1.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen

1.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen
A Stetigkeitsbedingungen
Zwei homogen isotrope optische Medien, die D = εE, B = µH und j = σE mit skalaren Konstanten
ε, µ, σ erfüllen, mögen sich an einer Grenzfläche derart in Kontakt befinden, dass der komplexe
Brechungsindex dort eine Unstetigkeit hat. Ist n der Normalenvektor und t ein Tangentenvektor an
der Grenzfläche, so sind die folgenden Komponenten dort stetig:
Aus ∇ × E = −Ḃ
Aus ∇ · B = 0
folgt Et = E · t ist stetig.
folgt Bn = B · n ist stetig.
Aus ∇ × H = Ḋ + j
folgt Ht = H · t ist stetig,
falls an der Grenzfläche keine Flächenströme vorhanden sind.
folgt Dn = D · n ist stetig,
falls es in der Grenzfläche keine Flächenladungen gibt.
Aus ∇ · D = ρ
B Brechungsgesetze
Für die Brechung und Reflexion von Lichtstrahlen an der Grenzfläche setzen wir voraus, dass das
Medium 1 des einfallenden Strahles nicht absorbiert, d.h. es ist n1 reell und σ1 = 0, während das
Medium 2 des gebrochenen Strahles absorbiert und einen komplexen Brechungsindex n∗ = n2 − iκ mit
σ2 6= 0 besitzt.
Sei dann ϑ der Winkel zwischen dem einfallen Strahl und der Flächenormalen, ϑ′ der Winkel zwischen
dem reflektierten Strahl und der Flächennormalen und ϑ′′ = θ′′ +iφ′′ der komplexe Brechungswinkel des
gebrochenen Strahles. Liegt die Flächennormale in Richtung der negativen z-Achse n = (0, 0, −1) und
die Tangente t = (1, 0, 0) in x-Richtung, so hat der einfallende Strahl die Richtung (sin ϑ, 0, cos ϑ), der
′
′
∗
′′
∗
′′
reflektierte Strahl (sin ϑ , 0, − cos ϑ ) und der gebrochene Strahl ℜ{n sin ϑ }, 0, ℜ{n cos ϑ } , wobei
ℜ den Realteil bezeichnet.
Dann gilt das Brechungsgesetz von Snellius
⊲ alle drei Strahlen liegen in einer Ebene,
⊲ der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel ϑ = ϑ′ (Reflexionsgesetz),
⊲ n1 sin ϑ = (n2 − iκ) sin ϑ′′ mit komplexem Brechungswinkel ϑ′′ .
Bezeichnet man die Amplituden der elektrischen Feldstärke parallel zur Einfallsebene für den einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahl mit Ep , Ep′ , Ep′′ , und senkrecht zur Einfallsebene mit Es ,
Es′ und Es′′ , so ergibt sich aus den Fresnelschen Formeln
Es′
sin(ϑ′′ − ϑ)
;
=
Es
sin(ϑ′′ + ϑ)
Ep′
tan(ϑ − ϑ′′ )
;
=
Ep
tan(ϑ + ϑ′′ )
Es′′
2 sin ϑ′′ cos ϑ
=
Es
sin(ϑ + ϑ′′ )
Ep′′
2 cos ϑ sin ϑ′′
.
=
Ep
sin(ϑ + ϑ′′ ) cos(ϑ − ϑ′′ )
C Reflexionsgesetze
Bei schrägem Einfall einer elektromagnetischen ebenen Welle auf die Detektoreintrittsfläche unter dem
Winkel ϑ im Medium mit der Lichtgeschwindigkeit v = c/n mit ε = n2 , ergibt sich die Intensitiät I
aus der gemittelten Energiedichte hui = hE · Di = 12 εE20 mit reellem ϑ zu
I = vhui cos ϑ = vεhE2 i cos ϑ =
c 2
E n cos ϑ
2 0
mit der Amplitude E0 der einfallenden elektrischen Feldstärke E. Dann ist das Reflexionsvermögen Rs
bzw. Rp des senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisierten Lichtes mit Amplituden Es bzw.
