⋅g
⎞
⋅ sin α ⎟
sin 2 ⎜ p ⋅
λ
⎝
⎠
Iα = I ⋅
π
⋅
g
⎛
⎞
sin 2 ⎜
sin α ⎟
⎝ λ
⎠
⎛ π⋅b
⎞
⎛ π⋅g
⎞
⋅ sin α ⎟ sin 2 ⎜ p ⋅
⋅ sin α ⎟
sin 2 ⎜
I
λ
⎝ λ
⎠⋅
⎝
⎠
Totale Intensität: α =
2
I0
⎛ π⋅g
⎞
⎛ π⋅b
⎞
⋅ sin α ⎟
sin 2 ⎜
⋅ sin α ⎟
⎜
⎝ λ
⎠
⎝ λ
⎠
Röntgenstrahlen an Kristallen: Gitterabstände vergleichbar zur Wellenlänge λ x
Gedrehtes Gitter: Licht trifft im Winkel β auf das Gitter: Gangunterschied:
∆ = g ( sin α − sin β ) , Maxima: g ⋅ sin ( α m − sin β ) = ± m ⋅ λ
Auflösungsvermögen des Gitters:
λ
= m⋅p
dλ
4. Elektrizität und Magnetismus
4.1 Elektrizität
Elementarladung e = 1.6021 ⋅10−19 C (Protonen, Myonen +e, Elektronen, Pionen –e)
Elektronenvolt: 1eV = 1.60219 ⋅10−19 J
dQ
Ladung: σ =
dA
9 / 21
Coulomb: F12 ≈
C2
Q1 ⋅ Q 2 r12
Q1 ⋅ Q 2 r12
1
−12
,
,
ε
=
⋅
8.854
10
=
⋅
⋅
⋅
F
0
12
N ⋅ m2
r2
r12
4 ⋅ π ⋅ ε0
r2
r12
2
1
9 N⋅m
Dielektrizitätskonstante im Vakuum,
= 8.988 ⋅10
, Analogie zur
4 ⋅ π ⋅ ε0
C2
1
Gravitationskraft γ ⋅ 2 ⋅ M1 ⋅ M 2
r
F
1 Q
Das E-Feld: E = =
⋅ ⋅r
Q 4πε 0 r 3
Ladungsdichte ρ ( r ) : dQ = ρ ( r ) ⋅ dτ , dτ : Volumenelement,
E(r) =
ρ ( r ) r − r′
1
⋅
⋅
⋅ dτ
∫∫∫
4 ⋅ π ⋅ ε0 Ladungsverteilung r − r′ 2 r − r′
Fluss: dΦ = v ⋅ df , Volumen = df ⋅ h = df ⋅ n ⋅ v ⋅ dt = v ⋅ df ⋅ dt , df: Flächenelement, n
Normaleneinheitsvektor, df = n ⋅ df
Fluss durch beliebige Fläche: Φ =
∫∫
v ⋅ df
Fläche
Satz von Gauss: Φ =
n
∫ D ⋅ dA = ∑ Qi , D: Verschiebungsdichte, A: Fläche, Φ : Fluss
i =1
1 n
1
Maxwell: ∫ E ⋅ dA = ⋅ ∑ Qi = ⋅ ∫ p ( i ) ⋅ dv
ε0 i =1
ε0 v
Fluss von Punktladung im Zentrum einer Kugelfläche:
1
∫∫ E ⋅ df = ε
4 πr 2
Fluss durch allgemeine Fläche:
∫∫
E ⋅ df =
Geschl.Fl.
⋅Q
0
1
⋅ Q , Q totale umschlossene Ladung
ε0
dE
1
dE
dE
⋅ρ , ρ : Ladungsdichte, divE = x + y + z
ε0
dx
dy
dz
1
Q
4⋅π 3
⋅ 2 wie
E-Feld einer homogen geladenen Kugel: ausserhalb: Q =
⋅ R ⋅ρ0 , E ( r ) =
3
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
Differentialform: divE =
1
Q
⎛ r′ ⎞
⋅ 3 ⋅ r′
Punktladung, innerhalb: Q′ = ⎜ ⎟ ⋅ Q , E ( r′ ) =
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
⎝r⎠
1
Q
⋅ 2
Homogene Kugelschicht: innen: E = 0 , aussen: E =
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
1 Q
1
⋅ =
⋅σ
Ebene, unendlich ausgedehnte Flächenladung: E =
2 ⋅ ε0 A 2 ⋅ ε0
1
λ ⎛
C⎞
⋅ , ⎜ [λ ] = ⎟
E-Feld um Stab: aussen: E =
m⎠
2 ⋅ π ⋅ ε0 r ⎝
3
10 / 21
1
C⎞
λ
⎛
⋅ 2 ⋅ r , ⎜ [λ] = ⎟
M⎠
2 ⋅ π ⋅ ε0 R
⎝
Q
2 Zylinder ineinander: dazwischen: E ( r ) =
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
