PHYSIK II Serie 8, Musterlösung

PHYSIK II
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Herbstsemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Serie 8, Musterlösung
1. Teilchen im Würfel
In 3 Dimensionen setzen wir für die Wellenfunktion an:
~
ψ(~x) = N1 eikx x eiky y eikz z = N1 eik·~x
a) Um die gegebenen Randbedingungen in x-Richtung zu erfüllen, muss eikx 0 = eikx L gelten.
l mit l ∈ Z. Analoges gilt für die anderen zwei Raumrichtungen, so dass
Damit ist kx = 2π
L
~k = 2π ~n mit ~n ∈ Z3 .
L
b) Für die Normierung berechnen wir
Z
0
L
Z
0
L
Z
L
0
L3 !
1 − i~k·~x 1 i~k·~x
e
e dxdydz = 2 = 1
N
N
N
⇒
√
N=
L3 .
c) Da es sich um ein freies Teilchen handelt (EPot = 0) ist der Hamiltonoperator
H=
−~2
4
2m
Damit ist
Hψ(~x) =
−~2
1 ~
~2~k 2
4 √ eik·~x =
ψ(~x) .
2m
2m
L3
Die Energiewerte sind also
E(~k) =
~2 (kx2 + ky2 + kz2 )
~2
=
2m
2m
2π
L
2
(n2x + n2y + n2z )
womit
~2
El =
2m
2π
L
2
l
1
mit l ∈ N .
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
PHYSIK II
Herbstsemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
2. Reflexion an der Potentialwand
a) Das Teilchen darf sich nur im Gebiet mit U (x) = 0 aufhalten. Das gibt jedoch keine
2 2
Einschränkung für den k-Vektor, es ist k ∈ R. Die Energie ist damit einfach E = ~2mk .
b) Eine von links einfallende ebene Welle (ohne Normierung) ist gegeben durch ψin (x) =
ei(kx+φin ) . Mit einer beliebigen Phase φ. Die Welle kann nicht in die Potentialwand eindringen, also muss gelten ψin (x0 ) + ψout (x0 ) = 0. Um die obige Bedingung zu erfüllen,
setzen wir φin = −kx0 . Damit ist ψin (x) = eik(x−x0 ) , wir dürfen die nicht-physikalsiche
Phase frei wählen. Also muss ψout (x) = −e−ik(x−x0 ) . Wir berechnen nun den Reflexionskoeffizienten:
∗
(x))ψout (x)
ψ ∗ (x)∂x ψout (x) − (∂x ψout
jψout (x)
= out∗
∗
jψin (x)
ψin (x)∂x ψin (x) − (∂x ψin (x))ψin (x)
eik(x−x0 ) (−ik)e−ik(x−x0 ) − ikeik(x−x0 ) e−ik(x−x0 )
= −ik(x−x0 )
= −1
e
(ik)eik(x−x0 ) − (−ik)e−ik(x−x0 ) eik(x−x0 )
R =
c) Die Eigenfunktionen zum Hamiltonian dieses Problems müssen genau die obige Randbedingung erfüllen. Sie sind also eine Überlagerung von ein- und ausfallender Welle, wieder
ohne Normierung,
ψk (x) = sin(k(x − x0 )) , x < x0
und ψk (x) = 0 , x ≥ x0
2
mit k ∈ R
PHYSIK II
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Herbstsemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
3. Drehimpuls Operator
a)


y∂z − z∂y
~ = −i~  z∂x − x∂z 
L
x∂y − y∂x
b)
Lz ψ(z) = −i~(x∂y − y∂x )ψ(z) = 0
c)
ZZZ
hψ, Lz ψi =
Z
∞
Z
∞
Z
ψ(~x)(−i~)(x∂y − y∂x )ψ(~x)dV
∞
Z
∞
Z
∞
Z
∞
ψ(~x)x∂y ψ(~x)dxdydz − (−i~)
= −i~
−∞
−∞
ψ(~x)y∂x ψ(~x)dxdydz
−∞
−∞
−∞
−∞
Wir berechnen die y-Integration des ersten Terms und verwenden partielle Integration:
Z ∞
Z ∞
∞
x (∂y ψ(~x)) ψ(~x)dy
ψ(~x)x∂y ψ(~x)dy = [ψ(~x)xψ(~x)]−∞ −
I =
−∞
−∞
Z ∞
= −
ψ(~x)x (∂y ψ(~x)) dy = −I
−∞
Wir haben also, I = −I ⇒ I = 0. Eine analoge Rechnung für die x-Integration des
zweiten Terms zeigt, dass auch dieser verschwindet - also gilt die Behauptung.
