PHYSIK III Serie 5, Musterlösung

PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
Serie 5, Musterlösung
1. Dielektrizitätskonstante im elektrischen Wechselfeld
Die Bewegung des gebundenen Elektrons unter dem Einfluss eines oszillierenden elektrischen
Feldes wird durch eine inhomogene Differentialgleichung beschrieben:
~ 0 cos(Ωt) .
m~x¨ + mω 2~x = qe E
Die Lösung der homogenen DGL ist Ah cos(ωt + ϕ). Die Konstanten Ah und ϕ müssen aus
den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Dabei ist die Phase ϕ für jedes individuelle Atom
verschieden und zufällig. Wir sind jedoch an der Dielektrizitätskonstanten für einen Köper
makroskopischer Ausdehnung interessiert und müssen daher die Polarisation über einen mikroskopisch grossen, aber makroskopisch kleinen Bereich mitteln. Wegen der Zufälligkeit der
Phasen mitteln sich dabei die Beiträge der homogenen Lösungen heraus und es bleibt lediglich
die Reaktion auf die externe Anregung, die für alle Atome gleich ist, übrig. Damit können wir
für unsere Betrachtungen die Lösung der homogenen Gleichung weglassen.
Als Ansatz für eine spezielle Lösung wählen wir eine Schwingung mit der Frequenz des oszil~ cos(Ωt). Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung
lierenden elektrischen Feldes: ~x(t) = A
erhalten wir die Amplitude der Schwingung:
~=
A
~0
qe E
m(ω 2 − Ω2 )
.
Aus dem Dipolmoment p~ bestimmen wir nun die Polarisierbarkeit α:
~
qe E(t)
!
~
p~(t) = qe · ~x(t) = qe ·
= αε0 E(t)
2
2
m(ω − Ω )
⇒
qe2
α=
ε0 m(ω 2 − Ω2 )
,
~
~ 0 cos(ωt). Damit erhalten wir folgende Dielektrizitätskonstante κ:
wobei E(t)
=E
ρ0 qe2
κ = 1 + ρ0 · α = 1 +
ε0 m(ω 2 − Ω2 )
.
2. κ für einen Festkörper
κ = 1 + ρ0 α ,
⇒
q2
ρ0 q 2
⇒
κ
=
1
+
= 29.7
ε0 m ω 2
ε0 m ω 2
~ = 7.63 · 10−36 C m
|~p| = ε0 α|E|
α=
3. Dielektrische Platte
Um das elektrische Feld zu berechnen verwenden wir das erste Gesetz der Elektrostatik:
~ = 1 ρ − ∇ · P~
∇·E
(1)
ε0
wobei wir keine freien Ladungen in unserem Problem haben, also ist ρ = 0.
1
PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
a) P~ = (0, 0, P0 ): Um die Polarisationsdichte zu modellieren verwenden wir die HeavisideFunktion Θ(χ):

χ<0
 0 ,
∂
1/2 ,
χ=0
Θ(χ) =
und
Θ(χ) = δ(χ)
(2)

