U - Foodmanager

Bernhard Kurz 1.4.2009
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 1:
Grundgrößen
einfacher Stromkreis
Widerstände in Serie
Spannungsteiler
Folie 1
Grundgrößen
• kleinste Ladungseinheit: Elementarladung e
• Ladungsmenge Q = N.e besteht aus einem Vielfachen
(N) der Elementarladung e
• Ladungsdichte n = N/V : Anzahl „freier“
Elementarladungen pro Volumeneinheit
• Spannung = Potenzialdifferenz (Energieunterschied)
• Strom I = Q/t = dQ/dt
• Widerstand R = l/(κ.A)
• Ohmsches Gesetz R = U/I
Elektrotechnik
Folge 1
Folie 2
Ohmsches Gesetz: R=U/I
Leitungs
druck p1
Wasserschlauch
Leitungs
druck p0
Strömung
Potenzialunterschied=Druckdifferenz
hohes Potenzial bzw.
potenzielle Energie
elektrisches
Potenzial ϕ1
niedriges Potenzial bzw.
potenzielle Energie
elektrisches
Potenzial ϕ0
Widerstand R
Strom I
Potenzialunterschied=elektrische Spannung U
Elektrotechnik
Folge 1
Folie 3
Einfacher Stromkreis
I
+
Ri
Uq: Quellspannung
Uq
R
Ri: Innenwiderstand
R: Verbraucherwiderstand
-
reale Quelle
Elektrotechnik
Anschlussklemmen
I: Strom, überall gleich
Verbraucher
Folge 1
Folie 4
Einfacher Stromkreis
URi
Uq: Quellspannung, „von + nach –“
I
+
Uq
URi: Spannungsabfall am
Innenwiderstand,
Richtung wie Strom
Ri
M
UR
R
I: Strom, überall gleich
reale Quelle
Anschlussklemmen
-
Elektrotechnik
UR: Klemmenspannung
= Spannung am Verbraucher
Richtung wie Strom
M: Maschenspannungssatz:
Energieerhaltung bzw. Summe
Epot=0 (Bergwanderung!)
also: ΣUi=0=URi+UR-Uq
Verbraucher
Folge 1
Folie 5
Erkenntnisse
URi
wegen: ΣUi=0=URi+UR-Uq
I
+
Uq
Ri
M
mit: URi = Ri.I und UR = R.I
UR
R
-
ergibt sich: I
= Uq/(Ri+R)
reale Quelle
Elektrotechnik
Anschlussklemmen
⇒ R = 0: Kurzschluss an
den Anschlussklemmen
Verbraucher
Folge 1
⇒ R→∞: Leerlauf an
den Anschlussklemmen
Folie 6
Betriebsbedingungen
Kurzschluss an den Anschlussklemmen:
R=0, UR=0, Strom maximal Ik=Uq/Ri
Ri begrenzt also den Kurzschlussstrom Ik!!
Leerlauf an den Anschlussklemmen:
R→∞, I=0 und somit auch URi=0, damit tritt
an den Anschlussklemmen die
Leerlaufspannung UR = Uq
messtechnische Relevanz:
Spannungsmessgerät mit großem Innenwiderstand R zeigt also als Messspannung
UR die Quellenspannung Uq an
Elektrotechnik
Folge 1
Folie 7
Spannungsteilung
Zum besseren Verständnis
werden die Widerstände anders
angeordnet!
Erkennungsmerkmal für Serienbzw. Reihenschaltung:
Strom I durch jeden R gleich!
+
URi
Ri
Uq
I
-
UR
Elektrotechnik
Teilungsverhältnis:
UR/URi = R/Ri
R
Folge 1
Teilungsverhältnis:
UR/Uq = R/(Ri+R)
oder:
UR = Uq . R/(Ri+R)
Folie 8
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 2:
verzweigter Stromkreis
Netzwerkanalyse
Berechnungsbeispiel
verzweigter Stromkreis
Knoten: Zusammentreffen von mehr als zwei Leitungen
Zweig: direkte Verbindung zwischen zwei Knoten
Problemstellung: Berechnung aller Zweigströme (I1 … I6)
Elektrotechnik
Folge 2
Folie 2
Berechnungsmethode
Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz):
Σ IK = 0
(orientierungsbehaftete Stromsumme in einem Knoten)
Maschengleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz):
Σ UM = 0
Elektrotechnik
(orientierungsbehaftete Summe aller Spannungen in
einem geschlossenen Kreis)
Folge 2
Folie 3
Richtungskonventionen
• Richtung der Quellspannung Uq einer Spannungsquelle:
von plus nach minus
• Stromrichtung durch eine Spannungsquelle:
entgegen der Quellspannung Uq (zweckmäßig!)
