Allgemeine Psychologie II

Allgemeine Psychologie II
Prof. Dietrich Albert
WS 2003 / 2004
VO 04, 4.11.2003
WS 2003 / 2004, Prof. Dietrich Albert
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Wie hängt die Antwort der Versuchsperson vom aktuellen Lernzustand
ab?
• Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Antwort
lässt sich durch die relative Häufigkeit der Elemente in der
Stichprobe festlegen, die mit dieser Antwort verknüpft sind
• Dies ist möglich, ohne die Korrespondenz zwischen den
Reizelementen und den Aspekten der experimentellen Situation zu
kennen
• Die oben ausgeführten Annahmen zur Stichprobenauswahl
ordnen nämlich jedem Reizelement die gleiche
Auswahlwahrscheinlichkeit zu
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Wie verändert sich der Lernzustand über die Durchgänge?
• Die möglicherweise eintretende Veränderung des Lernzustands
der Versuchsperson als Effekt der Rückmeldung besteht darin,
dass die Elemente der Stichprobe jeweils mit einer konstanten
Wahrscheinlichkeit mit der richtigen Antwort verknüpft werden
• Mit zunehmender Dauer des Lernexperiments vergrößert sich
damit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der richtigen
Antwort als Folge der Veränderung des Lernzustands
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Stichprobenauswahl
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Antwortverhalten
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Lernvorgang
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Lernvorgang
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Lernvorgang
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Reiz-Stichproben-Theorie
• Durch Spezifikation einzelner Annahmen lassen sich verschiedene
Theorien des Lernens ableiten, die oft auch als Lernmodelle
bezeichnet werden
• Besteht die Menge E aus genau N = 1 Element, so resultiert das
Alles-Oder-Nicht Modell (one-element model)
• Für N = 2 erhält man ein Zwei-Stufen-Modell des Lernens
(two-element model)
• Für N ! ∞ wird die Theorie äquivalent zum linearen Modell
des Lernens von Bush & Mosteller (1955)
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Lerntheorien
• Die nachfolgende Darstellung des linearen Modells orientiert sich
an der ursprünglich von Bush & Mosteller (1955) gegebenen Formulierung
• Hierfür leiten wir die durch die Theorie vorhergesagte Lernkurve
ab, die auch als mittlere Lernkurve bezeichnet wird
• Anschließend charakterisieren wir das Alles-Oder-Nicht Modell als
Spezialfall der Reiz-Stichproben-Theorie und leiten hierfür ebenfalls
die vorhergesagte mittlere Lernkurve ab
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Lineares Modell
• Annahmen
• Durch Et sei das Ereignis bezeichnet, dass in Durchgang t eine
falsche Antwort E gegeben wird; die Wahrscheinlichkeit dieses
Ereignisses ist P(Et)
• Für den ersten Durchgang gelte
P(E1) = ε
mit einer Konstanten 0 < ε < 1
• Durch P(E1) wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet zu Beginn des
Lernexperiments eine falsche Antwort abzugeben
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Lineares Modell
• Annahmen
• Für t > 1 gelte die rekursive Gleichung
P(Et) = θ · P(Et-1)
mit einer Proportionalitätskonstante 0 ≤ θ < 1
• Die Multiplikation mit der Konstanten θ beschreibt die Wirkung
eines Lerndurchgangs als proportionale Verringerung der
Fehlerwahrscheinlichkeit
• Die Bezeichnung “lineares Modell” ist darin begründet, dass die
Multiplikation mit einer Konstanten eine lineare Operation ist
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Lineares Modell
• Mittlere Lernkurve
• Löst man die rekursive Gleichung auf, so erhält man für t = 3
beispielsweise
• Allgemein errechnet man dann für alle t ≥ 1
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Lineares Modell
• Mittlere Lernkurve
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Annahmen des Alles-Oder-Nichts Modells
A1. Der Wissensstand einer Versuchsperson bezüglich eines zu lernenden
Items läßt sich durch zwei Zustände beschreiben
• Entweder hat die Versuchsperson keinerlei Kenntnis über das
Item, so dass sie etwaige korrekte Antworten nur durch Raten
erreicht (Zustand G, guessing state), oder die Versuchsperson
hat das Item vollständig gelernt (Zustand L, learned state)
A2. Am Anfang des Experiments ist die Versuchsperson bezüglich
aller Items im Zustand G