∂χ
1 ,
χ>0
Der Wert für Θ(0) ist dabei für die Rechnung nicht wesentlich. Damit ist
P~ (~r) = ~ez P0 Θ(−z) + Θ(z + D) − 1
(3)
wie man aus der Skizze leicht sieht.
θ(-z)
θ(z+D)
z
-D
z
-D
Einsetzen von (3) in (1) liefert dann
1
∇ · ~ez P0 Θ(−z) + Θ(z + D) − 1
0
−P0 ∂
Θ(−z) + Θ(z + D) − 1
ε0 ∂z
−P0
− δ(z) + δ(z + D)
ε0
P0
P0
δ(z) − δ(z + D)
ε0
ε0
~ = −
∇·E
=
(2)
=
=
An den Oberflächen der Platte befinden sich also unkompensierte Ladungen (siehe Figur), mit den Flächenladungsdichten
σ0 = P0 bei z = 0 resp. σ−D = −P0 bei z = −D. Mit dieser
Identifikation können wir also die Rechnung vom Plattenkondensator ohne Dielektrikum auf unser Probelm übertragen
und erhalten:
σ0
σ−D
+
= − Pε00
2ε0
2ε0
σ0
σ−D
Ez = −
−
= 0
2ε0
2ε0
σ0
σ−D
Ez = +
+
= 0
2ε0
2ε0
Ez = −
-D
(4)
(5)
(6)
(7)
x
z
,
für −D < z < 0
(8)
,
für z < −D
(9)
,
für z > 0.
(10)
Also ist
−1 ~
~
E(z)
=
P (z) .
ε0
2
(11)
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
PHYSIK III
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
x
b) P~ = (P0 , 0, 0): Falls die Platte entlang der xAchse polarisiert ist, ist die Argumentation etwas trickreicher. Wir müssen dann den Fall einer endlichen Platte betrachten und erst nachher die Dimensionen der Platte gegen Unendlich
streben lassen. Dazu führen wir die Masse der
Platte wie in nebenstehender Figur ein. Um das
elektrische Feld zu berechnen, verwenden wir,
dass wir −∇ · P~ als ’Polarisationsladung’ ρpol
interpretieren können. Damit berechen wir das
elektrische Feld im Inneren der Platte mit Hilfe
von
~ r) =
E(~
1
4πε0
Z
Lx
-Ly
-D
z
Ly
y
-Lx
~r − ~r0
ρpol (~r0 )dV 0 .
|~r − ~r0 |3
(12)
V0
Wir können die Polarisationsdichte wiederum mit Hilfe der Heaviside-Funktion beschreiben:
P~ (~r0 ) = ~ex P0 Θ(−x0 + Lx /2) + Θ(x0 + Lx /2) − 1
· Θ(−y 0 + Ly /2) + Θ(y 0 + Ly /2) − 1 Θ(−z 0 ) + Θ(z 0 + D) − 1
(13)
Daraus berechnet sich die Polarisationsladung zu
ρpol (~r0 ) = −∇r0 · P~ (~r0 ) = P0 δ(x0 − Lx /2) − δ(x0 + Lx /2)
(14)
0
0
0
0
· Θ(−y + Ly /2) + Θ(y + Ly /2) − 1 Θ(−z ) + Θ(z + D) − 1 .
Einsetzen in (12) liefert
Z
~r − ~r0
1
0
0
~ r) =
P
δ(x
−
L
/2)
−
δ(x
+
L
/2)
E(~
0
x
x
4πε0
|~r − ~r0 |3
R3
· Θ(−y 0 + Ly /2) + Θ(y 0 + Ly /2) − 1 Θ(−z 0 ) + Θ(z 0 + D) − 1 dV 0 (15)
Wir lösen die Heavisde- und Delta-Funktionen auf indem wir die Integrationsgrenzen
entsprechend setzen resp. die x0 -Integration durchführen:
~ r ) = P0
E(~
4πε0
Z0 LZy /2
−D −Ly /2
=
P0
4πε0
!
~r − ~r0 −
|~r − ~r0 |3 x0 =Lx /2
Z0 LZy /2
!
~r − ~r0 dy 0 dz 0
|~r − ~r0 |3 x0 =−Lx /2
(16)

1

x − Lx /2
 y − y0 
z − z0

3/2
(x − Lx /2)2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
−D −Ly /2

x + Lx /2
1

y − y 0  dy 0 dz 0
−
3/2
2
0
2
0
2
(x + Lx /2) + (y − y ) + (z − z )
z − z0
3
(17)
PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
Nun verwenden wir die Symmetrie der (später unendlichen) Platte: Wir können OBdA
das elektrische Feld nur für x = 0, y = 0 berechnen, da die Platte entlang dieser Richtungen translationsinvariant ist. Ebenfalls OBdA setzen wir Lx = Ly = L.
~ r ) = P0
E(~
4πε0
Z0 ZL/2
~ex (−L)
0
(L/2)2 + (y 0 )2 + (z − z 0 )2
−D −L/2
3/2 dy dz
0
(18)
(19)
Wir vermuten, dass das E-Feld überall veschwindet. Um das zu beweisen schätzen wir
das Integral nach oben ab indem wir den Integranden durch sein Maximum ersetzen.
~ r)| ≤ P0
|E(~
4πε0
Z0 ZL/2
L
dy 0 dz 0
(L/2)3
(20)
−D −L/2
=
P0 L2 D
4πε0 (L/2)3
(21)
Jetzt fehlt nur noch der Grenzübergang:
P0 8D
= 0 ∀~r .
L→∞ 4πε0 L
~ r)| = lim
|E(~
(22)
c) P~ = (P0 , 0, P0 ): Die Quelle des elektrischen Feldes ist die Divergenz der Polarisation.
Wir können die Polarisation als Superposition der Polarisationen aus den Teilaufgaben
a) und b) betrachten. Das resultierende elektrische Feld erhalten wir dementsprechend
aus der Superposition der elektrischen Felder aus den Teilaufgaben a) und b) wir haben
also dasselbe Feld wie in Teilaufgabe a).
4. Dielektrische Kugel
Divergenz in Kugelkoordinaten:
div ~u =
1 ∂(r2 ur )
1 ∂uϕ
1 ∂(sin θuθ )
+
+
r2 ∂r
r sin θ ∂ϕ
r sin θ
∂θ
~ innerhalb der Kugel, d.h. r < R:
E
Z
Z
Z
Z
1
1
1 ∂(r02 P0 ) 02 0
Gauss
~
~
~
~
Ei · dS =
∇ · EdV = −
∇ · P dV = −
r dr dΩ
0
0
r02 ∂r0
S
V
~ i|
4πr2 |E
V
2
=
−
4πr
P0
0
⇒
V
~ i = − P0 ~er
E
0
~ ausserhalb der Kugel, d.h. r > R:
E
Da die Gesamtladung der Kugel Null ist, muss der Fluss des elektrischen Feldes durch eine
~
Gaussfläche um die Kugel verschwinden. Da das E-Feld
aus Symmetriegründen nur radial
~
gerichtet sein kann, muss also gelten: |Ea | = 0 .
4