PHYSIK III Serie 2, Musterlösung

PHYSIK III
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
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Niculin Saratz
Tel. 044 633 23 28
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Wintersemester 06/07
www.microstructure.ethz.ch
Serie 2, Musterlösung
1. Geladene Kugel
~ r) = E(r) · ~er . Um E im Abstand r vom Kugelmittelpunkt
Aus Symmetriegründen folgt E(~
~ durch eine kugelförmige Gaussfläche S mit
zu berechnen, betrachten wir den Fluss von E
~ · dS
~ = EdΩ. Wir benützen das 1. Gesetz der
Radius r um den Kugelmittelpunkt. Damit ist E
Elektrostatik.
ZZ
ZZ
ZZ
1
~ · d~s =
· Qin
ΦS =
E
E dΩ = E(r)
dΩ = E(r) 4πr2 =
ε0
S
S
S
Somit brauchen wir nur noch Qin zu berechnen:
4πr03
ρ
3
4πr3
Qin =
ρ
3
r ≥ r0 :
Qin =
r ≤ r0 :
⇒
⇒
ρ r03
3 r 2 ε0
ρr
E(r) =
3 ε0
E(r) =
2. Zylinderkondensator
Wir berechnen das elektrische Feld mit Hilfe des Gauss’schen Satzes. Als Integrationsfläche
S wählen wir einen Zylinder der Höhe h und Radius r. Aus Symmetriegründen verschwinden
~ · dS
~ = E(r)dΩ = E(r)dh r dr.
die z- und ϕ-Komponenten des elektrischen Feldes. Somit ist E
• Gebiet a:
ZZ
~ · dS
~ = 1 Qin = 0
E
ε0
S
• Gebiet b:
Z
=⇒
E=0
=⇒
Φa =
~ = konst. = C
~ · dr
E
ZZ
~ · dS
~ = 2πrhE(r) = 1 2πri hσi =⇒ E(r) = σri
E
ε0
ε0 r
S
r
Z
σ ri
r
σ ri 0
dr = −
ln
+C ,
Φb = −
0
ε0 r
ε0
ri
ri
da Φb (ri ) = Φa (ri ) = C gelten muss. (Stetigkeit des Potentials.)
• Gebiet c:
ZZ
~ · dS
~ = 2πrhE(r) = 1 2πh(ri − ra ) σ
E
ε0
S
Zr
Φc = −
=⇒
ri − r a σ 0
σ
dr
=
−
(ri − ra ) ln
r 0 ε0
ε0
E(r) =
r
ra
ri − r a σ
r
ε
+ C0
ra
Stetigkeit der Potenziale: Φb (ra ) = Φc (ra )
1
=⇒
σ ri
C =−
ln
ε0
0
ra
ri
+C
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3. Gravitations- und Coulombwechselwirkung
a) Sowohl die Gravitationskraft als auch die Coulombkraft wirken entlang der Verbindungslinie, d.h. in unserem Fall entlang der x-Achse. Sie lauten:
me mp
= −1.01 · 10−47 N
R2
1 q e qp
=
= −2.31 · 10−8 N
4πε0 R2
Fxgrav = −γ
Fxel
b) Die kinetische Energie eines ursprünglich ruhenden Elektrons, das eine Potenzialdifferenz
von U = 1 V durchlaufen hat, ist Ekin = −∆Epot = −qe U = 1.602 · 10−19 J, d.h.
1 eV = 1.602 · 10−19 J. Damit erhalten wir folgende Energien:
grav
Epot
el
Epot
1.01 · 10−57
me mp
−57
= −1.01 · 10
J=−
eV = −6.33 · 10−39 eV
= −γ
−19
R
1.602 · 10
1 qe qp
2.31 · 10−18
=
= −2.31 · 10−18 J = −
eV = −14.4 eV
4πε0 R
1.602 · 10−19
4. Geladene Platten
a) Aus Symmetriegründen steht das elektrische Feld senkrecht auf den
Platten. Um das elektrische Feld zu erhalten, berechnen wir den
Fluss des elektrischen Feldes durch die Oberfläche S eines Zylinders
mit Grundflächen ∆f parallel zu den Platten. Somit verschwindet
der Fluss des elektrischen Feldes durch den Zylindermantel. Wir
wählen den Nullpunkt der x-Achse zwischen den Platten, so dass
sich die Platten bei x = −d/2 resp. x = d/2 befinden. Wir berechnen das Feld welches von einer Platte erzeugt wird:
ZZ
~ · dS
~ = 1 Qin ⇒ 2 ∆f E = 1 2 ∆f σ =⇒ E = σ
E
ε0
ε0
ε0
S
Wie wir sehen, hängt das elektrische Feld nicht vom Abstand von
der Platte ab. Die elektrischen Felder in den einzelnen Gebieten
ergeben sich nun durch die Superposition der Felder der beiden
Platten.
Gebiet a:
Gebiet b:
Gebiet c:
~ a = (− 2σ , 0, 0)
E
ε0
~
Eb = (0, 0, 0)
~ c = ( 2σ , 0, 0)
E
ε0
2
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b) Anfangsgeschwindigkeit: ~v0 = (0, 0, 0)
Gebiet a: mẍ(t) = q E
Gebiet b: mẍ(t) = 0
Gebiet c: mẍ(t) = q E
⇒ ~x(t) = −
− − x0 , 0, 0
d
⇒ ~x(t) = 2 − x0 , 0, 0
qσ 2
d
⇒ ~x(t) = ε0 m t + 2 + x0 , 0, 0
qσ 2
t
ε0 m
d
2
c) Kein Feld
⇒
Teilchen bleibt in Ruhe: ~x(t) =
d
2
− x0 , 0, 0
~ = −∇Φ
~
d) E
R
Gebiete a & c: Φ = − E dx = −E x
Gebiet b:
⇒
Φa =
2σ
ε0
x & Φc = − 2σ
x
ε0
Φ = konst.
Stetigkeit der Potenziale bei x = ± d2
=⇒
3
Φb = − σε0d