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Annahmen des Alles-Oder-Nichts Modells
A3.1 Immer dann, wenn bei einem Durchgang der Versuchsperson
die Rückmeldung gegeben wird, ob ihre Antwort korrekt war oder
Nicht oder die richtige Antwort dargeboten wurde, kann sie bezüglich des
abgefragten Items vom Zustand G in den Zustand L wechseln
Die Wahrscheinlichkeit α für einen solchen Wechsel ist konstant,
sie hängt insbesondere weder von der Nummer des Durchgangs,
noch von den bisherigen Darbietungen des Items ab
A3.2 Befindet sich die Versuchsperson bezüglich eines Items im Zustand
L, dann bleibt sie dort für die gesamte Dauer des Experiments
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Alles-Oder-Nichts Modell als Reiz-Stichproben-Theorie
• Die Menge von Reizelementen ε enthält genau N = 1 Element
• Das Element wird in jedem Lerndurchgang als Stichprobenelement
gezogen
• In jedem Durchgang ist das Element in genau einem von zwei
Zuständen
• Es ist mit der richtigen Antwort verknüpft (Zustand L)
• Es ist nicht mit der richtigen Antwort verknüpft (Zustand G)
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Alles-Oder-Nichts Modell als Reiz-Stichproben-Theorie
• In jedem Durchgang mit positiver Rückmeldung wird das Element mit
Wahrscheinlichkeit α mit der richtigen Antwort assoziiert bzw. mit der
Gegenwahrscheinlichkeit 1- α bleibt es nicht assoziiert. Falls es bereits
assoziiert ist bleibt es assoziiert mit Wahrscheinlichkeit 1.
• Die richtige Antwort wird mit Wahrscheinlichkeit 1 gegeben, falls
das Element mit der richtigen Antwort assoziiert ist, andernfalls wird die
richtige Antwort mit Wahrscheinlichkeit g geraten
• Das Element ist zu Beginn des Lernens nicht mit der richtigen Antwort
assoziiert
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Alles-Oder-Nichts Modell
• Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich die Annahmen
des Alles-Oder-Nichts Modells so formulieren, dass man daraus
präzise Verhaltensvorhersagen für ein Lernexperiment ableiten kann
• Grundlegend für diese wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung
sind zwei Mengen
• Der Zustandraum, d.h. die Menge der möglichen internen
Lernzustände, ist gegeben durch {L,G}
• Der Antwortraum, d.h. die Menge der möglichen Antworten, ist
gegeben durch {C,E}
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Alles-Oder-Nichts Modell
• Für ein Item einer Lernliste lässt sich ein Lernexperiment nun
charakterisieren durch eine Sequenz von Zuständen und eine dieser
Folge zugeordnete Sequenz von Antworten
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Alles-Oder-Nichts Modell
• Die Sequenz aus den angenommenen Lernzuständen L und G ist
nicht beobachtbar
• Die Lernzustände bilden theoretische Konstrukte, d.h. eine abstrakte
Beschreibung der für das gezeigte Verhalten verantwortlich
gemachten internen psychologischen, oder kognitiven Strukturen
• Beobachtbar ist lediglich die Sequenz der Antworten, von der
aus auf die jeweils unterliegenden Lernzustände zurückgeschlossen
werden soll
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
A1 Der Wissensstand einer Versuchsperson bezüglich eines zu lernenden
Items läßt sich durch zwei Zustände beschreiben
Entweder hat die Versuchsperson keinerlei Kenntnis über das Item,
so dass sie etwaige korrekte Antworten nur durch Raten erreicht
(Zustand G, guessing state), oder die Versuchsperson hat das Item
vollständig gelernt (Zustand L, learned state)
• Der Zustandsraum ist gegeben durch die Menge
{L,G}
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
A2. Am Anfang des Experiments ist die Versuchsperson bezüglich
aller Items im Zustand G
• Es gilt
P(G1) = 1 und P(L1) = 0
• Dabei ist P(G1) (bzw. P(L1)) die Wahrscheinlichkeit für das
Ereignis, dass sich die Versuchsperson im ersten Durchgang im
Ratezustand G (bzw. im gelernten Zustand L) befindet
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
A3.1 Immer dann, wenn bei einem Durchgang der Versuchsperson
die Rückmeldung gegeben wird, ob ihre Antwort korrekt war oder
nicht, kann sie bezüglich des abgefragten Items vom Zustand G in
den Zustand L wechseln
Die Wahrscheinlichkeit α für einen solchen Wechsel ist konstant,
sie hängt insbesondere weder von der Nummer des Durchgangs,
noch von den bisherigen Darbietungen des Items ab
• Die Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten lauten für alle t >= 1