Ep und reellen ϑ und ϑ′ definiert durch
Is′
Rs =
=
Is
Es′
Es
2
;
Ip′
=
Rp =
Ip
Ep′
Ep
2
Is′′
=
; Ts =
Is
Es′′
Es
2
n2 cos ϑ′′
,
n1 cos ϑ
und es gilt für das Transmissionsvermögen T mit der Definition von I: Rs + Ts = 1 und Rp + Tp = 1.
Findet Absorption nur im Medium (2) statt, ist also n1 reell und n∗ = n2 − iκ komplex, so ergibt sich
mit dem komplexen Brechungswinkel ϑ′′ mit n1 sin ϑ = (n2 − iκ) sin ϑ′′
sin(ϑ′′ − ϑ) 2
Rs = ′′
sin(ϑ + ϑ) tan(ϑ′′ − ϑ) 2
,
und Rp = ′′
tan(ϑ + ϑ) und speziell Rs = Rp =
bei senkrechtem Einfall ohne Dämpfung ϑ = ϑ′′ = 0, κ = 0.
n1 − n2
n1 + n2
2
Die Abbildung zeigt das Reflexionsvermögen von senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht im Vakuum an einem Medium mit dem komplexen Brechungsindex n − iκ.
Die Abbildung zeigt das Reflexionsvermögen von senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht im Vakuum an einem Medium mit dem komplexen Brechungsindex n − iκ.
Die Abbildung zeigt das Reflexionsvermögen von senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht im Vakuum an einem Medium mit dem komplexen Brechungsindex n − iκ.
Setzt man zur Abkürzung
n2 − iκ p
n2 − iκ
′′
1 − sin2 ϑ′′ =
cos ϑ =
n1
n1
s
n2 − iκ
n1
2
− sin2 ϑ = α − iβ,
so erhält man für das Reflexionsvermögen an einem absorbierenden Medium
(cos ϑ − α)2 + β 2
Rs =
(cos ϑ + α)2 + β 2
(α − sin ϑ tan ϑ)2 + β 2
und Rp = Rs
.
(α + sin ϑ tan ϑ)2 + β 2
D Mehrfachreflexion an einer ebenen Schicht
Eine ebene dünne Schicht der Dicke d, die nicht groß ist im Vergleich zur Wellenlänge der optischen Strahlung, mit dem komplexen Brechungsindex ñ = n − iκ grenze mit der Oberseite an das
Medium (1) mit dem reellen Brechungsindex n1 und an der Unterseite an das Medium (2) mit dem
reellen Brechungsindex n2 .
• Im Medium (1) wird eine ebene Welle mit dem Einfallswinkel ϑ in einen reflektierten Anteil r1′
und einen gebrochenen Anteil t1 unter dem Brechungswinkel ϑ′′ aufgespalten.
• An der Grenze zum Medium (2) wird der Anteil r2 reflektiert, und der Anteil t2 in das Medium (2)
mit dem Brechungswinkel ϑ2 gebrochen.
• An der Grenzfläche zum Medium (1) wird der zurückreflektierte Strahl mit dem Anteil r1 erneut
reflektiert und mit dem Anteil t′1 in das Medium (1) gebrochen.