d)
Lx eikz z = −i~(y∂z − z∂y )eikz z = ~ykz eikz z
Ly eikz z = −i~(z∂x − x∂z )eikz z = −~xkz eikz z
Lz eikz z = 0
(siehe b)
3
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
PHYSIK II
Herbstsemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
4. Vektorpotenzial
a) Beachtet man, dass die Wirkung des Operators ∂j Aj darin besteht, dass die Wellenfunktion zuerst mit Aj multipliziert und dann ∂j auf dieses Produkt angewandt wird, lässt
~ wie folgt vereinfachen:
sich [~p, A]
~ = [−i~∇,
~ A]
~ = −i~[∇,
~ A]
~ = −i~[∂j , Aj ] = −i~ (∂j Aj − Aj ∂j )
[~p, A]
~ A
~
= −i~ (Aj ∂j + (∂j Aj ) − Aj ∂j ) = −i~ (∂j Aj ) = −i~∇·
b)
2
1 q ~
q2 ~ 2
p~ 2
q
~
~
H =
p~ − q A =
− A · p~ −
[~p, A] +
A
2m
2m m
2m
2m
p~ 2
q ~
i~q ~ ~
q2 ~ 2
=
− A
· p~ +
∇·A+
A
2m m
2m
2m
c) Mit der Identität ~a ×~b·~c = ~a ·~b×~c kann der zweite Term aus dem Resultat von Teilaufgabe
b folgendermassen umgeschrieben werden:
−
q ~
q
~ · p~ = − q B
~ × ~x · p~ = − q B
~ · ~x × p~
A · p~ =
~x × B
m
2m
2m
2m
q ~ ~
L·B
= −
2m
~ · (~x × B)
~ = 0 ergibt sich für H insgesamt:
Mit ∇
H=
p~ 2
q2
q ~ ~
~ 2
−
L·B+
(~x × B)
2m 2m
8m
Der Hamilton-OperatorH für ein
2Teilchen mit der Ladung q in einem Magnetfeld schreibt
1
~ , wobei A
~ für das Vektorpotenzial steht. Das Magnetsich allgemein H = 2m p~ − q A
~ = rotA.
~ Im Fall eines konfeld ergibt sich aus der Rotation des Vektorpotenzials: B
stanten Magenetfeldes erhalten wir den obigen Ausdruck. Der erste Term beschreibt die
q ~
kinetische Energie. 2m
L ist das mit der Bahnbewegung verknüpfte sogenannte paramaq ~ ~
gnetische Moment, und − 2m
L · B die Energie dieses magnetischen Moments im Magnetfeld. Um die Bedeutung des letzen Terms einzusehen, können wir ihn nach dem Feld
ableiten. Die Grösse, die wir so erhalten, ist ein magnetisches Moment (m
~ = − ∂H
~ ):
∂B
2
2
q
~ 2 = q ~x × (~x × B).
~ m
m
~ d = − ∂∂B~ 8m
(~x × B)
~ d ist dem Feld entgegengerichtet. Der letzte
4m
Term beschreibt also die diamagnetische Reaktion des Teilchens auf das Magnetfeld.
4