1
σ
Dünne Platte: beidseitig: E =
2 ⋅ ε0
1
U
2 dünne Platten: dazwischen: E = σ , E = , d: Abstand
ε0
d
1
Leiter: oberfläche: E = σ
ε0
Zylinder: innen: E =
R
Q
=
Kugel: E =
ε0 ⋅ A
∫ ρ ( r ) ⋅ A ( r ) ⋅ dr
0
ε0 ⋅ A ( r )
E als Gradient eines Potentialfeldes: E ( r ) = −gradV ( r ) ,
2
⎛
⎞
⎜ ∫ E ⋅ dr = 0, ∫ E ( r ) ⋅ dr = V ( r2 ) − V ( r1 ) ⎟
1
⎝
⎠
B
W
Q ⎛1 1⎞
Spannung: dU = E ⋅ ds , U = E ⋅ d , U AB = AB = ∫ E ⋅ ds =
⎜ − ⎟ = ϕA − ϕB ,
⋅
π
⋅
ε
Q
4
0
⎝ rA rB ⎠
A
ϕ(r) =
Q
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
2
2
Arbeit: W12 = ∫ F ( r ) ⋅ dr = Q ⋅ ∫ E ⋅ dr = Q ( V ( r1 ) − V ( r2 ) )
1
1
Energie: E pot = Q ⋅ ϕ , E kin
1
= ⋅ m ⋅ v2 = Q ⋅ U
2
Beispiel Punktladung, E kugelsymmetrisch: V ( r ) =
Superpositionsprinzip: V =
1
Q
⋅
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
ρ ( r′ )
1
1
Q
⋅ ∫∫∫
⋅ dxdydz
⋅∑ i , V(r) =
4 ⋅ π ⋅ ε 0 i ri
4 ⋅ π ⋅ ε0
r − r′
1
C
⋅ σ , Influenzladungen, σ : Dichte in 2
ε0
m
Q
Faraday’scher Käfig: E = 0 im Innern, C ≡
V1 − V2
Q
Kapazität: C =
U
Q
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ l
, Kapazität C ≅
Zylinderkondensator: E ( r ) ≅
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r ⋅ l
⎛r ⎞
ln ⎜ 2 ⎟
⎝ r1 ⎠
Leiter und el. Feld: E =
Plattenkondensator: C
A
1
⋅ ε0 ∼ , A: Plattenfläche
d
d
11 / 21
⎛1 1⎞
freistehende Kugel: C = 4 ⋅ π ⋅ε ⋅ r , Kugelkondensator: C = 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ ri ra ⎠
−1
1
⋅U ⋅Q
2
U Kond 2
e⋅E
⋅ x2 =
Teilchen quer zum E-Feld: y =
x ,
2
2 ⋅ m e ⋅ v0x
4 ⋅ d ⋅ Ua
v
l ⋅ U Kond
e⋅E
e⋅E⋅l
tan ϕ = y =
⋅t =
=
,
2
v0x me ⋅ v0x
me ⋅ v0x 2 ⋅ d ⋅ U a
e ⋅ E ⋅ l ⋅ s e ⋅ U Kond ⋅ l ⋅ s l ⋅ s U Kond
=
=
⋅
, mit b: Auslenkung am Schirm, d:
b=
2
2
me ⋅ v0x
me d ⋅ v0x
2 ⋅ d Ua
Plattenabstand, l: Plattenlänge, s: Kondensatormitte-Schirm
2⋅e⋅E
e⋅E
1 e⋅E 2
⋅y , y = ⋅
⋅t , v =
Teilchen parallel zum E-Feld: v =
⋅t
mP
mp
2 mp
Energie im Kondensator: E =
2⋅Q⋅ U
, Ablenkwinkel
m
I ⋅ UC
l ⋅s U
e⋅E
tan ϕ =
⋅t =
, Auslenkung b = c ⋅ c
me ⋅ v0x
2 ⋅ d ⋅ Ua
2 ⋅ d Ua
Brown’sche Röhre: Geschwindigkeit v =
Laplace-Gleichung: div grad V ( r ) = ∆V ( r ) = 0 , ∆ Laplace-Operator,
∂ 2V ∂2V ∂2V
∆V = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
Poisson: ∆V ( r ) +
1
⋅ρ ( r ) = 0
ε0
Energie des el. Feldes: ∫ dW =
1
1 Q2
⋅ C ⋅ V2 = ⋅
2
2 C
1
Energiedichte: w = ⋅ ε 0 ⋅ E 2 (Energie pro Volumen)
2
V
Nichtleiter im E-Feld: Q = C ↑⋅ V↓ , vorher : Materialkonstante, C hat sich um ε r erhöht.
