PHYSIK II Serie 7

Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
PHYSIK II
Oliver Portmann
Tel. 044 633 20 77
[email protected]
Herbstsemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Serie 7
Mit (*) gekennzeichnete Aufgaben sollen gelöst, die übrigen Aufgaben sollen gelöst und abgegeben werden.
1. Räumliche Spiegelung
Den Operator für die räumliche Spiegelung bezeichnet man als Parität P, mit Pψ(~r ) = ψ(−~r ).
a) Zeige, dass P ein hermitescher Operator ist.
b) Finde die Eigenwerte und die Eigenfunktionen.
c) Bestimme den Erwartungswert der Parität für
√
3
1
1
ψ(x) = ψk (x) +
ψ−k (x) wobei ψk (x) = √ eikx
2
2
L
Dabei sei k =
2π
L
.
n und n eine ganze Zahl.
2. Korrespondenzprinzip
Zwischen klassischer Physik und Quantenmechanik besteht eine formale Analogie. Die Relationen zwischen klassischen dynamischen Variablen können in ähnlicher Form in die Quantenmechanik als Beziehungen zwischen hermiteschen Operatoren übernommen werden.
Klassische dynamische Variablen sind Funktionen des sogenannten Phasenraums. Dieser Raum
wird durch die Orts- und Impulskoordinaten aufgespannt. Eine klassische dynamische Variable
f kann also als
f (x1 , . . . , xs , p1 , . . . , ps , t)
geschrieben werden; s bezeichnet hierbei die Zahl der Freiheitsgrade. Nach dem Korrespondenzprinzip entspricht dieser klassischen dynamischen Variablen folgender Operator in der Quantenmechanik:
~ ∂
~ ∂
fop (x1 op , . . . , xs op , p1 op , . . . , ps op , t) = f x1 , . . . , xs ,
,...,
,t
.
i ∂x1
i ∂xs
Die Zeit t ist dabei ein Parameter und kein Operator.
Bei der Übertragung in die Quantenmechanik sind zwei Punkte zu beachten.
i. Die klassische dynamische Variable muss als Funktion kartesischer Koordinaten geschrieben werden, bevor die Umwandlung in einen Operator vorgenommen wird.
ii. Wegen der Unvertauschbarkeit von Orts- und Impulsoperatoren (siehe Teilaufgabe c))
muss der quantenmechanische Operator gegebenenfalls symmetrisiert werden, zum Beispiel:
x · px ≡
1
(xop · px op + px op · xop )
2
1
.
PHYSIK II
Prof. Dr. Danilo Pescia
Tel. 044 633 21 50
[email protected]
Herbstsemester 2007
www.microstructure.ethz.ch
Oliver Portmann
Tel. 044 633 20 77
[email protected]
Der Positionsoperator xop und der Impulsoperator pop sind durch xop ψ(x) = x · ψ(x) und
d
pop ψ(x) = −i~ dx
ψ(x) gegeben.
a) Zeige, dass beide hermitesch sind.
b) Zeige durch Anwenden auf eine Wellenfunktion, dass
p2op
2m
2
~
= − 2m
△.
c) In der Quantenmechanik spielt der Kommutator [xop , pop ] := xop pop −pop xop eine wichtige
Rolle. Zeige durch Anwenden auf eine Wellenfunktion, dass [xop pop ] = i~ .
3. Potenzialbarriere (*)
Gegeben sei eine Potenzialbarriere (a, V0 > 0):
V (x) = V0 , −a ≤ x ≤ a
V (x) = 0 , sonst.
a) Berechne den Reflexionskoeffizienten R und den Transmissionskoeffizienten D für E > V0 .
b) Für welche Energiewerte ist R = 0?
c) Für welche Energiewerte ist R maximal?
4. Kommutator (*)
Sei H der Hamiltonoperator und A ein Operator, der mit H vertauscht, d.h. [H, A] = 0.
a) Zeige: Falls ψ(~r ) eine Eigenfunktion von H zum Eigenwert E ist, dann ist auch A ψ(~r )
eine Eigenfunktion von H.
b) Zu welchem Energie-Eigenwert ist A ψ(~r ) eine Eigenfunktion?
5. Energie des harmonischen Oszillators (*)
2
2
~ d
Gegeben sei H = − 2m
+ f · x2 mit f > 0. Man zeige, dass hHiψ ≥ 0.
dx2
2