ϑ
ϑ
r1′
n1
r1
t1
ϑ
t′1
r2
′′
t2
n − iκ
n2
ϑ2
Dann gilt für das Amplitudenverhältnis der elektrischen Feldstärke nach den Fresnelschen Formeln bei
senkrecht zur Einfallsebene polarisiertem Lichtstrahl
⊲
Brechung 1:
⊲
Brechung 2:
⊲
Brechung 3:
sin(ϑ′′ − ϑ)
=
sin(ϑ′′ + ϑ)
sin(ϑ2 − ϑ′′ )
r2 =
sin(ϑ2 + ϑ′′ )
sin(ϑ − ϑ′′ )
r1 =
sin(ϑ + ϑ′′ )
r1′
2 sin ϑ′′ cos ϑ
sin ϑ
n − iκ
und t1 =
mit
=
sin(ϑ′′ + ϑ)
sin ϑ′′
n1
2 sin ϑ2 cos ϑ′′
sin ϑ′′
n2
und t2 =
mit
=
sin(ϑ2 + ϑ′′ )
sin ϑ2
n − iκ
sin ϑ′′
n1
2 sin ϑ cos ϑ′′
′
und t1 =
mit
=
.
sin(ϑ + ϑ′′ )
sin ϑ
n − iκ
Bei Mehrfachreflexion muss der Phasenunterschied auf Grund verschieden langer Wegstrecken bzw.
Laufzeiten berücksichtigt werden. Er berechnet sich bei schwacher Dämpfung aus Re{ϑ′′ } für einen
Durchgang durch die Schicht zu
κ 2πd 2π
′′
n cos ϑ − i
δ=
mit
ω
=
c
λ
cos ϑ′′
λ
mit der Vakuumwellenlänge λ des einfallenden Strahles. Der insgesamt bei Mehrfachreflexion durch
die Schicht hindurchtretende Anteil t ist
t = t1 e−iδ t2 + t1 e−iδ r2 e−iδ r1 e−iδ t2 + . . . =
t1 t2 exp {−iδ}
,
1 − r1 r2 exp {−i2δ}
und der insgesamt bei Mehrfachreflexion an der Schicht reflektierte Anteil r ist
r=
r1′
+ t1 e
−iδ
r2 e−iδ t′1
+ ... =
r1′
t1 t′1 r2 exp {−i2δ}
.
+
1 − r1 r2 exp {−i2δ}
E Transmission einer dünnen Schicht
1) Sind beide äußeren Medien gleich und n > n1 = n2 , und findet in der Schicht mit dem dichteren
Medium keine Absorption statt κ = 0, so gilt r1 = r2 , t2 = t′1 , r1′ = −r1 und t1 t′1 + r12 = 1.
Das Transmissionsvermögen ist dann
(1 − r12 )2
.
T = |t| =
1 − 2r12 cos{2δ} + r14
2
Bei senkrechtem Einfall ϑ = ϑ′′ = 0 erhält man mit der Wellenlänge λm = λ/n in der Schicht
2π
λ
λm
• das maximale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} = 1 oder
dn = π bzw. d =
=
,
λ
2n
2
2π
π
λ
λm
dn = bzw. d =
=
.
• das minimale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} = −1 oder
λ
2
4n
4
Dadurch entstehen farbige Ringe, z.B. bei Seifenblasen.
2) Findet in der Schicht keine Absorption statt κ = 0, und gilt n1 < n < n2 , so ist t1 > 0, t2 > 0,
r1 > 0, r1′ < 0 und r2 < 0.
c
Das Transmissionsvermögen ist dann mit der Intensität I = E20 n1 cos ϑ bei schrägem Einfall
2
t21 t22
n2 cos ϑ2
IT
2 n2 cos ϑ2
= |t|
=
.
T =
I
n1 cos ϑ
1 + |r1 r2 |2 cos{2δ} + r12 r22 n1 cos ϑ
Bei senkrechtem Einfall ϑ = ϑ′′ = 0 erhält man
2π
π
• das maximale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} = −1, und es folgt δ =
dn = oder
λ
2
d=
λ
λm
=
4n
4
mit der Wellenlänge in der Schicht λm =
λ
.
n
Die Beschichtung von Glasflächen z.B. mit einer sogenannten λ/4-Schicht erzeugt in Luft ein
Minimum an Reflexion, was u.a. bei der Vergütung optischer Linsen ausgenutzt wird.