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
• Durch P(Lt+1 | Gt) wird die bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet,
dass die Versuchsperson im Durchgang t+1 im Zustand L ist,
unter der Voraussetzung, dass sie im Durchgang t im Zustand G
war (entsprechend für P(Gt+1 | Gt))
A3.2 Befindet sich die Versuchsperson bezüglich eines Items im Zustand
L, dann bleibt sie dort für die gesamte Dauer des Experiments
• Die Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten lauten für alle t >= 1
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
• Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Zustandsübergangs werden
üblicherweise in einem (in diesem Fall quadratischen) Schema
zusammengefasst, der so genannten Zustandsübergangsmatrix
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
A4.1 Wird die Versuchsperson nach einem Item gefragt, bezüglich
dessen sie im Zustand G ist, dann gibt sie zufällig eine der
möglichen Antworten, mit gleicher Wahrscheinlichkeit g für jede
der verfügbaren Antwortalternativen
• Für alle t = 1, 2, . . . gilt
• P(Ct | Gt) (bzw. P(Et | Gt)) ist die Wahrscheinlichkeit einer
korrekten (bzw. falschen) Antwort im Durchgang t bei Zustand G
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
A4.2 Wird die Versuchsperson nach einem Item gefragt, bezüglich
dessen sie im Zustand L ist, dann gibt sie immer die korrekte
Antwort (C) und niemals die falsche Antwort (E)
• Für alle t = 1, 2, . . . gilt
• P(Ct | Lt) (bzw. P(Et | Lt)) ist die Wahrscheinlichkeit einer
korrekten (bzw. falschen) Antwort im Durchgang t bei Zustand L
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
• Die bedingten Antwortwahrscheinlichkeiten werden üblicherweise in
einem (in diesem Fall quadratischen) Schema zusammengefasst, der
so genannten Antwortmatrix
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Formale Charakterisierung des Alles-Oder-Nichts Modells
• Die genannten Annahmen definieren das Alles-Oder-Nichts-Modell
als einen so genannten homogenen Markoff-Prozess
• Die Eigenschaft der Homogenität (bzw. Zeitinvarianz) bedeutet,
dass die Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten und
Antwortwahrscheinlichkeiten pro Zustand unabhängig vom
Durchgang t sind
• Die Markoff-Eigenschaft bedeutet, dass der Lernzustand im
nachfolgenden Durchgang nur vom Lernzustand im aktuellen
Durchgang abhängt (und beispielsweise nicht von der
zurückliegenden Lerngeschichte)
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Vorhersagen des Alles-Oder-Nichts Modells
• Die durch das Alles-Oder-Nichts Modell vorhergesagte mittlere
Lernkurve P(Et) wird durch die Formalisierung der Annahmen
nicht unmittelbar festgelegt, sondern muss daraus abgeleitet werden
• Hierzu betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten P(Gt) und
P(Lt), dass sich die Versuchsperson im Durchgang t im Ratezustand
G bzw. im gelernten Zustand L befindet
• Der folgende Baumgraph kennzeichnet die prinzipiell möglichen
Zustandssequenzen
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Vorhersagen des Alles-Oder-Nichts Modells
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Vorhersagen des Alles-Oder-Nichts Modells
• Im Baumgraphen des Alles-Oder-Nichts-Modells ergibt sich für alle
t = 2, 3, . . . genau ein Pfad zum Zustand Gt, während für Lt
jeweils mehrere Pfade existieren
• Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Pfad zu nehmen, ergibt
sich dabei als Produkt der an den entsprechenden Pfeilen angegebenen
Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten
• Um die Wahrscheinlichkeit P(Lt) des Zustands L im Durchgang
t = 2, 3, . . . zu erhalten, müssen die den jeweils zum Zustand
L führenden Pfaden zugeordneten Wahrscheinlichkeiten addiert
werden
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Vorhersagen des Alles-Oder-Nichts Modells
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Vorhersagen des Alles-Oder-Nichts Modells
• Aus dem Baumgraphen kann man somit ablesen, dass für den
Durchgang t = 5 gilt
und
• Allgemein kann man zeigen, dass für alle t = 1, 2, . . . gilt
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Vorhersagen des Alles-Oder-Nichts Modells
• Für das Antwortverhalten errechnet man mittels der Formel der
totalen Wahrscheinlichkeit
• Als mittlere Lernkurve für Fehler erhält man also für alle t = 1, 2, . . .