Vnacher
Polarisation des Dielektrikums: E materie = E 0 − E pol , D m = ε r ⋅ D0 = D0 + P ,
D m = ε0 ⋅ ε r ⋅ E = ε 0 ⋅ E + P , P = ε0 ⋅ E ⋅ ( ε r − 1) , D : Dichte der Verschiebungsladung, P :
Polarisationsdichte, χ = ε r − 1 Suszeptibilität (Materialeigenschaft)
1
Energiedichte: w = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E 2
2
t2
dQ
Stromstärke: I =
, Q = ∫ I ( t ) dt
dt
t1
Q⋅V
C
, [ I] = A =
l
s
I
A
Stromdichte: j = , [ j] = 2 , j = σ ⋅ E
A
m
∂ρ ( r, t )
d
=0
i ( r, t ) df = − ∫∫∫ ρ ( r, t ) dτ , div i +
∫∫
∂t
dt G
∂G
Strom: I =
12 / 21
spezifischer Widerstand: R = ρ ⋅
l
A
4.2 Magnetismus
Strom als Ursache von magn. Felder:
∫ H ⋅ ds = ∫ j ⋅ dA
A
I
stromdurchflossener Leiter: H =
2⋅π⋅r
N⋅I
lange Spule: H =
l
N⋅I
d
Ringspule: H =
,R
2⋅π⋅R
2
I ⋅ ds
Leiter beliebiger Geometrie: dH =
⋅ sin ϕ
4 ⋅ π ⋅ r2
I
stromdurchflossener Kreis: H =
2⋅r
N⋅I
N⋅I
, Rand: H =
kurze Spule: Mitte: H =
l2 + 4R 2
2 ⋅ 4 ⋅ R 2 + l2
H Feldlinien sind geschlossen. Es gibt keine magnetischen monopole. H ( r ) =
Magnetsiche Flussdichte: ∆Φ =
∫ U ( t ) dt , [Φ ] = V ⋅ s = Wb
I
2⋅π⋅r
N
Φ
V ⋅s
B-Feld: B = , [ B] = 2 = T , 1Gauss = 10−4 Tesla , Erdmagnetfeld: ∼ 0.5 ⋅10−4 T ,
m
A
Stabmagnet (1cm): ∼ 0.01T − 0.1T
V ⋅s
, in Materie: B = µ ⋅µ 0 ⋅ H ,
Im Vakuum sind H und B parallel: B = µ 0 ⋅ H , µ 0 = 4 ⋅ π ⋅10−7
A⋅m
µ Materialgrösse
(
(
)
Lorenzkraft: FL = q ⋅ v × B , Kraft auf bewegte Ladung im Leiter: FL = I ⋅ l × B
Halleffekt: FLorenz = Fel.Feld , U h = Bz ⋅ v x ⋅ b = U y
Materie im H-, B-Feld: µ = I ⋅ s ⎡⎣ A ⋅ m 2 ⎤⎦
Mechanisches Drehmoment: M mech = µ × B
Magnetisierung: M =
∑µ
⎡A⎤
∂V ⎢⎣ m ⎥⎦
Ersatzstrom: M z = I ⋅ a ⋅ b ⇒ M z =
I
c
13 / 21
)
Mikroskopisch: µ mikr ≈ µ Pole =
e⋅h
, e: el. Ladung, h: Planksches Wirkungsquantum
2 ⋅ m0
h = 1.05 ⋅10−34 J ⋅ s , Elektronenmasse m0 = 9.8 ⋅10−31 kg
∂M y ∂M x
∂M z ∂M y
∂M x ∂M z
Allgemein: imolekular = rotM , i x =
,
−
, iy =
−
,i z =
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(
)
rotB = µ 0 iLeiter + iMolek. , rotH = iLeiter
L∗ = L pro Länge, C∗ = C pro Länge
⎛R ⎞
µ ⋅µ 0
2 ⋅π ⋅ ε ⋅ ε 0
1
Koaxialleitung: L∗ =
Æ L∗ ⋅ C∗ = ε ⋅ ε0 ⋅µ ⋅µ0 , µ 0 ⋅ ε0 = 2 Æ
⋅ ln ⎜ 2 ⎟ , C∗ =
2⋅π
c
⎛R ⎞
⎝ R1 ⎠
ln ⎜ 2 ⎟
⎝ R1 ⎠
µ⋅ε
L∗ ⋅ C∗ = 2 , c Lichtgeschwindigkeit
c
1
1
Selbstinduktivität: Arbeit W = ⋅ L ⋅ I 2 , Energiedichte w = ⋅ B ⋅ H
2
2
dD
Maxwell’sche Gleichungen: 1. Durchflutungsgesetz: rotH = i +
,
dt
⎛
dD ⎞
∂B
d
∫ H ⋅ ds = ∫∫ ⎜⎝ i + dt ⎟⎠ dA ; 2. Induktionsgesetz: rotE = − ∂t , ∫ E ⋅ ds = − dt ∫∫ B ⋅ dA ;
Quellengleichungen:
∫∫ D ⋅ dA = Q , ∫∫ B ⋅ dA = 0
im Vakuum: ρ = 0 , σ = 0 , B = µ ⋅µ 0 ⋅ H ; 1. rotB = ε0 ⋅µ0 ⋅ ε ⋅µ ⋅
∂E 1 ∂E
∂B
, 2. rotE = −
,
= 2⋅
∂t c ∂t
∂t
3. divB = 0 , 4. divE = 0
∂2E
1 ∂2B
,
analog
, B und E sind
∆
B
=
⋅
∂t 2
c 2 ∂t 2
senkrecht auf die Ausbreitungsrichtung der Welle. B ⊥ E . Im freien Raum sind E und
B in Phase.
