PHYSIK IV, SS 05 Serie 4, Musterlösung

PHYSIK IV, SS 05
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 01 633 21 50
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www.microstructure.ethz.ch
Oliver Portmann
Tel. 01 633 20 77
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Serie 4, Musterlösung
1. Vektorpotenzial
a. Beachtet man, dass die Wirkung des Operators ∂j Aj darin besteht, dass die Wellenfunktion zuerst
~ wie folgt
mit Aj multipliziert und dann ∂j auf dieses Produkt angewandt wird, lässt sich [~
p, A]
vereinfachen:
~ = [−ih̄∇,
~ A]
~ = −ih̄[∇,
~ A]
~ = −ih̄[∂j , Aj ] = −ih̄ (∂j Aj − Aj ∂j )
[~
p, A]
~
= −ih̄ (Aj ∂j + (∂j Aj ) − Aj ∂j ) = −ih̄ (∂j Aj ) = −ih̄ divA
b.
H =
=
2
2
2
1 ~ · p~ − q [~
~ + q A
~2
~ = ~p − q A
p, A]
p~ − q A
2m
2m m
2m
2m
2
p~ 2
q ~
ih̄q
~+ q A
~2
− A
· p~ +
divA
2m m
2m
2m
c. Mit der Identität ~a × ~b · ~c = ~a · ~b × ~c kann der zweite Term aus dem Resultat von Teilaufgabe b
folgendermassen umgeschrieben werden:
−
q
q ~
~ · p~ = − q B
~ × ~x · p~ = − q B
~ · ~x × p~
~x × B
A · p~ =
m
2m
2m
2m
q ~ ~
= −
L·B
2m
~ = 0 ergibt sich für H insgesamt:
Mit div(~x × B)
H=
p~ 2
q ~ ~
q2
~ 2
−
L·B+
(~x × B)
2m 2m
8m
Der Hamilton-Operator H für ein Teilchen mit der Ladung q in einem Magnetfeld schreibt sich
2
1
~ für das Vektorpotenzial steht. Das Magnetfeld ergibt sich
~ , wobei A
allgemein H = 2m
p~ − q A
~ = rotA.
~ Im Fall eines konstanten Magenetfeldes erhalten
aus der Rotation des Vektorpotenzials: B
q ~
wir den obigen Ausdruck. Der erste Term beschreibt die kinetische Energie. 2m
L ist das mit der
q ~ ~
Bahnbewegung verknüpfte sogenannte paramagnetische Moment, und − 2m L· B die Energie dieses
magnetischen Moments im Magnetfeld. Um die Bedeutung des letzen Terms einzusehen, können
wir ihn nach dem Feld ableiten. Die Grösse, die wir so erhalten, ist ein magnetisches Moment
q2
~ 2 = q2 ~x × (~x × B).
~ m
(~x × B)
~ d ist dem Feld entgegengerichtet. Der
~ d = − ∂~ 8m
(m
~ = − ∂H~ ): m
4m
∂B
∂B
letzte Term beschreibt also die diamagnetische Reaktion des Teilchens auf das Magnetfeld.
1
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2. Potenzialbarriere
a. Die Schrödingergleichung
h̄2 d2
ψ(x) = (E − V0 )ψ(x)
2m dx2
hat wegen E > V0 im gesamten Bereich oszillierende Lösungen:
−
x < −a :
ψI (x)
−a < x < a :
ψII (x)
x>a:
= Aeiαx + Be−iαx
,
= Ceiβx + F e−iβx
,
ψIII (x) = Geiαx + He−iαx
.
√
α=
β=
2mE/h̄
q
2m(E − V0 )/h̄
Wenn wir annehmen, dass von links, d.h. aus negativer x-Richtung eine Welle auf die Potenzialbarriere einfällt, ist es denkbar, dass ein Teil von ihr mit der Amplitude B reflektiert wird.
Innerhalb der Potenzialbarriere ist ebenfalls eine Überlagerung von nach rechts (C) und nach
links (F ) laufenden Wellen zu erwarten. Dringt die Welle schliesslich in den Bereich x > a ein,
gibt es nichts mehr, das die Welle reflektieren könnte, weshalb wir H = 0 annehmen können. Wir
haben also insgesamt fünf Unbekannte. Aus den Stetigkeitsbedingungen für die Wellenfunktion
und ihre Ableitung an den Stellen x = −a und x = a ergeben sich vier Gleichungen, die diese
fünf Unbekannten miteinander verknüpfen. Aus einer Normierung erhielten wir noch die absolute
Grösse der Amplituden. Diese ist allerdings für die weiteren Überlegungen nicht von Belang.
