PHYSIK I Serie 10, Musterlösung

PHYSIK I
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
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Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
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Sommersemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Serie 10, Musterlösung
1. Geladene dicke Kugelschale
~ r) = E(r) · ~er . Wir benutzen folgenden Ausdruck, den wir in
Aus Symmetriegründen folgt E(~
der letzten Serie hergeleitet haben:
E(r) =
Qin
4πε0 r2
Somit brauchen wir für die drei Fälle nur noch Qin zu berechnen:
r<R :
R≤r ≤R+d :
R>R+d :
⇒
Qin = 0
E(r) = 0
4π 3
(r − R3 ) · ρ
Qin =
3
3
ρ (r − Rr2 )
E(r) =
3 ε0
⇒
4π
Qin =
((R + d)3 − R3 ) · ρ
3
3
3
ρ ( (R+d)r2 −R )
E(r) =
3 ε0
⇒
2. Zylinderkondensator
Wir berechnen das elektrische Feld mit Hilfe des Gauss’schen Satzes. Als Integrationsfläche
A wählen wir einen Zylinder der Höhe h und Radius r. Aus Symmetriegründen verschwinden
~ · dS
~ = E(r) dh r dϕ.
die z- und ϕ-Komponenten des elektrischen Feldes. Somit ist E
• Gebiet a:
ZZ
~ · dS
~ = 1 · Qin = 0
E
ε0
S
• Gebiet b:
Z
=⇒
E=0
=⇒
Φa =
~ · d~r = konst. = C
E
ZZ
~ · dS
~ = 2πrhE(r) = 1 2πri hσi =⇒ E(r) = σri
E
ε0
ε0 r
S
Zr
σ ri
r
σ ri 0
Φb = −
dr = −
ln
+C
0
ε0 r
ε0
ri
ri
• Gebiet c:
ZZ
~ · dS
~ = 2πrhE(r) = 1 2πh(ri − ra ) · σ
E
ε0
S
Zr
Φ=−
=⇒
E(r) =
ri − ra σ 0
σ
· dr = − (ri − ra ) · ln
0
r
ε0
ε0
r
ra
ri − r a σ
·
r
ε
+ C0
ra
Stetigkeit der Potenziale: Φb (ra ) = Φc (ra )
1
=⇒
σ ri
C =−
ln
ε0
0
ra
ri
+C
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3. Zwei Punktladungen im Raum
Es sei im Folgenden d = |d| > 0.
a) Um die potenzielle Energie einer positiven Ladung q im Feld der beiden Punktladungen
qd und q−d zu kennen, müssen wir das elektrische Potenzial der beiden Punktladungen
berechnen. Aufgrund des Superpositionsprinzips erhalten wir das gesamte elektrische
Potenzial, indem wir die Beiträge der beiden Punktladungen addieren: Φtot (~r) = Φd (~r)+
Φ−d (~r). Im Folgenden betrachten wir die Potenziale entlang der z-Achse.
q±d
1
·
4π0 |z ∓ d|
Φ±d (0, 0, z) =
Die potenzielle Energie der Ladung q erhalten wir durch Multiplikation von Φtot mit q.
Epot(z)
Epot(z)
I
II
0
0
0
-d
z
d
0
-d
d
z
~ tot (~r)
b) Die Kraft auf die Ladung q ist gegeben durch das Produkt des elektrischen Feldes E
mit der Ladung q. Die Bewegungsgleichung für die Bewegung entlang der z-Achse können
wir dann aus mz̈ = qEz bestimmen. Das elektrische Feld ist der negative Gradient des
elektrischen Potenzials. Da wir nur Bewegungen mit |z| << d betrachten wollen, können
wir das elektrische Potenzial in einer Taylor-Reihe um (0,0,0) entwickeln:
P
1 (n)
n
Φ±d (0, 0, z) = ∞
n=0 n! Φ±d (0, 0, 0)z . Die ersten Ableitungen lauten:
qd
1
·
4π0 (d − z)
qd
1
(1)
Φd (0, 0, z) =
·
4π0 (d − z)2
qd
2
(2)
Φd (0, 0, z) =
·
4π0 (d − z)3
(0)
Φd (0, 0, z) =
q−d
4π0
q−d
(1)
Φ−d (0, 0, z) =
4π0
q−d
(2)
Φ−d (0, 0, z) =
4π0
(0)
Φ−d (0, 0, z) =
1
(z + d)
−1
·
(z + d)2
2
·
(z + d)3
·
Also:
qd 1
·
4π0 d
qd
1
(1)
Φd (0, 0, 0) =
· 2
4π0 d
qd
2
(2)
Φd (0, 0, 0) =
· 3
4π0 d
(0)
Φd (0, 0, 0) =
2
q−d
4π0
q−d
(1)
Φ−d (0, 0, 0) =
4π0
q−d
(2)
Φ−d (0, 0, 0) =
4π0
(0)
Φ−d (0, 0, 0) =
1
d
−1
· 2
d
2
· 3
d
·
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• Fall I (q−d = qd ):
qd
Φtot (0, 0, z) ≈
4π0
2
2
+ 3 z2
d d
∂
qd 4
Φtot (0, 0, z) ≈ −
z
∂z
4π0 d3
q
qqd
qqd 4
Also: mz̈ ≈ − 4π0 d3 z. Es liegt ein harmonischer Oszillator mit ω = mπ
3 vor.
0d
⇒ Ez (0, 0, z) = −
• Fall II (q−d = −qd ):
qd
Φtot (0, 0, z) ≈
4π0
2
z
d2
⇒ Ez (0, 0, z) = −
qd 2
∂
Φtot (0, 0, z) ≈ −
∂z
4π0 d2
qqd
qqd 2
Also: mz̈ ≈ − 4π
2 . Es wirkt eine konstante Kraft − 2π d2 .
0 d
0
4. Kugelkondensator
Wenn auf der inneren Kondensatorfläche die Ladung Q ist, so ist auf der äusseren Kondensatorfläche die Ladung −Q. Aus Symmetriegründen ist die Ladungsverteilung kugelsymmetrisch,
d.h. die Flächenladungsdichten der beiden Kugelschalen sind homogen. Somit hat die äussere
Fläche auf das elektrische Feld im Inneren keinen Einfluss und das elektrische Feld zwischen
den Kugelschalen berechnet sich leicht:
~
E(r)
=
Q
~er
4πε0 r2
Damit ist die Potentialdifferenz U zwischen den beiden Kugelschalen
Z r1
Q
Q
1
1
U = Φ(r1 ) − Φ(r2 ) =
−
dr =
−
.
4πε0 r2
4πε0 r1 r2
r2
Die Kapazität ist dann
C=
Q
r 1 r2
= 4πε0
.
U
r2 − r1
3