Kapazität: Q = C ⋅ U
Ausbreitung längs einer Doppelleitung:
∂ 2 I R ∗ ∂I
1
∂ 2 I ∂ 2 U R ∗ ∂U
1
∂2U
Telegraphengleichung: 2 + ∗ ⋅ = ∗ ∗ ⋅ 2 ,
+
⋅
=
⋅
∂t 2
∂t
L ∂t L ⋅ C ∂x
L∗ ∂t L∗ ⋅ C∗ ∂x 2
Wellengleichung für das E-Feld: ∆E = ε0 ⋅µ 0 ⋅ ε ⋅µ ⋅
allg. Lösung für Cosinus-Signale: U ( x, t ) = U 0 ⋅ e
I 0 = e − iϕ =
U0
∗
L
C∗
⋅
1
n + i⋅χ
5. Weiteres
I. Physik
14 / 21
−
ω⋅χ
⋅x
c
⋅e
⎛n
⎞
i⋅ω⎜ ⋅x − t ⎟
⎝c
⎠
, χ , n reell, mit
Volumen: V = ∫ d 3 r
G
m = ∫ ρ d 3 r = ρ ⋅ ∫ d 3r , für ρ konstant
Masse:
G
G
b
b
1
1
1
m
Schwerpunkt: Sp = ∫ ( x, y, z ) ⋅ ρ d 3 r , Sx = ⋅ ∫ x ⋅ dm = ⋅ ∫ x ⋅ ⋅ dx , …
mG
m a
m a A
b
Bogenlänge: v = γ , l = ∫ v dt = ∫ γ ( t ) dt
a
Trägheitsmoment:
I = ∫ d 2 ⋅ρ ⋅ dx dy dz mit d Abstand zur Rotationsachse
B
⎛x⎞
G ⋅ m1 ⋅ m 2 ⋅ P1 − P2
G ⋅ m1 ⋅ m 2
G ⋅ m1 ⎜ ⎟
, F=
Gravitation: F =
= 3 ⋅ ⎜ y ⎟ ⋅ρ ⋅ V
r3
r
r2
⎜z⎟
⎝ ⎠
Integrationsgrenzen: 1. Skizze machen (ev. Schnitte versch. Ebenen)
2. geeignete Koordinaten wählen
3. konstante grenzen in einer Dimension finden (z.B. Radius, Höhe)
4. die anderen Grenzen in Abhängigkeit der gefundenen ausdrücken
Bsp: B := ( x, y, z ) ∈ 3 x 2 + y 2 ≤ R 2 , 0 ≤ x + y + z ≤ 1
(
)
{
}
⎧
⎪
⎪
= ⎨( x, y, z ) ∈
⎪
⎪⎩
x ∈ [ −R, R ]
3
⎫
⎪
2
2
2
2 ⎤⎪
⎡
y∈ − R − x , R − x ⎬
⎣
⎦
⎪
z ∈ [ − x − y,1 − x − y ] ⎪⎭
⇒ ∫ f ( x, y, z ) dµ ( x, y, z ) =
B
R
R 2 − x 2 1− x − y
∫ ∫
∫ f ( x, y, z ) dz dy dx
− R − R 2 −x2 − x − y
II. Geometrie für Arme
Gegenkathete
Ankathete
sin ϕ Gegenkathete
, cos ϕ =
, tan ϕ =
,
=
sin ϕ =
Hypothenuse
Hypothenuse
cos ϕ
Ankathete
cos ϕ
Ankathete
cot ϕ =
=
sin ϕ Gegenkathete
Sinussatz:
a
b
c
, Cosinussatz:
=
=
sin α sin β sin γ
ϕ
sin(ϕ)
cos(ϕ)
0 (0°)
π
(30°)
6
0
1
2
1
3
2
tan(ϕ) =
sin(ϕ)
cos(ϕ)
0
3
3
15 / 21
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
π
(45°)
4
π
(60°)
3
π
(90°)
2
Identitäten:
2
2
3
2
2
2
1
2
1
0
1
3
undef. ( ∞ )
1
1
, 1 + cot 2 α =
2
cos α
sin 2 α
α ± β : sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β ,
Grundlegende: sin 2 α + cos 2 α = 1 , 1 + tan 2 α =
tan α ± tan β
cot α cot β ∓ 1
, cot ( α ± β ) =
1 ∓ tan α tan β
cot α ± cot β
2 tan α
2 ⋅ α : sin ( 2α ) = 2sin α cos α =
,
1 + tan 2 α
1 − tan 2 α
cos ( 2α ) = cos 2 α − sin 2 α =
= 1 − 2sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 ,
2
1 + tan α
cot 2 α − 1
2 tan α
,
tan ( 2α ) =
cot
2
α
=
(
)
2 cot α
1 − tan 2 α
tan ( α ± β ) =
3 tan α − tan 3 α
1 − 3 tan 2 α
1
1
α
α
1 − cos α
sin α
α
⎛α⎞
sin ⎜ ⎟ =
=
(1 − cos α ) , cos ⎛⎜ ⎞⎟ = (1 + cos α ) , tan ⎛⎜ ⎞⎟ =
2
2
sin α
1 + cos α
2
⎝2⎠
⎝2⎠
⎝2⎠
⎛ α +β⎞
⎛ α −β ⎞
⎛ α +β ⎞ ⎛ α −β ⎞
Summen: sin α + sin β = 2sin ⎜
⎟ cos ⎜
⎟ , sin α − sin β = 2 cos ⎜
⎟ sin ⎜
⎟,
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ α +β ⎞
⎛ α −β ⎞
⎛ α +β ⎞ ⎛ α −β ⎞
cos α + cos β = 2 cos ⎜
⎟ cos ⎜
⎟ , cos α − cos β = −2sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟,
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
sin ( α ± β )
tan α ± tan β =
cos α cos β
1
1
