PHYSIK II Serie 2, Musterlösung
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Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK II Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Herbstsemester 2007 www.microstructure.ethz.ch Serie 2, Musterlösung 1. Unendlich ausgedehnte Platte Die bewegte geladene Platte entspricht einem Flächenstrom in z-Richtung. Wir können uns den Flächenstrom als aus vielen parallelen Stromfäden zusammengesetzt denken. Das resultierende Magnetfeld ergibt sich dann durch die Superposition der Magnetfelder der einzelnen Stromfäden. b Aus dieser Überlegung können wir schliessen, dass das resultierende Magnetfeld parallel zur Platte und senkrecht zur Stromrichtung gerichtet ist. Es wird entlang der x-Achse orientiert sein, und zwar in negativer x-Richtung für y > 0 und in positiver a x-Richtung für y < 0. Zur Berechnung des B j magnetischen Feldes betrachten wir die Zirkulation des Magnetfeldes entlang eines geschlossenen rechteckigen Weges Γ in der x-yΓ Ebene. Die Stärke des Magnetfeldes erhalten wir dann aus dem Ampère’schen Gesetz: y I ~ · d~s = 2aB =! µ0 IS . B x Γ Wir brauchen jetzt noch den Strom IS , der durch das Rechteck fliesst. In der Zeit dt bewegt sich die Flächenladung um vdt in z-Richtung. In der Zeit dt fliesst also die Ladung dQ = σavdt = σav: durch das Rechteck, der Strom IS ist also gegeben durch Is = dQ dt x −1 x 1 ! ~ y > 0 = µ0 σv 0 , B ~ y < 0 = µ0 σv 0 . 2aB = µ0 σav ⇒ B 2 2 0 0 z z 2. Zylindrischer Draht a) Der gesamte Strom innerhalb des Radius r ist gegeben durch Z r Z r I0 r2 0 0 0 I(r) = j(r )dr = dr = I für r < R und 0 2 2 R 0 0 πR Z r Z R I0 0 0 I(r) = j(r )dr = dr0 = I0 für r < R . 2 0 0 πR 1 Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK II Herbstsemester 2007 www.microstructure.ethz.ch Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] b) Aus Symmetriegründen bilden die Magnetfeldlinien Kreise um die Zylinderachse. Sie liegen in Ebenen senkrecht zur Zylinderachse. Wir verwenden das Ampère’sche Gesetz: I µ0 ~ · d~s = 2πrB(r) =! µ0 I(r) ⇒ B(r) ~ B = I(r)~eϕ . 2πr C Dabei haben wir die z-Achse so gewählt, dass sie mit der Stromrichtung zusammenfällt. Einsetzen von I(r) aus a) gibt: B(r) = µ0 r I0 2 2π R (r < R) und B(r) = µ0 1 I0 2π r (r > R) . c) 3. Zyklotronfrequenz ~ Auf das Elektron wirkt die Lorentzkraft F~L = qe~v × B. a) Die Bewegungsgleichungen lauten damit: mẍ = mv̇x = −evy Bz mÿ = mv̇y = evx Bz . b) Wir lösen nun die zweite Gleichung nach vx auf und setzen vx in die erste Gleichung ein: v̈y = − e2 Bz2 vy m2 . Dies ist die Differenzialgleichung eines harmonischen Oszillators mit der Kreisfrequenz ω= eBz m . Die allgemeine Lösung für vy ist also vy (t) = v0 cos(ωt + ϕ) . 2 PHYSIK II Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Herbstsemester 2007 www.microstructure.ethz.ch Wenn wir diesen Ausdruck in die zweite Bewegungsgleichung einsetzen, erhalten wir die allegemeine Lösung für vx : vx (t) = −v0 sin(ωt + ϕ) . Insgesamt haben wir also cos(ωt + ϕ) v0 sin(ωt + ϕ) ~r(t) = ~r0 + ω 0 Dies ist eine Kreisbewegung um den Mittelpunkt ~r0 mit dem Radius c) Die Zyklotronfrequenz ist ω = v0 . ω eBz . m 4. Kompensation von elektrischem Feld und Magnetfeld ~ wirkt in positive z-Richtung, denn das elektrische Feld a) Die elektrische Kraft F~E~ = −|q|E zeigt von der positiv geladenen Platte auf die negativ geladene Platte: |q|V V ~ez F~E~ = −|q| (−~ez ) = d d . ~ soll nun der Kraft durch das elektrische Feld entgegenDie Lorentzkraft F~L = −|q| ·~v × B wirken, d.h. in negative z-Richtung wirken. Mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel erkennen wir unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens der Ladung, dass das Magnetfeld ~ in negative x-Richtung zeigen muss. B b) Damit die elektrische Kraft und die Lorentzkraft nicht nur in entgegengesetzte Richtungen zeigen, sondern sich in ihrer Wirkung auch aufheben, müssen die beiden Kräfte betragsmässig gleich gross sein. |q| · |E| = |q| · |v| · |B| ⇒ |B| = V d · |v| . c) Sowohl die elektrische Kraft als auch die Lorentzkraft sind unabhängig von der Masse des Teilchens. Auch ein Teilchen mit M > m wird geradlinig weiter fliegen. Teilchen, die eine andere Geschwindigkeit als v haben, prallen früher oder später auf eine der zwei Kondensatorplatten. Deshalb heisst diese Anordnung – nach ihrem Erfinder Max Wien – Wienfilter oder Wien’sches Geschwindigkeitsfilter. 3 Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK II Herbstsemester 2007 www.microstructure.ethz.ch Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] 5. Magnetisierte Platte ~ = ~jeff : Die Magnetia) Wir berechnen die effektive Stromdichte mit der Gleichung ∇ × M d d sierung in der Platte, d.h. für z ∈ [− 2 , 2 ] , ist gegeben durch , x < − d2 −M 2 d d M x , − ≤ x ≤ , Mz (x) = 2 2 d d M , x> 2 Damit können wir die Rotation leicht berechnen: 0 ∂x 0 ~ = ∂y × ~jeff = ∇ × M = − 2M = − 2M ~ey =: j ~ey 0 d d ∂z Mz (x) 0 im Übergangsbereich (x, z ∈ [− d2 , d2 ]), ~jeff = ~0 sonst. b) Das Magnetfeld verursacht durch die Stromdichte ~j erhalten wir, wenn wir die Zirkulation des Magnetfeldes auf einem Kreis mit Radius r berechnen und dem eingeschlossenen Strom multipliziert mit µ0 gleichsetzen (siehe Aufgabe 2). Für r d können wir vernachlässigen, dass der Stromquerschnitt quadratisch ist und der eingeschlossene Strom ist Iin = j d2 . Wir erhalten also I Z 2π ~ = Iin = j d2 . ~ · dl ~ B B(r) · ~eϕ r dϕ = 2πrB(r) = Kr 0 Damit ist das B-Feld in Zylinderkoordinaten (mit der Symmetrieachse entlang y) gegeben durch ~ r, ϕ) = − 1 µ0 |j| d2 ~eϕ . B(y, 2πr 4
