Fragenausarbeitung TPHY

Fragenausarbeitung TPHY
TKSB, WS 2001/2002
1. Blatt, Kapitel „Kapazität“
! siehe auch Fragen 41-43 bzw. 45 – Matthias Tischlinger
Einzelausarbeitungen:
41) Geben Sie die Definition und Einheit der Kapazität an.
Wird die an einem Plattenkondensator liegende Spannung schrittweise erhöht, so nimmt die entsprechende
Ladung proportional zu:
Q = C*U (Ladung = Kapazität * Spannung)
Der Proportionalitätsfaktor C ist die Kapazität des Kondensators, für die gilt
C = Q/U = speicherbare Ladung pro Spannung.
Die Einheit für die Kapazität ist F(arad) = As/V = C/V
(Alexandra Kren)
42)
43)
44) Geben Sie die Zusammenhänge zwischen folgenden Größen an:
→
elektrische Feldstärke
→
N V
F
=
in
E=
C m
q
→
F ... elektrische Kraft
q ... Probeladung
-
elektrische Verschiebungsdichte
→
→
D = ε 0ε r E
-
Dielektrizitätszahl oder relative Dielektrizitätskonstante
εr
Materialgrößen:
- Luft: 1
- Polyäthylen: 2,2...2,4
- Keramik: <= 50 000
-
Dielektrizitätskonstante
ε = ε rε 0
ε
0
= 8,85419 ⋅ 10 −12
-
As
Vm
Elektrische Polarisation
ρ
ρ
ρ ρ
D = ε ⋅ E = εo ⋅ E + P
→
→
→
→
⇒ P = ε 0 ε r E − ε 0 E = (ε r − 1)ε 0 E
-
Elektrische Suszeptibilität
κ = εr −1
(Martin Mayrhofer)
45)
46) Geben Sie die Kapazität eines Plattenkondensators mit
a) Vakuum als Dielektrikum
b) einem polarisierbaren Dielektrikum
an.
Die Kapazität ergibt sich aus folgender Formel:
C = ε * ( A / d ); ε = εo * εr
a) Kapazität mit Vakuum als Dielektrikum
C = εo * ( A / d )
Permittivitätszahl von Luft ist gleich 1; d.h. nur mit der el. Feldkonstante zu
multiplizieren !
b) Kapazität mit einem polarisierbarem Dielektrikum
C = εo * εr * ( A / d )
Permittivitätszahl des Dielektrikums ist stoffabhängig!
Kapazität wird durch Einbringen eines Dielektrikums immer erhöht!!
(Uwe Möller)
47) Demonstrationsversuch in der Vorlesung: Auf einen Plattenkondensator mit Vakuum
bzw. Luft als Dielektrikum wird eine bestimmte Ladung aufgebracht. Nachdem der
Kondensator von der Spannungsquelle getrennt wurde, erhöht man den Plattenabstand.
Beschreiben und erklären Sie, wie/warum sich die Spannung am Kondensator ändert.
Dieser Versuch führt zur Erkenntnis, dass die Spannung je weiter man die Kondensatorplatten voneinander
entfernt, zwar zunimmt, die Kapazität jedoch abnimmt. Natürlich gilt das auch in umgekehrter Richtung.
Die Erklärung dafür lässt sich wie folgt bewerkstelligen:
Die Fläche einer Elektrode (Platte)sei A, der Plattenabstand sei d. Die im Plattenraum vorhandene
Flussdichte ist D. E ist die dort herrschende Feldstärke und ε gibt die vorhandene Permittivität
(Dielektrizitätskonstante) an. Daraus lässt sich die Ladung Q berechnen.
ε= ε0 εr
ε0= 8,854. 10−12 As/Vm .........elektrische Feldkonstante
εr.........Dielektrizitätszahl (abhängig vom Material des Dielektrikums)
D~E....ersetzbar durch die Gleichung D= ε E (bitte dies einfach als gegeben annehmen!)
C.....Kapazität
Q.....Ladung
C=Q/
U.....Spannung
Q= D.A = ε .E.A = ε A
U/d
Dividiert man nun Q durch U so ergibt sich
C= ε.A/d
Wird nun d größer so wird C logischerweise kleiner!!
Ist nun C kleiner so wird U größer wie aus der folgenden Formel ersichtlich ist:
U=Q/C
Das Dielektrikum Luft bzw. Vakuum spielt hier nur eine untergeordnete Rolle, das grundsätzliche Verhalten
dieses Versuches würde sich bei einem anderen Dielektrikum nur verhältnismäßig ändern.
(Roman Oberauer)
48) Demonstrationsversuch in der Vorlesung: Auf einen Plattenkondensator mit Vakuum
bzw. Luft als Dielektrikum wird eine bestimmte Ladung aufgebracht. Nachdem der
Kondensator von der Spannungsquelle getrennt wurde, wird eine Kunststoffplatte als
Dielektrikum eingebracht.
Beschreiben und erklären Sie, wie/warum sich die Spannung am Kondensator ändert.
Feststellung:
Die Spannung am Kondensator wird geringer. Nach Entfernung der Kunststoffplatte steigt die Spannung
wieder auf den alten Wert an.
Die Ladung beim Plattenkondensator ist die Fläche der Elektroden (A) mal die el. Verschiebungsdichte (D).
Q = D. A
Die el. Verschiebungsdichte ist eine el. Feldkonstante ( ε 0 = 8,8542.10
−12
) mal die Permittivitätszahl oder
auch Dielektrizitätskonstante ( ε r .. in Vakuum = 0) multipliziert mit der Feldstärke E.
D = ε 0 .ε r .E
weiters gilt
ε = ε 0 .ε r
daraus folgt:
Q = ε .E. A
und da die Feldstärke E im homogenen Feld =
Q = ε . A.