• Stromrichtung in den restlichen Zweigen:
beliebig
• Richtung der Spannungen („Spannungsabfälle“) an
Widerständen:
entsprechend der Stromrichtung durch den Widerstand
Elektrotechnik
Folge 2
Folie 4
Lösungswege
• Es entsteht ein lineares Gleichungssystem aus so vielen
Gleichungen wie unbekannte Zweigströme auftreten.
Dabei liefern bei k-Knoten im Netzwerk nur (k-1)-Knotengleichungen einen Beitrag, die restlichen Gleichungen
stammen aus Maschengleichungen
• Dieses Gleichungssystem wird üblicherweise mit
numerischen Verfahren der Matrizenalgebra gelöst
• Ein alternatives Lösungsverfahren stellt die
Gauß-Jordan-Methode dar
Elektrotechnik
Folge 2
Folie 5
Beispiel Netzwerkanalyse
K
M1
+I1
−I2
+I3
=0
−I2R 2
−I3R 3
= Uq3
M2 −I1R1 −I2R 2
Elektrotechnik
Folge 2
= −Uq1
Folie 6
Beispiel Netzwerkanalyse
a
b
c
1
−1
−R 2
0
−R1 −R 2
1
−R 3
0
0
Uq3
−Uq1
a
b
c
1
0
−1
−1
−2
−2
1
−3
0
0
20
−10
a+c
b
c'
0
0
-2
-3
-3
1
20
-10
b ⋅ ( −1,5 ) + c'
c' '
0
0
Elektrotechnik
mit: R1= Ω 1, R2=2 Ω, R3=3Ω
und Uq1=10V, Uq3=20V
ergibt sich: I3=-80/11 A
I2= 10/11 A
I1= 90/11 A
9
+ 1 −30 − 10
2
Folge 2
Folie 7
Alternative Lösung
EWB von Multisim:
Elektrotechnik
Folge 2
Folie 8
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 3:
Parallel- und Serienschaltung
von Widerständen
Ersatzspannungsquelle
Leistung, Wirkungsgrad und
Anpassung
Widerstandsverschaltungen
Serienschaltung:
• Strom durch jedes Element
gleich
• Spannungsteilung!
Parallelschaltung:
• Spannung an jedem Element
gleich
• Strom teilt sich auf (Knoten!)
I
R ers =
1
R ers
=
n
∑ Ri
i=1
n
1
∑
i=1 R i
(Stern-/Dreieck-Umwandlung: 3-Pol, engl.: Star-Delta, Y-Δ)
bei Bedarf siehe Skript/Literatur)
ELektrotechnik
Folge 3
Folie 2
Ersatzspannungsquelle
Zur Vereinfachung bei Betriebsanalysen kann jedes
beliebige, aktive Netzwerk (mit Widerständen und
Spannungsquellen) kann bezüglich zweier
Anschlussklemmen (im Fachjargon: „aktiver Zweipol“)
immer durch eine einfache, reale Quelle, bestehend aus
Spannungsquelle und Innenwiderstand (Uqers, Riers) ersetzt
werden.
Bezüglich der Anschlussklemmen zeigen dann beide
Netzwerke (Original und Ersatz) gleiches elektrisches
Verhalten bei den Größen Strom und Spannung!
ELektrotechnik
Folge 3
Folie 3
Ersatzspannungsquelle
Beispiel
Originalnetzwerk
Ersatznetzwerk
IR
UR
„aktiver Zweipol“
ELektrotechnik
R
Verbraucher
Folge 3
Folie 4
Bestimmung von Riers
Praktische Bestimmung von Riers:
Im Originalnetzwerk werden alle
Spannungsquellen (Uq‘s) durch
Kurzschlüsse ersetzt.
Von der verbleibenden
R-Schaltung wird der Ersatzwiderstand bestimmt, der dem
gesuchten Riers entspricht.
im Beispiel: R1 parallel R2
(mit R1=1Ω, R2=2Ω: Riers=0,66 Ω )
ELektrotechnik
Folge 3
Folie 5
Bestimmung von Uqers
Praktische Bestimmung von Uqers:
Da im einfachen Stromkreis
(=Ersatzspannungsquelle) unter
Leerlaufbedingung an den
Anschlussklemmen der Quellspannungswert (=Uqers) auftritt,
muss am Originalnetzwerk ebenfalls
unter Leerlaufbedingung die
Klemmenspannung bestimmt
werden. Diese entspricht dann der
gesuchten Uqers.