Produkte: sin α sin β = ( − cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ) , sin α cos β = ( sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ) ,
2
2
1
1
cos α cos β = ( cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ) , cos α sin β = ( sin ( α + β ) − sin ( α − β ) )
2
2
1
1
Potenzen: sin 2 α = (1 − cos ( 2α ) ) , sin 3 α = ( 3sin α − sin ( 3α ) ) ,
2
4
1
1
sin 4 α = ( cos ( 4α ) − 4 cos ( 2α ) + 3) , cos 2 α = (1 + cos ( 2α ) ) ,
8
2
1
1
cos3 α = ( 3cos α + cos ( 3α ) ) , cos 4 α = ( cos ( 4α ) + 4 cos ( 2α ) + 3)
4
8
i⋅z
− i⋅z
e +e
e i ⋅z − e − i ⋅z
, sin ( z ) =
Komplexe Definition: cos ( z ) =
2
2i
3⋅ α
sin ( 3α ) = 3sin α − 4sin 3 α , cos ( 3α ) = 4 cos3 α − 3cos α , tan ( 3α ) =
16 / 21
(
)
(
1 x
1
e + e − x , sinh ( x ) = e x − e − x
2
2
sinh ( x )
cosh ( x )
tanh ( x ) =
, coth ( x ) =
cosh ( x )
sinh ( x )
hyperbolische: cosh ( x ) =
Inverse:
(
)
)
(
ar tanh ( x ) =
1 ⎛ 1+ x ⎞
1 ⎛ x +1 ⎞
ln ⎜
⎟ , ar coth ( x ) = ln ⎜
⎟
2 ⎝ 1− x ⎠
2 ⎝ x −1 ⎠
Identitäten: Grundlegende:
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
III. Wichtiges
−b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c
2⋅a
n
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞
⎛n⎞
= ∑ ⎜ ⎟ a n −k bk , ⎜ ⎟ = ⎜
⎟, ⎜ ⎟+⎜
⎟=⎜
⎟
k =0 ⎝ k ⎠
⎝ k ⎠ ⎝ n − k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1⎠
a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1,2 =
(a + b)
n
)
ar sinh ( x ) = ln x + x 2 + 1 , ar cosh ( x ) = ln x + x 2 − 1 ,
17 / 21
⎧ x = u + r cos ϕ
2
2
Kreisgleichung: ( x − u ) + ( y − v ) = r 2 ⎨
, Mittelpunkt (u,v)
⎩ y = v + r sin ϕ
⎧ x = a cos t
x 2 y2
Ellipsengleichung:
+
=1 ⎨
a
b
⎩ y = b sin t
Polynomdivision: p1 (x) = ( x − 1) ( x + 3) = x 3 + x 2 − 5x + 3 ,
2
p 2 (x) = ( x − 1)( x + 3) = x 2 + 2x − 3π
p1 (x)
= (x 3 + x 2 − 5x + 3) : (x 2 + 2x − 3) = x − 1
p 2 (x)
⎛a b c⎞
⎜
⎟
LinAlg: det ⎜ d e f ⎟ = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb
⎜g h i ⎟
⎝
⎠
⎛a⎞
Logarithmen: log (1) = 0 , ln ( a ⋅ b ) = ln ( a ) + ln ( b ) , ln ⎜ ⎟ = ln ( a ) − ln ( b ) ,
⎝b⎠
1
ln a k = k ⋅ ln ( a ) , ln n a = ⋅ ln ( a )
n
ln ( b )
, log a ( a ) = 1 , log a a x = x , a loga ( x ) = x
log a ( b ) =
ln ( a )
( )
( )
( )
n
⎛ 1⎞
e = lim ⎜ 1 + ⎟ = 2.718281828
n →∞
⎝ n⎠
Zahlenwerte: π = 3.14159265 , 2 = 1.414213562
Beschränktheit: Gebiet beschränkt Æ nicht bis ∞
⎛ a ⋅ t2 ⎞
⎛ a⋅t ⎞
Kartesisches Blatt: x 3 + y3 = a ⋅ x ⋅ y Æ x ( t ) = ⎜
,
=
y
t
(
)
⎜
3 ⎟
3 ⎟
⎝ 1+ t ⎠
⎝ 1+ t ⎠
b
Fläche: ∫ dµ ( x, y ) = ∫ x ⋅ dy = ∫ x ( t ) ⋅ y′ ( t ) dt
F
∂F
a
Zykloide: x ( t ) = r ⋅ t − r sin ( t ) , y ( t ) = r ⋅ t − r cos ( t )
ebene Körper: (U: Umfang, A: Fläche)
3
2
1
⎛π⎞
reguläres n-Eck: U = n ⋅ a , A = n ⋅ a 2 ⋅ cot ⎜ ⎟
4
⎝n⎠
2
Kreis: U = 2πr , A = πr
1
Kreissektor: U = 2r + rϕ , A = r 2 ϕ
2
1
⎛ϕ⎞
Kreissegment: U = rϕ + 2r sin ⎜ ⎟ , A = r 2 ( ϕ − sin ( ϕ ) )
2
⎝2⎠
Gleichseitiges Dreieck: U = 3 ⋅ a , A = a ⋅
18 / 21
räumliche Körper: (A: Oberfläche, V: Volumen)