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Vorhersagen des Alles-Oder-Nichts Modells
• Mittlere Lernkurve
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Mittlere Lernkurve
• Ein Vergleich der mittleren Lernkurven des Alles-Oder-Nichts Modells
und des linearen Modells zeigt, dass diese formal identisch
sind
• Alles-Oder-Nichts Modell
• Lineares Modell
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Mittlere Lernkurve
• Setzt man ε = 1-g und θ = 1- α, so machen Alles-Oder-NichtsModell und lineares Modells identische Vorhersagen
• Ein empirischer Test der Grundannahme des Alles-Oder-NichtsModells, dass sich Lernen diskret bzw. sprunghaft vollzieht, kann
daher nicht auf der Basis der mittleren Lernkurve erfolgen
• Bevor wir eine Methode kennen lernen, die Grundannahme des
Alles-Oder-Nichts-Modells empirisch zu testen, wenden wir uns
dem Problem der adäquaten Bestimmung des Lernparameters α
für einen gegebenen Datensatz zu
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Parameterschätzung im Alles-Oder-Nichts-Modell
• Die Statistik bietet verschiedene Verfahren an, die Werte der in
einer Theorie enthaltenen Parameter derart zu bestimmen, dass
gegebene Daten hierdurch möglichst gut vorhergesagt werden
• Die Moment-Methode nach Pearson ist eine pragmatische
Methode, die meistens zu relativ einfach zu berechnenden
Schätzfunktionen für die Parameter führt, deren Eigenschaften
jedoch weitgehend ungeklärt sind
• Die Maximum-Likelihood Methode ist eine aufwendigere, aber
fundiertere Schätzmethode, die den Vorteil bietet, dass die
Eigenschaften der daraus resultierenden Schätzfunktionen bekannt
und wünschenswert sind
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Parameterschätzung im AON-Modell: Moment-Methode
• Ausgangspunkt der Schätzung des Lernparameters ist die Zufallsvariable
T, mit der die Gesamtanzahl der in einem Lernexperiment
(bei einem Item) auftretenden Fehler bezeichnet werden soll
• Unter der Annahme der Gültigkeit des Alles-Oder-Nichts-Modells
kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen T
ableiten, d.h. man kann für alle k = 0, 1, 2, . . . die Wahrscheinlichkeiten
P(T = k) bestimmen, dass insgesamt k Fehler auftreten
• Wir betrachten jedoch nur die Vorhersage der im Mittel erwarteten
Anzahl von Fehlern, den so genannten Erwartungswert E(T) von T
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Parameterschätzung im AON-Modell: Moment-Methode
• Für den Erwartungswert ε (T) läßt sich aus dem AON-Modell ableiten
• Nach der Moment-Methode wird der Erwartungswert ε (T) der
Zufallsvariablen T ersetzt durch die Schätzfunktion
wobei N die Anzahl der Items und Tj die Gesamtanzahl der Fehler
bei Item j ist
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Gedächtnis: Theorien des Lernens
Parameterschätzung im AON-Modell: Moment-Methode
• Das arithmetische Mittel T beschreibt somit die mittlere Fehlerzahl
pro Item
• Man hat dann die Schätzgleichung
oder umgeformt
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