Lk Mathematik in 12/1 2. Klausur 01. 02. 2010 Nachholklausur 2

Lk Mathematik in 12/1
1.
2. Klausur
Nachholklausur
Gummibärchen Eine Firma verkauft Gummibärchen der vier Farben rot, gelb, grün und weiÿ in Tüten mit
10 BE
01. 02. 2010
100
Stück Inhalt.
a) Thomas hat den Inhalt einer solchen Tüte gründlich untersucht
und dabei festgestellt, dass von jeder Farbe gleich viele Bärchen in der Packung
sind. Anschlieÿend hat er die Bärchen gut durchmischt zurückgefüllt. Er zieht
blind vier Bärchen aus der Tüte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es
3 BE
α)
vier rote?
γ)
vier verschiedenfarbige?
(Ergebnis:
0, 32%)
β)
vier gleichfarbige?
δ)
zwei rote und zwei grüne?
...
b) Thomas' kleine Schwester Thea, die auch zuschaut, nimmt sich drei rote, vier
grüne, zwei gelbe und ein weiÿes Gummibärchen und legt sie vor sich in einer
Straÿe auf den Tisch. Wie viele verschiedenartige Straÿen könnte sie legen, wenn
die Gummibärchen nur durch ihre Farbe unterschieden werden?
4 BE
c) Die Firma garantiert, dass sich in jeder Tüte von jeder Farbe mindestens
10
Stück benden. Wie viele mögliche Tüteninhalte lassen sich zusammenstellen?
2.
5 BE
Tombola
a) An einer Losbude wird mit fogendem Spruch geworben: Wenn
Sie
5 Lose kaufen, haben Sie zu mindestens 90% wenigstens einen
Gewinn dabei.
Wie viele Prozent Gewinnlose muss die Losmischung mindestens
enthalten? Die Anzahl der Lose in der Lostrommel soll sehr groÿ sein.
3 BE
b) Die Lose sind schon ziemlich alle verkauft. In der Lostrommel benden sich
gerade noch zehn Lose, darunter vier Gewinnlose. Heinz zieht fünf Lose. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens ein Gewinnlos darunter?
5 BE
3.
Abschirmung radioaktiver Strahlung Präparates wird von einer Betonwand von
von
36, 8%
Ein
Gammaquant
eines
Co-60-
8, 3 cm Stärke mit einer Wahrscheinlichkeit
hindurchgelassen. Wie viele solcher Wände muss man mindestens hinter-
einander aufstellen, damit das Quant mit über
99, 9%
Wahrscheinlichkeit absorbiert
wird?
4.
Glücksspiel mit zwei Urnen In Urne 1 benden sich 6 rote und
4 blaue (ansonsten ununterscheidbare) Kugeln. In Urne 2 benden
sich ebenfalls rote und blaue Kugeln. Man zieht nacheinander je eine Kugel aus jeder
Urne. Das Spiel gilt als gewonnen, wenn die Farben beider Kugeln übereinstimmen.
4 BE
a) Urne 2 ist mit 3 roten und 7 blauen Kugeln bestückt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn?
6 BE
b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn soll nun bei
43%
liegen. Wie könnte
man Urne 2 bestücken, um dies zu erreichen? (Berechnung erforderlich!)
40 BE
Viel Erfolg !
Kink
Lk Mathematik in 12/1
1. geg:
a)
3 BE
100
25
Stück,
rote,
25
2. Klausur
Nachholklausur
Musterlösung
rote, gelbe, grüne, weiÿe Gummibärchen.
gelbe,
α)
25
β)
P (vier
γ)
=
Rot, gelb, grün oder weiÿ, vier Farben, viermal gröÿere Chance:
P (vier
gleichfarbige )
verschiedenfarbige )
alternativ :
3 BE
3 BE
4 BE
δ)
weiÿe Gummibärchen. Ziehe vier heraus.