Würfel: A = 6a 2 , V = a 3
Quader: A = 2 ⋅ ( ab + bc + ac ) , V = abc
1
Pyramide: V = A ⋅ h
3
2 3
a
12
Gerader Kreiszylinder: A = 2πr ⋅ ( r + h ) , V = πr 2 h
Reguläres Tetraeder: A = a 2 3 , V =
)
(
1
Gerader Kreiskegel: A = πr r + r 2 + h 2 , V = πr 2 h
3
4
Kugel: A = 4πr 2 , V = πr 3
3
IV. Aus der Analysis
b
Linienintegral:
∫ Kdx = ∫ K ( x ( t ) )ix ( t ) dt
γ
(Arbeitsintegral)
a
Oberflächenintegrale:
∫∫ ϕ ( x ) dx := ∫∫ ϕ ( f ( u, v ) ) ⋅ f u ( u 0 , v0 ) × f v ( u 0 , v0 ) dudv , Skalarfeld
f ( D)
∫∫ V ( x ) dx := ∫∫ V ( f ( u, v ) ) ⋅ ( f ( u , v ) × f ( u
u
f (D)
0
0
v
0
, v0 ) ) dudv , Vektorfeld
⎛ δf ( x 0 )
δf ( x 0 ) ⎞
Gradient: grad ( f ) = ∇f ( x 0 ) = ⎜
,...,
⎟
δx n ⎠
⎝ δx1
∇f ( x 0 ) zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs von f in x 0
1
L →0 L
r + L ⋅e
e ⋅∇ϕ = lim
∫
ϕ dl , e der Einheitsvektor in Richtung von L
r
1
V ⋅ dF
v →0 v ∫∫
∂v
Divergenz: div v := Px + Q y + R z bei v = ( P, Q, R ) , div V = lim
Rotation: e ⋅ rot V = lim
F→∞ 0
∫ V ⋅ d l , e normaler Einheitsvektor auf Fläche F
∂F
⎛ δK δK 2 δK1 δK 3 δK 2 δK1 ⎞
rot K = ⎜ 3 −
,
−
,
−
⎟ (zyklische Vertauschung)
⎝ δx 2 δx 3 δx 3 δx1 δx1 δx 2 ⎠
⎛ δ δ δ ⎞
rot K := ( R y − Q z , Pz − R x , Q x − Py ) = " ⎜ , , ⎟ × ( P, Q, R ) "
⎝ δx δy δz ⎠
Laplace-Operator: ∆u := div ( ∇u ) = u xx + u yy + u zz in
3
δ2 u
δ2 u
...
+
+
in n , ∆V := div V − rot rot V
2
2
δx1
δx n
Rechenregeln für die Operatoren: V,W Vektorfelder, ϕ , ϑ Skalarfelder, c Konstante, c
konstanter Vektor
Gradient: ∇c = 0 , ∇ ( c ⋅ ϕ ) = c ⋅∇ϕ , ∇ ( ϕ + ϑ ) = ∇ϕ + ∇ϑ , ∇ ( ϕ⋅ ϑ ) = ϕ ⋅∇ϑ + ϑ⋅∇ϕ
∆u :=
19 / 21
Divergenz: div c , div ( ϕ ⋅ V ) = V ⋅∇ϕ + ϕ ⋅ div V , div ( c ⋅ V ) = c ⋅ div V ,
div ( V + W ) = div V + div W , div ( V × W ) = W ⋅ rot V − V ⋅ rot W
Rotation: rot c = 0 , rot ( ϕ ⋅ V ) = ( ∇ϕ ) × V + ϕ ⋅ rot V , rot ( c ⋅ V ) = c ⋅ rot V ,
rot ( V + W ) = rot V + rot W
Kombinationen:
rot ( ∇ϕ ) = 0 , div ( rot V ) = 0
V. Konstanten
Gravitationskonstante
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Schallgeschwindigkeit in Luft
Magnetische Feldkonstante
Elektrische Feldkonstante
G = 6.673 ⋅10−11 N ⋅ m 2 ⋅ kg −2
c = 2.99792458 ⋅108 ⋅ m ⋅ s −1
cS = 343 ⋅ m ⋅ s −1
µ0 = 4 ⋅ π ⋅10−7 ⋅ V ⋅ s ⋅ A −1 ⋅ m −1
1
ε0 =
= 8.85418782... ⋅10−12 ⋅ A ⋅ s ⋅ V −1 ⋅ m −1
µ0 ⋅ c2
Elementarladung
e = 1.602176462 ( 63) ⋅10−19 ⋅ C
Plancksches Wirkungsquantum
h = 6.62606876 ( 52 ) ⋅10−34 ⋅ J ⋅ s
Ruhemasse Elektron
m e = 9.10938188 ( 72 ) ⋅10−31 ⋅ kg
Ruhemasse Proton
m p = 1.67262158 (13) ⋅10−27 ⋅ kg
Ruhemasse Neutron
m n = 1.67492716 (13) ⋅10−27 ⋅ kg
Fallbeschleunigung
Erdradius
g = 9.80665 ⋅ m ⋅ s −1
R E = 6.3782 ⋅106 ⋅ m
20 / 21
Index
Abklingkoeffizient 5
Abstand zur Rotationsachse
15
actio 1
Aktionsgesetz 1
Arbeit 1, 2, 3, 11, 14
Arbeitsintegral 19
Auflösungsvermögen 8
Auflösungsvermögen des
Gitters 9
Ausbreitungsgeschwindigke
it 6
Ausbreitungsrichtung 14
Auslenkung 4, 12
Auslöschung 8
Bäuche 7