U
ist ergibt sich die Formel
d
U
d
Durch simple Formelumwandlung kommen wir also zur Formel:
U=
Q.d
ε .A
Also ist die Spannung umgekehrt proportional zur Permittivität, d.h mit Erhöhung der Permittivitätszahl durch
einführen einer Kunststoffplatte muss die Spannung geringer werden.
(Christoph Pichlmaier)
49) Ein Luftkondensator wird mit 80V geladen, von der Spannungsquelle abgetrennt und
mit einem Öl mit der Dielektrizitätszahl εr=2,1 gefüllt. Wie ändern sich Ladung und
Spannung?
Die Ladung bleibt unverändert, die Spannung ist dann U= 80V/2,1 = 38,1V weil die Kapazität auf den 2,1
fachen Wert ansteigt.
(Matthias Schirl)
50)
51) Zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren C1=0,2µF und C2=1,0µF sind zu
einem dritten Kondensator C3=0,5µF parallel
Gesamtkapazität der Schaltung
geschaltet. Berechne die
C12 = C1 * C2 / C1 + C2 = 166nF
C = C12 * C3 = 666nF
(Andreas Schmidlechner)
52) Zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren von C1=0,2µF und C2 = 1,0µF werden an 20 V
Gleichspannung angeschlossen und nach dem Aufladen von der Spannungsquelle
getrennt.
a) auf welche Spannungen werden die Kondensatoren geladen?
Welche Spannung stellt sich ein, wenn sie danach getrennt und
b) mit gleichen Vorzeichen und
c) mit entgegengesetzten Vorzeichen parallelgeschaltet werden?
C1
C2
U
C1=1µF
C2=4µF
U=20V
a)
1
1
1 1 1 5
=
+
= + =
C C1 C 2 1 4 4
⇒ C = 0,8µF
Q = C ⋅ U = 0,8 ⋅ 10 −6 ⋅ 20 = 0,000016C
Q 0,000016
U1 =
=
= 16V
C1
1 ⋅ 10 − 6
U2 =
Q 0,000016
=
= 4V
C2
4 ⋅ 10 −6
b)
c)
+
- (16V)
+
+
- (4V)
- (16V)
-
+ (4V)
Parallelschaltung U1 = U2
???
(Karin Scholze)
53) Zwei parallel geschaltete Kondensatoren, von denen der eine die Kapazität C1 = 2,8 µF
hat, liege an der Spannung 22,7 V und enthalten die Ladung 75mAs. Welche Kapazität C2
hat der andere Kondensator?
C1 = 2,8 µF
U = 22.7 V
Q = 75 mAs
Q = C.U
C = Q/U = 0,075As/22,7V = 0,003304 F = 3304 µF
C = C1 + C2
C2 = C – C1 = 3304 – 2,8 = 3301,2 µF = 3,3 mF
(Karin Scholze)
Bsp. 53)
gegeben:
2 parall-geschaltene Kondensatoren
U = 22,7 V
C1 = 2,8 ‫ע‬F
Q = 75 mAs
gesucht:
C2 = ?
C=
= 0,003304F = 3304 ‫ע‬F
C = C1 + C2
3304‫ע‬F –2,8 ‫ע‬F = 3301,2 ‫ע‬F = 3,33012 mF
(Josef Schreder)
54) Entladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Stromstärke I(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
R
en tla d e n
I
UR
Uq
UC
C
Differentialgleichung:
0=R
dI 1
+ I
dt C
Lösung der Differentialgleichung:
U 0 −τt
I (t ) = −
⋅e
R
Zeitkonstante ......
τ = R.C
anfängliche Kondensatorspannung...... .U 0
Herleitung:
Maschenregel: Summe aller Spannungen ist Null
0 = U R + UC
Weil
U R = I . R , und Ladung Q = C .U C ⇒ U C =
0 = I .R +
Q
:
C
Q
C
Die Gleichung nach dt differenzieren, und weil Stromstärke
0=R
I=
dQ
:
dt
dI 1
+ I
dt C
Lösung der Differentialgleichung für den Entladestrom:
I (t ) = I 0 ⋅ e
−
t
RC
Der anfängliche Entladestrom
I0 = −
U0
R
(negatives Vorzeichen, weil der Strom in die andere als die eingezeichnete Richtung fließt, nämlich aus dem
Kondensator heraus (entladen)).
U 0 τt
I (t ) = −
⋅e .
R
(Johann Seidl)
55) Entladen eines Kondensators über eine ohmschen Widerstand:
geben Sie die Differentialgleichung für die Kondensatorspannung U(t) an.
Wie lautet Ihre Lösung?
_
uc(t) = Uq . e
Uq
e
R
C
uc(t)
t
RC
Quellenspannung
2,71828 ....
Widerstand des Entladewiderstandes in Ohm
Kapazität des Kondensators in Farad
Momentanwert der Kondensatorspannung
(Johannes Seidl)
56) Laden eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand: geben Sie die
Differentialgleichung für die Stromstärke I(t) an.
Wie lautet ihre Lösung?
Beim Laden und Entladen von Kondensatoren über ohmsche Widerstände erfolgt die Änderung des
Ladezustandes nicht sprunghaft; die Momentanwerte von Strom und Spannung ergeben sich aus den
Kirchhoffschen Regeln.
Maschenregel:
Uq = Ur + Uc = I.R + Q/C
Man differentiert die Gleichung und erhält die Differentialgleichung für I(t) :
0 = R. dI/dt + 1/C.I
Lösung der Gleichung:
I(t) = Io.e
-t/RC -t/τ
= Uq/R.e
τ = RC (Zeitkonstante)
Bild zu Frage 56
(Lidija Seke)
57)