(mit R1=1Ω, R2=2Ω, Uq1=10V, Uq3=20V: Uqers=26,66V)
ELektrotechnik
Folge 3
Folie 6
Ersatzspannungsquelle
Vergleich mit EWB von Multisim:
ELektrotechnik
Folge 3
Folie 7
Leistungsbilanz
Elektrische Leistung: P = U.I = U2/R = I2 .R
Wirkungsgrad:
Anpassung: maximale Leistung im Verbraucher für R=Ri
** dabei wird aber auch Pab(an R)= PV(an Ri)= Pzu/2 !! **
ELektrotechnik
Folge 3
Folie 8
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 4:
Elektrostatik: Basisbeziehungen und Grundgrößen
Polarisation und Influenz
Erkenntnisse
Basisbeziehungen
In der Elektrostatik tritt kein Strom (bewegte Ladungen) auf:
man verwendet als Ersatzgröße die Ladung Q
somit gelten folgende Analogien:
• Spannung: U = E. l (gilt weiterhin)
• elektrostatischer Widerstand Re = U/Q = l/(ε.A)
• elektrisches Feld E = Q /(ε.A)
l
Die Dielektrizitätskonstante (DK) ε
beschreibt dabei die Polarisierbarkeit
der „Materie im E-Feld“, es gilt: ε= ε0. εr
• ε0 absolute DK = 0,8855 .10-11 [As/Vm]
• εr relative DK, materialabhängig [-]
Elektrotechnik
Folge 4
E
U
Folie 2
Grundgrößen
Zur Beschreibung der Ladungsverteilung benutzt man
• die Ladungs- oder Verschiebungsdichte D = Q/A
• mit E = Q /(ε.A) ergibt sich
• der Fundamentalzusammenhang D= ε.E
Die Überlagerung von E-Felder erfolgt vektoriell:
r
r r
E ges = E1 + E2 + ..
Die Überlagerung von Potenzialen erfolgt additiv:
ϕges = ϕ1 + ϕ2 +..
Elektrotechnik
Folge 4
Folie 3
Polarisation
Tritt nur im Isolator auf und beschreibt die „Verzerrung“ der
Elektronenbahnen unter Einwirkung des elektrischen
Feldes (F=Q.E). Dadurch entsteht im zeitlichen Mittel
eine „Ungleichverteilung“ der Ladungen und somit ein
Polarisationsfeld Ep.
Es gilt: E=Eo-Ep = U/l
bei anliegender Spannung U muss
also ein größeres Eo wirken, damit
für das auftretende Feld E=U/l
gelten kann.
Das kann aber nur durch mehr
Ladungen auf den Kontaktplatten erreicht werden, also: Q/A=D= ε.E
Elektrotechnik
Folge 4
Folie 4
Influenz, Faraday-Effekt
Tritt nur im Leiter auf, da dort die freien Ladungen bewegt
werden können, bis die Ladungsdichte D1 an den
Grenzflächen zu den E-Feld erzeugenden
Kontaktplatten gleich der Ladungsdichte D ist.
Somit entsteht im Leiter ein
inneres Feld E1, das genauso
groß ist wie das Ursachenfeld E
aber entgegengesetzt, mit der
Folge, dass im Leiter kein
resultierendes Feld EL=E-E1=0
wirkt.
(somit ist auch kein Stromfluss möglich!)
Elektrotechnik
Folge 4
Folie 5
Erkenntnisse
• Coulombkraft: F=Q.E
für Punktladung: E=Q /(ε.4πr2) bzw. F=Q1.Q2 /(ε.4πr2)
gleichnamige Ladungen stoßen sich ab und umgekehrt
• Feld und Potenzial:
Feld ist von „plus nach minus“ gerichtet, d.h. vom
höheren zum niedrigeren Potenzial, also in Richtung
negativer (wird kleiner) Potenzialänderung:
somit gilt: E = -dϕ/dr
• Im E-Feld gespeicherte Energie: W=½.C.U2
Elektrotechnik
Folge 4
Folie 6
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 5:
Kondensator, Kapazität
Verschaltungen von
Kondensatoren
Ladungsbewegungen
Aufladevorgang
Kapazität, Kondensator
Der Größe Kapazität C beschreibt,
welche Ladungsmenge sich bei
eine bestimmten Spannung auf
den Plattenflächen anordnet.