Beobachtungspunkt 8
Beschleunigung 1, 2
Beschleunigungs-ZeitGleichung 4
Beschränktheit 18
Beugung am Doppelspalt 8
Beugung am Gitter 9
Beugung am Keil 8
Beugung am Spalt 8
Beugung an der Lochblende
9
Beugungsmaxima 8
Bewegungsgleichung 4
B-Feld 13
Blendendurchmesser 8
Bogenlänge 15
Brechungsindex 7
Brown’sche Röhre 12
Cosinussatz 15
Coulomb 10
Dämpfungsgrad 5
destruktive Interferenz 8
Dielektrikums 12
Dielektrizitätskonstante 10
Differentialform 10
Divergenz 19
Doppelleitung 14
Doppelspalt 8
Dopplereffekt 7
Drehbewegung 3
Drehimpuls 3
Drehimpulserhaltung 3
Drehmoment 3, 13
Dreieck 18
Druck 3
Dunkelheit 8
dünner Stab 3
Durchflutungsgesetz 14
Dynamik 3
ebene Körper 18
E-Feld 10
Elastischer Stoss 2
Elektrische Feldkonstante
20
Elektrizität 9
Elektromagnetische Wellen
7
Elektron 20
Elektronen 9
Elektronenmasse 14
Elektronenvolt 9
Elementarladung 9, 20
Ellipsengleichung 18
Energie 4, 11
Energie des el. Feldes 12
Energiedichte 7, 12, 14
Energieerhaltung 2, 4
Energiestromdichte 7
Energietransport 7
Erdmagnetfeld 13
Erdradius 20
Erdrotation 3
Erreger 5
Ersatzstrom 13
Erzwungene Schwingung 5
Eulersche Formel 4
Fallbeschleunigung 20
Faraday’scher Käfig 11
Feder 2
Federkraft 1, 5
Feder-MasseSchwingsystem 4
Feldlinien 13
Flächenladung 10
Fluss 10
Flussdichte 13
Fourier-Analyse 6
Fourier-Koeffizienten 6
Fourier-Synthese 6
Frauenhofer’sche Beugung
8
freier Fall 1
Frequenz 4
Fresnel-Bedingung 8
Funktionalschwingungen 6
Gangunterschied 7
Gangunterschiede 9
Gauss 10
gedackte Pfeife 4
gedämpfte Frequenz 5
gedämpfte Schwingung 5
Gedrehtes Gitter 9
Gekoppelte
Schwingsysteme 6
Geometrie für Arme 15
Gerader Kreiskegel 19
Gerader Kreiszylinder 19
Geschwindigkeit 1
Geschwindigkeits-ZeitGleichung 4
Gitter 9
Gitterabstände 9
Gleichförmige
Kreisbewegung 1
Gleichseitiges Dreieck 18
Gradient 11, 19
Gravitation 15
Gravitationskonstante 20
Gravitationskraft 10
Grenzfall 5
Grundschwingungen 6
Gruppengeschwindigkeit 7
Güte 5
Halleffekt 13
Hangabtrieb 1, 2
harmonische Schwingung 4
Harmonische Wellen 6
Helligkeit 8
Hohlzylinder 3
Hubarbeit 2
hyperbolische 17
Identitäten 16, 17
Impuls 2
Impulserhaltungssatz 2
Impulses 1
Induktionsgesetz 14
Influenzladungen 11
Integrationsgrenzen 15
Intensität 7, 8, 9
Interferenz 7
Interferenz an dünnen
Schichten 8
Inverse 17
Kapazität 11, 14
Kartesisches Blatt 18
Kegels 7
Keilwinkel 8
Kinematik 1
kinetische Energie 6
Kinetische Energie 3
Knoten 7
Koaxialleitung 14
Komplexe Definition 16
kondensator 11
konservativ 2
konstante Beschleunigung
1
konstante Geschwindigkeit
1
konstante
Winkelgeschwindigkeit
1
Konstanten 20
konstruktive Interferenz 7
Kopplungsgrad 6
Kopplungsstärke 6
Körper 19
Kraft 1
Kraftfelder 2
Kreis 13, 18
Kreisbewegung 1
Kreisgleichung 18
Kreiskegel 19
Kreissegment 18
Kreissektor 18
Kreiszylinder 19
Kriechfall 5
Kristallen 9
Kugel 3, 10, 11, 19
Kugelfläche 10
Kugelkondensator 12
Kugelschicht 10
Ladung 9
Ladungsdichte 10
Laplace-Gleichung 12
