¨Ubungsaufgaben Wahrscheinlichkeitstheorie I Prof. Dr. B. Fritzsche
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Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitstheorie I Prof. Dr. B. Fritzsche - Sommersemester 2017 Serie B - Abgabezeitraum: 18.04.2017 Serie B - Abgabe am 18.04.2017 unmittelbar vor der Vorlesung B1. In einer Urne befinden sich genau a rote und genau b grüne Kugeln. (a) Der Urne werden gleichzeitig fünf Kugeln entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei der Kugeln rot und drei grün sind. (b) Der Urne werden gleichzeitig zwei Kugeln entnommen. Welches der beiden Ereignisse hat die größere Wahrscheinlichkeit: A - die Kugeln sind von gleicher Farbe B - die Kugeln sind von unterschiedlicher Farbe. B2. Den (leeren) Aufzug eines siebengeschossigen Hauses betreten in der ersten Etage drei Personen. Jede dieser Personen verläßt, unabhängig von den anderen, beginnend in der zweiten Etage, den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage. Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A - alle Personen steigen in der vierten Etage aus B - alle Personen steigen gleichzeitig aus C - alle Personen steigen auf verschiedenen Etagen aus. B3. Seien Ω eine nichtleere Menge, R ein Ring in Ω und µ ein endlicher Inhalt auf R. Weiter sei n ∈ N. Für m jedes m ∈ Z1,n bezeichne τn,m die Menge aller m-Tupel (k1 , k2 , . . . , km ) ∈ X Z1,n , für welche 1 ≤ k1 < j=1 k2 < . . . < km ≤ n erfüllt ist. Weiter sei (Aj )nj=1 eine bezüglich µ austauschbare Folge aus R, d.h., für m T jedes m ∈ Z1,n ist die Funktion fm,µ : τn,m → [0, ∞) gemäß (i1 , . . . , im ) 7→ µ Aik konstant. Für k=1 m ∈ Z1,n bezeichne cm,µ den Wert der konstanten Funktion fm,µ . Zeigen Sie, dass ! n n [ X n m+1 µ Am = (−1) · · cm,µ m m=1 m=1 gilt. B4. Sei n ∈ N0 . Falls n ∈ N ist, bezeichne En die Menge aller fixpunktfreien Permutationen der Menge Z1,n . Dann heißt die gemäß 1 , falls n = 0 Dn := cardEn , falls n ∈ N definierte Zahl die n-te Rencontre-Zahl. (a) Weisen Sie folgende, auf Leonhard Euler (1707–1783) zurückgehende, Rekursionsformel für die RencontreZahlen nach: Für alle n ∈ N gilt Dn+1 = n[Dn + Dn−1 ]. (b) Beweisen Sie mit Hilfe der Eulerschen Rekursionsformel (und ohne Verwendung der Poincaréschen Siebformel) für n ∈ N0 die Darstellungen ! n n X X (−1)k n k Dn = n! · sowie Dn = (−1) · · (n − k)! . k k! k=0 (c) Zeigen Sie, daß Dn = nDn−1 + (−1)n k=0 für alle n ∈ N gilt.