Da dies neben der Geometrie
(l, A) vor allem durch die
Polarisationswirkung mitbestimmt
wird, kommt dem Dielektrikum (ε)
zentrale Bedeutung zu.
Weil Strom I=dQ/dt ist, ergibt sich
auch:
Elektrotechnik
Folge 5
C = Q/U =1/Re
Einheit: Farad
[F = As/V]
typ. μF, nF
C = ε. l/A
I = C. dU/dt
Verschaltung von C’s
Serienschaltung:
• Ladung auf jeder
Kapazität gleich
• Spannungsteilung!
(Uges=ΣUi)
n
1
1
=∑
Cers i=1 Ci
Parallelschaltung:
• Spannung an jeder
Kapazität gleich
• Ladung teilt sich auf
(Qges=ΣQi)
Elektrotechnik
n
Cers = ∑ Ci
i=1
Folge 5
Folie 3
Ladungsbewegungen
Bei der Analyse von Ladungsausgleichsvorgängen an
Kondensatoren ist zu unterscheiden, ob die
Kondensatoren vorher geladen und dann verschaltet
(„getrennt geladen“) wurden oder umgekehrt
(„zusammen geladen“)und ob sie in Serie oder Reihe
verschaltet wurden.
Dabei beschreibt dann die Ausgleichsladung eine
Änderung der Ladungsmenge auf einer Kapazität.
Elektrotechnik
Folge 5
Folie 4
Ladungsbewegungen
Serienschaltung:
• zusammen geladen: Auf beiden Kondensatoren findet sich die gleiche
Ladungsmenge: Q1 = Q2 = Qges (Influenz)
• getrennt geladen und polaritätsgleich oder
polaritätsungleich verschaltet: Keine Ladungsbewegung, da kein geschlossener Stromkreis!
Parallelschaltung:
• zusammen geladen: An beiden Kondensatoren
liegt dieselbe Spannung: U1 = U2 = Uges
• getrennt geladen und polaritätsgleich verschaltet:
Qges = Q1 + Q2 und neue Gesamtspannung
• getrennt geladen und polaritätsungleich verschaltet:
Qges = Q1 - Q2 und neue Gesamtspannung
Elektrotechnik
Folge 5
Uneu=Qges/Cges
Aufladung einer Kapazität
Durch das Anschalten von Ue fließen
Ladungen auf die Kapazität. Dieser
Ladungsfluss wird aber durch den
Ue
Widerstand „gebremst“, verzögert.
Somit ergibt sich ein verzögerter Anstieg
der Spannung an der Kapazität.
Beschrieben wird dieses Verhalten durch
eine Diffenzialgleichung, deren Lösung
für Ue = Ueo = konst. liefert:
U a (t ) =U eo⋅(1 − e
t
R ⋅C
Ue(t)
R
Ua
C
Ua(t)
)
mit : R ⋅ C = T (Zeitkonstante)
Elektrotechnik
Folge 5
t
Folie 6
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 6:
Elektromagnetische Größen
magnetischer Kreis
Induktionsgesetz
Generatorprinzip
EM - Beobachtungen
Bei jedem Strom führenden Leiter tritt
ein Magnetfeld (H,B) auf.
(Rechte-Hand-Regel)
H, B
Ein Eisenstück im Magnetfeld (Nord- /
Südpol) verändert dessen Verlauf
so, dass fast das gesamte Feld
durch das Eisen geführt wird.
Als technische Anwendung entsteht
der Elektromagnet, d.h. an- und
abschaltbares oder zeitlich
veränderbares Magnetfeld.
Elektrotechnik
Folge 6
Folie 2
EM - Grundgrößen
• Ursache/Quelle für EM ist der
Strom I bzw. die Stromsumme, die
als Durchflutung Θ bezeichnet wird
(„magnetische Spannung“).
• Mit der Durchflutung tritt ein
magnetischer Fluss Φ auf („Strom“).
• Durchflutung und Fluss werden in
Analogie zur Gleichstromlehre durch
den magnetischen Widerstand Rm
(mit Permeabilität μ) verknüpft.
• Damit können alle Berechnungen
analog zum Gleichstromkreis
durchgeführt werden.