Uns interessieren hier die Amplitudenverhältnisse B/A und G/A (vgl. Vorlesung):
R
D
2
B = =
A
2
G
= =
A
1
4
1+
β
α
−
α
β
1
4
β
α
−
1
4
β
α
1+
2
2
sin2 (2aβ)
2
sin2 (2aβ)
α
β
1
−
α
β
sin2 (2aβ)
.
b. R wird genau dann Null, wenn 2aβ = nπ mit n = 1, 2, ... erfüllt ist (aβ > 0). R verschwindet also
2 π 2 h̄2
mit n = 1, 2, ...
genau dann, wenn E = V0 + n8ma
2
2n+1
2 π mit n =
(2n+1)2 π 2 h̄2
mit n =
32ma2
c. R wird genau dann maximal, wenn D minimal ist, d.h. wenn 2aβ =
0, 1, 2, ...
erfüllt ist (aβ > 0). R ist also genau dann maximal, wenn E = V0 +
0, 1, 2, ...
3. Zeitliche Änderung des Mittelwertes einer quantenmechanischen Observablen
a.
dψ
d
dψ
1
1
(ψ, F ψ) =
, F ψ + ψ, F
= − (Hψ, F ψ) + (ψ, F Hψ)
dt
dt
dt
ih̄
ih̄
1
1
1
1
= − (ψ, HF ψ) + (ψ, F Hψ) = (ψ, [F, H]ψ) =
< [F, H] >
ih̄
ih̄
ih̄
ih̄
d
<F > =
dt
2
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b. Wenn die potenzielle Energie nur vom Ort abhängt, schreibt sich der Hamilton-Operator H wie
folgt:
H=
d
< ~xop > =
dt
=
=
d
< p~op > =
dt
=
p~op 2
+ V (~xop )
2m
1
1
1
< [~xop , H] >=
< [~xop , p~op 2 ] >=
< [~xop , pi pi ] >
ih̄
2mih̄
2mih̄
1
1
(< pi [xj ~ej , pi ] > + < [xj ~ej , pi ]pi >) =
(2ih̄ < pi~ej δij >)
2mih̄
2mih̄
< p~op >
1
(2ih̄ < ~
pop >) =
2mih̄
m
1
1
1
< [~
pop , H] >=
< [~
pop , V (~xop )] >=
< p~op · V (~xop ) − V (~xop ) · p~op >
ih̄
ih̄
ih̄
1
1
~ (~xop ) >= − < ∇V
~ (~xop ) >
< (~
pop · V (~xop )) >=
< −ih̄∇V
ih̄
ih̄
4. Dreidimensionaler harmonischer Oszillator
2
Das Potenzial V (x, y, z) = mω
x2 + y 2 + z 2 setzt sich additiv aus Termen, die jeweils nur von
2
einer Koordinaten abhängen, zusammen. Wir verwenden daher den Separationsansatz ψ(x, y, z) =
ψx (x)ψy (y)ψz (z).
Wir schreiben die Schrödingergleichung nun wie folgt um:
(
mω 2 2
mω 2 2
h̄2 ∂ 2
h̄2 ∂ 2
+
x
+
y ψx (x)ψy (y)ψz (z)
ψ
(x)ψ
(y)ψ
(z)
+
−
−
x
y
z
2m ∂x2
2
2m ∂y 2
2
)
(
)
mω 2 2
h̄2 ∂ 2
+
z ψx (x)ψy (y)ψz (z) = Eψx (x)ψy (y)ψz (z)
+ −
2m ∂z 2
2
)
(
.
Betrachten wir die Abhängigkeit von der Koordinaten x, so stellen wir fest, dass bis auf den ersten Term
auf der linken Seite alle Terme proportional zu ψx (x) sind. Damit die Schrödingergleichung erfüllt wird,
müssen wir also
(
mω 2 2
h̄2 ∂ 2
+
x ψx (x) = Ex ψx (x)
−
2m ∂x2
2
)
fordern. Analoges gilt für die Koordinaten y und z.
Die obige Gleichung ist die Schrödingergleichung des eindimensionalen harmonischen Oszillators, dessen
Eigenfunktionen und Eigenwerte wir bereits aus der Vorlesung kennen.
Die Eigenwerte des dreidimensionalen harmonischen Oszillators gewinnen wir somit durch die Addition
der Eigenwerte von drei eindimensionalen harmonischen Oszillatoren:
Enx ,ny ,nz = h̄ω nx + ny + nz +
3
2
3
,
nx , ny , nz = 1, 2, 3, ...
.