PHYSIK I Serie 8, Musterlösung

Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
PHYSIK I
Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
[email protected]
Sommersemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Serie 8, Musterlösung
1. Raumschiffrennen
Auf einer stationären Bahn liefert die Gravitation die Zentripetalkraft. Es gilt also:
GM m
L2
2
=
m
ϕ̇
r
=
r2
mr3
Aus der Definition des Drehimpulses folgt:
L = mr2 ϕ̇
=⇒
=⇒
r=
ϕ̇ =
L2
GM m2
L
mr2
Einsetzen des ersten Ausdrucks in den zweiten liefert:
L
ϕ̇ =
m
L2
GM m2
2 ∝
1
L3
Damit ist also:
1
∂ ϕ̇
∝− 4
∂L
L
Wir sehen, dass die Winkelgeschwindigkeit zunimmt, wenn der Drehimpuls abnimmt. Der
Astronaut muss somit sein Raumschiff abbremsen.
2. Erdradius
Es gilt Fg = mg und FG =
GM m
.
r2
Gleichsetzen von Fg und FG liefert:
Gρ 43 πr3 m
4πGρm
GM m
=
=
r
2
2
r
r
3
3g
3 · 9.81
⇒r=
=
m ≈ 6380km
4πGρ
4π6.673 · 10−11 5.5 · 103
mg =
1
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3. Drehimpuls und Energie
Die Masse bewegt sich genau dann auf einer stationären Kreisbahn, wenn sich die Zentrifugalkraft Fzf und die Kraft an der Schnur F aufheben. Es ist Fzf = mϕ̇2 r. Da wir in jedem
Fall ein rotationssymmetrisches Problem haben, ist der Drehimpuls L bezüglich des Zentrums
L
erhalten. Aus L = mr2 ϕ̇ erhalten wir also ϕ̇ = mr
2 . Dies können wir in die Zentrifugalkraft
2
L
einsetzen und erhalten Fzf (r) = mr3 .
a) Ist |F | > |Fzf |, so bewegt sich die Masse nach innen (r nimmt ab) und umgekehrt. Die
Bewegungsgleichung für r lautet also:
L2
.
mr3
Aus ihrer Lösung lässt sich ϕ(t) über den Drehimpuls finden:
mr̈ = −F + Fzf (r) = −F +
ϕ̇ =
L
mr2
b) Die Arbeit die von der Kraft F geleistet wird, ist die überwundene Zentrifugalkraft
integriert über die Änderung des Radius:
Z
r1
W =
r0
r
L2 1
L2
4L2
L2
3L2
L2
L2
−
=
−
=
− 3 dr =
=
mr
2mr2 r0
2mr12 2mr02
2mr02 2mr02
2mr02
c) Wir wissen:
∂ϕ
∂ϕ ∂t
∂ϕ
=
=
∂r
∂t ∂r
∂t
∂r
∂t
−1
=
ϕ̇
.
ṙ
Daraus eliminieren wir nun ϕ̇ über den Drehimpuls und verwenden dann, dass ṙ = k ist
(da r(t) = kt):
∂ϕ
L
L
= 2
= 2
.
∂r
r mṙ
r mk
Diese DGL lässt sich nun elementar integrieren und wir erhalten
Z r
L
L 1
1
ϕ(r) − ϕ0 =
dr = −
−
.
2
mk r r0
r0 r mk
2
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4. Kreisbahnen
Eine Kreisbahn ist durch einen konstanten Radius charakterisiert: r = const ⇒ ṙ = 0; Für
konstante Winkelgeschwindigkeiten, ϕ̇ = 0, hat die Beschleunigung nur die Zentripetalkomponente: azent = rϕ̇2 .
a) In diesem Fall bewirkt die Gravitationskraft die Zentripetalbeschleunigung, also:
r
GMErde
GmM
Erde
mrϕ̇2 =
⇒ |ϕ̇| =
.
2
r
r3
Für den Spezialfall r = RErde erhalten wir
s
s
GMErde
6.67 · 10−11 Nm2 kg−2 · 5.98 · 1024 kg
=
|ϕ̇| =
3
RErde
(6.378 · 106 m)3
√
= 1.538 · 10−6 s−2 = 1.24 · 10−3 s−1 .
(1)
(2)
b) Für eine allgemeine ebene Bewegung ausgedrückt in (ebenen) Polarkoordinaten ist die
Geschwindigkeit gegeben durch:
~r˙ = ṙ~er + rϕ̇~eϕ
(3)
Also für diesen speziellen Fall:
(
ṙ = 0
ϕ̇ = const
(4)
womit die Tangentialgeschwindigkeit
r
vT = r|ϕ̇| =
GMErde
r
(5)
ist und die Geschwindigkeit in radialer Richtung verschwindet.
c) Die Bedingung ist |ϕ̇Geo | =
mrGeo ϕ̇2Geo =
s
⇒ rGeo =
3
2π
24 h
=
2π
24·3600 s
= 7.272 · 10−5 s−1 . Das führt zu
GmMErde
⇒
2
rGeo
s
GMErde
6.67 · 10−11 Nm2 kg−2 · 5.98 · 1024 kg
3
=
= 42.25 · 106 m
2
−5
−1
ϕ̇2Geo
(7.272 · 10 s )
(6)
Vom Radius der geostationären Bahn finden wir leicht zum Abstand zur Erdoberfläche:
rGeo − RErde = (42.25 − 6.38) · 106 m = 35.87 · 106 m ≈ 36 000 km.
3