Elektrotechnik
Folge 6
Θ = Σ I = N.I [A]
Φ [Vs]
Rm = Θ / Φ [A/Vs]
Rm =
l
A ⋅μ
⎡ A ⎤
⎢⎣ Vs ⎥⎦
Feldstärke und Flussdichte
Die Stärke des magnetischen Feldes H
wird bestimmt durch Stromstärke bzw.
Stromsumme und „Länge der Feldlinie“ l.
Die Flussdichte B heißt wegen Ihrer
Bedeutung auch einfach nur Induktion.
(statt Einheit T für Tesla auch noch G für Gauss)
aber: B = μo.H gilt nur für nichtferromagnetische (=diamagnetische )Materialien
(für magnetisierbare (=ferromagnetische) Materialien
wird der Zusammenhang zwischen B und H aus
Magnetisierungskennlinien ermittelt!)
Elektrotechnik
Folge 6
d
H
Feldlinienlänge l=π.d
Allgemein:
H = I / l = Θ / l [A/m]
B = Φ / A [Vs/m2=T]
= Θ/(Rm.A)
= μ. H
Folie 4
Feldstärkeberechnung
Beispiel: magnetischer Kreis mit Luftspalt, Φ gegeben, I gesucht
H,B = ?
RmFe
RmLuft
Weil sich die Feldstärke H aus Anteilen im Eisen bzw. im Luftspalt
zusammensetzt, ist das Maxwell‘sche Gesetz Θ = Σ Hi.li anzusetzen:
Also: Θ = HFe.lFe + HLuft . lLuft
Da Fluss überall gleich (einfacher Kreis) ist bei gleichem Querschnitt A
auch B in Eisen und Luft gleich. HFe wird dann aus der
Magnetisierungskennlinie bestimmt, HLuft mit der Beziehung BLuft/μo.
Elektrotechnik
Folge 6
Folie 5
Induktionsgesetz
Eine Flussänderung bewirkt in einem Leiter eine
Ladungsbewegung und somit Strom bzw. Spannung:
Induktionsspannung: Uqind = N.dΦ/dt
(Rechte-Hand-Regel)
Uqind
Uqind
Iind
h
Eine Flussänderung dΦ/dt kann erzeugt werden durch:
• Änderung der Lage der Spule zum Permanentmagnet
• Strom führenden Leiter, dessen Stromstärke sich ändert
• Elektromagnet mit veränderlichem Erregerstrom, also Wechselstrom
Lenz‘sche Regel: der induzierte Strom erzeugt ja auch wieder ein
Magnetfeld h, das immer so gerichtet ist, dass es der Induktionsursache
also dΦ/dt entgegengerichtet ist.
Elektrotechnik
Folge 6
Folie 6
Stromgenerator
Idee: durch Drehen (Wind/Wasserrad) einer Leiterschleife
(Induktionsspule) ändert sich der
wirksame Fluss Φ durch die
Spulenfläche A. Die so entstehende Flussänderung dΦ/dt
bewirkt die Induktionsspannung.
Es gilt: dΦ/dt = B.dA/dt
= B.A.cosφ = B.A.cosωt
Somit entsteht die Wechselspannung:
Uqind=(-)N.B.A.ω.sinωt
Elektrotechnik
Folge 6
Folie 7
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 7:
Induktivität und Selbstinduktion
Transformator
Kraftwirkungen im Magnetfeld
Elektromotor
Induktivität, Selbstinduktion
Induktivität L ist ein Maß für die Flusserzeugung aus dem
elektrischen Strom:
L
also: L = dΦ/dI = N2/Rm
damit ergibt sich auch: Uqind= N.dΦ/dt = L.dI/dt
Da bei einer Magnetfeld erzeugenden Spule jede
Stromänderung immer eine Flussänderung bewirkt, tritt
in derselben Spule auch immer einen „Gegeninduktion“ =
Selbstinduktion auf, die wiederum der Ursache
(Stromänderung) entgegen wirkt, d.h. „Strom wird
behindert, gebremst“
Elektrotechnik
Folge 7
Folie 2
Induktivität, Selbstinduktion
Allgemein gilt damit an jeder Spule zwischen Strom,
Spannung und Induktivität der Zusammenhang:
U = L.dI/dt
I
L
U
Der Energieinhalt einer Induktivität bestimmt sich bspw. zu:
W = L.I2/2
Elektrotechnik
Folge 7
Folie 3
Transformator
Idee: mit einer von einem Wechselstrom durchflossenen
(Primär-) Spule wird ein sich ändernder Fluss dΦ/dt
erzeugt, der in einer zweiten (Sekundär-) Spule die
Induktion hervorruft.
