PHYSIK I Serie 9

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Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
PHYSIK I
Sommersemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Serie 9
1. Geladene Kugel
Berechne das elektrische Feld innerhalb und auserhalb einer homogen geladenen Kugel mit
Volumenladungsdichte ρ.
2. Gravitations- und Coulombwechselwirkung
Ein Proton befinde sich im Koordinatenursprung und ein Elektron bei x = R = 1 Å.
a) Berechne sowohl die Gravitationskraft als auch die Coulombkraft auf das Elektron.
b) Berechne die potenzielle Energie des Elektrons sowohl im Gravitationsfeld als auch im
elektrischen Feld des Protons in Elektronenvolt (eV), wobei 1 eV der kinetischen Energie
eines ursprünglich ruhenden Elektrons entspricht, nachdem es eine Spannung von 1 V
durchlaufen hat.
Die Massen sind me = 9.11 · 10−31 kg und mp = 1.67 · 10−27 kg,
die Ladungen qe = −1.602 · 10−19 C und qp = 1.602 · 10−19 C,
1
m3
−12
und die Kopplungskonstanten γ = 6.67 · 10−11 kg·s
2 und 4πε , wobei ε0 = 8.85 · 10
0
3. Nabla-Kalkül I
Beweise die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:
~ × ∇ψ
~ = ~0 ,
a) ∇
~ · (∇
~ × A)
~ =0 ,
b) ∇
~ = A(~
~ r) ein Vektorfeld und ψ = ψ(~r) ein Skalarfeld sei.
wobei A
1
F
.
m
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4. Nabla-Kalkül II
Berechne folgende Ausdrücke für ~r 6= 0:
~
a) ∇ψ(|
~r |) ,
~ (~a · ~r) ,
b) ∇
~ · a ~r3 ,
c) ∇
|~
r|
~ × a ~r3
d) ∇
|~
r|
e) ∆ |~1r|
,
,
wobei a ein konstanter Skalar, ~a = (a1 , a2 , a3 )T ein konstanter (Spalten-)Vektor und ψ(χ) eine
skalarwertige Funktion einer Veränderlichen sei.
5. Nabla-Kalkül III
~ = A(~
~ r) ein Vektorfeld und ψ = ψ(~r) ein Skalarfeld. Beweise die folgenden ProduktreSeien A
geln:
~ · (ψ A)
~ =A
~ · (∇ψ)
~
~ · A)
~ ,
a) ∇
+ ψ (∇
~ × (ψ A)
~ = (∇ψ)
~
~ + ψ (∇
~ × A)
~ .
b) ∇
×A
2
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