46
25 24 23 22
·
·
·
=
≈ 3, 226 · 10−3
100 99 98 97
14 259
25
46
4
=
. . . = 100
≈ 3, 226 · 10−3
14
259
4
rote )
P (vier
3 BE
25
grüne,
alternativ :
1 BE
01. 02. 2010
=1·
... =
=4·
46
≈ 1, 290 · 10−2
14 259
75 50 25
15 625
·
·
=
≈ 9, 961 · 10−2
99 98 97
156 849
254
15 625
≈ 9, 961 · 10−2
100 =
156
849
4
1200
4
25 24 25 24
·
·
·
=
≈ 2, 295 · 10−2
P (2 r. und 2 gr. ) =
·
100 99 98 97
52 283
2
25 25
1200
2
alternativ :
. . . = 1002 =
≈ 2, 295 · 10−2
52
283
4
b) Mississippi-Problem:
10!
= 12 600
1! · 2! · 3! · 4!
Möglichkeiten
c) Von jeder Farbe mindestens 10 Stück.
Es sind also
4 · 10 = 40
Fülle nun die restlichen
Bärchen fest in der Tüte.
60
ohne Nebenbedingung ein.
k = 60 Bärchen auf die n = 4
n+k−1
4 + 60 − 1
=
= 39 711
k
60
Konzertkartenproblem: Verteile die
Es gibt
39 711
Möglichkeiten.
Farben.
Lk Mathematik in 12/1
5 BE
2.
2. Klausur
Nachholklausur
Musterlösung
a) Einzeltreerwahrscheinlichkeit:
W. für eine Niete:
W. für mind. einen Treer bei 5 Losen:
W. für keinen Treer bei 5 Losen:
01. 02. 2010
p
1−p
0, 90
0, 10
(1 − p)5 ≤ 0, 10
p
1 − p ≤ 5 0, 1
p
p ≥ 1 − 5 0, 1
p ≥ 0, 369
Die Losmischung muss mindestens
3 BE
b) geg:
36, 9%
Treer enthalten.
Lostrommel: 4 Treer, 6 Nieten
Über das Gegenereignis:
P (kein
P (mind.
Er hat mit
5 BE
97, 6%
ein
6 5 4 3
· · ·
10 9 8 7
1
41
Treer ) = 1 −
=
42
42
Treer )
Anzahl der Versuche (Wände):
Absorption
·
2
1
=
6
42
≈ 0, 976
mindestens einen Treer gezogen.
3. Überlebenswahrscheinlichkeit pro Wand:
n Versuchen:
bei n Wänden:
Überleben bei
=
q = 0, 368
n
qn
1 − qn
1 − q n > 0, 999
q n < 0, 001
n ln q < ln 0, 001
ln 0, 001
ln 0, 001
=
≈ 6, 91
n>
ln q
ln 0, 368
Man muss also mindestens sieben derartige Wände hintereinanderstellen.
Lk Mathematik in 12/1
4. geg:
4 BE
01. 02. 2010
Urne 1: 6 rote und 4 blaue Kugeln
a) geg:
Urne 2: 3 rote und 7 blaue Kugeln
P (beide
6 BE
2. Klausur
Nachholklausur
Musterlösung
b) geg:
P (beide
gleichfarbig )
gleichfarbig )
= P (rr) + P (bb)
6 3
4
3
=
·
+
· 1−
= 0, 46 = 46%
10 10 10
10
= 43%
Gewinnwahrscheinlichkeit:
P (beide
Forderung:
gleichfarbig )
= P (bb) + P (bb) =
6
4
43
·x+
· (1 − x) =
10
10
100
60x + 40 (1 − x) = 43
60x + 40 − 40x = 43
20x = 3
3
x=
20
|
4
6
·x+
· (1 − x)
10
10
· 100
Man kann Urne 2 beispielsweise mit 3 roten und 17 blauen Kugeln bestücken.
40 BE