Anordnung:
es gilt:
U1 = UL1 = N1 ⋅ dΦ/dt
U2 = UL1 = N2 ⋅ dΦ/dt
und:
Elektrotechnik
U1/U2 = N1/N2
Folge 7
Folie 4
Kraftwirkungen
Auf im Magnetfeld bewegten Ladungsträger (Lorentzkraft)
• Leiter wird mit Geschwindigkeit v bewegt:
F = Q.(v x B)
• Leiter mit Strom durchflossen:
F = l.(I x B)
Zwischen Magnetpolen (Polzahl p)
p ⋅ Φ2
p ⋅ B2 ⋅ A
F=
=
2A ⋅ μ 0
2μ 0
Elektrotechnik
Folge 7
F
Folie 5
Elektromotor
Idee: auf einen Strom führenden
Leiter wirkt im Magnetfeld eine
Kraft
Anordnung: vgl. Stromgenerator,
aber jetzt wird die Drehspule mit
Strom durchflossen, wodurch
Kraft F und Drehmoment M
entstehen.
b/2
F= l.(I x B), M = F.b/2
- mit Polschuhen und Eisenkern wird radiales
B-Feld gewährleistet
- Polwender sorgt für kontinuierliche
Drehbewegung
Elektrotechnik
Folge 7
Folie 6
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 8:
Wechselstrom und
komplexe Rechnung
Phasenverschiebung und
Zeigerdiagramme
U und I an R, L und C
Grundlagen
Wechselspannung/-strom entsteht durch Energieumwandlung mit einem Stromgenerator: u(t)= Û.sin(ωt)
Durch das Verfahren „Fourieranalyse“ oder „FFT“ kann
jedes, beliebig periodische Wechselsignal durch
einzelne sinus- (und cosinus-) Schwingungen
unterschiedlicher Amplitude und Frequenz dargestellt
werden (→ spektrale Darstellung, Spektrum)
Zur schnellen und einfacheren Berechnung sowie
Darstellung der Phasenlagen zwischen Spannungen und
Strömen wird auf die komplexe Rechnung
zurückgegriffen (→ Berechnung wie mit Gleichstrom!)
Elektrotechnik
Folge 8
Folie 2
komplexe Rechnung
Dazu wird die Spannung statt durch u(t) = Û.sin(ωt) in der
Form U = Û.ejωt angesetzt (Euler!)
Dadurch erreicht man wesentliche Vereinfachungen bei
Differenzieren und Integrieren (nur noch Multiplikation
bzw. Division mit jω), muss allerdings auch die
Rechengesetze der komplexen Rechnung insbesondere
die Umwandlung Real-Imaginärteil und Betrag-Phase
(Exponentialform) beherrschen
Um aus einem „komplexen Rechenergebnis“ wieder die
zugehörige Zeitfunktion zu erhalten, ist davon nur der
Imaginärteil zu verwenden (Euler!)
Elektrotechnik
Folge 8
Folie 3
Beispiel ”komplexe Rechnung”
Bestimmung von i(t) an einer Kapazität C, an der eine
Wechselspannung u(t) = Û.sin(ωt) anliegt:
Es gilt:
Impedanz (=komplexer Widerstand): Z = U/I = 1/ jωC
Elektrotechnik
Folge 8
Folie 4
Phasenlage, Zeiger
An der Kapazität gilt also die gezeigte
Phasenlage zwischen Spannung und
Strom: „i(t) eilt u(t) um π/2 voraus“
Man kann die komplex angesetzten
Größen auch als Zeiger in der
komplexen Ebene darstellen. Da
aber ejωt einen links rotierenden
Zeiger für fortschreitende Zeit
bedeutet, muss man einen Zeitpunkt
für die Darstellung wählen: meist t=0
Elektrotechnik
Folge 8
Folie 5
U und I an R, L und C
Elektrotechnik
Folge 8
U und I in
Phase
U=R.I
ZR = U/I
=R
= R.ej0
U eilt I um
π/2 voraus
U=L.dI/dt
ZL = U/I
= jωL
= ωL.ej(+π/2)
I eilt U um
π/2 voraus
I=C.dU/dt
ZC = U/I
= 1/jωC
= 1/ωC.ej(-π/2)
Folie 6
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 9:
Verschaltungen von R, L und C
Resonanz und Filter
Netzwerke, Ersatzspannungsquelle
Effektivwert, Leistung
Blindstromkompensation
R, L, C Kombinationen
Beispiel:
(Teil 1)
Elektrotechnik
Folge 9
Folie 2
R, L, C Kombinationen
Beispiel:
(Teil 2)
Elektrotechnik
Folge 9
Folie 3
Sonderaspekte
Resonanz: im Sonderfall können UL und UC betragsmäßig
gleich groß werden. Da die Spannungen aber
entgegengesetzt gerichtet sind, heben sie
sich gegenseitig auf.
