PHYSIK II Serie 9
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Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK II Sommersemester 06 www.microstructure.ethz.ch Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Serie 9 1. Kinetische Energie Ein starrer Körper bestehe aus Massenpunkten mi . P sei ein Punkt in diesem . Der GeschwinKörper. Die Geschwindigkeit von P in einem Laborsystem sei V digkeitsvektor eines jeden Massenpunktes mi im Laborsystem lässt sich dann als + ω × si schreiben. Dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit der Drehung des vi = V starren Körpers und si der Ortsvektor von mi bezüglich P . Zeige, dass, falls P mit dem Massenmittelpunkt übereinstimmt, die totale kinetische Energie des starren Körpers geschrieben werden kann als 1 1 T = M V 2 + mi (ω × si )2 . 2 2 i (1) D.h. die kinetische Energie des starren Körpers kann als Summe zweier Terme dargestellt werden. Der erste Term ist die kinetische Energie der Translationsbewegung des Schwerpunkts, sie hat die Form, als ob die gesamte Masse im Schwerpunkt konzentriert wäre. Der zweite Term ist die kinetische Energie der Rotation um die momentane Drehachse durch den Schwerpunkt. 2. Rollender Zylinder 1 Ein Zylinder mit Masse M und Radius R habe bezüglich der Zylinderachse das Trägheitsmoment Θ. Der Zylinder rolle auf einer Ebene. Benutze Aufgabe 1, um die totale kinetische Energie des Zylinders zu berechnen. Als Variable führe man den Rotationswinkel ϕ wie in der Abbildung von Aufgabe 3 ein. 1 Prof. Dr. Danilo Pescia Tel. 044 633 21 50 [email protected] PHYSIK II Sommersemester 06 www.microstructure.ethz.ch Niculin Saratz Tel. 044 633 23 28 [email protected] Hausaufgaben 3. Rollender Zylinder 2 Ein Zylinder mit Trägheitsmoment Θ (bezüglich der Zylinderachse) rolle im Gravitationsfeld der Erde entlang einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel α hinunter. Formuliere die LagrangeGleichungen und integriere sie. Tipp: Welche Beziehung existiert zwischen der Variable ϕ und der Lage des Zylinders auf der schiefen Ebene (siehe Figur)? Benutze diese Beziehung, um ϕ̇ zu Gunsten von ṡ zu eliminieren. 4 ϕ I 4. Kippende Scheibe Man betrachte eine ultradünne kippende Scheibe mit Radius R und Gesamtmasse M. Wie lautet die Lagrange-Gleichung im Erdfeld? Tipp: Benutze den Satz von Steiner. 2 α