Laplace-Operator 12, 19
Leistung 2, 3
Leiter 11
Lichtgeschwindigkeit 20
Lichtquelle 8
LinAlg 18
Linienintegral 19
Lissajous-Figuren 5
Lochblende 9
Logarithmen 18
longitudinal 3
Longitudinalwelle 6
Lorenzkraft 13
Luftreibung 5
Machzahl 7
magn. Felder 13
Magnetische Feldkonstante
20
magnetischen monopole 13
Magnetisierung 13
Magnetismus 13
Magnetsiche Flussdichte 13
Masse 15
Massendichte 6
Massenmittelpunkt 2
Massenpunkten 2
Massenträgheitsmoment 3
Massenträgheitsmomente
von Körpern 3
Materialgrösse 13
Materialkonstante 12
21 / 21
Materie 13
Maxwell 10
Maxwell’sche Gleichungen
14
Mechanik 1
Mechanik starrer Körper 3
Mechanische Welle 6
Mechanisches Drehmoment
13
Michelson 4
Mikroskopisch 14
Mittelpunkt 18
Myonen 9
n-Eck 18
Neutron 20
Newton-Axiome 1
Nichtleiter 12
Normaleneinheitsvektor 10
Normalkomponenten 1
Oberflächenintegrale 19
offene Pfeife 4
Öffnungswinkel 8
Optik 7
Ortsbild 6
Pendel 4
Periodische Funktion 6
Pfeife 4
Phasendifferenz 8
Phasengeschwindigkeit 7
Phasenunterschied 7, 9
Physik 14
Physisches Pendel 5
Pionen 9
Plancksches
Wirkungsquantum 20
Planksches
Wirkungsquantum 14
Platte 11
Plattenabstand 12
Plattenkondensator 11
Poisson 12
Polarisation 12
Polarisationsdichte 12
Polynomdivision 18
Präzession 3
Proton 20
Protonen 9
Punktladung 10, 11
Pyramide 19
Quader 3, 19
Qualitätsfaktor 5
Quellengleichungen 14
Radien der Kreise 8
Randbedingungen 7
räumliche Körper 19
reactio 1
reguläres n-Eck 18
Reguläres Tetraeder 19
Reibung 2
Resonator 5
Ringspule 13
Rotation 1, 19
Rotationsachse 15
Ruhemasse Elektron 20
Ruhemasse Neutron 20
Ruhemasse Proton 20
Satz von Gauss 10
Satz von Steiner 4
Schallgeschwindigkeit 20
schiefer, zentraler Stoss 2
Schirm 12
Schubkraft 3
Schwebung 6
Schwerpunkt 15
Schwingfall 5
Schwingung 4
Seillänge 4
Seilwelle 3
Selbstinduktivität 14
Sinussatz 15
Snellius 7
Spaltabstand 8
Spaltenintensitäten 9
Spaltöffnung 8
Spannung 11
spezifischer Widerstand 13
Spule 13
Stab 10
Stabmagnet 13
Stehende Wellen 7
Steiner 4
Stösse 2
Strom 12
Stromdichte 12
stromdurchflossener Leiter
13
Stromstärke 12
Superpositionsprinzip 11
Suszeptibilität 12
Tangentialkomponenten 1
Telegraphengleichung 14
Temperatur-Unterschied 4
Tetraeder 19
Totale Intensität 9
Totalreflexion 7
Trägheitsgesetz 1
Trägheitsmoment 15
Trägheitsmomente 3
transversal 4
Überlagerung 5
Überlagerung von
Schwingungen 5
Überlagerung von Wellen 7
Überschallknall 7
Unelastischer Stoss 2
Vakuum 10
Verformung 2
Verlustfaktor 5
Verschiebungsladung 12
Viskose Reibung 5
Volumen 15
Volumenelement 10
Weg-Zeit-Gleichung 4
Wellen 6
Wellenberg 7
Wellengleichung 6, 7
Wellengleichung für das EFeld 14
Wellenzahl 6
Wichtiges 17
Winkelgeschwindigkeit 1,
3
wirbelfrei 2
Wirkungsquantum 14
Würfel 19
Zahlenwerte 18
Zeitkonstante der Dämpfun
5
Zeitliche Entwicklung 6
Zentripetalbeschleunigung
1
Zentripetalkraft 3
zyklische Vertauschung 19
Zykloide 18
Zylinder 3, 11
Zylinderkondensator 11