Dafür gilt: |ZL| = |ZC| bzw. ωL = 1/ωC
und für die Gesamtimpedanz: Zg =R
1
Ua
zC
1
jωC
F( jω ) =
=
=
=
Ue R + z C R + jω1C 1 + jωRC
Filterwirkung:
RC-Schaltung (Kabel!)
für kleine ω: |F| = 1, d.h. Ua =Ue
für große ω: |F| = 0, d.h. Ua =0
also: nur Eingangsspannungen mit tiefen
Frequenzen werden übertragen →“Tiefpass”
Elektrotechnik
Folge 9
Folie 4
Netzwerke, Ersatzquelle
Die Berechnung von WS-Netzwerken erfolgt bei
Anwendung der komplexen Rechnung analog zu GSNetzwerken.
Beispiel: Bestimmung der Ersatzspannungsquelle von
zwei Generatoren, die parallel geschaltet sind.
Elektrotechnik
Folge 9
Folie 5
Effektivwert
Ein Vergleich der in einem Widerstand R umgesetzten
(Wirk-) Leistung bei Gleichspannung (dc: direct current)
bzw. Wechselspannung (ac: alternate current) zeigt:
In beiden Fällen wird die gleiche Leistung umgesetzt,
wenn der Effektivwert der Wechselspannung
genauso groß wie die Gleichspannung ist:
Uac,eff = Udc → Udc2/R = Pdc =Pac = Uac,eff2/R
Dieser Effektivwert ist der
quadratische Mittelwert
der Wechselspannung.
(Analoges gilt für den Strom)
Elektrotechnik
Folge 9
Folie 6
Leistungsberechnung
Neben der Wirkleistung tritt auch eine so genannte Blindleistung zur
Erzeugung bzw. zum Umbau der elektrischen und magnetischen Felder
in C bzw. L auf. Diese ist zwar im zeitlichen Mittel Null („Blindleistung“!),
muss aber dennoch verfügbar sein.
Wird die Leistungsberechnung komplex durchgeführt, so gilt:
• Als Beträge für Strom und Spannung müssen
die Effektivwerte angesetzt werden!!
• (hypothetische) Scheinleistung
S = U . I* [VA] = P + jQ; (* konjugiert komplex)
• Wirkleistung:
P = |U| . | I | . cosφ [W]; (φ: Phasenverschiebung zwischen U und I)
• Blindleistung:
Q = |U| . | I | . sinφ [var];
(var: volt-ampere-reaktiv)
Elektrotechnik
Folge 9
Folie 7
Blindstromkompensation
Der Blindstrom trägt nichts zur Wirkleistung
bei und belastet nur die Zuleitungen
zwischen Generator und Verbraucher.
Durch Parallelschaltung eines Blindwiderstands (meist C) zum Verbraucher
kann man die Phasenverschiebung φ
zwischen Verbraucherspannung U und
Verbraucherstrom I reduzieren bzw. zu Null
machen.
Dadurch fließt der Blindstrom nur noch
zwischen dem Verbraucher und dem
Parallelblindwiderstand und entlastet somit
die Zuleitung.
Elektrotechnik
Folge 9
I
I
Folie 8
Vorlesungspodcast Elektrotechnik
Fk09 Wirtschaftsingenieurwesen
Folge 10:
Digitaltechnik
digitale Signale
Schaltalgebra, KV-Diagramme
AD-/DA-Wandler
Halbleiter und pn-Übergang
Transistor, IC‘s
Digitaltechnik
Die Digitaltechnik unterteilt sich in zwei Bereiche:
• Digitale Signaldarstellung und –verarbeitung:
– was ist ein digitales Signal, Vor- und Nachteile
– wie werden Analogsignale digitalisiert
– Signalverknüpfungen, logische Operationen
– numerischen Signalverabeitungsmethoden
• Halbleitertechnik
– Grundlagen zur Realisierung der Digitaltechnik
– pn-Übergang: Funktionsprinzip und Möglichkeiten
– Transistor als Halbleiter-Schaltelement
– Integration von Funktionen → Integrated Circuit
Elektrotechnik
Folge 10
Folie 2
Digitale Signaldarstellung
• Ein digitales Signal (= Bit, binary digit) weist nur zwei
Zustände auf, d.h. 0 oder 1 bzw. L (low) oder H (high) und
kann somit sehr leicht erzeugt, übertragen, weiterverarbeitet, regeneriert etc. werden.
• Um mehr als zwei Zustände (Z) abbilden zu können, sind
Kombinationen von n Bits (= Bitgruppen, bspw. Byte,
Word) erforderlich. Es gilt der Zusammenhang: Z = 2 n
• Zur Digitalisierung eines Analogsignals (mit beliebiger
Auflösung), bspw. Spannungswert steht also nur begrenzte Zahl von Zuständen zur Verfügung. Somit ergibt sich
eine Auflösungsbeschränkung (= Quantisierung)
Elektrotechnik
Folge 10
Folie 3
Digitale Signalverabeitung
• Die Grundverknüpfungen digitaler Signale finden sich in
den logischen Operationen (=Schaltalgebra):
UND/AND, ODER/OR, NEGATION/NOT etc. (NAND, XOR)
• Bestimmen mehrere (Eingangs-) Bits ein digitales
Ausgangssignal, so entstehen Schaltfunktionen:
A = (E1^E2^E3)v(E1^E2^E3)
• Zur Umwandlung oder Vereinfachung von Schaltfunktionen findet die Boolsche Algebra Anwendung
• Als Alternative zur Minimierung bedient man sich in der
Praxis der Methode mittels KV-Diagramm
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Folge 10
Folie 4
Digitale Signalverarbeitung
Das KV-Diagramm ist symmetrisch aufgebaut, so dass sich
benachbarte Felder in nur einer Variablen unterscheiden.
Elektrotechnik
Folge 10
Folie 5
Digitale Signalverarbeitung
• Grundlage für die numerische Signalverarbeitung (d.h.
mit Rechnern) ist die Umwandlung analoger Signale in
entsprechende Digitalcodes und umgekehrt. Diese
Funktionen leisten AD- bzw. DA-Wandler.
• Als technische Kenngrößen treten hierbei auf:
– Messbereich S, bspw. Spannungsbereich des Analogsignals
– Bitbreite n, d.h. wie viele Digitalcodes (= Zustände Z) sind
verfügbar (Z=2n)
– Auflösung Q = Messbereich / Zustände (Quantisierung)
– Wandlungszeit tC
• Beispiel: S=10 V, n=10 Bit, tC= 0,1 ms → Q≈10 mV
Elektrotechnik
Folge 10
Folie 6
Halbleitertechnik
Durch gezielte Verunreinigung (= Dotierung) von
Si-Kristallen entstehen
Materialien mit mehr (nHalbleiter) bzw. weniger
(p-Halbleiter) Elektronen
als für die Elektronenbindung erforderlich sind.
Bringt man p- und n
zusammen, so tritt ein
Konzentrationsausgleich
(Diffusion) sowie damit
auch ein E-Feld, das dem
entgegen wirkt (Drift)
→ pn-Diode, RLZ, UD
Elektrotechnik
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Folie 7
Halbleitertechnik
Ein derartiger pn-Übergang weist
folgende Eigenschaften auf:
• ein Stromfluss ist nur in Durchlassrichtung (+ nach -) möglich
• in Sperrrichtung ist kein
Ladungstransport möglich
• in der Raumladungszone
erzeugte (Temperatur) oder
eingebrachte Ladungsträger
führen zu einem Stromfluss
→ Sensor
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I
U
U
„elektrisches Ventil“
Folie 8
Halbleitertechnik
Eine Dreischicht-Anordnung (pnp
oder npn) mit den drei Anschlüssen
Basis/Gate, Emitter/Source und
Kollektor/Drain führt zur Transistorfunktion, die die Basis für alle
digitalen Schaltfunktionen darstellt.
Dabei kann mit einer Eingangsspannung an Basis/Gate ein
Ausgangsstrom zwischen
Emitter/Source und Kollektor/Drain
ein- und ausgeschaltet werden.
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Folie 9
Halbleitertechnik
Durch entsprechende Integration dieser Grundfunktion
entstehen die integrierten Schaltkreise IC‘s mit den
unterschiedlichsten Funktionen.
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Folie 10